Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.22 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 8800 987013 985227 2026-10-04T10:00:25Z ~2026-53370-56 81100 /* Vocabulaire */ stabilisateur, stabilisateur strict et fixateur d'une partie dans la terminologie de Bourbaki 987013 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 8 | précédent = [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | suivant = [[../Produit direct et somme restreinte/]] | page_liée = Exercices/Action de groupe }} == Définition d'une action == {{Définition | titre = Définition – action à gauche | contenu = Une '''action à gauche''' d'un groupe ''G'' (de loi de groupe notée multiplicativement) sur un ensemble ''X'' est une application <math>G\times X\rightarrow X</math> envoyant (g,s) sur un élément noté g.s, telle que : * Pour tous éléments ''g'' et ''h'' de ''G'', <math>g.(h.s)=(gh).s</math> ; * Pour tout élément ''s'' de ''X'', <math>1.s=s</math>. }} '''Remarques''' * Pour un élément ''g'' de G et un élément ''s'' de X, on écrit souvent ''gs'' au lieu de ''g''.''s''. On utilise aussi parfois la notation exponentielle <math>\ ^{g}s</math><ref>Voir par exemple N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 6, {{numéro}}1, définition 2, Paris, 1970, p. 64.</ref>. La relation <math>g.(h.s)=(gh).s</math> ci-dessus devient alors <math>\ ^{g}(^{h}\!s)=\,^{gh}\!s</math>. * On rappelle que pour un ensemble ''X'', l'ensemble des permutations de ''X'' (c'est-à-dire l'ensemble des bijections de ''X'' sur lui-même), muni de la composition, forme un groupe noté ''S''(''X'') ou <math>\ S_{X}</math> ou <math>\mathfrak{S}(X)</math> (groupe des permutations de ''X'') ; il a été introduit au chapitre [[Théorie des groupes/Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]]. Si ''G'' agit sur ''X'', l’application <math>m_g:X\rightarrow X:s\mapsto g.s</math> est une bijection dont l'inverse est <math>m_{g^{-1}}</math>. Les propriétés ci-dessus se traduisent : ** <math>\forall g,h\in G, \; m_{gh}=m_g\circ m_h</math> ; ** <math>\ m_e=Id_X</math>. Autrement dit, l’application <math>m : G\rightarrow S(X)</math> est un morphisme de groupes. Un tel morphisme est appelé opération de ''G'' sur ''X''<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}1, Paris, 1970, p. 49. N. Bourbaki, ib., p. 50, appelle ''loi d'opération'' ce qui est appelé ici ''action''. Il donne un sens plus général au mot ''action'' (ib., § 3, {{numéro}}1, p. 23). D. Perrin, ''Cours d'algèbre'', Paris, 2004, p. 13, ne parle que d'opération d'un groupe sur un ensemble, et non d'action.</ref>. Réciproquement, tout morphisme de groupes <math>G\rightarrow S(X)</math> définit une action du groupe ''G'' sur ''X'' par : <math>g.x=m_g(x)</math>. En raison de cette correspondance, on peut dire (un peu abusivement) : {{début cadre|rouge}} :'''Les actions de groupes de ''G'' sur ''X'' sont exactement les morphismes de groupes <math>G\rightarrow S(X)</math>.''' {{Fin cadre}} Nous dirons indifféremment : « soit ''G'' un groupe agissant sur un ensemble ''X'' », « soit ''G'' un groupe opérant sur un ensemble ''X'' » et « soit ''X'' un ''G''-ensemble ». Le noyau de l'opération <math>m : G\rightarrow S(X)</math> sera aussi appelé le noyau de l'action en question. Il nous arrivera même d'employer les mots ''action'' et ''opération'' l'un pour l'autre. * On pourrait être tenté de penser que les opérations d'un groupe G sur un ensemble sont quelque chose d'extérieur au groupe G et ne peuvent donc pas fournir de renseignements sur la structure interne de G, mais ce serait une erreur. (Voir par exemple, dans la suite du cours, le chapitre [[../Théorèmes de Sylow|Théorèmes de Sylow]].) Le lecteur est donc invité à considérer le présent chapitre comme fondamental et à l'étudier attentivement<ref>Daniel Perrin, Cours d'algèbre, 2008, pp. 13-14, attire l'attention sur l'importance des opérations de groupes pour l'étude de la structure interne des groupes.</ref>. == Exemples == (On notera par juxtaposition aussi bien l'action de ''G'' sur ''X'' que la composition dans ''G''.) * Action triviale de ''G'' sur ''X'' : pour tout élément ''g'' de ''G'', la permutation de ''X'' associée à ''g'' est la permutation identique ; autrement dit, ''g''.''x'' = ''x'' pour tout élément ''g'' de ''G'' et tout élément ''x'' de ''X'' ; l'homomorphisme de ''G'' dans <math>\ S_{X}</math> est l'homomorphisme trivial (valant partout l'élément neutre de <math>\ S_{X}</math>). * ''G'' agit sur lui-même (plus exactement : sur son ensemble sous-jacent) par translation à gauche : pour tout élément ''g'' de ''G'', la permutation associée à ''g'' est la translation à gauche <math>L_g:x \mapsto gx</math>, où ''gx'' désigne le produit de ''g'' et de ''x'' dans le groupe ''G'' ; autrement dit, l'action en question, si on la considère comme une application de <math>G \times G</math> dans <math>\ G</math>, est identique à la loi de composition du groupe ''G''. {{Démonstration déroulante|titre=Détails|contenu= L'associativité de la loi du groupe équivaut à : :<math>(\star)\qquad\forall g,h\in G\qquad L_{gh}=L_g\circ L_h</math>. On en déduit en particulier que ''L{{ind|g}}'' est une permutation (de bijection réciproque ''L''{{ind|''g''{{exp|-1}}}}), ce qui permet de définir une application ''L'' de ''G'' dans S(''G'') par : :<math>\forall g \in G \qquad t(g)=t_g</math>. D'après <math>(\star)</math>, ''L'' est un homomorphisme de groupes. }} * Si ''H'' est un sous-groupe de ''G'', ''G'' agit par translation à gauche sur l’ensemble ''G''/''H'' des classes à gauche de ''G'' suivant ''H'' : pour tout élément ''g'' de ''G'', la permutation de ''G''/''H'' associée à ''g'' est la permutation <math>X \mapsto gX</math>. (Si ''X'' est une classe à gauche ''xH'', ''gX'' en est une aussi, à savoir la classe (''gx'')H de ''gx''.) * Opération d'un groupe sur lui-même par conjugaison (ou par automorphismes intérieurs) : pour tout élément ''g'' du groupe ''G'', la permutation (de l’ensemble sous-jacent) de ''G'' associée à ''g'' est l'automorphisme intérieur <math>x \mapsto gxg^{-1}</math>, autrement dit <math>g.x = gxg^{-1}</math>. Il s'agit bien d'une opération du groupe ''G'' sur (l'ensemble sous-jacent de) ''G'', car nous avons vu que si Int(g) désigne l'automorphisme intérieur <math>x \mapsto gxg^{-1}</math> de ''G'', l’application <math>g \mapsto \mathrm{Int}(g)</math> définit un homomorphisme de ''G'' dans Aut(G) et donc aussi dans le groupe des permutations de (l'ensemble sous-jacent de) ''G''. * Si un groupe ''G'' opère sur un ensemble ''X'', si ''H'' est sous-groupe de ''G'', l'opération de ''G'' sur ''X'' induit de façon évidente une opération de ''H'' sur ''X'' : l’application <math>H \times X \rightarrow X</math> est la restriction de l’application <math>G \times X \rightarrow X</math> et l'homomorphisme <math>H \rightarrow S_{X}</math> est la restriction de l'homomorphisme <math>G \rightarrow S_{X}</math>. *Tout groupe ''G'' agissant sur un ensemble ''X'' agit aussi sur l'ensemble <math>\mathcal P(X)</math> des parties de ''X'', par <math>G\times\mathcal P(X)\to\mathcal P(X),\ (g,A)\mapsto g\cdot A:=\{g\cdot x\mid x\in A\}</math>. == Actions équivalentes == Si ''G'' agit sur deux ensembles ''X'' et ''Y'', une application <math>f:X\rightarrow Y</math> est appelée<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, Paris, 1970, p. 50.</ref> un homomorphisme de G-ensembles (ou un G-morphisme, ou une application compatible avec les opérations de G) si, pour tout ''x'' dans ''X'' et pour tout ''g'' dans ''G'', on a : <div style="text-align: center;"><math>f(g.x)=g.f(x)</math>.</div> Si un homomorphisme ''f'' de G-ensembles est bijectif, son application réciproque est elle aussi un homomorphisme de G-ensembles et on dit que ''f'' est un isomorphisme de G-ensembles. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. On dira<ref>M. Aschbacher, ''Finite Group Theory'', Cambridge University Press, 2000, p. 9.</ref> que ces opérations sont quasi équivalentes s'il existe un isomorphisme <math>\ \sigma </math> de G sur H et une bijection ''f'' de X sur Y tels que, pour tout élément ''g'' de G et tout élément ''x'' de X, on ait <div style="text-align: center;"><math>f(g.x) = \sigma(g).f(x)</math>.</div> On dit aussi dans ce cas que le G-ensemble X et le H-ensemble Y sont isomorphes<ref>J. J. Rotman, ''An introduction to the theory of groups'', 4{{e}} éd., tirage de 1999, p. 282.</ref>. Nous dirons que le couple (f, σ) est un isomorphisme du G-ensemble X sur le H-ensemble Y, ou encore un isomorphisme de la première opération sur la seconde. Nous dirons aussi que ''f'' et σ constituent un tel isomorphisme (ou que les deux actions sont équivalentes via ''f'' et σ). On dira qu'une action d'un groupe G sur un ensemble X et une action du même groupe G sur un ensemble Y sont équivalentes s'il existe un isomorphisme de G-ensembles de X sur Y. Deux actions équivalentes sont quasi équivalentes (avec la transformation identité comme automorphisme de G). Remarque. Deux opérations appelées ici quasi équivalentes sont appelées équivalentes par certains auteurs<ref>Voir par exemple J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 206.</ref>. Il arrivera qu'on dise dans le présent cours « équivalentes » au lieu de « quasi équivalentes ». == Groupes de permutations == Soient X un ensemble et G un groupe de permutations de X, c'est-à-dire un sous-groupe de <math>\ S_{X}</math>. G opère sur X par <math>G \times X \rightarrow X : (\sigma, x) \mapsto \sigma (x)</math>; cette opération est appelée '''l'opération naturelle de G sur X'''. Si G est un groupe de permutations d'un ensemble X et H un groupe de permutations d'un ensemble Y, nous dirons que G et H sont '''semblables''' si l'opération naturelle de G et l'opération naturelle de H sont quasi équivalentes. D'après la définition des opérations quasi équivalentes, cela signifie qu'il existe une bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' et un isomorphisme de groupes σ de ''G'' sur ''H'' tels que, pour tout élément ''g'' de ''G'' et tout élément ''x'' de ''X'', on ait <div style="text-align: center;"><math>f(g \cdot x) = \sigma (g) \cdot f(x),</math></div> où les points représentent respectivement l'opération naturelle de ''G'' (sur ''X'') et celle de ''H'' (sur ''Y'').<br /> Vu la définition des opérations naturelles, cela revient à dire qu'il existe une bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' et un isomorphisme de groupes σ de ''G'' sur ''H'' tels que, pour tout élément ''g'' de ''G'', on ait <div style="text-align: center;"><math>f \circ g \circ f^{-1} = \sigma (g).</math></div> On voit que σ est entièrement déterminé par ''f'', donc ''G'' et ''H'' sont semblables si et seulement s'il existe une bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' telle que ''H'' soit l'image de ''G'' par l'isomorphisme ''s'' ↦ ''f'' ∘ ''s'' ∘ ''f''^-1 de S_''X'' sur S_''Y''.<br /> Nous dirons qu'une telle bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' est '''une similitude''' de G vers H. Deux groupes de permutations d'un même ensemble ''X'' sont semblables si et seulement s'ils sont conjugués dans S_X. * Remarque. Si X et Y sont des ensembles équipotents, tout groupe de permutations de X est semblable à un groupe de permutations de Y. (Soit ''f'' une bijection de X sur Y, soit G un groupe de permutations de X. Désignons par H l'image de G par l'isomorphisme de groupes <math>S_{X} \rightarrow S_{Y} : \sigma \mapsto f \circ \sigma \circ f^{-1}</math>; H est un groupe de permutations de Y semblable à G.) == Vocabulaire == * Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. On dit qu'un élément ''g'' de G '''agit trivialement''' (sur X) si, pour tout élément ''x'' de X, g x = x. Cela revient à dire que ''g'' appartient au noyau de l'homomorphisme de G dans S_X correspondant à l'action de G sur X. * Une action d'un groupe G sur un ensemble X est dite '''fidèle''' si l'homomorphisme de G dans S_X correspondant à cette action est injectif. Cela revient à dire que le seul élément de G qui agit trivialement est l'élément neutre. * Remarque. Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. Supposons que cette opération soit fidèle, c'est-à-dire, comme vu plus haut, que l'homomorphisme <math>\ \varphi</math> de G dans <math>\ S_{X}</math> correspondant à cette opération soit injectif. Alors l'opération de G sur X est équivalente à l'opération naturelle du groupe de permutations <math>\ \varphi(G)</math>. Plus précisément, la bijection identité de X sur lui-même et l'isomorphisme de groupes <math>\ G \rightarrow \varphi(G)</math> constituent un isomorphisme de la première de ces deux opérations sur la seconde. * L<nowiki>'</nowiki>'''orbite''' d'un point ''x'' de ''X'' pour une opération d'un groupe ''G'' sur l’ensemble ''X'' est l’ensemble des éléments ''g''.''x'' où ''g'' parcourt le groupe ''G''. On parle de ''G''-orbite d'un élément de ''X'' si la mention du groupe ''G'' suffit à faire comprendre de quelle opération il s'agit. Deux orbites sont égales ou disjointes<ref>Si ''x'' et ''y'' sont des éléments de ''X'' tels que <math>Gx\cap Gy\ne\varnothing</math>, il existe un élément ''g'' de ''G'' tel que ''y = gx''. Alors ''Gy = G''(''gx'') = (''Gg'')''x = Gx''.</ref> ; les orbites partitionnent ''X''. Une orbite réduite à un seul élément est parfois appelée orbite ponctuelle<ref>J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 184.</ref>. * Remarque. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. Supposons que ces opérations soient équivalentes. Alors les orbites de la première opération peuvent être mises en correspondance biunivoque avec les orbites de la seconde opération de façon que deux orbites se correspondant aient le même cardinal. (Soit ''f'' une bijection de X sur Y formant avec un isomorphisme du groupe G sur le groupe H un isomorphisme de la première opération su la seconde. Le lecteur vérifiera que si à toute orbite A de la première opération, on fait correspondre f(A), on définit une bijection ''g'' de l’ensemble des orbites de la première opération sur l’ensemble des orbites de la seconde opération et que, pour toute orbite A de la première opération, g(A) a le même cardinal que A.) * Si ''g'' est un élément de ''G'' et ''x'' un élément de ''X'', si ''g''.''x''=''x'', on dit que ''g'' '''fixe''' ''x'' ou que ''x'' est un '''point fixe''' de ''g''. Les points fixes de ''g''⁻¹ sont exactement les points fixes de ''g''. (En effet, on passe de l'égalité ''g''(''x'') = ''x'' à l'égalité ''g''⁻¹(''x'') = ''x'' en multipliant les deux membres à gauche par ''g''{{exp|-1}} et de la seconde égalité à la première en multipliant les deux membres à gauche par ''g''.) * Remarque. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. Supposons que ces opérations soient équivalentes par une bijection ''f'' de X sur Y et un isomorphisme de groupes <math>\sigma </math> de G sur H. Alors un élément ''g'' de G fixe un élément ''x'' de X pour la première opération si et seulement <math>\sigma (g)</math> fixe f(x) pour la seconde opération. * On dit qu'un élément ''x'' de ''X'' est '''point fixe pour l'opération''' de ''G'' sur ''X'' si ''x'' est fixé par tout élément de ''G''<ref>N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, $ 6, {{numéro}}5, Paris, 1970, p. 73.</ref>, ce qui revient à dire que l'orbite de ''x'' est réduite à ''x''. * Le '''stabilisateur''' d'un élément ''x'' de ''X'' est l’ensemble des éléments ''g'' de ''G'' qui fixent ''x'', autrement dit tels que ''g''.''x''=''x''. C’est un sous-groupe de ''G''. Il en résulte qu'un élément ''x'' de ''X'' est point fixe d'un élément ''g'' de ''G'' si et seulement s'il est point fixe pour l'opération du sous-groupe <''g''> de ''G'' sur ''X''. (Nous retrouverons ce fait dans l'étude des groupes symétriques finis.) * Dans la terminologie de Bourbaki, le ''stabilisateur'' d'une partie Y de X est l'ensemble des éléments g de G tels que gY soit contenu dans Y, le ''stabilisateur strict'' de Y est l'ensemble des éléments g de G tels que gY soit égal à Y et le fixateur de Y est l'ensemble des éléments g de G tels que, pour tout élément y de Y, on ait gy = y. On vérifie facilement que le stabilisateur strict et le fixateur de Y sont des sous-groupes de G, et que le stabilisateur de Y est un sous-monoïde de G<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre, Chapitres 1 à 3'', réimpr. Springer, 2007, ch. I, § 5, n° 2, déf. 3, p. I.51, prop. 1 et corollaire, p. I.52.</ref>. * Une action est dite '''transitive''' lorsqu'elle possède une et une seule orbite. (Postuler l’existence d'une orbite revient à postuler que l’ensemble sur lequel le groupe opère n’est pas vide<ref>Souligné par N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, {{numéro}}5, Paris, 1970, p. 56.</ref>.) Si un groupe ''G'' opère transitivement sur un ensemble ''X'', on dit que ''X'' est un ''G''-ensemble homogène<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}5, Paris, 1970, p. 56.</ref> ou encore un ''G''-espace homogène<ref>P. Tauvel, ''Algèbre'', 2{{e}} éd., Paris, 2005, p. 65.</ref>. On dit qu'un groupe de permutations d'un ensemble X est transitif si son action naturelle est transitive. * Une action d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' est dite '''libre''' lorsque tout élément non neutre de ''G'' est sans points fixes. Cela revient à dire que pour tout élément ''x'' de ''X'', le stabilisateur de ''x'' est le sous-groupe trivial de ''G''. Cela revient encore à dire que pour tout élément ''x'' de ''X'', l’application <math>\ f_{x} : G \rightarrow X : g \mapsto gx</math> est injective. (L'application <math>\ f_{x}</math> est appelée l’application orbitale définie par ''x''.) Dans ce cas, le cardinal de toute orbite est égal à <math>\vert G \vert </math> et <math>\vert G \vert </math> divise <math>\vert X \vert </math>. Si ''X'' n'est pas vide, on a donc <math>\vert G \vert \leq \vert X \vert .</math> Toute action libre sur un ensemble non vide est fidèle. * Une action d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' est dite '''simplement transitive''' si elle est transitive et libre. On dit alors que ''X'' est un ''G''-ensemble homogène principal<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}6, Paris, 1970, p. 58.</ref>. Pour tout élément ''x'' de ''X'', l’application orbitale <math>\ f_{x} : G \rightarrow X : g \mapsto gx</math> est alors une bijection de ''G'' sur ''X''. Puisque, par définition d'une action transitive, ''X'' n'est pas vide, il en résulte que ''X'' est équipotent à ''G''. == Relations entre orbite et stabilisateur == * Si ''x'' est un élément donné d'un G-ensemble ''X'', il résulte d'un des exemples ci-dessus qu'on définit de façon évidente une action à gauche de G sur G/Stab(x) (ensemble des classes à gauche de G modulo Stab(x)). L'application <math>g\mapsto gx</math> induit un isomorphisme de G-ensembles <math>G/Stab(x)\rightarrow O(x)</math>. En particulier, le cardinal de l'orbite d'un point est égal à l'indice dans G du stabilisateur de ce point : <math>\vert G/Stab(x) \vert = \vert O(x) \vert</math>. (Nous utiliserons ce fait dans l'équation aux classes.) Comme le noyau K de l'opération est évidemment contenu dans Stab(x), il en résulte que <math>\vert G/K \vert </math> est multiple du cardinal de chaque orbite. A fortiori, évidemment, <math>\vert G \vert </math> est multiple du cardinal de chaque orbite. * On montre facilement (voir exercices) que si deux points ''x'', ''y'' de ''X'' appartiennent à la même orbite, leurs stabilisateurs dans ''G'' sont conjugués dans ''G''. (Plus précisément, si ''g'' est un élément de ''G'' tel que y = gx, alors Stab(y) = g(Stab(x))g{{exp|-1}}.) Les orbites de ''x'' et de ''y'' sont dites '''de même type''' lorsque les stabilisateurs des éléments de l'une sont conjugués dans ''G'' aux stabilisateurs des éléments de l'autre. == Action à droite == (Le lecteur peut se contenter de survoler cette section.) Soient ''G'' un groupe et ''X'' un ensemble. Comme pour la définition d'une action à gauche, considérons une application <math>G\times X\rightarrow X</math> envoyant (g,x) sur un élément noté g.x ou gx, telle que : :pour tout élément ''x'' de ''X'', <math>1.x=x</math>, mais supposons maintenant que : :pour tous éléments ''g'' et ''h'' de ''G'' et tout élément ''x'' de ''X'', <math>g.(h.x)=(hg).x</math>. Une telle application est appelée action à droite de G sur X. On vérifie facilement que, pour tout <math>g \in G</math>, l’application <math>\sigma_{g} : x \mapsto gx</math> de ''X'' dans lui-même est une bijection et que l’application <math>g \mapsto \sigma_{g}</math> est un homomorphisme de ''G'' dans l'opposé du groupe des permutations de X. (Rappelons que cet opposé est l’ensemble des permutations de ''X'' muni de la loi de composition <math>f \star g = g \circ f</math>, de sorte que <math>f \star g (x) = g(f(x))</math>.)<br /> Réciproquement, pour tout homomorphisme <math>\lambda</math> de ''G'' dans l'opposé du groupe des permutations de ''X'', il existe une et une seule action à droite de ''G'' sur ''X'' telle que l'homomorphisme associé à cette action comme ci-dessus soit <math>\lambda</math>. Soient ''G'' un groupe et ''X'' un ensemble. On vérifie facilement les deux faits suivants : # une application <math>G\times X\rightarrow X : (g, x) \mapsto gx</math> est une action à droite relativement au groupe G si et seulement si elle est une action à gauche relativement au groupe opposé de ''G'' ; # une application <math>G\times X\rightarrow X : (g, x) \mapsto gx</math> est une action à droite relativement au groupe G si et seulement si l’application <math>G\times X\rightarrow X : (g, x) \mapsto g^{-1}x</math> est une action à gauche relativement au même groupe ''G''. Il est donc possible de passer mécaniquement d'un énoncé relatif aux actions à gauche à un énoncé relatif aux actions à droite. Cela explique que les auteurs qui considèrent des actions à gauche ne s'occupent généralement pas des actions à droite, et réciproquement. Quand on traite d'une action à droite d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'', on préfère placer l'élément (soit ''g'') de ''G'' à droite de l'élément (soit ''x'') de ''X'' et écrire ''xg'' plutôt que ''gx''. La règle ''g(hx) = (hg)x'' prend alors la forme plus élégante ''(xh)g = x(hg)''. Toujours dans le cas d'une action à droite, on écrit aussi <math>x^{g}</math> au lieu de ''gx''; ici encore, la règle se formule de façon plus élégante. Les auteurs qui considèrent des actions à droite appellent en général groupe des permutations d'un ensemble ''X'' le groupe opposé du groupe qui est appelé ici le groupe des permutations de ''X''<ref>Voir par exemple P.J. Cameron, ''Permutation groups'', Cambridge, 1999, p.2; H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The theory of finite groups'', New York, 2004, p. 55.</ref>. Dans la terminologie de ces auteurs, ce sont donc les actions à droite (et non à gauche) d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' qui correspondent aux homomorphismes de ''G'' dans le « groupe des permutations » de ''X''. Ces auteurs désignent l'image d'un élément ''x'' par une permutation <math>\alpha</math> en plaçant <math>\alpha</math> à droite de ''x'', c'est-à-dire que là où nous écrivons <math>\alpha(x)</math>, ils écrivent <math>x\alpha</math> ou <math>x^{\alpha}</math>. La définition de ce qu'eux appellent le groupe des permutations est alors (avec la seconde notation) : :<math>x^{\alpha * \beta} = (x^{\alpha})^{\beta}</math>, ce qui rend l'harmonie des notations complète. == Théorème de Cayley == {{Théorème | titre=Théorème de Cayley |contenu={{Wikipédia|Théorème de Cayley}} Soit G un groupe.</br> a) G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique de (l'ensemble sous-jacent de) G. Plus précisément, si pour tout élément g de G, on désigne par L_g la permutation (translation à gauche) <math>\ x \mapsto gx </math> de G, <math>\ g \mapsto L_{g}</math> définit un homomorphisme injectif de G dans <math>S_{G}</math>.</br> b) Tout groupe est isomorphe à un groupe de permutations. }} {{Démonstration | contenu= Pour tout élément g de G, désignons par L_g la permutation (translation à gauche) <math>\ x \mapsto gx </math> de G. On a vu que <math>\ g \mapsto L_{g}</math> définit un homomorphisme de G dans <math>S_{G}</math>. Cet homomorphisme est injectif. En effet, si ''g'' est un élément de G tel que L_g soit la permutation identique de G, alors L_g(1) = 1, c'est-à-dire g = 1, ce qui prouve que l'homomorphisme <math>\ g \mapsto L_{g}</math> est injectif (autrement dit, l'action correspondante de G sur son ensemble sous-jacent est fidèle). Donc G est isomorphe à son image par <math>\ g \mapsto L_{g}</math>, ce qui prouve la première assertion de l'énoncé. La seconde assertion résulte de la première. }} Remarque. Il résulte du théorème de Cayley que si G est un groupe fini d'ordre ''n'', G est isomorphe à un sous-groupe du groupe <math>S_{n}</math>, ce qu'on exprime encore en disant que G peut être plongé dans <math>S_{n}</math>. Il y a des cas où G peut-être plongé dans un groupe <math>S_{k}</math> où ''k'' est considérablement plus petit que l'ordre de G. Par exemple, si dans l'énoncé ci-dessus du théorème de Cayley, on prend pour G le groupe symétrique fini <math>S_n</math>, on trouve seulement que <math>S_n</math> peut être plongé dans <math>S_{n!}</math>, alors qu'il peut évidemment être plongé dans lui-même, c'est-à-dire dans <math>S_n</math>, qui est en général considérablement plus petit que <math>S_{n!}</math>. On verra un autre exemple dans le ''théorème de plongement'', qui sera démontré dans le chapitre [[../Premiers résultats sur les groupes simples|Premiers résultats sur les groupes simples]]. {{Théorème |contenu= Soit G un groupe. Pour tout élément ''g'' de G, désignons (comme plus haut) par L_g la permutation (translation à gauche) <math>\ x \mapsto gx </math> de G. On a vu (théorème de Cayley) que les permutations L_g forment un sous-groupe de <math>S_{G}</math> isomorphe à G. Notons L_G ce sous-groupe de <math>S_{G}</math>. Alors tout élément de L_G autre que la permutation identique est une permutation sans point fixe. }} Démonstration. Cela revient à dire que l'action <math>(g, x) \mapsto g x</math> de G sur son ensemble sous-jacent est libre, ce qui est clair.</br> Remarque. Il arrive que, pour démontrer qu'un groupe G possède une certaine propriété transmissible par isomorphisme, il soit plus facile de démontrer que le groupe que nous avons noté L_G possède cette propriété, ce qui entraîne (puisque L_G est isomorphe à G) que G possède lui aussi cette propriété. Remarque. Dans le chapitre [[../Groupes symétriques finis|Groupes symétriques finis]], nous verrons, dans le cas où G est fini, une autre propriété notable de l'élément L_g pour un élément ''g'' de G - {1}. == Équation aux classes == Soit G un ensemble agissant sur un ensemble X. Soit <math>\Omega</math> l’ensemble des orbites. Puisque les orbites partitionnent X, nous avons <math>\vert X \vert = \sum_{\omega \in \Omega}{} \vert \omega \vert </math>,<br /> où <math>\omega </math> parcourt les orbites et où les barres verticales désignent le cardinal. Soit <math>(x_{\omega})_{\omega \in \Omega}</math> une famille d'éléments de X tels que, pour chaque orbite <math>\omega </math>, <math>x_{\omega}</math> appartienne à <math>\omega </math>. (Nous choisissons donc un et un seul élément dans chaque orbite.) L'égalité ci-dessus peut s'écrire<br /> <math>\vert X \vert = \sum_{\omega \in \Omega}{} \vert orb(x_{\omega}) \vert </math> où <math>orb(x)</math> désigne l'orbite de x.<br /> Nous avons vu que le cardinal de l'orbite d'un point x est égal à l'indice dans G du stabilisateur <math>G_{x}</math> de ce point, donc<br /> <math>\vert X \vert = \sum_{\omega \in \Omega}{} [G:G_{x_{\omega}}] </math>. Il revient au même de dire que si <math>(x_{i})_{i \in I}</math> est une famille d'éléments de X telle que, pour toute orbite ω, il existe un et un seul <math>i \in I</math> tel que <math>x_{i} \in \omega </math>, on a <math>\vert X \vert = \sum_{i \in I}{} [G:G_{x_{i}}] </math>. En séparant des autres les orbites ponctuelles (c'est-à-dire réduites à un élément) et en notant que le nombre des orbites ponctuelles est égal au nombre des points fixes de l'opération considérée, nous pouvons mettre l'égalité ci-dessus sous la forme suivante : soit X' l’ensemble des points fixes, soit <math>(x_{j})_{j \in J}</math> une famille d'éléments de X telle que, pour toute orbite non ponctuelle ω, il existe un et un seul <math>j \in J</math> pour lequel <math>x_{j} \in \omega </math>, alors <math>\vert X \vert = \vert X' \vert + \sum_{j \in J}{} [G:G_{x_{j}}] </math>. L'égalité que nous venons de donner sous deux formes est parfois<ref>Voir par exemple Jean Delcourt, ''Théorie des groupes'', 2{{e}} éd., Paris, 2007, p. 63.</ref> appelée « équation aux classes » ou « formule des classes », mais la plupart des auteurs réservent l’expression « équation aux classes » au cas où l'opération considérée est l'opération de G sur lui-même par conjugaison. Alors X' est le centre <math>Z(G)</math> de G et les <math>G_{x_{j}}</math> sont les centralisateurs <math>C_{G}(x_{j})</math> des <math>x_{j}</math>, donc si <math>(x_{j})_{j \in J}</math> est une famille d'éléments de G telle que, pour toute classe de conjugaison ω non réduite à un élément, il existe un et un seul <math>j \in J</math> pour lequel <math>x_{j} \in \omega </math>, alors <math>\vert G \vert = \vert Z(G) \vert + \sum_{j \in J}{} [G:C_{G}{x_{j}}] </math>. Cette équation est utilisée par exemple pour démontrer le théorème de Cauchy<ref>J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} édition, 2{{e}} tirage, 1999, théor. 4.2, p. 74.</ref> ou encore la [[../Théorèmes de Sylow#Les p-groupes|non-trivialité du centre de tout ''p''-groupe fini non trivial]]<ref>J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} édition, 2{{e}} tirage, 1999, théor. 4.4, pp. 74-75.</ref>. == Le centralisateur et le normalisateur vus comme stabilisateurs == Soient ''G'' un groupe et ''x'' un élément de ''G''. Le centralisateur de ''x'', c'est-à-dire le sous-groupe de ''G'' formé par les éléments de ''G'' qui commutent avec ''x'', est le stabilisateur de ''x'' pour l'action du groupe ''G'' sur lui-même par conjugaison. D'autre part, l'orbite de ''x'' pour cette action est l’ensemble des conjugués de ''x'' dans ''G''. Puisque le cardinal de l'orbite d'un élément est égal à l'indice du stabilisateur de cet élément dans le groupe opérant, nous pouvons énoncer : {{Théorème | titre=Proposition|contenu= Soient ''G'' un groupe et ''x'' un élément de ''G''. La classe de conjugaison de ''x'' dans G (ensemble des conjugués de ''x'' dans ''G'') a pour cardinal l'indice (dans ''G'') du centralisateur de ''x'' dans ''G''. En particulier, le cardinal de la classe de conjugaison de ''x'' dans G divise l'ordre de G. }} Considérons maintenant l'action par conjugaison d'un groupe ''G'' sur l'ensemble de ses parties {{supra|Exemples}} : <math>G\times\mathcal P(G)\to\mathcal P(G),\;(g,A)\mapsto gAg^{-1}</math>. Pour cette action, l'orbite d'un sous-groupe ''H'' de ''G'' est constituée des sous-groupes de ''G'' de la forme <math>x H x^{-1}</math>, où <math>x</math> parcourt ''G'', appelés les conjugués de ''H'' dans ''G'' (nous les appellerons parfois aussi les ''G''-conjugués de ''H''). Le stabilisateur de ''H'' pour cette action est son normalisateur dans ''G''. Donc, comme précédemment : {{Théorème | titre=Proposition|contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. L'ensemble des conjugués de ''H'' dans ''G'' a pour cardinal l'indice (dans ''G'') du normalisateur de ''H'' dans ''G''. En particulier, le cardinal de l'ensemble des conjugués de ''H'' dans ''G'' divise l'ordre de ''G''. }} == Argument de Frattini == {{Théorème | titre = Argument de Frattini (forme générale) | contenu = Soient G un groupe opérant (à gauche ou à droite) sur un ensemble X et H un sous-groupe de G tel que l'opération de H sur X induite par celle de G soit transitive. Alors, pour tout élément ''x'' de X, <math>\ G = G_{x} H</math> (où <math>\ G_{x}</math> désigne le stabilisateur de ''x'' dans G). }} {{Démonstration | contenu= Supposons que G opère à droite sur X par <math>G \times X \rightarrow X : (g, x) \mapsto x^{g}</math>. Soient ''g'' un élément de G et ''x'' un élément de X. Puisque l'action de H est transitive, il existe un élément ''h'' de H tel que <math>\ x^{g} = x^{h}.</math> Alors <math>\ x^{gh^{-1}} = x</math>, donc <math>\ gh^{-1} \in G_{x}</math>, donc <math>\ g \in G_{x}H.</math> Ceci étant vrai pour tout élément ''g'' de G, on a donc <math>\ G = G_{x} H</math>. Par exemple en appliquant ce qui précède au groupe opposé de G et en tenant compte que, pour deux sous-groupes A, B de G, la relation G = AB équivaut à G = BA ([[../Exercices/Groupes, premières notions#Problème 8|Exercices/Groupes, premières notions#Problème 8]]), on trouve que l'énoncé est encore vrai pour une opération à gauche de G sur X. }} La forme générale de l'argument de Frattini nous servira dans les chapitres [[../Théorème de Gaschütz|Théorème de Gaschütz]] et [[../Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives|Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives]]. Dans le chapitre [[../Sous-groupe de Frattini|Sous-groupe de Frattini]], nous verrons la forme particulière sous laquelle Frattini a publié l'«argument» qui porte son nom. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | suivant = [[../Produit direct et somme restreinte/]] }} 9y7w3wj6fpbeztwucsqx81a1px4k0qy 0 28449 987014 983382 2026-10-04T10:56:37Z Crochet.david.bot 1005 Robot : conversion/correction du HTML 987014 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 12 | chapitre = [[../../Groupes alternés/]] | précédent = [[../Groupes symétriques finis/]] | suivant = [[../Groupes linéaires/]] | niveau = 13 }} == Problème. Centre d'un groupe alterné == Prouver que si ''n'' est un nombre naturel <math>\ \geq 4</math>, le centralisateur du groupe alterné <math>\ A_{n}</math> dans <math>\ S_{n}</math> est réduit à l'élément neutre. (A fortiori, le centre de <math>\ A_{n}</math> est réduit à l'élément neutre, ce qui, dans le cas <math>n\ \geq 5</math>, est une conséquence banale de la simplicité et de la non-commutativité de <math>\ A_{n}</math>.) {{Solution | contenu = Soit <math>\ \sigma</math> un élément de <math>\ S_{n}</math> qui centralise <math>\ A_{n}</math>. Il s'agit de prouver que <math>\ \sigma</math> est la permutation identique. Soit ''a'' un élément de {1, 2, ... , n}; il s'agit de prouver que <math>\ \sigma</math> fixe ''a''. Puisque ''n'' est supposé au moins égal à 4, nous pouvons choisir dans {1, 2, ... , n} trois éléments distincts de ''a'', soient ''b'', ''c'' et ''d''. Les 3-cycles (a b c) et (b c d) appartiennent à <math>\ A_{n}</math>, donc ils commutent avec <math>\ \sigma</math>, d'où :<math>\ \sigma</math> (a b c) <math>\ \sigma^{-1}</math> = (a b c) et :<math>\ \sigma</math> (b c d) <math>\ \sigma^{-1}</math> = (b c d). Compte tenu de l'effet d'une conjugaison sur un cycle (voir chapitre [[../../Groupes symétriques finis|Groupes symétriques finis]]), cela peut s'écrire :(<math>\ \sigma</math>(a) <math>\ \ \sigma</math>(b) <math>\ \ \sigma</math>(c) ) = (a b c) et :(<math>\ \sigma</math>(b) <math>\ \ \sigma</math>(c) <math>\ \ \sigma</math>(d) ) = (b c d). En passant aux supports, nous trouvons :{<math>\ \sigma</math>(a), <math>\ \sigma</math>(b), <math>\ \sigma</math>(c)} = {a, b, c} et :{<math>\ \sigma</math>(b), <math>\ \sigma</math>(c), <math>\ \sigma</math>(d)} = {b, c, d}. Donc :{<math>\sigma</math>(a), <math>\sigma</math>(b), <math>\ \sigma</math>(c)} \ {<math>\ \sigma</math>(b), <math>\ \sigma</math>(c), <math>\ \sigma</math>(d)} = {a, b, c} \ {b, c, d}, d'où :<math>\ \sigma</math>(''a'') = ''a'', ce qui, comme nous l'avons vu, prouve l'énoncé. Remarque. Le fait que pour <math>n \geq 4</math>, le centre de <math>A_{n}</math> est réduit à l'élément neutre pourrait se déduire de la détermination des sous-groupes normaux de <math>\ A_{n}</math> qui a été faite au chapitre théorique.<br /> }} == Problème. Contre-exemple à une réciproque du théorème de Lagrange == Prouver que le groupe alterné A₄, qui est d'ordre 12, n'a pas de sous-groupe d'ordre 6. (Cela montre qu'on ne peut pas énoncer cette réciproque du théorème de Lagrange : « Si d est un diviseur de l’ordre d'un groupe fini G, G admet un sous-groupe d'ordre d. ») {{Solution | contenu = Un sous-groupe d'ordre 6 de A₄ serait d'indice 2 dans A₄, donc (exercices sur le chapitre ''Sous-groupes distingués, groupe quotient'') serait un sous-groupe distingué de A₄. C'est impossible, puisque (chapitre ''Groupes alternés'', section ''[[../../Groupes alternés#Sous-groupes distingués des groupes alternés|Sous-groupes distingués des groupes alternés]]'') les seuls sous-groupes distingués de A₄ sont 1, A₄ lui-même et un sous-groupe d'ordre 4 de A₄. }} == Problème. Un sous-groupe maximal n'est pas forcément d'indice premier == On a vu dans un [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/|exercice sur le chapitre Groupes monogènes, ordre d'un élément]] que si G est un groupe, si M est un sous-groupe ''normal'' et maximal de G, alors M est d'indice (fini) premier dans G. Prouver que ce n'est pas forcément vrai si on ne suppose pas que M est normal. (Indication : on a prouvé dans un précédent exercice que le groupe alterné A₄ n'a pas de sous-groupe d'ordre 6.) {{Solution | contenu = Nous pouvons choisir un sous-groupe M d'ordre 3 de A₄, par exemple le sous-groupe de A₄ engendré par l'élément <math>(1 2 3)</math>. Prouvons que M est un sous-groupe maximal de A₄. Soit H un sous-groupe de A₄ tel que <math>M \leq H \leq A_{4}</math>. D'après la [[../../Classes modulo un sous-groupe/|formule des indices]], :[A₄:H] [H:M] = [A₄:M], c'est-à-dire :(1)<math>\qquad </math> [A₄:H] [H:M] = 4. On a vu dans un précédent exercice que A₄ n'a pas de sous-groupe d'ordre 6, autrement dit n'a pas de sous-groupe d'indice 2, donc la relation (1) n'est possible qu'avec [A₄:H] = 1 ou [H:M] = 1. Si [A₄:H] = 1, alors H est égal à A₄; si [H:M] = 1, alors H est égal à M. Nous avons donc prouvé que tout sous-groupe H de A₄ tel que <math>M \leq H \leq A_{4}</math> est égal à M ou à A₄, ce qui revient à dire que M est un sous-groupe maximal de A₄. Puisque M est d'indice 4, et donc d'indice non premier, dans A₄, cela démontre l'énoncé. }} == Problème. Classes de conjugaison du groupe alterné A₄ == a) Soit ''n'' un nombre naturel, soit <math>\sigma</math> un élément de <math>A_{n}</math>; on suppose qu'il existe une permutation impaire <math>\lambda \in S_{n}</math> telle que <math>\sigma = \lambda^{-1} \circ \sigma \circ \lambda</math> (autrement dit, la permutation <math>\sigma</math> est sa propre conjuguée par une permutation impaire dans <math>S_{n}</math>). Prouver que la classe de conjugaison de <math>\sigma</math> dans <math>A_{n}</math> est identique à sa classe de conjugaison dans <math>S_{n}</math>. {{Solution | contenu = Tout conjugué de <math>\sigma</math> dans <math>A_{n}</math> est conjugué de <math>\sigma</math> dans <math>S_{n}</math>, donc il suffit de prouver que tout conjugué de <math>\sigma</math> dans <math>S_{n}</math> est conjugué de <math>\sigma</math> dans <math>A_{n}</math>. Soit <math>\mu</math> un élément de <math>S_{n}</math>; il s'agit de prouver que <math>\mu^{-1} \sigma \mu</math> est conjugué de <math>\sigma</math> dans <math>A_{n}</math>. C'est évident si la permutation <math>\mu</math> est paire. Si <math>\mu</math> est impaire, cela résulte de :<math>\mu^{-1} \sigma \mu = \mu^{-1} (\lambda^{-1} \sigma \lambda) \mu = (\lambda \mu)^{-1} \sigma \lambda \mu</math>, où <math>\lambda \mu</math> est paire. }} b) Déterminer le nombre des classes de conjugaison dans le groupe alterné <math>A_4</math>. Pour chaque classe, préciser le cardinal de cette classe et en indiquer un élément. {{Solution | contenu = Le groupe <math>A_4</math> est formé d'un élément d'ordre 1, de trois éléments d'ordre 2, à savoir (1 2) (3 4), (1 3) (2 4) et (1 4) (2 3), c'est-à-dire les trois éléments de <math>S_4</math> de structure cyclique 2-2, et de huit éléments d'ordre 3, à savoir les huit 3-cycles de <math>S_4</math> : (1 2 3) et son inverse, (1 2 4) et son inverse, (1 3 4) et son inverse, (2 3 4) et son inverse. Un élément de la forme (a b) (c d) est son propre conjugué par la permutation impaire (a b), donc, d'après le point a), sa classe de conjugaison dans <math>A_4</math> est égale à sa classe de conjugaison dans <math>S_4</math>. Donc les trois éléments d'ordre 2 de <math>A_4</math> forment une classe de conjugaison dans <math>A_4</math>. :Voici une autre justification de ce fait. Si (a b) (c d) n'avait qu'un conjugué dans <math>A_4</math>, (a b) (c d) serait un élément central de <math>A_4</math>, ce qui est impossible, car d'après un problème précédent, le centre de <math>A_4</math> est réduit à l'élément neutre. Si (a b) (c d) avait exactement deux conjugués dans <math>A_4</math>, son centralisateur dans <math>A_4</math> serait d'ordre 6, ce qui est impossible, car d'après un problème précédent, <math>A_4</math> n'a pas de sous-groupe d'ordre 6. Donc (a b) (c d) a au moins trois conjugués dans <math>A_4</math>, qui sont a fortiori des conjugués de (ab) (cd) dans <math>S_4</math>. Comme (ab) (cd) a exactement trois conjugués dans <math>S_4</math>, les conjugués de (ab) (cd) dans <math>A_4</math> sont donc exactement les trois conjugués de (ab) (cd) dans <math>S_4</math>, à savoir (1 2) (3 4), (1 3) (2 4) et (1 4) (2 3). Montrons maintenant que les huit 3-cycles (conjugués dans <math>S_4</math>) se partagent en deux classes de conjugaison dans <math>A_4</math> comprenant chacune quatre éléments. Soit <math>\gamma</math> un 3-cycle de <math>S_4</math>. Son centralisateur dans <math>S_4</math> est d'ordre 4!/8 = 3. Comme ce centralisateur contient <math>\gamma</math>, il est égal à <math>\langle \gamma \rangle</math> donc inclus dans <math>A_4</math>, si bien que le centralisateur de <math>\gamma</math> dans <math>A_4</math> est, lui aussi, égal à <math>\langle \gamma \rangle</math>, donc la classe de conjugaison de <math>\gamma</math> dans <math>A_4</math> est de cardinal (4!/2)/3 = 4. Il en résulte que les huit éléments d'ordre 3 de <math>A_4</math> se partagent en deux classes de conjugaison de 4 éléments chacune. Montrons que <math>\gamma</math> et <math>\gamma^{-1}</math> ne sont pas conjugués dans <math>A_4</math>. Soit <math>\tau</math> l'une des trois transpositions de support inclus dans celui de <math>\gamma</math>. On vérifie que :<math>\tau^{-1}\gamma\tau=\gamma^{-1}</math> donc pour tout autre élément <math>\rho</math> de <math>S_4</math> tel que <math>\gamma^{-1} = \rho^{-1} \gamma \rho</math>, le produit <math>\rho\tau^{-1}</math> appartient au centralisateur <math>\langle \gamma \rangle\subset A_4</math>, donc <math>\rho\in A_4\tau=S_4\setminus A_4</math>. Ceci prouve que <math>\gamma</math> et <math>\gamma^{-1}</math> ne sont pas conjugués dans <math>A_4</math>. En particulier, (1 2 3) et (1 3 2) ne sont pas conjugués dans <math>A_4</math>. Les 4 classes de conjugaison dans <math>A_4</math> sont donc la classe de l'élément neutre, la classe de (1 2) (3 4), la classe de (1 2 3) et la classe de (1 3 2). }} Remarque. Cet exercice nous servira dans un chapitre ultérieur ([[../Caractères irréductibles de quelques groupes/]]) pour déterminer les caractères complexes irréductibles du groupe <math>A_4</math>. == Problème. Sous-groupes simples de S_n == a) Soient G un groupe, N un sous-groupe normal de G et S un sous-groupe simple de G. Prouver que S est contenu dans N ou isomorphe à un sous-groupe de G/N. (Indication : considérer le sous-groupe <math>S\cap N</math> de S.) {{Solution | contenu = Le sous-groupe <math>S\cap N</math> de S est normal dans S, donc, puisque S est simple, <math>S\cap N</math> est égal à S ou réduit à l'élément neutre. Dans le premier cas, S est contenu dans N, donc l'énoncé est vrai dans ce cas. Dans le second cas, il résulte du [[../../Sous-groupe distingué et groupe quotient#Les trois théorèmes d'isomorphisme|second théorème d'isomorphisme]] que S est isomorphe à SN/N, qui est un sous-groupe de G/N, donc l'énoncé est encore vrai dans ce cas. }} Remarque. On peut noter une analogie entre l'énoncé qui précède et cet énoncé arithmétique : soient ''g'' un nombre naturel non nul, ''n'' un diviseur naturel de ''g'' et ''s'' un facteur premier de ''g'', alors ''s'' divise ''n'' ou ''g''/''n''. b) Soient ''X'' un ensemble fini et G un sous-groupe de S_X comprenant au moins une permutation impaire. Prouver que G a au moins un sous-groupe d'indice 2. Plus généralement, prouver que si H est un groupe, s'il existe un homomorphisme <math>f</math> de H dans un groupe symétrique fini <math>S_{X}</math> et un élément <math>x</math> de H tel que f(x) soit une permutation impaire, alors H a au moins un sous-groupe d'indice 2. {{Solution | contenu = Démontrons d'abord le second énoncé. Faisons suivre <math>f</math> par l'homomorphisme signature de <math>S_{X}</math> dans le groupe <math>\{1, - 1 \} .</math> Nous obtenons ainsi un homomorphisme <math>g : H \to \{1, - 1 \}</math> qui, d'après les hypothèses, prend la valeur -1, et est donc surjectif. D'après le premier théorème d'isomorphisme, <math>H/Ker g</math> est donc isomorphe à <math>\{1, - 1 \}</math> et est donc d'ordre 2, donc <math>Ker g</math> est un sous-groupe d'indice 2 de H, ce qui prouve le second énoncé du point b). On en tire le premier énoncé en faisant H = G et en prenant pour <math>f</math> l'homomorphisme inclusion <math>t \mapsto t</math> de G dans S_X }} Remarque. Le premier énoncé du point b) nous servira dans la suite du présent problème. Le second énoncé nous servira dans un problème de la série [[../Premiers résultats sur les groupes simples/|Premiers résultats sur les groupes simples]]. c) Soient ''X'' un ensemble fini et G un sous-groupe simple de S_X dont l’ordre est au moins égal à 3. Prouver de deux façons, l'une à l'aide du point a) et l'autre à l'aide du point b), que G est contenu dans A_X. {{Solution | contenu = Voici tout d’abord une démonstration à l'aide du point a). On a vu dans la théorie que A_X est un sous-groupe normal de S_X. D'après le point a), G est donc contenu dans A_X ou isomorphe à un sous-groupe de S_X/A_X. Mais S_X/A_X est d'ordre au plus égal à 2 (et en fait, dans nos hypothèses, d'ordre égal à 2). Donc G, qui est supposé d'ordre au moins égal à 3, ne peut pas être isomorphe à un sous-groupe de S_X/A_X, donc il est contenu dans A_X, ce qui prouve l'énoncé.<br /> Voici maintenant une démonstration à l'aide du point b). Il revient au même de prouver que si G n’est pas contenu dans A_X, il n’est pas simple. Or d’après le point b), G contient alors un sous-groupe d'indice 2, soit H. Puisque l’ordre de G est > 2, on a 1 < H < G; de plus, tout sous-groupe d'indice 2 étant normal, H est normal dans G. Il en résulte que G n’est pas simple. }} Remarque. L'énoncé c) nous servira pour démontrer dans le chapitre [[../../Premiers résultats sur les groupes simples|Premiers résultats sur les groupes simples]] que si un groupe simple G d'ordre au moins égal à 3 admet un sous-groupe propre d'indice fini ''n'', G est isomorphe à un sous-groupe de A_n. (Théorème de plongement.) d) Soient ''n'' un nombre naturel '''impair''' et G un groupe d'ordre 2''n''. Prouver que G contient un et un seul sous-groupe d'ordre ''n''.<br /> Indication. En raisonnant sur l'ensemble A des éléments ''g'' de G tels que <math>g = g^{-1}</math> et sur l'ensemble B des éléments ''g'' de G tels que <math>g \neq g^{-1}</math>, prouver que G a au moins un élément d'ordre 2. (C'est un cas particulier du théorème de Cauchy, qui sera démontré dans le chapitre [[../../Théorèmes de Sylow|Théorèmes de Sylow]].) Pour prouver l'existence d'un sous-groupe d'ordre ''n'' de G, utiliser le point b), en considérant, à l'aide du [[../../Action de groupe#Théorème de Cayley|théorème de Cayley]], un certain sous-groupe isomorphe à G dans le groupe S_E, où E désigne l’ensemble sous-jacent de G. Pour prouver l'unicité du sous-groupe d'ordre ''n'' de G, utiliser un [[../Classes modulo un sous-groupe|exercice sur le chapitre Classes modulo un sous-groupe]]. {{Solution | contenu = Soit A l'ensemble des éléments ''g'' de G tels que <math>g = g^{-1}</math>, soit B l'ensemble des éléments ''g'' de G tels que <math>g \neq g^{-1}</math>. L'ensemble B est une réunion d'ensembles <math>\{g, g^{-1}\}</math>, de cardinal 2 et deux à deux disjoints, donc B est de cardinal pair. Puisque A et B sont complémentaires dans G et que G est d'ordre pair, A est donc de cardinal pair et n'est donc pas réduit à l'élément neutre. Il existe donc dans G un élément ''g'' autre que 1 tel que <math>g = g^{-1}</math> et un tel élément est d'ordre 2. Nous avons donc prouvé que G a au moins un élément d'ordre 2. (On pourrait aussi le déduire du théorème de Cauchy, qui sera démontré au chapitre [[../../Théorèmes de Sylow|Théorèmes de Sylow]].)</br> Désignons par E l’ensemble sous-jacent de G. Pour tout élément ''g'' de G, désignons par L_g la permutation <math>\ x \mapsto gx</math> de E. D'après le [[../../Action de groupe#Théorème de Cayley|théorème de Cayley]], <math>\ g \mapsto L_{g}</math> définit un isomorphisme de G sur un sous-groupe H de S_E. Nous avons vu que G admet un élément ''a'' d'ordre 2; alors L_a est un élément d'ordre 2 de H. D'autre part, du fait que ''a'' n’est pas l'élément neutre de G, il résulte que L_a ne fixe aucun point. En considérant la décomposition de L_a en cycles à supports disjoints, on trouve que L_a est le produit de ''n'' transpositions et est donc une permutation impaire. Ainsi, H comprend une permutation impaire. D'après le point b), H a donc un sous-groupe d'indice 2. Puisque H est isomorphe à G, G a donc un sous-groupe d'indice 2, autrement dit un sous-groupe d'ordre ''n''. D'autre part, puisque ''n'' est impair, il résulte d'un [[../Classes modulo un sous-groupe|exercice sur le chapitre Classes modulo un sous-groupe]] que G a au plus un sous-groupe d'ordre ''n'', donc il en a un et un seul. }} Remarque. On peut prouver de façon semblable un énoncé plus fort que celui du présent point d), à savoir que si G est un groupe fini d'ordre <math>2^{m}k</math>, où ''m'' est un nombre naturel et ''k'' un nombre naturel impair, si G a un sous-groupe '''cyclique''' d'ordre <math>2^{m}</math>, alors G a un unique sous-groupe d'indice <math>2^{m}</math>. (Voir par exemple Bourbaki, ''Algèbre, chapitres 1 à 3'' (réimpr. Springer), chap. I, § 6, exerc. 29, p. I.139.) Nous ne le ferons pas ici, car nous démontrerons (indépendamment du théorème de Cayley) un théorème considérablement plus fort dans le chapitre [[../../Transfert, théorème du complément normal de Burnside|Transfert, théorème du complément normal de Burnside]]. == Problème. Sous-groupes normaux de S_n == Prouver que si ''n'' est un nombre naturel distinct de 4, les sous-groupes normaux de S_n sont 1, A_n et S_n. Prouver que les sous-groupes normaux de S₄ sont 1, V, A₄ et S₄, où V désigne le sous-groupe :V = {1, (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)} de S₄. (Indication : on peut utiliser les résultats du chapitre théorique sur les sous-groupes normaux de A_n et le fait suivant, démontré dans un problème ci-dessus : si G est un groupe, N un sous-groupe normal de G et S un sous-groupe simple de G, alors S est contenu dans N ou isomorphe à un sous-groupe de G/N.) {{Solution | contenu = Vu l'effet d'une conjugaison sur la décomposition d'une permutation en cycles, V est un sous-groupe normal de S₄. Comme (pour tout nombre naturel ''n'') 1, A_n et S_n sont normaux dans S_n, il reste à prouver que :(thèse 1) si ''n'' est un nombre naturel distinct de 4, tout sous-groupe normal de S_n est égal à 1, à A_n ou à S_n et que :(thèse 2) tout sous-groupe normal de S₄ est égal 1, à V, à A₄ ou à S₄. Si n ≤ 2, la thèse (1) est banale. Il suffit donc de la démontrer dans le cas où ''n'' est égal à 3 ou au moins égal à 5. D'après le chapitre théorique, A_n est alors simple. On a vu dans un problème ci-dessus que si G est un groupe, N un sous-groupe normal de G et S un sous-groupe simple de G, alors S est contenu dans N ou isomorphe à un sous-groupe de G/N. En faisant G = S_n et S = A_n, nous trouvons que si N est un sous-groupe normal de S_n, alors A_n est contenu dans N ou isomorphe à un sous-groupe de S_n/N. Si tout d'abord A_n est contenu dans N (d'où A_n ≤ N ≤ S_n), alors, puisque A_n est d'indice 2 dans S_n, la formule des indices entraîne que N est égal à A_n ou à S_n, donc la thèse (1) est vraie dans ce cas. Si maintenant A_n est isomorphe à un sous-groupe de S_n/N, alors <nowiki>|</nowiki>A_n<nowiki>|</nowiki> divise <nowiki>|</nowiki>S_n/N<nowiki>|</nowiki>, donc <nowiki>|</nowiki>N<nowiki>|</nowiki> divise <nowiki>|</nowiki>S_n/A_n<nowiki>|</nowiki> = 2, donc <nowiki>|</nowiki>N<nowiki>|</nowiki> = 1 ou 2. Si <nowiki>|</nowiki>N<nowiki>|</nowiki> était égal à 2, alors, puisque N est normal dans S_n, N serait central dans S_n, ce qui est impossible, car on a vu dans les exercices de la série [[../Groupes symétriques finis|Groupes symétriques finis]] que si n ≥ 3, le centre de S_n est réduit à l'élément neutre. Donc N = 1, ce qui achève de démontrer la thèse (1). Prouvons la thèse (2). On pourrait donner une démonstration, assez lourde, dans la ligne de ce qui précède, mais voici une démonstration élémentaire et simple. Soit N un sous-groupe normal de S₄, distinct de 1, de A₄ et de S₄. Il s'agit de prouver que :(thèse 3) N est égal à V. Si N comprenait une transposition, alors, puisqu'il est normal dans S₄, il comprendrait toutes les transpositions, donc il serait égal à S₄, contradiction. Donc N ne comprend aucune transposition.<br /> Si N comprenait un 3-cycle, alors, puisqu'il est normal dans S₄, il comprendrait tous les 3-cycles, donc il contiendrait A₄. Comme A₄ est d'indice 2 dans S₄, N serait donc égal à A₄ ou à S₄ (formule des indices), contradiction. Donc N ne comprend aucun 3-cycle.<br /> Si N comprenait un 4-cycle, alors, puisqu'il est normal dans S₄, il comprendrait tous les 4-cycles et comprendrait donc (1 2 3) = (1 3 2 4) (1 3 4 2), ce qui contredit le résultat précédent. Donc N ne comprend aucun 4-cycle.<br /> D'après ce qui précède, N est contenu dans V. Puisque N n'est pas réduit au neutre, il comprend un élément de structure cyclique 2-2; puisqu'il est normal dans S₄, il comprend donc tous les éléments de structure cyclique 2-2 et contient donc V, donc est égal à V, ce qui prouve la thèse (3). }} Remarque. [[w:Représentations du groupe symétrique#Représentation θ|Le groupe quotient S₄/V est isomorphe à S₃]]. == Problème. Exemple de groupe simple infini == a) Soient ''X'' un ensemble fini, ''Y'' une partie de ''X'' et <math>\sigma </math> une permutation de ''X'' dont le support est contenu dans ''Y''. Il est clair que <math>\sigma </math> induit une permutation <math>\sigma|Y : x \mapsto \sigma(x)</math> de ''Y'' que nous appellerons la birestriction<ref>Si ''f'' est une application d'un ensemble A dans un ensemble B, si A' est une partie de A et B' une partie de B telles que f(A') soit contenu dans B', l’application <math>x \mapsto f(x)</math> de A' dans B' est appelée la birestriction de ''f'' à (A', B'). Voir par exemple Aleksandr Yakovlevich Khelemskiĭ, ''Lectures and Exercises on Functional Analysis'', American Mathematical Soc., 2006, p. 3. On s'écarte ici légèrement de cette terminologie, puisqu'on ne parle pas de la birestriction à (Y, Y) mais à Y. De même, notre notation <math>\sigma|Y</math> n’est pas conforme à celle de Khelemskiĭ, qui écrit, à droite de la barre verticale, l’ensemble de départ de la birestriction en bas et son ensemble d'arrivée en haut.</ref> de <math>\sigma </math> à ''Y''. Montrer que <math>\sigma </math> est une permutation paire de ''X'' si et seulement si <math>\sigma|Y</math> est une permutation paire de ''Y''. {{Solution | contenu = Choisissons une décomposition de <math>\sigma|Y</math> comme produit <math>\tau_{1} \ldots \tau_{n}</math> de transpositions de ''Y''. Nous savons que <math>\sigma|Y</math> est paire si et seulement si ''n'' est pair. Pour chaque ''i'' (<math>1 \leq i \leq n</math>), désignons par <math>\tilde{\tau_{i}}</math> la permutation de ''X'' qui coïncide avec <math>\tau_{i}</math> en tout point de ''Y'' et laisse fixes tous les points de ''X'' - ''Y''. Il est clair que <math>\tilde{\tau_{i}}</math> est une transposition de ''X'' et que <math>\sigma </math> est égale au produit <math>\tilde{\tau_{1}} \ldots \tilde{\tau_{n}}</math>. Donc <math>\sigma </math> est paire si et seulement si ''n'' est pair. Ainsi, <math>\sigma|Y</math> et <math>\sigma</math> sont paires à la même condition. }} b) Soient ''X'' un ensemble fini, ''Y'' une partie de ''X'' et <math>\sigma </math> une permutation de ''X'' dont le support est contenu dans ''Y''. Comme noté à la question précédente, <math>\sigma </math> induit une permutation <math>\sigma|Y : x \mapsto \sigma(x)</math> de ''Y'' que nous appelons la birestriction de <math>\sigma </math> à ''Y''. Montrer que <math>\sigma </math> est un produit de cycles de longueur 3 de ''X'' si et seulement si <math>\sigma|Y</math> est un produit de cycles de longueur 3 de ''Y''. {{Solution | contenu = Conséquence immédiate du problème précédent, puisque si ''E'' désigne un ensemble fini, les permutations paires de ''E'' sont exactement les produits de cycles de longueur 3 de ''E''. }} Soit ''E'' l’ensemble (infini) des nombres naturels > 0. Comme pour un ensemble fini, on appelle transposition de ''E'' toute permutation <math>\tau</math> de ''E'' pour laquelle il existe deux éléments distincts ''a'', ''b'' de ''E'' tels que <math>\tau(a) = b</math>, <math>\tau(b) = a</math> et <math>\tau(x) = x</math> pour tout ''x'' distinct de ''a'' et de ''b''. On désigne par <math>A_{\infty}</math> l’ensemble des permutations de ''E'' qui peuvent s'écrire comme produit d'un nombre pair de transpositions de ''E'' (non forcément deux à deux distinctes). C'est clairement un sous-groupe infini de ''S_E''. On va prouver que ce groupe infini est simple. c) Pour chaque nombre naturel ''n'' > 0, désignons par ''B_n'' le sous-groupe de <math>A_{\infty}</math> formé par les permutations <math>\in A_{\infty}</math> dont le support est contenu dans <math>\{1, \ldots n\}</math>. Prouver que, pour tout élément <math>\sigma</math> de ''B_n'', la birestriction de <math>\sigma</math> à <math>\{1, \ldots n\}</math> est une permutation paire de <math>\{1, \ldots n\}</math> et que ''B_n'' est isomorphe à ''A_n''. {{Solution | contenu = Puisque <math>\sigma</math> appartient à <math>A_{\infty}</math>, il existe des transpositions <math>\tau_{1}, \ldots \tau_{2k}</math> de ''E'' telles que <math>\sigma = \tau_{1} \ldots \tau_{2k}</math>. Soit ''X'' la réunion de <math>\{1, \ldots n\}</math> et des supports des <math>\tau_{i}</math>. Puisque le support de <math>\sigma</math> est contenu dans ''X'' (par exemple parce qu’il est contenu dans <math>\{1, \ldots n\}</math>), nous pouvons considérer la birestriction <math>\sigma |X</math> de <math>\sigma</math> à ''X''. Pour chaque ''i'' (<math>1 \leq i \leq 2k</math>), désignons par <math>\bar{\tau_{i}}</math> la birestriction de <math>\tau_{i}</math> à ''X'' (ce qui est possible puisque le support de <math>\tau_{i}</math> est contenu dans ''X''). Il est clair que <math>\sigma |X</math> est le produit des <math>\bar{\tau_{i}}</math> (<math>i \leq 2k</math>), donc c’est une permutation paire de ''X''. Son support est contenu dans <math>\{1, \ldots n\}</math> (puisque le support de <math>\sigma</math> l'est lui-même) donc, d’après la question a), la birestriction de <math>\sigma |X</math> à <math>\{1, \ldots n\}</math> est une permutation paire de <math>\{1, \ldots n\}</math>, autrement dit la birestriction de <math>\sigma</math> à <math>\{1, \ldots n\}</math> est une permutation paire de <math>\{1, \ldots n\}</math>, comme annoncé. Nous pouvons donc définir une application de ''B_n'' dans ''A_n'' qui à tout élément <math>\sigma</math> de ''B_n'' fait correspondre sa birestriction à <math>\{1, \ldots n\}</math>. D'autre part, si <math>\varphi</math> est un élément de ''A_n'', on montre facilement que la permutation de ''E'' qui coïncide avec <math>\varphi</math> en tout élément de <math>\{1, \ldots n\}</math> et laisse fixes tous les autres éléments de ''E'' appartient à ''B_n'', ce qui permet de définir une application de ''A_n'' dans ''B_n'', réciproque de l’application que nous avons définie de ''B_n'' dans ''A_n''. Ainsi, il existe une bijection de ''B_n'' sur ''A_n'' qui applique tout élément <math>\sigma</math> de ''B_n'' sur sa birestriction à <math>\{1, \ldots n\}</math>. On vérifie facilement que cette bijection est un isomorphisme, donc ''B_n'' est isomorphe à ''A_n'' comme annoncé.<br /> }} d) Soit <math>H \not= 1</math> un sous-groupe distingué de <math>A_{\infty}</math>. En raisonnant sur le sous-groupe <math>H \cap B_{n}</math> de ''B_n'', montrer que <math>H = A_{\infty}</math>, ce qui prouve que <math>A_{\infty}</math> est simple. {{Solution | contenu = Choisissons dans ''H'' un élément <math>\sigma \not= 1</math>. Il est clair que <math>A_{\infty}</math> est la réunion des ''B_n'', donc il existe un ''n''₀ tel que <math>\sigma \in B_{n_{0}}</math>. Soit ''n''₁ le plus grand des deux nombres ''n''₀ et 5. Il est clair que la suite des ''B_n'' est croissante, donc <math>\sigma</math> appartient à ''B_n'' pour tout nombre naturel <math>n \geq n_{1}</math>. Soit ''n'' un tel nombre naturel. Puisque ''H'' est distingué dans <math>A_{\infty}</math>, <math>H \cap B_{n}</math> est distingué dans ''B_n''. Puisque <math>n \geq 5</math>, ''A_n'' est simple. Puisque, d’après la question c), ''B_n'' est isomorphe à ''A_n'', ''B_n'' est simple. Ainsi, <math>H \cap B_{n}</math> est un sous-groupe distingué du groupe simple ''B_n'' et comprend l'élément <math>\sigma \not= 1</math>. On a donc <math>H \cap B_{n} = B_{n}</math>, autrement dit, ''H'' contient ''B_n''. Puisque ceci est vrai pour tout <math>n \geq n_{1}</math> et que la suite des ''B_n'' est croissante, ''H'' contient ''B_n'' pour tout <math>n \geq 1</math>. Puisque <math>A_{\infty}</math> est la réunion des ''B_n'', ''H'' est donc égal à <math>A_{\infty}</math> tout entier, ce qui prouve bien que <math>A_{\infty}</math> est simple. (Cette démonstration s'étend de façon immédiate à l'énoncé suivant : si un groupe est réunion d'une suite croissante de sous-groupes simples, ce groupe est simple.) Remarque : le point a) n’est pas vraiment nécessaire pour prouver que <math>A_{\infty}</math> est simple. Il suffit de définir ''B_n'' comme l’ensemble des éléments de <math>A_{\infty}</math> dont le support est contenu dans <math>\{1, \ldots n\}</math> et dont la restriction à <math>\{1, \ldots n\}</math> est une permutation paire de <math>\{1, \ldots n\}</math>. Cela permet d'abréger la démonstration, mais a l'inconvénient de donner une définition redondante de ''B_n'', puisque, d’après le point a), on peut éliminer de cette définition la condition que la restriction à <math>\{1, \ldots n\}</math> soit une permutation paire. }} == Problème. Groupes d'ordre 12 ayant plusieurs sous-groupes d'ordre 3. == Soit G un groupe d'ordre 12 ayant plusieurs sous-groupes d'ordre 3. Prouver que G est isomorphe à A₄. (Indication : faire opérer G par conjugaison sur l'ensemble des 3-Sylow de G et raisonner sur le noyau de l'homomorphisme correspondant à cette opération.) {{Solution | contenu = D'après les théorèmes de Sylow, l'ensemble E des 3-Sylow de G est de cardinal 4 et G opère transitivement sur E par conjugaison, ce qui nous fournit un homomorphisme <math>\varphi:G\to S_E</math>. Montrons que cet homomorphisme est injectif. Soit <math>x\in\ker\varphi</math>. Pour tout <math>P\in E</math>, on a <math>x^{-1}Px=P</math> donc <math>x</math> appartient au normalisateur de P. Ce normalisateur est d'indice <math>\vert E \vert </math> = 4 dans G, donc est d'ordre 3. Comme il contient P, il est donc égal à P. Ainsi, x appartient au sous-groupe <math>K:=\cap_{P\in E}P</math>. L'intersection de deux sous-groupes d'ordre 3 distincts est réduite à l'élément neutre, donc K est réduit à l'élément neutre, ce qui prouve que <math>\varphi</math> est injectif. Donc G est isomorphe au sous-groupe im(<math>\varphi</math>) de S_E. Puisque E a 4 éléments, S_E est isomorphe à S₄, donc G est isomorphe à un sous-groupe de S₄, sous-groupe d'ordre <math>\vert G \vert </math> = 12. On a noté dans le chapitre [[../../Groupes alternés|Groupes alternés]] que pour n ≥ 2, le seul sous-groupe d'indice 2 de S_n est A_n, donc G est isomorphe à A₄. Remarque : de façon générale, si H est un sous-groupe d'un groupe G, l'intersection des conjugués de H dans G est appelée le {{w|Cœur d'un sous-groupe|cœur}} de H dans G. Donc, dans le cas qui nous a occupés, K était le cœur dans G de chacun des quatre 3-Sylow. }} Remarques. 1° L'énoncé du présent problème nous servira à classifier les groupes d'ordre 12 dans [[../Groupes dicycliques#Problème 4 (Classification des groupes d'ordre 12)|un exercice sur le chapitre des groupes dicycliques]]. 2° Il nous servira aussi à prouver que tous les [[../../Intermède : groupes simples d'ordre 168#Section 3. Groupes simples d'ordre 168|groupes simples d'ordre 168]] sont isomorphes. == Problème. Sur certains groupes d'ordre 24== a) Soit G un groupe d'ordre 24 ayant plus d'un 3-sous-groupe de Sylow. Prouver que G est isomorphe à S₄ ou G/Z(G) isomorphe à A₄. (Indication : G opère par conjugaison sur l’ensemble E de ses 3-sous-groupes de Sylow. Raisonner sur le noyau de l'homomorphisme de G dans S_E correspondant à cette opération et appliquer un problème sur les sous-groupes de Sylow.) {{clr}} {{Solution | contenu = D'après un théorème de Sylow, le nombre des sous-groupes d'ordre 3 de G est congru à 1 modulo 3 et divise 8. Par hypothèse, ce nombre est > 1, donc il est égal à 4. L'ensemble E des 3-sous-groupes de Sylow de G est donc un ensemble à 4 éléments. D'après un théorème de Sylow, E est une classe de conjugaison de sous-groupes de G, donc G opère sur E par conjugaison. Soit ''f'' l'homomorphisme de G dans S_E correspondant à cette opération, soit K le noyau de ''f''. Alors <math>K = \bigcap_{i=1}^{4}N_{G}(P_{i})</math>, où les P_i sont les quatre sous-groupes d'ordre 3 de G. D'après un exercice sur le chapitre des sous-groupes de Sylow (où on fait p = 3), l’ordre de K divise donc 2 <math>\vert \bigcap_{i=1}^{4}P_{i} \vert </math>. L'intersection de deux différents sous-groupes d'ordre 3 est réduite à l'élément neutre, donc <math>\vert \bigcap_{i=1}^{4}P_{i} \vert </math> = 1, donc l’ordre de K est égal à 1 ou à 2.<br /> Puisque K est le noyau d'un homomorphisme partant de G, c’est un sous-groupe normal de G. Un sous-groupe normal d'ordre égal à 1 ou à 2 est central, donc K est contenu dans le centre de G. D'autre part, comme noté audit exercice sur les sous-groupes de Sylow, le centre de G est contenu dans <math>\bigcap_{i=1}^{4}N_{G}(P_{i})</math>, c'est-à-dire dans K. Donc K = Z(G) et Z(G) est d'ordre 1 ou 2.<br /> D'après le premier théorème d'isomorphisme, G/K est isomorphe à un sous-groupe de S_E, donc à un sous-groupe de S₄. On a vu que K = Z(G), donc G/Z(G) est isomorphe à un sous-groupe de S₄. Si Z(G) est d'ordre 1, G est donc isomorphe à un sous-groupe d'orde 24 de S₄, qui ne peut être que S₄ lui-même. Si Z(G) est d'ordre 2, G/Z(G) est isomorphe à un sous-groupe d'ordre 12 de S₄; on a noté au chapitre [[../../Groupes alternés|Groupes alternés]] que (pour n ≥ 2) A_n est le seul sous-groupe d'indice 2 de S_n, donc G/Z(G) est isomorphe à A₄. }} b) Soit G un groupe d'ordre 24. On suppose que G a un sous-groupe normal d'ordre 4 qui est son propre centralisateur dans G. Prouver que G est isomorphe à S₄. (Indication : prouver que G a plus d'un sous-groupe d'ordre 3 et que son centre est réduit à l'élément neutre.) {{clr}} {{Solution | contenu = Choisissons un sous-groupe normal H d'ordre 4 de G qui soit son propre centralisateur dans G.<br /> Supposons que, par absurde, G n'ait qu'un sous-groupe d'ordre 3, soit P. Alors P est normal dans G. Comme les ordres de H et de P sont premiers ente eux, H ⋂ P = 1. On a vu dans les exercices de la série [[../Sous-groupe distingué, groupe quotient|Sous-groupe distingué, groupe quotient]] que si deux sous-groupes normaux d'un groupe ont une intersection réduite à l'élément neutre, ils se centralisent mutuellement. Donc P centralise H, ce qui est absurde puisque P n’est pas contenu dans H et que H est supposé être son propre centralisateur. La contradiction obtenue prouve que :(3) G a plus d'un sous-groupe d'ordre 3.<br /> Prouvons maintenant que Z(G) = 1. Choisissons un élément d'ordre 3 de G, soit ''a''. Puisque ''a'' est d'ordre 3, il n'appartient pas à H. Puisque H est son propre centralisateur, ''a'' ne centralise donc pas H. Puisque H est normal dans G, chaque automorphisme intérieur de G admet une birestriction à H et l’application de G dans Aut(H) qui à ''g'' fait correspondre l'automorphisme x ↦ gxg^-1 de H est un homomorphisme de G dans Aut(H). Puisque ''a'' est d'ordre 3, l’ordre de son image par cet homomorphisme divise 3, autrement dit l’ordre de l'automorphisme x ↦ axa^-1 de H divise 3. On a vu que ''a'' ne centralise pas H, donc l'automorphisme x ↦ axa^-1 de H n’est pas l'identité, donc cet automorphisme de H est d'ordre 3. Il en résulte que la permutation de H - {1} induite par cet automorphisme est elle aussi d'ordre 3 et est donc un 3-cycle, donc l'automorphisme x ↦ axa^-1 de H n'a pas de point fixe dans H - {1}. Puisqu'un élément de Z(G) est un point fixe de cet automorphisme, aucun élément de Z(G) n'appartient à H - {1}. Mais, puisque H est son propre centralisateur dans G, Z(G) est contenu dans H, donc :(4) Z(G) = 1. Compte tenu de (3) et (4), l'énoncé résulte du point a). }} c) Soit G un groupe d'ordre 24 admettant plus d'un 2-sous-groupe de Sylow et plus d'un 3-sous-groupe de Sylow. Prouver que G est isomorphe à S₄. (Indication. Il résulte du point a) que dans le cas contraire, G/Z(G) serait isomorphe à A₄. Un [[Théorie des groupes/Exercices/Théorèmes de Sylow|exercice sur les théorèmes de Sylow]] permet d'exprimer les 2-sous-groupes de Sylow de G/Z(G) en fonction des 2-sous-groupes de Sylow de G. En déduire que A₄ aurait plus d'un 2-sous-groupe de Sylow et conclure.) {{clr}} {{Solution | contenu = Supposons que, par absurde, G ne soit pas isomorphe à S₄. Alors, d'après le point a), G/Z(G) est isomorphe à A₄, ce qui entraîne que Z(G) est d'ordre 2. Par hypothèse, nous pouvons choisir deux différents 2-sous-groupes de Sylow de G, soient P et Q. D'après un [[Théorie des groupes/Exercices/Théorèmes de Sylow|exercice sur les théorèmes de Sylow]], PZ(G)/Z(G) et QZ(G)/Z(G) sont des 2-sous-groupes de Sylow de G/Z(G). S'ils n'étaient pas distincts, on aurait, en passant aux réunions, : (1) PZ(G) = QZ(G). Mais, d'autre part, comme Z(G) est un sous-groupe normal d'ordre 2 de G, il est contenu dans tous les 2-sous-groupes de Sylow de G, donc PZ(G)= P et QZ(G) = Q, donc notre résultat (1) peut s'écrire P = Q, ce qui contredit le choix de P et Q. Donc PZ(G)/Z(G) et QZ(G)/Z(G) sont deux différents 2-sous-groupes de Sylow de G/Z(G). On a vu que G/Z(G) est isomorphe à A₄, donc, d'après ce qui précède, A₄ compte plus d'un 2-sous-groupe de Sylow. Ceci est faux, car on a vu dans le chapitre théorique que A₄ a un sous-groupe normal d'ordre 4, qui est donc son unique 2-sous-groupe de Sylow. La contradiction obtenue prouve l'énoncé. }} Remarques. 1° Le point b) nous servira à prouver que le groupe des automorphismes du groupe des quaternions est isomorphe à S₄.</br> 2° Le point c) nous servira dans le [[../../Intermède : groupes simples d'ordre 168|chapitre sur les groupes simples d'ordre 168]].</br> 3° En cherchant quelle pourrait être la structure cyclique d'un élément d'ordre 6 de S₄, on voit facilement que S₄ n'a pas d'élément d'ordre 6. Dans [[../Produit semi-direct|un exercice sur le chapitre Produit semi-direct]], on verra que tout groupe d'ordre 24 sans élément d'ordre 6 est isomorphe à S₄. == Un sous-groupe normal maximal qui n'est pas un sous-groupe maximal == Au chapitre [[../../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]], on a défini un sous-groupe normal maximal d'un groupe G comme un élément maximal de l'ensemble des sous-groupes normaux propres de G, cet ensemble étant ordonné par inclusion. Prouver par un exemple qu'un sous-groupe normal maximal d'un groupe n'est pas forcément un sous-groupe maximal de ce groupe. {{clr}} {{Solution | contenu = D'après le chapitre théorique, le groupe A₅ est un groupe simple, donc le sous-groupe trivial 1 de A₅ est un sous-groupe normal maximal de A₅. En revanche, 1 n'est pas un sous-groupe maximal de A₅, puisque, par exemple, on peut choisir un 3-cycle dans A₅ et que le sous-groupe H de A₅ engendré par ce 3-cycle est d'ordre 3, d'où 1 < H < A₅. }} == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Groupes symétriques finis/]] | suivant = [[../Groupes linéaires/]] }} kt1uj5t9x14q253iwjqyj39d9jm4qqs 2 50909 987015 979170 2026-10-04T10:56:49Z Crochet.david.bot 1005 Robot : conversion/correction du HTML 987015 wikitext text/x-wiki ::'''Utilisateur:Geoleplubo/Bac à sable''' {| cellspacing=0 cellpadding=0 border=0 | |- |[[File:UnifrakturMaguntia G.svg|left|100px]] | align=left| <span style="font-weight:bold;font-size:160%">e</span> <span style="font-weight:bold;font-size:190%">o</span> <span style="font-weight:bold;font-size:240%">&nbsp;</span> <span style="font-weight:bold;font-size:200%">&nbsp;</span> <span style="font-weight:bold;font-size:200%">...</span> <span style="font-weight:bold;font-size:160%">...</span> <span style="font-weight:bold;font-size:140%">&nbsp;&nbsp;</span><br /> <span style="font-weight:bold;font-size:170%">L</span> <span style="font-weight:bold;font-size:140%">e</span> <span style="font-weight:bold;font-size:150%">p</span> <span style="font-weight:bold;font-size:220%">l</span> <span style="font-weight:bold;font-size:140%">u</span> <span style="font-weight:bold;font-size:150%">b</span> <span style="font-weight:bold;font-size:170%">o</span> <span style="font-weight:bold;font-size:220%">&nbsp; </span> |} * [[Wikiversité:Pages à fusionner]] * [[Wikiversité:Requêtes import]] * [[Wikiversité:Conventions de gestion]] <nowiki> {{#invoke:Aléa|choix|[[File:Flag of Picardie.svg|250px]]|[[File:Unnecessarily complicated gears a.gif|250px]]|[[Image:P_culture.svg|300px]]}} </nowiki> {{#invoke:Aléa|choix|[[File:Flag of Picardie.svg|250px]]|[[File:Unnecessarily complicated gears a.gif|250px]]|[[Image:P_culture.svg|300px]]}} == voir problème == * https://fr.wikiversity.org/wiki/Astronomie-Systeme_Solaire-Histoire * [[Astronomie-Systeme Solaire-Histoire]] * [[Internationale blanche]] == liens à voir == * '''wikifunctions.org''' = https://www.wikifunctions.org/wiki/Wikifunctions:Main_Page?uselang=fr Wikifunctions is a Wikimedia project for everyone to collaboratively create and maintain a library of code functions to support the Wikimedia projects * '''Wikipédia:Regards sur l'actualité de la Wikimedia''' = https://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Regards_sur_l%27actualit%C3%A9_de_la_Wikimedia == créations == * Utilisateur:Geoleplubo/Créations * https://tools.wmflabs.org/sigma/created.py?name=Geoleplubo&server=frwikiversity&max=500&startdate=&ns=%2C+%2C&redirects=none * https://xtools.wmflabs.org/ec/fr.wikiversity.org/Geoleplubo == wikiscan == * http://frwikiversity.wikiscan.org/ [[Fichier:Bouncywikilogo.gif|right]] == ébauches == * [[Wikiversité:Prise de décision/Validation des nouvelles pages]] (janvier 2015) * [[Discussion utilisateur:Hérisson grognon#Ébauche à l'abandon ?]] '''Ébauches à l'abandon''' :Une ébauche à l'abandon est une leçon ou un travail de recherche qui semble avoir été abandonnée par son créateur avant de devenir viable. Cette page est conforme aux pages [[Wikiversité:Ce qu'est Wikiversité]] et [[Wikiversité:Ce que Wikiversité n'est pas]]. Dans ce cas, un '''délai d'une année''' devra être observé après la dernière contribution du créateur de la leçon ou du travail de recherche avant la suppression de l'ébauche. Cette suppression pourra être faite sur simple demande d'un patrouilleur (ou simple utilisateur) dans la page [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs]]. (janvier 2015) * <nowiki> {{delete|raison}} </nowiki> == pcd == * https://pcd.wikipedia.org/wiki/Spécial:Journal/protect == musique == * '''Utilisateur:Geoleplubo/Bac à sable/musique''' * '''essais sur <nowiki><score></nowiki>''' ; ce qui ne marche plus depuis 2020 c'est <nowiki><score vorbis="1"=...> , <score raw> </nowiki> {| | <nowiki><score vorbis="1" lang="lilypond"> {</nowiki> \override Score.TimeSignature #'stencil = ##f \relative c' { \clef treble \time 6/4 c4 es f fis g bes c2 } } <nowiki></score></nowiki> | <score vorbis="1" lang="lilypond"> { \override Score.TimeSignature #'stencil = ##f \relative c' { \clef treble \time 6/4 c4 es f fis g bes c2 } } </score> |} *bac 2020 ** BO = https://www.education.gouv.fr/bo/19/Hebdo18/MENE1910614N.htm?cid_bo=141232 ** https://www.ac-paris.fr/portail/jcms/p1_1887665/baccalaureat-session-2020-oeuvres-et-analyses ** https://www.francemusique.fr/musique-classique/les-oeuvres-du-bac-musique-2020-82532 * https://www.francemusique.fr/jazz * Acousmographe (Gratuit) est un logiciel de représentation du signal sonore ( https://inagrm.com/fr/showcase/news/203 ) == divers == * ''' https://en.wikiversity.org/wiki/WikiJournal_of_Science ''' * <syntaxhighlight>(ʘ̢̡̑ʘ̑)</syntaxhighlight> == (ʘ̢̡̑ʘ̑) - ''(ʘ̢̡̑ʘ̑)'' * <nowiki> modèle {{1/4}} , {{4/4}} [[leçon]] </nowiki> ** {{1/4}} [[leçon]] ** {{4/4}} [[leçon]] {{BUtilisateur |couleur=#B0FFFF |img=Snowflake11_.png |img-couleur=transparent |titre= |texte='''C'est une leçon du département Chimie physique.''' |lien= }} {{clr}} == Divers 2== <div style="position: relative; height: 1%;"> <div style="position: relative; margin: 0 -1em; padding: 0; background-color: transparent; border: 1px none #ddd; height: 1%;"> <div style="position: relative; margin: 0 auto; width: 1000px; border: 1px solid #4E562C; box-shadow:0.10em 0.1em 0.5em rgba(0,0,0,0.75); -moz-box-shadow:0.1em 0.1em 0.5em rgba(0,0,0,0.75); -webkit-box-shadow:0.1em 0.1em 0.5em rgba(0,0,0,0.75); height: 1%;"> <div style="position: relative; overflow: hidden; height: 555px;"> <div style="position: relative; overflow: hidden; z-index: 0; margin: 0;">[[File:Amiens canotage dans les hortillonnages (14).JPG|1000px]]</div> </div> <div style="position: absolute; top: 0; width: 100%; height: 100%;"> <div style="margin: 1em; font-size: 100%;"> </div> <div style="position: absolute; right: 1em; top: 1em; z-index: 10; width: 250px; border: none; padding: 0.75em 1em; background-color:none;"> <div style="padding: 1px; background: border: width: 100px; float: center; font-size: 8pt; text-align: left; font-color: #EEEEFF;"> </div> <div style="clear:both"></div> <div style="opacity: 0.7; -moz-opacity: 0.7;"> {{#babel:pcd-N|fr-N|en-2|de-1|es-1}} </div> </div> <br /> :'''Bojour tertous ! <span style="background-color: #126180; padding: 2px 3px 1px 3px;"> {{rouge| ♥ ...}} <span style="color: #0f0">'''Cha vo-ti ?'''</span></span>. :::<span style="background-color: #126180; padding: 2px 3px 1px 3px;">[[User:Geoleplubo|<span style="color: #0f0">'''Geoleplubo'''</span>]]</span>. :<small>([[Special:Contribs/Geoleplubo|Contribs]] • [[Special:CentralAuth/Geoleplubo|CentralAuth]])</small> </div> </div> </div> </div> <div style="text-align: center; margin-top: 10px;" > <div style="text-align: left; width: 1000px; margin: auto; padding: 10px; border-left: none; border-right: none;" > == Leçon • Cours • Annexe • Entête de fiche • Examen == * {{m|Leçon}} <!-- {{Autocat}} {{Leçon | idfaculté = cuisine | département = Dessert | cours = [[Cuisine en première S]]<br />[[Cuisine en terminale STI]] | niveau = 12 | titre1 = Première approche | sous-titre1 = farine | 1 = {{C|Jeu du bac|titre=Le jeu du bac|0|8}} | 2 = {{C|Baba|4|12}} | 3 = {{C|Banane |4|12}} | 4 = {{C|Fruits|4|12}} | titre5 = Manipulation | 5 = {{C|Fraises|4|12}} | exo1 = {{Exo|Tartes|4|12}} | exo2 = {{Exo|Fraises|4|12}} | quiz1 = {{Qu|QCM Musique et chansons|2|2}} | annexe1 = {{Ann|Banane|0|12}} | annexe2 = {{Ann|Restauration|1|12}} | fiche1 = {{F|Tartes|0|12}} | fiche2 = {{F|Fruits|0|12}} | autres projets = oui | w = Dessert }} ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo {{Leçon | idfaculté = | département = | cours = | niveau = | titre = | PlusLoin = (Une leçon peut être un pré-requis pour une ou plusieurs autres. On peut les indiquer par ce moyen : | PlusLoin = oui) | 1 = | fiche1 = {{F|Tartes|0|12}} | annexe1 = {{Ann|Banane|0|12}} | quiz1 = {{Qu|QCM Musique et chansons|2|2}} | exo1 = {{Exo|Tartes|4|12}} | tp1 = | autres projets = | commons = | wikispecies = | w = | wikt = | b = | s = | q = | n = | d = | voy = | nocat = ( pour annuler la catégorisation automatique nocat = 1 ) | moteur = }} ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo {{Leçon | idfaculté = langues | département = chinois | titre = Pronoms en chinois | cours = [[../|Grammaire chinoise]] | leçonracine = [[../|Grammaire chinoise]] | précédent = [[../Dictionnaire de caractères|Alphabet]] | suivant = [[../Verbes 动词/]] | numéro = 2 | niveau = 10 | 1 = {{C|Pronoms personnels 人称代词|0|10}} | 2 = {{C|Pronoms interrogatifs 疑问代词|0|10}} | autres projets = oui | wikt = Catégorie:Pronoms en chinois }} ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo {{Cours | idfaculté = jeux | département = <br />[[Département:jeux de stratégie|Jeux de stratégie]] | niveau = 0 | feuilles-exercices = oui | option = Parties commentées | compléments = oui }} ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo {{Annexe | idfaculté = socio-anthropologie | numéro = 1 }} oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo {{Entête de fiche | idfaculté = physique | nom = l'électrostatique }} Modèle:Examen {{Examen}} {{Examen | titre = | idfaculté = | cours = | niveau = | lieu = | épreuve = | date = | durée = }} --> == Autres == {{Démonstration déroulante |contenu= blabla }} {{quoi}} * [[Partitions avec Lilypond pour wiki]] {{quoi}} * [[Résolution numérique d'équations différentielles]] * [[Introduction à la simulation numérique]] {{quoi}} * [[Modèle:Méta-bandeau]] * [[Aide:Liste des modèles de cadres]] * [[Modèle:Auteurs crédités après copie]] * [[Modèle:Auteurs crédités après copie d'un autre wiki]] {{quoi}} * '''Pinyin''' ;Table des tons utilisés en pinyin [[Fichier:4 Toene des Hochchinesischen.svg|thumb|upright=2|Les tons.]] * 1er ton '''<span style="font-size:45px;;">¯</span>''' - 2e ton '''<span style="font-size:45px;;">ˊ</span>''' - 3e ton '''<span style="font-size:45px;;">ˇ</span>''' - 4e ton '''<span style="font-size:45px;;">ˋ</span>''' {| class="wikitable" style="font-size:120%;line-height:1.2;text-align:center" |- | &nbsp; !scope="col"| '''a''' !scope="col"| '''e''' !scope="col"| '''i''' !scope="col"| '''o''' !scope="col"| '''u''' !scope="col"| '''ü''' |- !scope="row"| 1er ton '''¯''' | [[ā]] || [[ē]] || [[ī]] || [[ō]] || [[ū]] || [[ǖ]] |- !scope="row"| 2e ton '''ˊ''' | [[á]] || [[é]] || [[í]] || [[ó]] || [[ú]] || [[ǘ]] |- !scope="row"| 3e ton '''ˇ''' | [[ǎ]] || [[ě]] || [[ǐ]] || [[ǒ]] || [[ǔ]] || [[ǚ]] |- !scope="row"| 4e ton '''ˋ''' | [[à]] || [[è]] || [[ì]] || [[ò]] || [[ù]] || [[ǜ]] |} {| style="width:100%;" |- | style="width:10%;vertical-align:top;" | Ton * 1er ton '''¯''' = * 2e ton '''ˊ''' = * 3e ton '''ˇ''' = * 4e ton '''ˋ''' = | style="width:10%;vertical-align:top;" | Colonne a :ā : á :ǎ :à | style="width:10%;vertical-align:top;" | Colonne e :ē :é :ě :è | style="width:10%;vertical-align:top;" | Colonne i :ī :í :ǐ :ì | style="width:10%;vertical-align:top;" | Colonne o :ō :ó :ǒ :ò | style="width:10%;vertical-align:top;" | Colonne u :ū :ǘ :ǔ :ù | style="width:10%;vertical-align:top;" | Colonne ü :ǖ :ǘ :ǚ :ǜ |} oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo * 1er ton '''¯''' = ā ē ī ō ū ǖ * 2e ton '''ˊ''' = á é í ó ú ǘ * 3e ton '''ˇ''' = ǎ ě ǐ ǒ ǔ ǚ * 4e ton '''ˋ''' = à è ì ò ù ǜ == tests == * '''&#x00111;''' <code>&amp;#1304;</code> <code><nowiki>&#x00111;Q ou đQ</nowiki></code> ::dégagement de chaleur '''&#x00111;Q''' tel que / dégagement de chaleur '''đQ''' tel que ::<span style="color:blue;"><span style="font-size:45px;;"> &#x00111;Q ou đQ</span></span> ;Latex * \hbar donne <math>\hbar</math> - mais <math>\dbar</math> :::<nowiki><math>\Biggl(\operatorname{d}\!S \geq </math> <big>đ Q / T </big> <math>\Biggr)_{x_j}</math></nowiki> donne <math>\Biggl(\operatorname{d}\!S \geq </math> <big>đ Q / T </big> <math>\Biggr)_{x_j}</math> {| border="1" |+ ... |- ! Instruction !! Symbole !! Remarque |- | <code>\cdots</code> || <math>\cdots</math> || points centrés |- | <code>\ldots</code> || <math>\ldots</math> || points sur la ligne |- | <code>\vdots</code> || <math>\vdots</math> |- | <code>\ddots</code> || <math>\ddots</math> |} * {{Graph:Chart|width=400|height=100|type=line|x=1,2,3,4,5,6,7,8|y=10, 12, 6, 14, 2, 10, 7, 9}} * {{Graphique polygonal | coul_fond = white | largeur = 500 | hauteur = 350 | marge_g = 40 | marge_d = 15 | marge_h = 10 | marge_b = 20 | nb_series = 3 | nb_abscisses = 10 | lb_x1 = Val. 1 | lb_x2 = Val. 2 | lb_x3 = Val. 3 | lb_x4 = Val. 4 | lb_x5 = Val. 5 | lb_x6 = Val. 6 | lb_x7 = Val. 7 | lb_x8 = Val. 8 | lb_x9 = Val. 9 | lb_x10 = Val. 10 | y_max = 3000 | y_min = 1000 | grille = oui | pas_grille_principale = 1000 | pas_grille_secondaire = 100 | S01V02 = 2200 | S01V03 = 2400 | S01V04 = 2500 | S01V05 = 2600 | S01V06 = 2500 | S02V01 = 1400 | S02V02 = 2000 | S02V03 = 1600 | S02V04 = 1800 | S02V05 = 2400 | S02V06 = 2400 | S02V07 = 2500 | S02V08 = 2000 | S02V09 = 1600 | S02V10 = 1800 | S03V01 = 1800 | S03V04 = 2000 | S03V05 = 1600 | S03V06 = 1800 | S03V07 = 2400 | S03V09 = 2400 | points = oui }} * {{Graphique polygonal | coul_fond = white | largeur = 500 | hauteur = 150 | marge_g = 40 | marge_d = 15 | marge_h = 10 | marge_b = 20 | nb_series = 1 | nb_abscisses = 8 | lb_x1 = 0 | lb_x2 = 5 | lb_x3 = 10 | lb_x4 = 15 | lb_x5 = 20 | lb_x6 = 25 | lb_x7 = 30 | lb_x8 = t (H) | y_max = 10 | y_min = 0 | grille = oui | pas_grille_principale = 10 | pas_grille_secondaire = 1 | S01V01 = 0 | S01V02 = 2.071 | S01V04 = 5 | S01V07 = 8.23 | S01V05 = 6.18 | S01V03 = 3.66 | points = oui }} {{Titre incorrect|[[File:Gnome-applications-accessories.svg|42px]] Bac à sable de Géo}} qu2w10lz4255q88gu9z04kecl32jhsa 0 57954 987016 872121 2026-10-04T10:57:07Z Crochet.david.bot 1005 Robot : conversion/correction du HTML 987016 wikitext text/x-wiki {{Entête de fiche | idfaculté = physique | nom = les transformées de Laplace usuelles }} {|width=100% border=0;" |width=40% valign="top"| <div style="text-align: center;">''''''Transformées de Laplace directes''''''</div> <div style="text-align: center;">({{Modifier|Transformées de Laplace usuelles|le tableau ci-dessous}})</div> {{:Transformées de Laplace usuelles}} |width=60% valign="top"| <div style="text-align: center;">''''''Transformées de Laplace inverses''''''</div> <div style="text-align: center;">({{Modifier|Transformées inverses de Laplace usuelles|le tableau ci-dessous}})</div> {{:Transformées inverses de Laplace usuelles}} |} 5lv5s3stdyk4ubd7gq9b4hnm8usq4xa 0 57957 987017 694040 2026-10-04T10:57:17Z Crochet.david.bot 1005 Robot : conversion/correction du HTML 987017 wikitext text/x-wiki {{Entête de fiche | idfaculté = physique | nom = les transformées de Laplace usuelles }} {|width=100% border=0}};" |width=40% valign="top"| <div style="text-align: center;">''''''Transformées de Laplace directes''''''</div> <div style="text-align: center;">({{Modifier|Transformées de Laplace usuelles|le tableau ci-dessous}})</div> {{:Transformées de Laplace usuelles}} |width=60% valign="top"| <div style="text-align: center;">''''''Transformées de Laplace inverses''''''</div> <div style="text-align: center;">({{Modifier|Transformées inverses de Laplace usuelles|le tableau ci-dessous}})</div> {{:Transformées inverses de Laplace usuelles}} |} 8faa7a1ljzwsfutd1sidjrxwru5vyqk 0 57958 987018 694041 2026-10-04T10:57:27Z Crochet.david.bot 1005 Robot : conversion/correction du HTML 987018 wikitext text/x-wiki {{Entête de fiche | idfaculté = mathématiques | nom = les transformées de Laplace usuelles }} {|width=100% border=0}};" |width=40% valign="top"| <div style="text-align: center;">''''''Transformées de Laplace directes''''''</div> <div style="text-align: center;">({{Modifier|Transformées de Laplace usuelles|le tableau ci-dessous}})</div> {{:Transformées de Laplace usuelles}} |width=60% valign="top"| <div style="text-align: center;">''''''Transformées de Laplace inverses''''''</div> <div style="text-align: center;">({{Modifier|Transformées inverses de Laplace usuelles|le tableau ci-dessous}})</div> {{:Transformées inverses de Laplace usuelles}} |} f425ykyyhsg4l6alia4tbsmgehuq80r 105 58118 987019 971136 2026-10-04T10:57:37Z Crochet.david.bot 1005 Robot : conversion/correction du HTML 987019 wikitext text/x-wiki '''Bonjour et bienvenu(e)''' Cette page est dédiée aux discussions portant sur le sujet du travail de recherche intitulé [[{{ARTICLEPAGENAME}}]]. __TOC__ == Suivit des travaux dans le cadre du certificat en éthique de la chaire Hoover. == == Opa! == Salut Lionel, je découvre votre sujet avec intérêt. Lequel intérêt est motivé par le 15ème anniversaire du "mouvement". Un mouvement qui a grandi très vite et avec l'age c’est perverti. Probablement les derniers projets qui ont rejoint la galaxie Wiki méritent votre, notre attention au sein de cette publication. Je suis favorable à ce que cette étude rejoigne la faculté de pédagogie (c'est-à-dire un espace plus visible). Wikimedia souhaite entrer dans l'univers scolaire, nous devons fournir aux francophones les moyens critique d’agir dans les espaces wiki avant tout. Abraço --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 20 janvier 2016 à 12:13 (UTC) :Ce travail est vraiment à l'état d'ébauche. Il sera rendu en mai et donc terminé à cette époque. Mais oui bien sûr tu peux en faire ce que tu veux. Et puis n'hésite pas à me tutoyer aussi. Je vais croire que tu est brésilien si non... Bonne fin de journée, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 20 janvier 2016 à 12:26 (UTC) :: Oui au Brésil le vouvoiement est de rigueur (você) même s'il ne correspond pas rigoureusement à notre 2ême personne du pluriel. Au début je trouvais cela excessivement pénible aujourd’hui cela m'inspire. Je n’avais jamais pris le temps de critiquer Wikimedia ; je découvre que cela devient urgent. Je suis passé par l'espace "Recherche" je n'ai pas trouvé la page dont le nom gagnerait à être raccourci (pour les moteurs informatiques y compris ceux de recherche) sachant que le libellé vous permet de développer le titre pour les humains. Je m’égare ; je n'ai pas trouvé cette page dans la zone de "Recherche" (ambigüe comme nom) car il se trouve là un demi-million de départements vide qui épuisent la vue du lecteur curieux. Nonobstant (j'en fait exprès) votre publication [[Recherche:Culture fr.wikipedia]] apparait sur la 2nde page du fabuleux moteur https://www.startpage.com/ en réponse à la requête suivante: "wikimedia contestation". Je serais d'avis de créer un document dans la faculté adéquat avec un nom simple comme "Wikimedia éthique et conscience" d'autant plus que [[wikt:étique]]. Mais à qui rendras-tu ce travail? Je vais commencer par parcourir [[Recherche:Culture fr.wikipedia]]. Até logo compadre....j'ai la réponse à ma question ; un bonjour aux Néolouvanistes. Félicitation je suis obligé de reconsidérer mon opinion sur l'espace "Recherche" par son authenticité cette publication mérite promotion. Je n'ai lu que le sommaire et l'ultime conclusion, mais l'université de Louvain-la-Neuve à positivement évalué. J’ai besoin de mieux comprendre les relations entre la foultitude de projets qui composent la communauté. Je vais essayer de suivre cette idée, d’établir une liste de projets et leurs definitions, caractéristiques et critiques. La conclusion est limpide participons!--[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 20 janvier 2016 à 13:10 (UTC) :::C'est une étude, c’est une recherche, ce n’est pas un cours. Donc je ne vois pas comment quelqu’un pourrait « apprendre ». [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 20 janvier 2016 à 18:10 (UTC) ::::Je pense [[Utilisateur:Crochet.david|David]] que l’on peut apprendre beaucoup de choses au départ d'une recherche. En anthropologie surtout. C'est d'ailleurs au départ des recherches que l’on établit les théories qui sont par la suite enseignées. L'apprentissage du métier d’anthropologue passe essentiellement par la lecture des travaux des prédécesseurs. L'expérience de terrain reste primordiale bien sûr, mais le plus célèbre des anthropologues français, Claude Levis Strass passait plus de temps à lire les recherches des autres qu'à se rendre lui-même sur le terrain. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 20 janvier 2016 à 23:05 (UTC) :::::[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni]] : Si tu es en manque de lecture suite à [[Recherche:Culture fr.wikipedia]], il y a un nouveau né : [[Recherche:Questions de démocratie et de responsabilité sociale au sein du mouvement Wikimedia]]. Mon prochain travail se fera dans le domaine de l'éthique axé sur le domaine des technologies de la communication, et suivra enfin ce présent travail qui sera censé conclure mon certificat universitaire. Sache enfin que me critique protée au sein du mouvement Wikimedia sont bienveillantes. J’ai vraiment foi en ce mouvement. Malgré toutes les imperfections que l’on peut y voir et les dérives que l’on peut y observer ce mouvement reste pour moi l'une des plus belle révolutions apportée par le net et ce à plus d'un titre. Mais comme on dit, qui aime bien châtie bien {{clin}} [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 20 janvier 2016 à 23:05 (UTC) :::::: Nous sommes bien d'accord. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 21 janvier 2016 à 19:06 (UTC) == Orthographe == Je suis un peu ennuyé de dire ça mais il y a une faute dans le titre de la page. Normalement, on écrit éthique, avec un h. Mais comme c’est dans le titre, c’est peut-être embêtant de renommer la page ? --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 20 janvier 2016 à 19:22 (UTC) :Voilà, c’est corrigé. Merci ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 20 janvier 2016 à 22:43 (UTC) ::Super ! --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 21 janvier 2016 à 10:59 (UTC) :::Salut [[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] et de nouveau merci pour tes corrections. Je te propose de ne pas laisser de commentaire directement dans le texte mais seulement sur la page utilisateur. C'est un travail destiné à être suivit en continu pas un promoteur tu comprends ? Donc, l'idéal pour moi c’est que la page du travail en question reste la plus « vierge possible » de commentaire ou d’interventions non syntaxiques en provenance d'autres contributeurs que moi. J’ai donc corrigé la redondance que tu as très justement relevé dans l’introduction. Encore merci et un belle fin de journée à toi. Au fait, je me demandais. Comme tu habites au Canada, as-tu une pratique courante de l'anglais ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 25 février 2016 à 18:05 (UTC) ::::Oups ! Vraiment désolé ! J'espère que cela ne t'a pas mis dans l'embarras... J'y penserai pour la suite. ::::Sinon, pour ta question, en fait, j'ai appris l'anglais au collège et lycée en France. Au Canada, j'ai des amis (au Québec) avec qui je parle surtout en français. Mais j'essaie de pratiquer l'anglais aussi souvent que possible, surtout à l'écrit, parfois sur la Wikiversité anglophone, parfois Wikipédia en anglais. --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 25 février 2016 à 21:26 (UTC) :::::Pas de soucis, il n'y a aucun embarras. Ah tu n'est donc pas né au Canada. Je croyais. Je rêverais de pouvoir communiquer en anglais aussi facilement qu'en français. Il y a une telle hégémonie de la langue anglaise dans ce monde que sa maîtrise devient incontournable. Et c’est d'application pour la sphère Wikimedia dès que l’on sort des projets linguistiques. Mais j'arrête ici pour ne pas encombrer cette page qui n’est pas destinée à parler de ça. Continuons la conversation autre part si nécessaire. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 25 février 2016 à 21:34 (UTC) ::::::Retrouvons-nous sur ta page de discussion... --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 26 février 2016 à 12:32 (UTC) == quelques remarques == Bonjour. Texte intéressant, mais qui m'interpelle sur plusieurs points. Je les liste ici un peu hâtivement, j'ai pas beaucoup de temps ce matin. # L'introduction est incroyablement orientée. Les deux comparaisons avec la bibliothèque d'Alexandrie et le projet de mundaneum sont pertinentes, si on insiste sur les immenses différences qu'il existe entre elles et wikipédia, mais ne les utiliser que pour soulever leurs points noirs est à l'évidence un procédé rhétorique involontaire qui met le lecteur dans un certain état d'esprit avant d'entrer dans le vif de l’argumentation. Je ne trouve pas cela très honnête de noircir le tableau de cette manière. # La description de l’univers wikimedia est bonne et, me semble-t-il assez juste. # Les comparaisons avec les états communistes sont, en revanche, vraiment tirées par les cheveux. Vous utilisez un adage socialiste, qui pourrait être repris par quantité d'autres idéologies, pour faire un rapprochement artificiel entre deux choses qui sont incroyablement éloignées. Cet adage est née d'une utopie du XIXe, pas de la réalisation des états socialistes du XXe où la base de leur fonctionnement est l'aliénation de l'individu au profit du système général. Nous sommes à des années-lumières de Wikipédia. Quant au rapprochement entre la bureaucratie soviétique et l'organisation foutraque de Wikipédia, il n'y a juste aucun rapport. Sous l'ère soviétique, il fallait une autorisation pour tout et tout le monde était contrôlé, surveillé de manière réelle. Sur wikipédia, chacun écrit ce qu'il veut sur ce qu'il veut, et ceci de manière incroyablement libre. Pourquoi ne comparez-vous pas le niveau de liberté entre Wikipédia et les états soviétiques ? La comparaison pourrait être pertinente, non ? # Le chapitre sur les outils de surveillance et d'exclusion me parait plus intéressant, mais avec encore une fois des rapprochements entre des situation trop éloignées pour être comparées sans précautions, qui ne sont pas prises. Un ostracisme en Grèce est un processus politique d'une grande gravité. Sur Wikipédia, si vous êtes banni, vous n'avez qu'à revenir sous un autre pseudo et c'est tout. Je ne nie pas les problèmes possibles de la situation actuelle, mais je ne pense pas que faire des rapprochements douteux aide à une réflexion saine. # Pas de soucis avec le fait que vous souleviez l'excès de recommandations. Mais vous devriez dire aussi qu'au quotidien, beaucoup d'éditeurs (dont moi), ne les respectent pas vraiment et ne sont ni ennuyés ni même en dehors de l’esprit du projet. # Le problème de séparation des pouvoirs est réel, et bien mis en lumière. Mais n'oubliez pas de dire qu'il n'y a pas de solutions miracles dans un monde de bénévoles. # Le problème du manque de neutralité est aussi très bien mis en avant. Et là aussi, pourquoi ne pas parler des premières opérations destinées à tenter de les corriger ? # Votre analyse de la hausse du personnel dédié à la technique ne me semble pas pertinente. Et s'il y avait tout simplement besoin objectivement d'un grand nombre de personne pour entretenir un système informatique aussi complexe ? Je ne connais pas la réponse, mais je m'interroge. # Le chapitre "Conflit entre contrat social et intérêts économiques" est un bon résumé des tensions qui ont émaillée la communauté en 2015-2016. # La première phrase du chapitre "Des contributeurs actifs comme membres de la Fondation Wikimedia" est complète ? Je ne la comprend pas. # Les propositions finales me semblent intéressantes. Il est très dommage que des procédés rhétoriques hasardeux ne biaisent le lecteur avant d'en arriver à ces dernières. De même, je pense qu'il serait utile de les développer un peu, de donner des exemples. Voila des réflexions lancées un peu à la hâte. Je ne veux surtout pas vous vexer mais je trouve votre texte intéressant et je trouve dommage d'y voir des rapprochements peu pertinents. Si je peux vous aider à l'améliorer j'en serais heureux. Très cordialement. [[Utilisateur:Cedalyon|Cedalyon]] ([[Discussion utilisateur:Cedalyon|discussion]]) 13 juin 2016 à 07:52 (UTC) :Merci pour ce retour [[Utilisateur:Cedalyon|Cedalyon]], je suis d'accord avec la plupart de tes remarques. Moi non plus je n'ai pas beaucoup de temps aujourd'hui. Je vais rendre le texte après l'avoir imprimé. Une fois que cela est fait, le bandeau <nowiki>{{TPE}}</nowiki> pourra disparaitre et nous pourrons le retravailler ensemble puisque vous me proposer votre aide. À partir de jeudi soir, j'aurai moins de chose sur le feu. On peut se tutoyer aussi, ça rajeuni parait-il {{sourire}} [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 13 juin 2016 à 11:26 (UTC). :Donc voilà [[Utilisateur:Cedalyon|Cedalyon]], je réponds ici point par point en passant en mode tutoiement (tu me diras si cela t’incommode, je peux aussi faire l'effort de tutoyer les gens) :# J'ai supprimer la partie de l’introduction que je trouvais jolie mais qui n'apporte rien si ce n'est comme tu dis une certaine entrée en matière pas très neutre même si le travail finalement ne consiste pas à faire les éloges du mouvement mais bien à chercher les dérives éthiques au sein de celui-ci. :#Merci. :#J'ai aussi supprimer la partie de comparaison avec les états communiste que je trouvais sympathique mais qui n'apportait pas grand chose non plus. Je ne considère pas pour autant Wikipedia comme un monde virtuelle avec moins d'importance par rapports à des faits similaire qui peuvent se passer hors ligne. De mon point de vue, il n'y a que l'environnement digitale spécifique à MediaWiki qui crée la différence, pour le reste c'est aussi de la « vrai vie » avec des vrais personnes et des vrais enjeux de pouvoir même si l'aspect économique est fortement diminué en raison du bénévolat de contributeurs. Aussi en ce qui me concerne dans l'univers Wikipédia et pour reprendre tes propos : « tout le monde était contrôlé, surveillé de manière réelle ». Quant à l'idée que « chacun écrit ce qu'il veut sur ce qu'il veut, et ceci de manière incroyablement libre ». C'est vrai cette liberté existe à l'édition, mais il ne faut pas pour autant occulter le contrôle fait à postéorit. Il y a bien des similitudes (je n'ai pas dit que c'était la même chose) entre les états communistes et Wikipédia au niveau de la surveillance et des sanctions. Un groupe d'utilisateurs qui n'est pas fermer comme je l'explique vérifie et sanctionne le comportement déviant des autres utilisateurs : suppression d'édition, suppression de page, blocage temporaire ou définitif. On est pas en URSS bien sûr mais pas non plus chez les bisounours {{clin}} :# Ok pour l'ostracisme, je retire pour adoucir les propos. Mais je ne partage pas l'idée que « si vous êtes banni, vous n'avez qu'à revenir sous un autre pseudo et c'est tout. » On ne revient pas avec un blocage IP et il est peut probable sauf cas de schizophrénie peut-être qu'une personne qui revienne sous un autre pseudo reprenne avec des activités, un comportement et des valeurs différentes. Et puis si une personne contribue sous son propre nom et on est de plus en plus nombreux à le faire, le retour ne sera plus possible sous on identité réelle. :# J'ai essayé mais je n'ai pas trouver comment insérer l'info. :#Le problème de séparation des pouvoirs est je pense une chose facile à résoudre qui ne demande pas de solution miracle. Je vais en faire part dans les recommandations. :#Je ne vois pas clairement les premières opérations destinées à tenter de les corriger les problèmes de neutralité. Quelle sont-elles ? La question du genre peut-être, mais je ne vois pas comment comment on peut résoudre au sein de Wikipédia un problème provenant d'un fonctionnement sociétale et de particularités propre au bénévolat formel fortement masculinisé (au sein d'institution) en opposition au bénévolat informel (interpersonnels) fortement féminisé. Il y aussi la question des contributions rétribuées ou répondant à un intérêts personnel. Mais s'il l'on veut parler de solution miracle ce serait plutôt dans ce cadre ci. :# « Et s'il y avait tout simplement besoin objectivement d'un grand nombre de personne pour entretenir un système informatique aussi complexe ? » Il faudrait avoir l'avis d'une personne ayant accès aux informations tout en étant capable de pouvoir les analiser. La question est posée, j'ai mon hypothèse et je comprends qu'elle ne soit pas partagée par tous. :# Merci :# C'est revu. :# Cela devrait aller mieux suite au suppression. Je compte aussi retravailler la partie recommandation après avoir fini [[Recherche:Pour une économie plus juste au sein du mouvement wikimedia|ce travail]] et avant de partir à Wikimania. :Pas de vexation donc et merci déjà pour ce retour qui est déjà une aide en soi. J'ai un dernier travail a rendre pour le 22 juin. Je ne manquerai pas de t'inviter à une relecture quand il sera terminé. Encore merci et une belle fin de journée à toi, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 18 juin 2016 à 22:09 (UTC) == Nouvelles corrections orthographiques nécessaires avant la soumission pour une traduction anglaise. == Bonjour [[utilisateur:Frigory|Frigory]], [[utilisateur:Thierry613|Thierry613]] et [[utilisateur:Geoleplubo|Geoleplubo]], Suite aux commentaires de [[Utilisateur:Cedalyon|Cedalyon]], j'ai fait une relecture de mon travail qui nécessiterait donc une nouvelle correction orthographique. J'aimerais ensuite le proposer à la traduction avant Wikimania dans l'espoir qu'il y trouve sur place quelques échos. Merci d'avance si vous avez un peu de temps et d'envie à consacrer à cela et puis une belle fin de journée à vous tous, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 19 juin 2016 à 14:27 (UTC) : {{notif|Lionel Scheepmans}} pas compris la phrase: « L'appartenance communautaire institue un « rapport de volonté » qui invite chacun à veiller que chaque autre cherche. » ? [[Utilisateur:Geoleplubo|Geoleplubo]] ([[Discussion utilisateur:Geoleplubo|discussion]]) 20 juin 2016 à 10:09 (UTC) ::Moi non plus {{mdr}}. Et comme elle fait partie d'une citation, je peux pas vraiment t'aider. Je l'ai compris dans le sens c'est que les wikipédiens teste continuellement les autres wikipédiens sur leur volonté, sous entendu, de bien faire les choses. Le texte est en ligne et très intéressant. Si tu le lis dans son entièreté, tu comprendras sans doute. Merci pour tes corrections et tes retours. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 20 juin 2016 à 14:15 (UTC) === corrections et pensées personnelles === J'ai fait quelques corrections et j'ai encore quelques remarques. * À la fin du chapitre "mouvement Wikimedia", il y a un lien vers une annexe. Quelle annexe ? :C'est retiré, merci. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 20 juin 2016 à 14:16 (UTC) * Dans le chapitre "Vertu et dérives du système éditorial", la description de la raison de l'établissement des recommandations est bien faite. Même si l'emploi du futur est bizarre. Le fait est passé. :C'est corrigé, merci. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 20 juin 2016 à 14:16 (UTC) * Une remarque de fond. Employer le terme d'oligarchie pour le groupe des admins + utilisateurs expérimentés est malvenu. Le pouvoir social de ce groupe est réel, mais il est éminemment bénéfique au projet. Si ce groupe n'existait pas et ne procédait pas à une surveillance active, le projet s'effondrerait. Or, le terme d'oligarque est fortement connoté péjorativement. Les nouveaux oligarques russes, les oligarques grecs, les oligarques de l'ancien régime n'ont un peu rien à voir avec ce groupe fondamentalement bienveillant pour le projet. Là aussi, je ne nie pas les problèmes. Nous ne sommes que des humains et des utilisateurs se prennent parfois pour plus qu'ils ne sont. Mais ce n'est pas une raison pour employer un tel mot, à mon avis faux dans ce contexte. :C'est partiellement modifié, merci. Mais c'est quand même plus pratique de parler d'oligarchie que de remettre chaque fois sa définition ou de tourner autour du pot. Le mot est fort, mais la définition est juste et s'applique d'ailleurs aussi bien au prétendue « démocraties » représentative qu'à Wikipédia. De la peut-être vient le fait qu'oligarchie est un gros mots puisque qu'on ne peut pas l'utiliser dans pour nos « démocraties » parlementaires constituée d'oligarques élus, rien à vois sans doute avec ce qui se passe en Russie, mais je préfère tout e même appeler un chat, un chat. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 20 juin 2016 à 14:16 (UTC) Mes remarques plus sur les solutions que tu proposes : * Proposition "Pour une gestion plus démocratique des projets en ligne". Cela ne ma parait pas très utile. Sur les adresses IP, je ne sais pas trop, mais les deux autres propositions me semblent d'une portée très très faible. Les débats sur des pdd chaudes, ils apparaissent dans l'espace communautaire, où vont de toute façon ceux que ça intéresse, et qui ont l'expérience nécessaires pour apporter une contribution utile. Les nouveaux ne peuvent pas avoir l'expérience pour avoir une bonne vision d'ensemble du projet (titanesque) et les anciens qui s'en foutent, ils s'en foutent. Notifier tout le monde sur la réforme du CaR... Je n’en vois pas trop l'utilité. Ne pas oublier qu'une majorité de gros contributeurs et une immense majorité de contributeurs moyens mais réguliers n'ont rien à faire des débats communautaires. Je le vois autour de moi à chaque réunion de la cabale lyonnaise. Quant à l'extension des processus de destitution, il faudrait commencer par prouver que cela servirait à quelque chose. Les nombreux débats qu'il y a eu sur le sujet dans diverses pdd ne m'ont pas du tout convaincu, ni grand monde d'ailleurs. :Le même raisonnement peut s'appliquer dans ton pays ou le vote aux élections n'est pas obligatoire. Imagine un peut que l'on fasse ces élections sans en informer directement tous les citoyens et sans les guider dans les démarches nécessaires pour voter ? C'est pourtant ce qui se passe sur Wikipédia. Dans notre expérience sur Wikiversité, il est arrivé à plusieurs reprise que des éditeurs ont remercier le fait d'avoir été conviés. Je dois expliciter ceci, mais j'ai pas le temps maintenant. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 20 juin 2016 à 14:16 (UTC) * "Pour une mise à disposition d'employés Wikimédia au sein de communautés linguistiques" Si je comprend bien la proposition, il faudrait que la Fondation nomme un employé pour causer avec une communauté linguistique de ce qui se passe à la Fondation ? Si c'est bien ça, c'est une bonne idée. :Oui c'est bien cela, des sortes de communicateurs, modérateur, médiateur, si tu veux dépourvus de tout mandat éditorial et interdit de participer aux décisions. Je pourrais aussi expliciter un peu. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 20 juin 2016 à 14:16 (UTC) * "Pour une implication des contributeurs en tant que membres actifs au sein de la Fondation Wikimédia" Là aussi, je ne trouve pas la proposition super limpide. Tu souhaiterais que des wikipédiens ou des donateurs puissent être dans l'organigramme de la Fondation ? Pourquoi pas mais pour quelle utilité pratique ? :Non pas dans l'organigramme mais convié à une assemblée général annuel comme dans le cadre d'une coopérative à finalité sociale ou une association loi machin. L'AG pourrait se dérouler durant Wikimania avec un participation en streeming et vidéo conférence possible. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 20 juin 2016 à 14:16 (UTC) * "Pour une décentralisation économique au sein du mouvement" Alors là, je suis personnellement contre cette idée. Ce n’est que mon avis, mais cette proposition est un magnifique repli communautaire du : "chacun chez soi et surtout on n'aide pas les autres pays plus pauvres que nous". Je suis surpris que tu proposes ce genre de truc. Améliorer l'efficacité des demandes de dons en associant les communautés locales, oui, mais ne pas prévoir de système d'entraide mondiale, c'est juste du plus parfait égoïsme. Tu es certain que tu souhaites cela ? :Tes arguments ne sont pas contre la décentralisation mais contre l'ethnocentrisme. L'un n'est pas forcément lié à l'autre sauf dans le cas d'un procès d'intention. Des gardes fous peuvent être mis en place telle une grille de répartition budgétaire choisie au niveau du siège centrale que représente la fondation et le site Meta-Wiki. Quand l'association Française à perdu ces droits de gestion budgétaire elle est passée de {{unité|1600000|€}} de récolte faite en France à {{unité|600000|€}} octroyé par la fondation l'année suivante. C'est pas normale, pas sein et donc pas éthique. Pour le reste l'association Française malgré certaine maladresse est bien plus soucieuse et présente en Afrique que la Fondation. Je ne suis partage donc pas ton argumentation. Donc aussi à clarifier quand j'aurai le temps. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 20 juin 2016 à 14:16 (UTC) En fait, le plus gros problème, c'est que tu parles d'un système oligarques, où certains auraient indûment un pouvoir disproportionné, mais tu ne me convainc pas du tout. Les admins peut être, mais ils peuvent être sanctionnés, et ils sont de toute façon fortement eux-mêmes surveillés. Les anciens qui quelquefois abusent, mais eux aussi sont surveillés et peuvent être sanctionnés. Donc je ne vois pas comment on peut améliorer les choses actuelles. Nous sommes des êtres humains, et c'est tout. Nos défauts sont inhérents à l'espèce humaine et je ne vois pas en quoi tes propositions pourront améliorer sensiblement les choses. Désolé de ne pas être de ton avis sur plein de trucs. [[Utilisateur:Cedalyon|Cedalyon]] ([[Discussion utilisateur:Cedalyon|discussion]]) 20 juin 2016 à 08:31 (UTC) :Ce n'est pas un problème mais une perspective. Le travail se veut une analyse des dérives éthique et non une analyse de l'efficacité du système. Un dictateur peut aussi faire les meilleurs choix du monde pour son pays, mais cela resterait critiquable sur base d'une éthique libéral démocratique par exemple. C'est pas non plus parce que Wikipédia est ethiquement parlant le meilleurs endroit du net qu'il faut nécessairement en occulter les manquements, les dérives et même les possibles manquement ou dérives. Il en va de la qualité du future du mouvement. :Faut pas être désolé quand on fait avancer le smilblic. Merci pour tous ces retours [[Utilisateur:Cedalyon|Cedalyon]]. Je ferai un travail de clarification dans deux jours. Je dois d'abord finir [[Recherche:Pour_une_économie_plus_juste_au_sein_du_mouvement_wikimedia|un dernier travail pour l'unif que je dois rendre mercredi]]. Soit le bienvenu pour les corrections et les critiques si tu veux. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 20 juin 2016 à 14:15 (UTC) === Sur l'aspect redistribution === (Discussion déplacée sur la page [[Recherche:Pour une économie plus juste au sein du mouvement wikimedia|Pour une économie plus juste au sein du mouvement wikimedia]]. Là dessus, comme je ne connais pas bien les rouages des circuits économiques, je ne porterais pas de jugements plus avant. Par contre, tu occultes complètement un point important : les bénévoles n'ont pas besoin d'argent. Il est possible de contribuer à Wikipédia gratuitement sans aucun soucis. Je le fais depuis huit ans et je n'attend pas plus de la fondation. Alors pour être honnête, ce n'est pas tout à fait vrai. J'ai profité deux fois d'un micro-financement pour me rembourser des ouvrages qui m'ont servi pour mon travail. Cela doit faire 400-{{unité|500|euros}} en deux ans, ce qui n'est pas rien. Et pour faire à présent partie de la commission micro-fi, je vois effectivement que des financements ponctuels peuvent être utiles pour débloquer des situations. Mais pour justement être partie prenante de ce système de redistribution, je vois bien qu'il est parfaitement négligeable en regard de l'immense masse de travail fourni par les milliers de contributeurs, qui n'ont pas besoin d'être payé ou remboursé. Bien sûr, on pourrait proposer plus d'argent pour rembourser plus de billets de train ou d'abonnements ou d'ouvrages. Mais pour l'avancée globale du site, ça restera négligeable. En face, j'ignore complètement l'importance des travaux techniques d'amélioration des sites internet et du site pour mobile. Mais comme il est géré par des milliers de bénévoles, j'ai pleine confiance. [[Utilisateur:Cedalyon|Cedalyon]] ([[Discussion utilisateur:Cedalyon|discussion]]) 21 juin 2016 à 07:16 (UTC) :Sur cette aspect [[Utilisateur:Cedalyon|Cedalyon]], je t'invite à discuster sur la page [[Recherche:Pour une économie plus juste au sein du mouvement wikimedia|Pour une économie plus juste au sein du mouvement wikimedia]], puisque le sujet y est plus spécifiquement abordé. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 21 juin 2016 à 08:13 (UTC) === séparation des pouvoirs et association === Ce problème de séparation des pouvoirs ne me semble pas la bonne perspective sur Wikipédia. Nous sommes trop peu pour penser à une séparation des pouvoirs efficaces. Dans une association de taille moyenne, à fortiori quand tout le monde voit ce que tout le monde écrit, l'important est l'efficacité, pas une recherche complètement théorique d'un monde parfait. Les admins sanctionnent des comportements reconnus par tous comme problématiques, justement parce que ces comportements sont publics et reconnus par tous. Si un admin fait une connerie, celle-ci est visible, et tout le monde le sait, lui compris. C'est bien pour cela qu'il y a très peu de conneries (volontaire ou non). Donc pour moi, il n'y a aucune dérive éthique car la question ne se pose pas. Une séparation du pouvoir judiciaire et exécutif sur la wiki francophone est tout simplement sans objet, car nous sommes un groupe social trop petit pour qu'une telle séparation soit pertinente (non pas efficace, pertinente). D'ailleurs, dans toutes les associations du monde, c'est ainsi. Le règlement intérieur est appliqué par le CE, qui est juge et partie dans 100% des cas, et c'est parfait ainsi, car il n'est pas possible de faire mieux. Même en théorie, il n'y a pas lieu d'imaginer une séparation, à cause de la petite taille de notre groupe. :Ma perspective d'une séparation des pouvoirs est au service de l'éthique et non de la facilité ou même de l'efficacité, et je n'en vois pas d'autre meilleur pour le moment. Elle est aussi désirée par la communauté dont tu fais partie si je me réfère à tes positions prises durant les votes sur la page [[w:Wikipédia:Prise de décision/Réforme du comité d'arbitrage 2016|Wikipédia:Prise de décision/Réforme du comité d'arbitrage 2016]]. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 21 juin 2016 à 08:48 (UTC) Et d'ailleurs c'est bizarre. Tu passes un grand temps à décrire des dérives de séparation des pouvoirs, et tu ne proposes rien pour améliorer le truc. [[Utilisateur:Cedalyon|Cedalyon]] ([[Discussion utilisateur:Cedalyon|discussion]]) 21 juin 2016 à 07:16 (UTC) :J'en parle dans la section [[Recherche:Dérives_éthiques_au_sein_du_mouvement_Wikimédia#Pour_une_gestion_plus_démocratique_des_projets_en_ligne|Pour une gestion plus démocratique des projets en ligne]] avec la mise en place de système facilitant et augmentant la participation de la communauté aux prises de décision. Et je viens d'ajouter quelque éclaircissement dans la section [[Recherche:Dérives_éthiques_au_sein_du_mouvement_Wikimédia#Pour_une_mise_à_disposition_d.27employés_Wikimédia_au_sein_de_communautés_linguistiques|]] [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 21 juin 2016 à 08:48 (UTC) === emploi du terme oligarchie === (Discussion déplacée sur la page [[Discussion_Recherche:Questions_de_démocratie_et_de_responsabilité_sociale_au_sein_du_mouvement_Wikimedia#emploi_du_terme_oligarchie|Discussion Recherche:Questions de démocratie et de responsabilité sociale au sein du mouvement Wikimedia]]. Alors je ne suis pas du tout d'accord lorsque tu dis "Le mot est fort, mais la définition est juste ". Non, personne n'utilise ce terme pour parler du groupe d'admins et des anciens, pour la bonne raison que la définition n’est pas juste. Le principe même de l'oligarchie est que les hommes qui en font partie sont là pour profiter d'un système politique, et pas œuvrer de manière altruiste pour lui. Il y a un contresens très fort. Au quotidien, les admins et les anciens font 99.99% d'actions positives et n’en retirent aucun profit. Employer un mot très négatif pour les décrire et décrire leur action est malhonnête. Et dire qu'on le fait par confort, c'est éthiquement injustifiable. Toi qui semble te soucier d'éthique, il faudrait peut être commencer par employer une argumentation honnête de ce point de vue. Sans compter qu'employer injustement un mot connoté pour parler d'un groupe est procédé réthorique, et non un procédé scientifique. Si tu souhaites construire un discours argumenté, il faut employé des mots qui ne trompent pas les lecteurs. Moi qui suit un ancien (enfin, huit ans d'édition, c'est pas loin de ça), qui m'implique régulièrement dans les actions dans et hors wikipédia (éditathon, animation du groupe local, ouverture du site aux non-contributeurs), me voir relégué au rang d'oligarque profiteur, je trouve d'autant plus blessant que je ne vois diable pas en quoi j'ai profité du système. Donc merci par honnêteté intellectuelle de reconsidérer ce point. [[Utilisateur:Cedalyon|Cedalyon]] ([[Discussion utilisateur:Cedalyon|discussion]]) 21 juin 2016 à 07:16 (UTC) == Remarque de Lydie == La façon dont est géré les projets wikimédia n'a rien à voir avec l'oligarchie. Si l'on se base sur l'article [[w:Oligarchie|Oligarchie]] de wikipédia, l'oligarchie est une forme de gouvernement où le pouvoir est détenu par un petit groupe de personne. Or sur les projets wikimédia, le pouvoir est détenu par la communauté et les administrateurs n'ont que le pouvoir de faire respecter les décisions de la communauté, donc rien à voir avec l'oligarchie. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 20 juin 2016 à 09:20 (UTC) :Le pouvoir ne se limite pas à l'édition de lois, montesquieu souligne aussi l'importance du pouvoir exécutif et judiciaire. Sur wikipédia c'est surtout les admins qui exécute les lois (protection blocage ...) et actuellement sans comité d'arbitrage assume le rôle de juge du comportement des autres utilisateurs. :Tu ne t'en rends peut-être pas conte [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie]], mais tu vis dans un pays oligarchique. Une « sociétés dont le gouvernement est constitutionnellement et démocratiquement ouvert à tous les citoyens mais où en fait ce pouvoir est confisqué par une petite partie de ceux-ci. » La [[w:loi travail]] n'en est elle pas la preuve ? Finalement, c'est vrai qu'on est mieux lotis dans les projets wikimedia, mais nié l’existence d'une gouvernance oligarchique assumée par un noyaux dur d'utilisateurs très actifs au sein de projet ne serait pas correct non plus. Il y a des oligarques dans les projets, toi et moi en faisons partie au niveau de la Wikiversité. Mais ce qui est beau, c'est que des oligarques bénévoles tel que nous le sommes sont dans une position éthique respectable puisque nous ne somme pas soumis à un conflit d'intérêt lié à la recherche de lucre. Enfin, c'est ce qu'on espère. Peut-être que l'un de nous deux est payé par Google pour faire de Wikiversité un bastion dont le but sera de faire tomber la fondation Wikimedia {{sourire}}. Enfin voilà, le cas échéant nous pouvons dire merci aux oligarques que nous sommes pour tout ce que nous apportons au projet et qui représent des centaines, peut être des milliers en ce qui te concerne, d'heures de travil bénévoles; [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 20 juin 2016 à 14:40 (UTC) :: En fait, je n'ai rien contre l'oligarchie. J'aurais même tendance à penser que c'est le meilleur système de gouvernement. Une assemblé d'une trentaine de personnes, ayant tous les pouvoirs, hautement compétente et hautement morale qui se renouvellerait par cooptation en choisissant très judicieusement ses membres parmi des gens ayant fait leur preuve en compétence et moralité. Cela me paraît bien préférable au système actuel où la plupart des gens ne comprenne rien à la politique et vote aveuglément pour la personne qui semble avoir le plus de baratin et le plus de charisme et se mettent en grève dés que la personne qu'ils ont élu essaye de faire la moindre réforme. Quoi qu'il en soit, je n'ai absolument pas l'impression de faire partie des oligarques de la Wikiversité. Mais je pense que c'est l'impression que peuvent avoir les utilisateurs qui débarque au milieu d'un conflit entre administrateur et utilisateur. On peut prendre pour exemple le conflit qu'il y a eut entre l'[[utilisateur:Youni Verciti]] et moi (qui, je crois a inspiré certains paragraphes de ton présent travail). Je me souviens qu'au début, tu parlais d'un simple conflit d'édition entre l'[[utilisateur:Youni Verciti]] et moi et tu as fini par te rendre compte que l'on avait vraiment affaire à quelqu'un qui ne jouait pas le jeu, qui ne respectait pas les conventions, qui voulait introduire des choses sur la Wikiversité même s'il n'y avait pas consensus sur ces choses, au point que tu as fini par lui dire que tu ne discuterai plus avec lui tant qu'il n'organiserait pas une prise de décision sur ce qu'il souhaitait. :: Il y a aussi une chose dont les utilisateurs n'ont pas conscience, c'est qu'un administrateur n'est administrateur que lorsqu'il utilise ses outils d'administrateur. Le reste du temps, tout ce qu'il fait pourrait aussi bien être fait par un simple utilisateur. Si tu regardes bien, toujours en prenant l'exemple du conflit entre l'[[utilisateur:Youni Verciti]] et moi, tout ce qui s'est passé aurait très bien pu se passer de façon identique si je n'avais pas été administratrice (sauf, peut-être lorsque j'ai complété l'historique des pages qu'il avait importé illégalement par copier-coller). :: Bref, je ne pense pas faire parti d'un groupe qui a plus de pouvoir législatif que le reste des utilisateurs (ma voie, dans les prises de décision, compte autant que les autres). Quand au pouvoir exécutif, il n'est là que pour assurer la bonne marche de la Wikiversité dans le strict respect des conventions et des prises de décisions. Il m'est strictement impossible d'amener quelque chose de nouveau sur la Wikiversité (sans faire une prise de décision) si un simple utilisateur, même ayant moins d'une dizaine de contributions, manifeste son désaccord. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 20 juin 2016 à 18:36 (UTC) :::Tout ce que tu dis est vrai [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie]] et applicable pour notre petit projet tranquille Wikiversitaire, mais est à relativiser avec Wikipédia et plus encore au niveau anglophone. Il y a là de véritable enjeux de pouvoirs ayant un impacte direct dans la sphère économique hors ligne. Quand un administrateurs employer de la fondation se fait virer pour avoir fait des contributions rémunérées, les questions d'éthique et de gouvernance des projets se pose plus sérieusement. L'oligarchie quant à moi me pose un vrai problème et plus encore quand celle-ci est maintenue pour défendre les intérêts des plus riches. Et d'ailleurs comment ferais-tu pour garantir que les oligarques soient de bons gouvernants ? Pour le reste, les élections c'est le contraire de la démocratie, à l'heure actuel c'est un système parfait pour contrôler des citoyens abrutis par le média et ce en toute légitimité. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 20 juin 2016 à 22:36 (UTC) :::: Pour garantir que les oligarques soient de bons gouvernants, le problème serait surtout de démarrer le système. Par la suite, c'est à eux de ne pas faire de gaffe et de bien réfléchir sur le choix de chaque remplaçant. On peut supposer que si le groupe est suffisamment nombreux, un choix erroné ne devrait pas avoir de conséquence néfaste et la brebis galeuse devrait être expulsée par un consensus des autres membres du groupe. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 21 juin 2016 à 01:44 (UTC) Je me permets de m'insérer dans la discussion, mais juste une remarque d'historien amateur. Il a existé au cours de toute l'histoire de l'humanité un très grand nombre de système de pouvoir politique ; mais un groupe d'experts/de savants/de sages qui gouverne pour le bien du peuple, jamais. Je me permets de rappeler que l'être humain est corruptible, nous tous compris, et qu'avoir les manettes et les billets transforme inéluctablement les hommes. L'important n'est pas la forme du système politique, mais la puissance des contre-pouvoirs (presse, syndicat, association). Car les endroits où les hommes politiques sont les moins corrompus, sont les lieux où ces pouvoirs fonctionnent le mieux. Or quel est le seul système politique qui autorise des contre-pouvoirs à lui-même ? [[Utilisateur:Cedalyon|Cedalyon]] ([[Discussion utilisateur:Cedalyon|discussion]]) 21 juin 2016 à 07:24 (UTC) :Voir à ce sujet [[w:Etienne Chouard|Etienne Chouard]] et la nécessité d'assemblées constitutionnelles pour redéfinir les garde fou (garde pouvoir) au sein des textes de constitution qui se destinent à cela et qui pourtant ne peuvent actuellement être modifié que par les oligarques élus par la nation. La [[w:révolution des casseroles]] en est un parfait exemple qui devrait figurer dans tous les livre d'histoire. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 21 juin 2016 à 08:08 (UTC) ::Nous avons des visions vraiment divergentes. Le mouvement des casseroles a pu avoir lieu parce que l'Islande est une démocratie. En Russie ou en Chine (entre autre), cela n'aurait ni lieu, ni impact réel. Preuve que le système démocratique fonctionne le moins mal possible. Actuellement, les systèmes de contre-pouvoir sont la presse (papier ou internet), les syndicats, les groupes d'opinion. Que faut-il ajouter puisque cela existe déjà ? [[Utilisateur:Cedalyon|Cedalyon]] ([[Discussion utilisateur:Cedalyon|discussion]]) 21 juin 2016 à 09:48 (UTC) :::C'est sûr qu'en comparant avec les pays que tu viens de citer nous sommes pas si mal loti. Bien que que je n'y suis jamais aller et que ma formation d'anthropologue m'interdit de porté des jugements sans avoir pris la peine de vire autrement qu'au travers des médias ce qu'il s'y passe vraiment. :::Quant à la question que faut ajouter ? Et bien il faut ajouter ce qui a manqué à la révolution des casseroles d’aboutir. À savoir un réel pouvoir législateurs au mains de l'ensemble des habitants de l' île et non aux mains de gens qu'ils ont élus. Élire des gens, ce n'est pas décider les lois, mais seulement décider ceux qui vont les décider pour les autres et très probablement en suivant des intérêts personnels. Et il se fait que tous les élus ont des intérêts opposé aux citoyens dès qu'il s'agit de réduire leur pouvoir. Sur ce sujet, je te renvoie à [[recherche:Trilogie pour un monde juste et sain/Une crise de la gouvernance|un autre travail personnel]] que tu peux consulter avant de nous retrouvez sur sa discussion plus appropriée pour aborder le sujet que l'on vient d'entamer. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 21 juin 2016 à 18:32 (UTC) == La mise en place d'un système automatique d'affichage des comptes utilisateurs fonctionnant avec la même adresse IP == Bonjour Lionel, Vous écrivez dans votre conclusion : <blockquote> Dans le but d'obtenir une distribution plus démocratique des pouvoirs au sein des projets en ligne, voici deux actions possibles : * La mise en place d'un système automatique d'affichage des comptes utilisateurs fonctionnant avec la même adresse IP sans pour autant divulguer les adresses IP pour continuer à respecter la politique concernant la vie privée des utilisateurs, mais en permettant de la sorte de détecter plus facilement les comptes à objet unique durant les éditions et les faux-nez durant les votes.</blockquote> Cette idée appelle plusieurs remarques, qui ont trait à ce qu'est une IP. Je vais essayer de ne pas trop vous barber avec de la technique : Il existe, pour simplifier, et dans la problématique qui nous occupe ici, deux types d'IP, essentiellement : # les IP dites "fixes" : il en existe de plusieurs sortes, mais l'idée générale est qu'une personne intervenant sur Wikiversity ou Wikipédia via cet accès conservera en effet constamment la même IP. Mais ce n'est pas réciproque : une même IP fixe peut être utilisée simultanément par des personnes différentes (voir plus bas, c'est très courant). # les IP variables : là aussi, il en existe de différentes sortes. Pour ne prendre que deux exemples très courants : #* Beaucoup de connexions à Internet domestiques (familiales) ou même professionnelles passent par un fournisseur d'accès qui, techniquement, attribue ou non une IP fixe à un contractant. Lorsque ce n'est pas le cas, il suffit par exemple d'une réinitialisation de la connexion de la "box" au réseau pour qu'une nouvelle IP, différente de la précédente, soit attribuée. #* les accès "mobiles" (3G, 4G) : cette fois, la volatilité de l'IP est encore plus grande. À quelques minutes ou heures d'intervalle, une même IP est réattribué à des utilisateurs différents. Dans le même ordre d'idée, une même personne connectée en mobilité par exemple lors d'un voyage en train se verra attribuer toute une succession d'IP différentes à chaque fois que son accès va passer d'une borne 3G à une autre lors de son trajet. * il peut s'agir couramment de deux intervenants s'étant vu attribuer successivement une même IP non fixe. *une partie des IP fixes sont celles d'organismes divers (accès wifi public dans un bistro ou autre, universités, cités étudiantes, bibliothèques et médiathèques, sans compter toutes sortes d'autres organismes privés ou publics) qui apparaissent sur le réseau avec une IP unique derrière laquelle se trouvent des dizaines, centaines, voire milliers d'utilisateurs accédant à Internet via un réseau local. L'IP publique est l'adresse du réseau locale, et non celle propre à tel ou tel intervenant. :Oui [[Utilisateur:Alginatus|Alginatus]], j'ai effectivement pensé à toutes ces choses importantes que je connaissais déjà. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]], [[w:dyslexie|dyslexie]] et [[wikt:distraction|"dys"traction]].} 5 novembre 2016 à 22:31 (UTC) D'entrée de jeu, développer un outil logiciel qui identifierait deux comptes fonctionnant avec la même adresse IP comme étant attribuables à un même intervenant se heurte donc à de fortes difficultés : :Mais, l'idée n'était pas là, puisque je sais qu'il y aurait énormément de faux positifs, au départ mon idée était juste de compliquer la vie au utilisateurs de faux nezs ou de comptes à objets uniques. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]], [[w:dyslexie|dyslexie]] et [[wikt:distraction|"dys"traction]].} 5 novembre 2016 à 22:31 (UTC) La difficulté va même plus loin. L'IP étant une donnée en soi insuffisante pour identifier un utilisateur : d'autres informations complémentaires sont indispensables pour y parvenir. Elles sont de natures diverses selon les contextes. Pour aller au plus simple : * dans le cas d'une procédure judiciaire, le fournisseur d'accès est tenu, à la demande d'un magistrat, de fournir toutes les données clients dont il dispose, c'est-à-dire en particulier ce qui permet d'associer explicitement un accès au réseau et un compte client liée lui-même à une personne physique ou morale. Ce type de données, strictement confidentielles et très protégées par la législation, ne sont évidemment pas accessibles dans le contexte où vous placez la question, c'est-à-dire celui d'une extension logicielle de mediawiki qui voudrait faire le job. * dans le cas des projets wikimedia, ce sont les Check Users à qui la fondation a confié un rôle à vrai dire très délicat : ils ont accès, outre l'IP des contributeurs, à quelques données supplémentaires enregistrées dans les logs serveurs à chaque accès. Il s'agit essentiellement de l'indication du système d'exploitation et du navigateur Web utilisé lors d'une contribution. Ces données sont en fait assez peu fiables : il est aisé de les masquer (par souci du respect de sa vie privée, par exemple, ou quand on veut se dissimuler) ou des fausser. Elles laissent place par ailleurs à de très nombreuses coïncidences entre des personnes différentes utilisant simplement un système d'exploitation et une version de navigateur parmi les plus répandus. Elles n'ont aucun sens quand deux personnes utilisent successivement un même poste en accès libre dans un espace public. Les Check users, qui enquêtent "à la main" sur ces données, font un travail périlleux actuellement hors de portée d'un logiciel (du moins, on peut espérer qu'on aurait la prudence de ne pas se fier à des automatismes en la matière). :Et il faut ajouter à cela que les Check Users ne savent pas remonter plus de trois mois dans le passer, ce qui limite grandement la détection de compte à objet unique et de faux nez qui sont parfois utilisés sporadiquement pour intervenir sur des sujets délicats sans se faire griller par la communauté. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]], [[w:dyslexie|dyslexie]] et [[wikt:distraction|"dys"traction]].} 5 novembre 2016 à 22:31 (UTC) Pour résumer ces longues explications (nécessaires, je pense, cependant) : cette idée d'un dispositif identifiant automatiquement des contributeurs ''a priori'' différents comme étant en fait une seule et même personne est non seulement illusoire, mais très dangereuse pour… le respect d'un souci démocratique, justement. Ce serait juste un "Big Brother" multipliant les erreurs. Les solutions aux problèmes liés au travail collaboratif en ligne sont à vrai dire très rarement d'ordre technique ;-) Cordialement, --[[Utilisateur:Alginatus|Alginatus]] ([[Discussion utilisateur:Alginatus|discussion]]) 5 novembre 2016 à 11:37 (UTC) :On est d'accord aussi sur ce point. En fait la seul solution pour lever la question d'identité et de doublon au niveau des comptes serait celle utilisée par des sites tel que couchsurfing, ou il utilise un virement bancaire ou l'envoie d'un courrier postal lorsqu'un membre veut prouver son identification. Mais je vois mal un contributeur chinois se risquer dans ce genre d'aventure.... :En faite ma conclusion sur la question s'est fixée après rédaction de ce travail et suite à une discussion avec des techniciens durant Wikimania 2016. En vrai, il n'y a aucune alternative technique acceptable pour la fondation à ce qui existe actuellement. Car il faut savoir aussi que mon idée de lister les comptes utilisant une même IP pose aussi des problèmes de respect de la vie privée. En effet dans le cas d'une IP fixe utilisée dans une administration par exemple, il Suffirait qu'un compte utilisant cette IP divulgue l'information qu'elle utilise l'IP fixe de cette administration pour qu'elle trahisse tous les autres comptes qui utilisent la même IP fixe. :L'idée n'était pas bonne, et je devais effectivement la corriger, mais j'ai oublié. C'est bien que tu me le rappelle. Cela prouve aussi que tu es un lecteur à la fois attentif et connaisseur. Un réelle plaisir ! Si cela te dis, tu peux la corriger toi-même en mettant l'IRL de cette présente discussion dans la boite de résumer. On deviendrait ainsi coauteurs. Une perspective sympathique non ? Et si cela t'embête, je peux aussi le faire moi-même, pas de souci. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]], [[w:dyslexie|dyslexie]] et [[wikt:distraction|"dys"traction]].} 5 novembre 2016 à 22:31 (UTC) ::Pourriez-vous répondre '''après''' une intervention et non au milieu de celle-ci, s'il-vous-plaît ? --[[Utilisateur:Alginatus|Alginatus]] ([[Discussion utilisateur:Alginatus|discussion]]) 6 novembre 2016 à 14:51 (UTC) :::Comme tu voudras [[Utilisateur:Alginatus|Alginatus]]. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]], [[w:dyslexie|dyslexie]] et [[wikt:distraction|"dys"traction]].} 10 novembre 2016 à 19:28 (UTC) gkcq4pjo24asvjfejytvbg2a89650oi 5 58125 987020 949487 2026-10-04T10:57:47Z Crochet.david.bot 1005 Robot : conversion/correction du HTML 987020 wikitext text/x-wiki Pourquoi un contributeur seul et créateur d'un nouveau article ne peut il pas lui-même supprimer l’article ? :C'est géré au niveau des permissions de la base de données MariaDB, cela fonctionne par table et pas par enregistrement. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 24 novembre 2015 à 22:13 (UTC) vous m'avez mal compris, je reformule la question : Est-ce normal qu'un contributeur qui vient de créer un article (avec par exemple un titre mal choisi) ne peut pas le supprimer directement après ou même changer le titre de l’article ? C'est quand même bizarre, est-ce que prochainement ça va changer ? : Bonjour, vous pouvez renommer un article si votre compte a plus de 4 jours. Pour supprimer une page que vous avez créée, il suffit d’en faire la demande dans la page [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs]]. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 24 novembre 2015 à 22:51 (UTC) : '''PS :''' Si vous voulez renommer une page et que votre compte a moins de 4, il suffit aussi d’en faire la demande dans la page [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs]] :: Bonjour [[Utilisateur:Mivillea|Mivillea]], le droit de suppression d'une page est traditionnellement réservé aux administrateurs car ce droit de suppression peut s'appliquer à toutes les pages y compris la page d'accueil du site par exemple. Raison pour la quelle cette situation ne risque pas de changer prochainement. Bonne journée, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 25 novembre 2015 à 00:22 (UTC) 26pn1pkd8o5ow37o9pij936n6soqk13 3 58224 987021 668714 2026-10-04T10:57:57Z Crochet.david.bot 1005 Robot : conversion/correction du HTML 987021 wikitext text/x-wiki == Premier avertissement == {|class="WSerieH" class="plainlinks" id="vandale" align="center" style="width:100%;margin-bottom:2em;border:1px solid #8888aa;border-right-width:2px;border-bottom-width:2px;background-color:#f7f8ff;padding:5px;text-align:justify" |- |[[Image:Nuvola apps important.svg|95px]] |Bonjour '''{{BASEPAGENAME}}''', Vous avez découvert combien il est facile de modifier et compléter Wikiversité, la communauté pédagogique libre.<br /> Votre modification a été annulée soit parce qu’elle est non pédagogique soit parce qu’elle contrevient à nos règles. Merci de faire à l'avenir des contributions constructives et d’éviter de détériorer le contenu.<br /> Merci cependant de faire des contributions constructives, et d’éviter d’effacer du contenu ou vandaliser des pages{{#if:| telles que '''[[{{{1}}}]]''' ([[Spécial:Contributions/{{PAGENAME}}|entre autres]])}}.<br /> '''''Gardez à l’esprit que, en cas de récidive avérée, nous pourrions avoir à [[Spécial:blockip/{{PAGENAME}}|prendre une sanction de blocage]] contre votre adresse IP ou votre compte.''''' Enfin, le [[Wikiversité:bac à sable|bac à sable]] est à votre disposition pour tester [[Aide:Syntaxe|la syntaxe de Wikiversité]]. |}{{#if: ||[[Catégorie:Vandales avertis|{{PAGENAME}}]]}}[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 30 novembre 2015 à 12:34 (UTC) 4sk8atw2iz80tawge1ykr1lxfyeoasc 0 58244 987022 715698 2026-10-04T11:57:24Z Crochet.david.bot 1005 Robot : conversion/correction du HTML 987022 wikitext text/x-wiki {{Leçon | idfaculté = mathématiques | département = Théorie des nombres | cours = [[Nombres complexes]]<br />[[Mathématiques en première STI]] | niveau = 12 | 1 = {{C|Établissement du contexte|4}} | 2 = {{C|Lois internes|4}} | 3 = {{C|Apports à la trigonométrie|4}} | 4 = {{C|Apports à l'algèbre|4}} | 5 = {{C|Apports à la géométrie|4}} | exo1 = {{Exo|Sur les modules et arguments|4}} | exo2 = {{Exo|Sur les calculs algébriques|4}} | exo3 = {{Exo|Réels et imaginaires purs|4}} | exo4 = {{Exo|Sur la trigonométrie|4}} | exo5 = {{Exo|Sur les racines n-ièmes|4}} | exo6 = {{Exo|Sur la résolution d'équation|4}} | exo7 = {{Exo|Sur les applications géométriques|4}} | exo8 = {{Exo|Divers|4}} | devoir1 = {{Dev|Résolution d'une équation du quatrième degré|4}} | autres projets = oui | w = Nombre complexe }} aligprljg6p9sr1ncx7adrm8uhjwzp5 4 58258 987023 971143 2026-10-04T11:57:34Z Crochet.david.bot 1005 Robot : conversion/correction du HTML 987023 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/En-tête}}</noinclude> == Juste pour supprimer [[Recherche:L'argent, une drogue planétaire]] == Et puis savoir si le blanchissement des pages comme appel à la suppression fonctionne sur Wikiversité ? Bonne journée, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{Contact : [[User talk:Lionel Scheepmans|Message Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 29 janvier 2014 à 13:00 (UTC) : Bonjour, effectivement, le blanchiment des pages fonctionne comme appel à la suppression sur la wikiversité car une fois blanchie même si on ne la remarque pas de suite, elle ressortira dans la page : [[Spécial:Pages non catégorisées]] et donc là , on la verra. Mais c’est plus sûr et plus rapide de faire la demande ici. Bien cordialement. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 29 janvier 2014 à 18:19 (UTC) ::Merci pour tes explications [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] et voici pour suivre tes recommandations une autre page à supprimer : [[Recherche:La démocratie dans le contexte d'un site Web]]. Bonne soirée, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{Contact : [[User talk:Lionel Scheepmans|Message Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 29 janvier 2014 à 22:22 (UTC) :::Voilà, c’est supprimé ! Par contre, j'ai peut-être répondu un peu vite ci-dessus. Comme il s'agit de pages appartenant à l'espace recherche, je crois bien (faudrait confirmation) que même blanchies, elles ne ressortiront pas dans la page : [[Spécial:Pages non catégorisées]]. Je crois bien que seules les pages de l'espace principal peuvent être listées comme page non catégorisée. Par conséquent, il vaut mieux que tu demandes la suppression de tes pages ici. Cordialement. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 30 janvier 2014 à 12:02 (UTC) ::::Je prends bonne note merci et bonne continuation [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]]. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{Contact : [[User talk:Lionel Scheepmans|Message Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 30 janvier 2014 à 13:26 (UTC) == Bug dans un lien catégorie == Je découvre que le lien catégorie affiché en bas de la page [[Recherche:Une humanité en crise]] provoque l'apparition d'un bug au niveau de l'affichage de la page ouverte par le lien ... --[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{Contact : [[User talk:Lionel Scheepmans|Message Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 29 janvier 2014 à 22:45 (UTC) :{{fait}} Désolé c’était dû à mon installation de {{m|catégories}} pour éviter aux éditeurs de partir d'une catégorie vierge. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 30 janvier 2014 à 11:59 (UTC) == Certaines pages de prises de décisions terminées ne sont pas protégées. == Bonjour, juste pour vous informer que certaines pages de prises de décisions terminées ne sont pas protégées. Et pour savoir si cela était normal puisque d'autres le sont. J’ai remarqué [[Projet:Wikiversité/Faculté de Socio-anthropologie|celle-ci]] mais il peut y en avoir d'[[:Catégorie:Projet:Wikiversité|autres]]. D'autre part, [[Projet:Wikiversité/Critères d'éligibilité d'un administrateur|cette page de vote]] est protégée mais il n'y a pas d'indication concernant la clôture du vote. Bonne journée à tous, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{Contact : [[User talk:Lionel Scheepmans|Message Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 3 février 2014 à 13:06 (UTC) :J’ai protégé la première page, pour la seconde les résultats sont dans les cadres verts en bas. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 3 février 2014 à 15:51 (UTC) ::Merci pour ta réponse [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]]. Concernant [[Projet:Wikiversité/Critères d'éligibilité d'un administrateur|cette page de vote]] la question était plutôt de savoir s'il ne serait pas utile d'indiquer que le vote est terminé et que les règles sont d'application en haut de la page comme c’est le cas des autres pages de votes terminés. Par la suite, il faudrait peut-être protéger [[Projet:Wikiversité/Apparence des facultés|celle-ci]], [[Projet:Wikiversité/Espace de noms « Recherche »|celle-ci]] et peut-être toutes celles reprises sur [[Projet:Wikiversité/Organisation|cette page]] ? Ne croyez pas que je suis obsédé par la protection des pages. Je pose juste ces questions dans une idée d'uniformisation et de cohérence. Si l’habitude est de bloquer les page de votes quand il est terminé et l'indiquer comme tel en haut de la page, autant le faire sur toute les pages se trouvant dans la situation. Ce sera plus clair pour les nouveaux venus qui découvrent le chmilblic. Bonne journée, --[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{Contact : [[User talk:Lionel Scheepmans|Message Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 3 février 2014 à 19:33 (UTC) :::{{fait}} C'est réglé. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 3 février 2014 à 22:54 (UTC) :::: Un merci pour [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] --[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{Contact : [[User talk:Lionel Scheepmans|Message Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 9 février 2014 à 12:28 (UTC) == Protocole de fin de vote == Bonjour, Je laisse ce message pour savoir s'il existe un protocole pour établir la fin d'un vote et entériner la décision qui en découle. Concrètement : * Combien de temps le vote doit-il être ouvert ? * Est-ce que la présence de un seul vote pour en l'absence de vote contre (cas de figure) détermine un consensus dans le respect du système de [[Wikiversité:Prise de décision| prise de décision]] adopté sur fr.Wikiversité ? * Les votes neutres n'influencent aucunement la décision quelque soit leur nombre ? Quelle serait par exemple le résultat d'un vote où il y aurait une personnes pour, aucune contre et dix neutres ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{Contact : [[User talk:Lionel Scheepmans|Message Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 9 février 2014 à 13:09 (UTC) :C'est assez discrétionnaire, je ne vois pas d'autres jurisprudences. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 9 février 2014 à 13:56 (UTC) :: Faudrait peut-être faire une prise de décision pour décider de tout cela. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 9 février 2014 à 14:02 (UTC) :::Et donc ? L'idée implicite de ce poste était de savoir quand et comment clôturer ce vote (j'aimerai inviter des personnes à relire et corriger mes textes de recherches et je pense que l'éditeur visuel leur rendra la tâche plus confortable...). --[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{Contact : [[User talk:Lionel Scheepmans|Message Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 9 février 2014 à 14:12 (UTC) ::::Peut-être voir les autres prises de décision pour savoir ce qui a été fait. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 9 février 2014 à 14:38 (UTC) :::::J'en ai regardé 4-5 : C'est celui qui a initié la prise de décision qui ouvre le vote en y indiquant une date de fin qui est souvent 7 jours plus tard. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 9 février 2014 à 14:41 (UTC) ::::::La demande d'installation de l'éditeur visuel a été faite --[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{Contact : [[User talk:Lionel Scheepmans|Message Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 13 février 2014 à 00:07 (UTC) == Suppression de pages == Voici maintenant quelques pages à supprimer : * [[utilisateur:Lionel Scheepmans/CV Artistique]] * [[Recherche:Réflexions sur une humanité en crise]] * [[Recherche:L'émancipation du citoyen]] * [[Recherche:Les systèmes électoraux, ennemis de la démocratie ]] * [[Recherche:Proposition de réforme des gouvernances.]] Bonne journée, --[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{Contact : [[User talk:Lionel Scheepmans|Message Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 9 février 2014 à 13:09 (UTC) :{{fait}} [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 9 février 2014 à 13:51 (UTC) == Téléchargement d'une photo sous licence C BY-NC-SA == Bonjour je viens à vous pour voir s'il est possible de télécharger sur fr.wikiversité (comme cela peut se faire je pense sur wikipédia) une photo sous licence C BY-NC-SA. J’ai bien essayé de le faire via le lien télécharger un fichier mais celui-ci me renvoi à wikimédia commons où ce type de licence ne peut être accepté. --[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{Contact : [[User talk:Lionel Scheepmans|Message Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 13 février 2014 à 00:13 (UTC) :Bonjour, est-ce-que ce serait cette page ; [[Spécial:Téléverser]] que vous cherchez ? Cordialement. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] % [[Discussion utilisateur:FrankyLeRoutier|Service après-vente]] 13 février 2014 à 03:27 (UTC) Oui merci [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] j'avais pas vu qu'en utilisant le lien dans la colonne de gauche, je tombais sur la page d'aide et non sur la page d'importation. Au fait on peut se tutoyer si ton service après vente n'y voit pas d’inconvénient {{;)}} --[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{Contact : [[User talk:Lionel Scheepmans|Message Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 13 février 2014 à 16:24 (UTC) ::Le mieux serait de la placer sur Commons avec les autres, avec un bandeau choisi dans [[:commons:Category:CC license tags]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 13 février 2014 à 07:49 (UTC) Sur commons ils n'aiment pas les licences NC [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]]. Tout d’abord ils ne la proposent pas d'office et puis j'ai essayé le bandeau <nowiki>{{Noncommercial}}</nowiki> mais le téléchargement ne s'effectue pas et de plus il est bien spécifié que « Copyright impliquant un statut non commercial. Ces images peuvent être amenées à être supprimées. ». Donc voilà. --[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{Contact : [[User talk:Lionel Scheepmans|Message Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 13 février 2014 à 16:24 (UTC) :Je ne sais pas où tu as vu cette politique car [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:WhatLinksHere/Template:GFDL_or_cc-by-nc-sa-2.0&limit=500 des centaines d'images sont licenciées cc-by-nc-sa-2.0] depuis des années. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 13 février 2014 à 18:51 (UTC) ::Haaa, mais tu as raison [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]]. J’ai enfin réussit à trouver le wikitexte contenant la balise qui me permet de le télécharger. En tout cas, on ne peut pas dire que les pages de téléchargement facilitent la démarche. Il n'existe en effet dans le menu aucune option préétablie qui permet de le faire. Après un long temps de recherche, j'ai fini par faire un copier collé en provenance de la page d'un autre fichier grâce à la liste dont tu as mis le lien dans le message précédent. C'est même dommage je trouve qu’il n'existe pas de robot ou moteur qui permettrait de faire l'importation des photos en licence libre sur flirck sur simple demande d'un utilisateur. ::Je profite de ce message pour te remercier des améliorations que tu as faite au niveau du modèle <nowiki>{{harv}}</nowiki>. Bonne journée, --[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{Contact : [[User talk:Lionel Scheepmans|Message Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 14 février 2014 à 11:44 (UTC) :::Tu parles de [[commons:Commons:Outils#FlickrLickr : Recherche automatique et chargement d.27images depuis Flickr]] ? [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 14 février 2014 à 19:36 (UTC) ::::[[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]], tu es ce que l’on peut appeler une personne ressource {{sourire}}, merci pour l'info. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''': [[User talk:Lionel Scheepmans|Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 14 février 2014 à 20:30 (UTC) == Fichier à supprimer == Supprimer [[:Fichier:Propriété privée.jpg]] pour cause de doublon avec [[:commons:File:Propriété privée.jpg]] [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{Contact : [[User talk:Lionel Scheepmans|Message Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} :{{fait}} [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 15 février 2014 à 08:55 (UTC) ::Bonjour à tous, il aurait aussi cette image ; [[:Fichier:Affiche Christiane Taubira - 31 octobre 2013.jpeg]]. Merci pour votre aide, cordialement. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] % [[Discussion utilisateur:FrankyLeRoutier|Service après-vente]] 21 mars 2014 à 22:26 (UTC) :::Hum, je la vois pas sur [[:commons:|commons]]. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 21 mars 2014 à 23:06 (UTC) :::{{fait}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 22 mars 2014 à 00:47 (UTC) ::::Bonjour, l'image a été [[:commons:File:Affiche Christiane Taubira 31 octobre 2013.jpg|supprimée]]. Amicalement. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] % [[Discussion utilisateur:FrankyLeRoutier|Service après-vente]] 22 mars 2014 à 02:42 (UTC) == Page à supprimer. == [[Utilisateur:Lionel Scheepmans/Test]] et [[Utilisateur:Lionel Scheepmans/Boite à outils]] Merci d'avance et bonne journée, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''': [[User talk:Lionel Scheepmans|Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 17 février 2014 à 12:22 (UTC) :{{fait}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 17 février 2014 à 12:29 (UTC) :::Merci, encore celle-ci : [[Recherche:Pour une gouvernance citoyenne éthique et démocratique]] ... Je vais finir par poser ma candidature de bibliothécaire pour nous simplifier la vie {{sourire}} [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 18 février 2014 à 00:13 (UTC) ::::{{fait}} Heureusement que tu es là pour nous occuper. Sans toi, on s'ennuierait {{sourire}}. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 18 février 2014 à 08:02 (UTC) == P à S == [[Recherche:Humanité en crise/documents]], [[Recherche:Recherche:Une umanité en crise/documents]] & [[Recherche:Recherche:Une humanité en crise/documentation]] merci.[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 19 février 2014 à 19:26 (UTC) == P à S == [[Recherche:Quelle thérapie pour une humanité en crise ?]] Merci --[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 28 février 2014 à 18:49 (UTC) == Importation du modèle cite journal == Bonjour amis bibliothécaires, je viens vers vous pour voir si quelqu'un pourrait me rendre le service d'importer le modèle [[w:en:Template:Cite journal|<nowiki>{{cite journal}}</nowiki>]] de tel sorte que je puisse l'utiliser avec Zotéro et sa fonction de création automatique de citation en texte wiki qui existe actuellement uniquement en Français. Un outil extrêmement puissant dans le cadre d'une université en ligne puisque en deux clic seulement, il permet de placer ceci au sein d'une bibliographie : <nowiki>{{Cite journal | doi = 10.7202/016443ar | issn = 1203-9438, 1703-8480 | volume = 26 | issue = 1 | pages = 133 | last = Parenteau | first = Danic | title = Diversité culturelle et mondialisation | journal = Politique et Sociétés | accessdate = 2014-03-25 | date = 2007 | url = http://www.erudit.org/revue/ps/2007/v26/n1/016443ar.html }}</nowiki> Combiner avec le modèle <nowiki>{{harv}}</nowiki>, très utiliser dans les recherches en sciences sociales, le référencement scientifique devient à la fois très facile et très efficace. J'utilise depuis longtemps déjà le modèle <nowiki>{{cite book}}</nowiki> importé et adapté (retiré le '''en''' situé devant la description bibliographique) par [[utilisateur:JackPotte|JackPotte]] si mes souvenir sont bon, mais voici que je suis en panne pour la citation d'article édité dans les journaux scientifiques publié en ligne... D'où mon appelle... Je sais que dans l'idéal, il faudrait développer la fonctionnalité du côté de Zotero en français, mais ceci est ni dans mes capacités ni dans ma zone d'influence. Je sais même pas si Zotero est un logiciel libre et si sa communauté de programmateurs est ouverte. En tout cas, merci d'avance pour vos réponses et votre aide éventuelle et puis bonne journée à tous. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 25 mars 2014 à 10:19 (UTC) :{{fait}} J’ai importé {{m|cite journal}} de Wikipédia, il s'agit en fait d'une redirection vers {{m[article}} (d'ailleurs c’est mon bot qui traduit ces modèles en anglais quotidiennement sur Wikipédia). [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 25 mars 2014 à 12:21 (UTC) ::Haaaa [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]]. Je comprends de mieux en mieux la sens de ton pseudo {{;)}}. Je pense toutefois qu’il y a quelques petites retouches à faire par rapport au modèle{{m|cite journal}} car un espace d'interligne se fait automatiquement alors qu’il n’apparaît pas dans le <nowiki>{{cite book}}</nowiki> et puis il manque aussi un espace caractère entre le n° de page et la parenthèse qui précède le n° ISSN. En tout cas c’est ce qui apparaît dans [[Recherche:Une_humanité_en_crise#Bibliographie|une de mes bibliographie]]. Mais en tout cas merci déjà pour l'importation. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 25 mars 2014 à 15:34 (UTC) --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 26 mars 2014 à 10:35 (UTC)== Idée de candidature. == == Éventuelle candidature au poste de Bibliothécaire == J’aimerais amorcer la question d'une éventuelle candidature au poste de Bibliothécaire. En fait pour le dire franchement, cette idée me vient en tête parce que je sollicite souvent les bibliothécaires pour des choses que je pourrais faire moi-même. Et donc ça me gêne un peu. Mais avant toutes choses, et comme j'ai apporté ma faucille, je vais couper l’herbe sur laquelle on pourrait mettre les pieds. Oui, je ne dois pas renommer sauvagement mes articles, oui c’est pas bien, oui je dois faire attention et oui je fais déjà attention. En faite si j'ai pris cette mauvaise habitude, c’est parce que je suis administrateur sur d'autres sites médiawiki et que sur ces wikis je peux donc très facilement effacer moi-même le titre des pages devenues obsolètes. Sur ces wikis, je mets la technique au service de l'édition et non l'inverse. Comme un article en cours d'édition sur un wiki est consultable à tout moment, je trouve important que le lecteur puisse consulter la version la plus aboutie, ne fusse que pour qu’il puisse y faire des commentaires, comme sur la question du titre par exemple. Voilà, l'herbe est coupée et donc revenons à la question : Pensez-vous que ma candidature soit une bonne idée ? Est-elle nécessaire où existe-t-il déjà assez de bibliothécaires ? Qui serait contre ma nomination et pourquoi ? Si je vois qu’il y a trop de bibliothécaires opposés à l'idée de me voir accéder aux outils d'administration, je ne prends pas la peine de poser ma candidature. Ce serait à la fois du temps perdu en plus d'être une démarche désagréable pour moi. D'un autre côté, tant que je n'ai pas les outils, je n'ai pas à les utiliser et donc, je suis en position légitime de faire faire le travail par les autres. Une légitimité d'autant plus grande si ma situation est choisie par mes sous-traitants {{;)}}. J'attends vos réactions avant de déplacer la question sur le bistro. Bonne journée à tous. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 25 mars 2014 à 10:47 (UTC) :[[Spécial:CentralAuth/Lionel Scheepmans|Pourquoi pas]], mais je viens de voir [[Spécial:Diff/426640|qu’il manquait une info depuis un an]] sur [[Wikiversité:Administrateur]]. J'espère que tu as lu cette charte. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 25 mars 2014 à 12:26 (UTC) :: Salut, dans toute ton argumentation pour devenir bibliothécaire, j'ai l'impression que c’est seulement pour éviter du travail aux autres bibliothécaires en effaçant, par exemple, toi-même tes pages. Crois bien que tu ne nous ennuies absolument pas en faisant souvent des requêtes aux bibliothécaires, on est là pour cela! Humainement, je n'ai rien contre toi, mais je vais très probablement te décevoir en te disant que je ne suis pas convaincue de ta candidature, compte tenu de tes contributions sur la Wikiversité. Tu affiches un [[Utilisateur:Lionel Scheepmans/CV|Curriculum vitae]] impressionnant et, pourtant je n'ai pas l'impression que tu mets tes compétences au service de la Wikiversité (60 contributions dans l'espace principal). Par contre, plus de 3000 contributions ont été consacrées à l'espace recherche où tu rédiges des pages dont le côté "recherche universitaire" ne me semble pas évident. Si une IP avait écrit la page : [[Recherche:Piratage électoral dans la commune de Walcourt]], je pense que cette page serait passée en suppression immédiate pour propagande politique. Tu es sympa, tu as une certaine ancienneté dans la Wikiversité et par conséquent ?? En fait, ce qui m'inquiète le plus dans ta candidature, c’est que tu as exprimé récemment le souhait de transférer tes pages recherches dans l'espace principal et je me demande quel serait l'avenir de la Wikiversité avec des bibliothécaires comme toi ?? On est là pour défendre la Wikiversité et éviter que certains viennent y écrire des choses qui n'ont pas de rapport avec l'enseignement ou la recherche. Et je n'arrive pas du tout à discerner chez toi cette volonté ?? Désolée pour ma réponse que j'exprime en mon âme et conscience bien que je sois ta meilleure amie sur Wikiversité en termes d'échanges épistolaires. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 25 mars 2014 à 13:42 (UTC) :::HAaaaa mais moi aussi je n'ai humainement rien contre toi [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ma meilleur amie sur Wikiversité en termes d'échanges épistolaires {{sourire}} au contraire mon côté humain est très sensible au charme de tes beaux yeux qui ne sont pas les tiens mais oui quand même, car il sont affichés sur ta page de discussion − ma grand mère avait une tête de biche dans son salon et c’était sa tête de biche −. Alors tout d’abord merci à toi de me soulager de ma double mauvaise conscience : celle de faire appel aux bibliothécaires pour la sous traitance de certaines tâches et puis aussi celle de ne pas poser ma candidature en tant que bibliothécaire alors que j'en ai largement les capacités. Comme tu le dis, mon cv km trique en témoigne et il ne reflète qu'une petite part de mes activités donc le boulot de bibliothécaire ce serait oui si tout le monde en exprimait la nécessité. Mais en fait si c’est non cela m'arrange tout autant. ::: Je dois maintenant t'envoyer un petit blâme pour [[w:Procès d'intention|Procès d'intention]], en prouvant par la même occasion que l'imperfection n’empêche pas de devenir bibliothécaire {{sourire}} Je n'ai jamais, je te cite : « exprimé récemment le souhait de transférer tes pages recherches dans l'espace principal ». Pour réparer ce [[w:sophisme|sophisme]], je te propose d'afficher un lien qui conduira les lecteurs vers ce que j'ai effectivement exprimé et qui devait être quelque chose qui devait ressembler à une recherche de solution par rapport au problème liés au fait que l'éditeur visuel ne fonctionnait pas sur l'espace non recherche. Par contre si ma mémoire est bonne c’est bien toi qui a émis l'idée de supprimer l'espace non recherche. Ce qui rend ton sophisme d'autant plus fallacieux. Ouch ... :::A mon tour maintenant de te mettre à l'épreuve. Je trouvais jusqu'ici tes remarques très constructives. Ton point de vue [[w:Epistémologique|épistémologique]] [[w:Karl Popper|popperien]] posé sur mes recherches m'a permis d'appliquer une attention toute particulière à la qualité de mes écrits en réajustant mes méthodes heuristiques de présentation d'idée. Mais je suis en train de réaliser que si les universités hors ligne en sont venues à séparer en faculté et département différents les sciences dures et les sciences molles, c’est très probablement parce que les principes épistémologiques et l'heuristique sont extrêmement voir trop différentes. Cela demande un réel effort de part et d’autre des disciplines pour se comprendre. Et quelque chose me fait croire que tu n'es pas encore arrivé au bout de tes efforts {{;)}}. ::: Maintenant, quand je lis : « On est là pour défendre la Wikiversité et éviter que certains viennent y écrire des choses qui n'ont pas de rapport avec l'enseignement ou la recherche », je ne vois plus un problème de compréhension réciproque mais bien une position à la fois hiérarchique et arbitraire. Et malheureusement, ici je n'ai plus envie de mettre de modèle <nowiki>{{sourire}}</nowiki> ou <nowiki>{{;)}}</nowiki>. Qui se cache derrière le « on » ? Est-ce toi toute seule ou alors es-tu représentante d'un groupe quelconque ? Ou peut-être fais-tu référence à des principes adoptés par l’ensemble des utilisateurs du site ? Qui sont les « certains » ? des gens comme moi ? Les adresses IP passées en suppression immédiate pour propagande politique ? Ou peut-être fais-tu référence à un groupe de personnes bien défini par des principes adoptés par l’ensemble des utilisateurs de Wikiversité ? De tels propos en provenance d'une bibliothécaire ont de quoi poser question. Et encore une fois, merci ! Cette petite expérience m'informe que les dérives quelque peu disons « oligarchiques » et « bureaucratiques » pour utiliser des termes forts, que l’on peut observer sur l'espace Wikipedia peuvent en faite s'observer dans un stade beaucoup plus précoce sur Wikiversité. :::Ceci dit, [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]], tu restes ma meilleure amie hein, je dis ça avec les meilleurs intentions du monde. Et puis pour la question du titre [[Recherche:Piratage électoral dans la commune de Walcourt]] ça peut toujours changer hein (tu le sais trop bien) et puis si le sujet ne fait pas assez sociologique on peut toujours le présenter comme recherche en science politique. Mon idée dans ce texte est de dénoncer les failles d'un système électorale à une époque où il est devenu une des questions centrales dans le débats politique Belge lancer par un intellectuel flamand de grande renommée. Je te laisserai faire les recherches toi-même sur google avec les mots clef « David Van Reybrouck » et « contre les élections ». Donc merci Lydie d’avoir lancé un débat qui pourra se poursuivre dans un [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Piratage électoral dans la commune de Walcourt|endroit plus approprié]]. {{sourire}} bonne soirée, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 25 mars 2014 à 17:23 (UTC) ::::"Nous défendons" fait probablement référence [//fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Spécial:Journal&type=delete&user=&page=&year=&month=-1&tagfilter=&hide_patrol_log=1&hide_thanks_log=1 au fil de l'eau], dont [https://toolserver.org/~vvv/adminstats.php?wiki=frwikiversity_p l'indicateur global] confirme les exemples récents. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 25 mars 2014 à 18:41 (UTC) :J’ai un avis réservé. Sans remettre en cause l'apport apporté à la wikiversité, qui est la base de la contribution, le bibliothécaire offre des outils techniques sur la wikiversité. Pour apporter un avis sur l'usage qui pourrait en être fait, je me base sur les contributions en tant qu'utilisateur habituelle et sur les motivations du demandeur. Poser la question de « pensez-vous que je soit utile à » c’est déjà avoir un doute sur la suite. Certes c’est honorable de poser la question de l'avis, mais parfois « l'action de » vaut mieux que « la question de ». À titre d'exemple sur les contributions, je ne comprend pas ce [[Spécial:diff/426668|changement]]. Pourquoi est-il ici, que vient-il faire pour y dire quoi ? [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 25 mars 2014 à 19:25 (UTC) ::Bonjour [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]], rebonjour [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]]. Donc comme je le disais peut-être pas assez clairement, j'ai déposé ce poste parce que je sollicite beaucoup les bibliothécaires et je voulais donc savoir si cela ne vous gène pas de faire pour moi des choses que je pourrais faire moi-même si j'y avais accès, ensuite, par curiosité, je me demandais s'il serait envisageable de poser ma candidature en tant que bibliothécaire en ne cachant pas le fait que ma motivation n'était pas tant de m'investir corps et âme dans le projet, mais bien de faire moi-même les tâches que je sais faire quand elles se présentent à moi. Et donc voilà c’est tout. J’ai eu les réponses à mes deux questions et elles me conviennent : Je ne dérange pas et je ne dois pas devenir bibliothécaire. Concernant la [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Piratage électoral dans la commune de Walcourt]] elle fut crée en réaction au propos de [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] dans une démarche qui se rapprochant un peu de la ''private joke'' pour ceux qui n'ont pas suivi nos discussions. J'en ai profité pour formuler dans la partie avis de la page "demande de suppression" des idées au départ desquelles nous pourrions réfléchir ensemble aux critères de suppression des pages recherches qui sont en définitive les pages les plus tendancieuses en termes de liberté d'expression de toute la sphère Wikimédia. Voilà j'espère avoir été compris par tous maintenant. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 25 mars 2014 à 20:17 (UTC) ::: Bonjour [[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel]]. Déjà à propos du procès d'intention que je t'ai fait. En fait, lorsque j'ai dit que tu as « exprimé récemment le souhait de transférer tes pages recherches dans l'espace principal », je l'ai dit parce que c’était quelque chose de très clair dans ma mémoire et j'étais loin de penser que tu le nierais. Je suis donc partie à la recherche de ta déclaration pour te donner le lien que tu me demandes, mais je n'ai absolument rien trouvé. Je ne comprends pas, peut-être ma mémoire me joue-t-elle des tours. Si c’est le cas, je te fais mes excuses pour avoir cru que tu voulais transformer certaines de tes pages recherches en leçon. Je me souviens aussi clairement avoir regretté que les pages recherches soit dans un espace à part pour des raisons de maintenance. En effet, ces pages n'apparaissent pas dans les [[:fr:Spécial:Nouvelles_pages/|nouvelles pages créées]] et dans les autres pages spéciales comme les [[Spécial:Pages non catégorisées|pages non catégorisées]], ce qui complique la maintenance. Pour le moment, on arrive à les suivre, car la page des modifications récentes défile assez lentement, mais je ne sais pas comment on fera lorsque ce ne sera plus le cas. Bien sûr, si les pages recherches étaient dans l'espace principal, il n’est pas question de les mélanger aux leçons, elles auraient toujours des modèles qui préciseraient clairement que c’est de la recherche. À propos de ma phrase « On est là pour défendre la Wikiversité et éviter que certains ne viennent y écrire des choses qui n'ont pas de rapport avec l'enseignement ou la recherche » (il est vrai que j'ai oublié les projets collaboratifs). Mais même si tu trouves que ce que je dis est une "position à la fois hiérarchique et arbitraire", je suis désolée, mais je maintiens. Il me semble qu'une des missions des bibliothécaires (et aussi des patrouilleurs) est de veiller à ce que les raisons, pour lesquelles la Wikiversité a été crée, soit respectées et donc de faire disparaître tout ce qui n'a pas de rapport avec des documents pédagogiques, de la recherche, ou des projets collaboratifs. Bien sûr, il faudrait mieux préciser ce que l’on entend par recherche ou projets collaboratifs. Je suis étonnée par ta phrase " les dérives quelque peu disons « oligarchiques » et « bureaucratiques » pour utiliser des termes forts, que l’on peut observer sur l'espace Wikipedia peuvent en fait s'observer dans un stade beaucoup plus précoce sur Wikiversité". Je ne pensais pas être aussi despotique {{Malin}}. Une des raisons, pour lesquelles, j'ai dit toutes ces choses plus haut, était de te pousser à donner des raisons sur ta candidature autres que celle d'assurer la maintenance de tes seules pages. Mais tu sembles confirmer que tu souhaiterais être bibliothécaire uniquement pour ne pas déranger les autres bibliothécaires et te limiter à la maintenance de tes pages. C'est sûr que c’est étrange! Mais dans le passé, on a fait pire! on a donné, pour des raisons mystérieuses, des outils de bibliothécaire, à l'unanimité, à quelqu'un qui n'avait rien demandé, qui ne pensait pas du tout devenir bibliothécaire, qui ne s'était jamais occupée de maintenance, qui ne connaissait presque rien sur la syntaxe wiki et qui n'a même pas pris la peine de rédiger sa candidature pour convaincre qui que ce soit. Devine qui c’est ! {{sourire}}. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 26 mars 2014 à 10:35 (UTC) ::::Je donne ma langue au chat, pour ta dernière question. Et je déplace la discussion dans la sale café car, sur le sujet que l’on aborde, le lieu est plus approprié. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 26 mars 2014 à 11:09 (UTC) ::::: Ha [[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel]], je pensais que tu aurais compris que c’était de moi-même que je parlais. Si si, c’est vrai! Je pense que j'ai été, il y a deux ans, la bibliothécaire la plus nulle de l'histoire de la Wikiversité. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 26 mars 2014 à 13:16 (UTC) ::::::Pour une matheuse tu manies également très bien l'{{w|autocatégorème}}. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 26 mars 2014 à 14:57 (UTC) ::::::: Tiens, j'ai appris un nouveau terme! je crois que j'ai oublié de préciser que tu étais le grand responsable de ma nomination et par conséquent de tous les dégâts que j'ai perpétrés dans la Wikiversité depuis deux ans, y compris les misères que j'inflige à ce pauvre [[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] {{Clin}}. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 26 mars 2014 à 16:10 (UTC) ::::::::Oui, je ne recrute que la crème de la crème {{Cool}}. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 26 mars 2014 à 19:05 (UTC) == Merci de supprimer [[Recherche:Piratage électoral dans la commune de Walcourt|cette page]] == Pour une fois, ce ne sera pas suite à un renommage abusif ;o) [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 26 mars 2014 à 13:56 (UTC) :{{fait}} [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 26 mars 2014 à 18:39 (UTC) == De nouvelles pages à supprimer trouvées dans ma liste de suivi... == Voici d'autres pages à supprimer : * https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Recherche:Réflexion_sur_l%27épistémologie_et_la_transmission_du_savoir_au_départ_du_livre_«_L%27herbe_du_diable_et_la_petite_fumée_»&redirect=no * https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Recherche:Nouvelles_formes_de_Management_dans_la_création_de_produits_numériques&redirect=no * https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Culture_fr.wikipédia&redirect=no * https://fr.wikiversity.org/wiki/Fichier:Manif_FFMC_Sur_le_périphérique_-_Paris_-_25_Mars_2012.jpg * https://fr.wikiversity.org/wiki/Fichier:Manif_FFMC_Sur_le_périphérique_-_Paris_-_25_Mars_2012.jpg * https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Recherche:L%27humanité_en_crise&redirect=no * https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Recherche:Lectures_comparées_de_«_Les_naufragés_»_et_de_«_Les_lances_du_crépuscules_»&redirect=no * https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Recherche:Lectures_comparées_entre_l%27ouvrage_«_Les_naufragés_»_de_Patrick_Declerck_et_de_l%27ouvrage_«_Les_lances_du_crépuscules_»_de_Philippe_Descola&redirect=no * https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Recherche:Nouvelles_formes_de_Management_dans_la_création_de_produits_numériques&redirect=no * https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Recherche:Réflexion_sur_l%27épistémologie_et_la_transmission_du_savoir_au_départ_du_livre_«_L%27herbe_du_diable_et_la_petite_fumée_»&redirect=no Après ceci, je crois que j'aurai fait le tour de toutes les renominations de page que j'ai pu faire sur WV. Merci.[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 26 mars 2014 à 15:31 (UTC) {{fait}} Sauf le fichier [[commons:File:Manif FFMC Sur le périphérique - Paris - 25 Mars 2012.jpg]] qui se trouve sur commons. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 26 mars 2014 à 17:41 (UTC) == Je commençais à vous manquer hein ? == Un heureux élus pourrait-il me rendre le service d'importer le modèle {{m|Cite encyclopedia}}. Je pourrais te le demander directement [[utilisateur:JackPotte|JackPotte]] mais bon, autant respecter le protocole hein, sinon on vas finir par créer des cabales dans le grand temple universitaire de l'espace wikimédia {{clin}}. Haaa ben ça me manquait tient. De donner un peu de boulot supplémentaire à mes amis les biblios. Bonne soirée à tous. --[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 3 avril 2014 à 17:47 (UTC) :{{fait}} Il me semblait important de traduire la documentation avec toutefois la Wikiversité anglophone ne l'a pas, et la Wikipédia de la même langue a changé pour l'intégrer dans un couteau suisse Lua : [[w:en:Module:citation/CS1]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 3 avril 2014 à 21:58 (UTC) == cours à supprimer ? == En 2009, [[Spécial:Contributions/Texou]] a créé un cours [[Finances publiques]] avec plan des leçons et des chapitres mais qui est un ensemble vide sans contributions réelles depuis. Je pense qu’il serait souhaitable de supprimer toute cette coquille vide ( cf = discussion [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2013]] ) - cordialement, [[Utilisateur:Geoleplubo|Geoleplubo]] ([[Discussion utilisateur:Geoleplubo|discussion]]) 29 mai 2014 à 21:42 (UTC) :Effectivement, les sept leçons constituant ce cours n'ont absolument aucun contenu pédagogique et ont été créées par un utilisateur dont la dernière contribution à la Wikiversité remonte au {{1er}} janvier 2010. Si aucune opposition ne se manifeste d'ici quelques heures, je supprimerai le cours et les sept leçons qu’il contient. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 30 mai 2014 à 06:03 (UTC) ::[[Fichier:Listenning.jpg|50px]] OK pour moi. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 30 mai 2014 à 11:30 (UTC) :{{fait}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 30 mai 2014 à 14:25 (UTC) == Département à supprimer ? == En 2007, [[Spécial:Contributions/Artomome]] a créé un [[Département:Sociologie économique]] qui est un ensemble vide sans contributions réelles depuis. Je pense qu’il serait souhaitable de supprimer tout ceci d'autant plus que la ''Sociologie économique'' me semble être un domaine assez restreint. cordialement, [[Utilisateur:Geoleplubo|Geoleplubo]] ([[Discussion utilisateur:Geoleplubo|discussion]]) 18 juin 2014 à 00:29 (UTC) : Supprimer une leçon vide est une chose, supprimer un département vide en est une autre. Il y a beaucoup de départements vides dans la Wikiversité et je ne crois pas que cela donne une mauvaise image de la Wikiversité dans la mesure où l’existence de ces départements se justifie par la quantité de leçons qu’ils sont potentiellement en mesure de contenir dans l'avenir. Par conséquent, pour supprimer un département, je pense qu’il faut surtout mettre en avant le fait que la quantité de leçons, qu’il est susceptible de recevoir, est trop faible pour justifier son existence (Un cours peut, peut être, suffire). Et par conséquent, dans le cas présent, il me semble que la suppression du [[Département:Sociologie économique]] devrait passer par un vote de la communauté après discussion sur l'utilité du département, dans une procédure [[Wikiversité:Pages à supprimer]]. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 20 juin 2014 à 20:32 (UTC) ::Le 29 avril 2007, [[Spécial:Contributions/Artomome]] a créé 10 départements dans idfaculté = sociologie en 6 minutes = 10:53 N Département:Anthropologie - 10:53 N Département:Méthode par observation ‎- 10:54 N Département:Méthode par questionnaire - 10:54 N Département:Méthode par entretien ‎- 10:55 N Département:École allemande - 10:55 N Département:École américaine - 10:56 N Département:Domaines de la culture - 10:57 N Département:Sociologie économique‎ - 10:58 N Département:Domaine social - 10:59 N Département:Domaine époques. Il y a ici une '''confusion entre départements/cours/leçons'''. La [[Faculté:Socio-anthropologie]] prévoit 21 départements ... ! ‎+ 2 départements de recherche. En comparaison, [[Faculté:Physique]] a 9(+1) départements (non vides!) et 1 Recherches de la faculté physique‎. Il faut réduire le nombre de départements de [[Faculté:Socio-anthropologie]] à un nombre raisonnable par fusion/regroupement/suppression/... Mon idée était de faire une leçon (ou peut-être un cours ?) sur la ''sociologie économique'' mais pour cela je pense qu’il faudrait avant supprimer ou modifier des départements de Faculté:Socio-anthropologie. (je fais un copier/coller dans [[Wikiversité:Pages à supprimer]]). cordialement, [[Utilisateur:Geoleplubo|Geoleplubo]] ([[Discussion utilisateur:Geoleplubo|discussion]]) 20 juin 2014 à 22:36 (UTC) ::: En 2007, le concept de cours n'existait pas encore sur la wikiversité. Il n'y avait rien entre la leçon et le département. Certains contributeurs ont donc dû créer des départements là où aujourd’hui on aurait créé un cours qui est un intermédiaire entre la leçon et le département ([[Modèle:Cours]], [[Aide:Comment créer un cours]]). On doit donc pouvoir réorganiser certaines Facultés pour transformer des départements en cours, en leçon, supprimer ou fusionner. Si vous avez les idées claires sur ce que vous voulez faire et si vous pensez avoir les compétences nécessaires alors, allez-y. Je pense que l’on doit pouvoir vous faire confiance puisque vous avez plus de 6800 contributions sur les projets wikimédia. En ce qui me concerne, c’est OK, mais attendez tout de même trois ou quatre jours avant de commencer pour laisser le temps à d'autres bibliothécaires de s'exprimer ou de mettre leur opposition à ce projet. Bien cordialement. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 21 juin 2014 à 11:50 (UTC) ::::OK, je suis en vacances la semaine prochaine (sans connexions ouèbe) et je regarderai en juillet comment réorganiser la [[Faculté:Socio-anthropologie]], cordialement, [[Utilisateur:Geoleplubo|Geoleplubo]] ([[Discussion utilisateur:Geoleplubo|discussion]]) 21 juin 2014 à 23:04 (UTC) == Juste une question technique sans savoir si elle retourne des compétences des administrateurs. == Contrairement à Wikipédia, Il y a sur Wikiversité un espace entre l'onglet discussion et lire. De ce fait, le menu se décale sur la droite et crée un menu déroulant pour les derniers onglets ce qui rend le site moins conviviale et moins conviviale. Dans le cas d'utilisation d’icône de titre, comme c’est le cas sur ma page utilisateur, le menu déroulant devient même illisible. Je me demande donc si c’est un simple code à modifier sur une page de configuration du site et si cela pouvait être traité par un biblio averti. Bonne journée à tous, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 15 septembre 2014 à 10:58 (UTC) :Tu as un écran avec quelle définition ? [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 15 septembre 2014 à 11:12 (UTC) ::Je le vois aussi sur Wikipédia. Il s'agit juste d'un <code>li#ca-talk style="margin-right:1.6em"</code> de MediaWiki, mais nous pourrions le forcer autrement. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 15 septembre 2014 à 18:54 (UTC) :1024 sur 768 [[Utilisateur:Crochet.david|David]] [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 16 septembre 2014 à 21:54 (UTC) ::J’aime beaucoup ton accent Clingon [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]], malheureusement, je ne comprend rien. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 16 septembre 2014 à 21:54 (UTC) == Pourquoi protéger la page d’accueil du bistro ? == Bonjour, Je viens pour tenter de comprendre pourquoi la page d'accueil du bistro vient d'être interdite à l'édition (enfin sauf pour les administrateur comme toute les pages protégée). Moi qui suis plus vraiment un nouveau contributeur cela me pose problème et complique mes interactions avec la communauté. Pour les nouveaux contributeurs, j'imagine que cela doit être encore plus gênant voir même décourageant. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 25 décembre 2014 à 10:39 (UTC) :Hum, je ne sais pas, la protection de la page principale du bistro empêche l'édition des section. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 25 décembre 2014 à 11:52 (UTC) ::Ma question est aussi pourquoi cette décision de protéger la page principale du bistro ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]} 25 décembre 2014 à 12:45 (UTC) :::À cause du système « MassMessage » qui n'envoie pas les message aux bons endroits. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 25 décembre 2014 à 13:23 (UTC) ::::N'ayant pas trouvé de contact pour ce bot par le passé, nous pourrions aussi l'interdire avec le filtre anti-abus. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 25 décembre 2014 à 21:30 (UTC) :::::Il utilise le système de MassMessage de Mediawiki. La page contenant la liste des pages utilisé est donné en signature de sa contribution et renvoie [[m:User:Elitre_(WMF)/MassMessage/VE_Global_Newsletter|ici]]. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 25 décembre 2014 à 21:38 (UTC) 3vdy36uy5kc4qguat2epsf06598kl5d 3 58504 987024 790830 2026-10-04T11:57:44Z Crochet.david.bot 1005 Robot : conversion/correction du HTML 987024 wikitext text/x-wiki {{Bienvenue}} N'hésitez pas non plus à ma contacter sur ma page des discussion ou même sur cette page-ci. À partir du moment ou vous mettez ceci : <nowiki>[[Utilisateur:Lionel Scheepmans]]</nowiki> dans n’importe quelle page de la wikiversité, j'en serai averti via le système de notification et je viendrai donc voir de quoi il s'agit. Cela fonctionne pour tout autre utilisateur. Un très agréable fin de journée, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 11 décembre 2015 à 14:35 (UTC) acr8no83xu3nja7lx5j814hbtuydylm 3 58505 987025 790831 2026-10-04T11:57:54Z Crochet.david.bot 1005 Robot : conversion/correction du HTML 987025 wikitext text/x-wiki {{Bienvenue}} N'hésitez pas non plus à ma contacter sur ma page des discussion ou même sur cette page-ci. À partir du moment ou vous mettez ceci : <nowiki>[[Utilisateur:Lionel Scheepmans]]</nowiki> dans n’importe quelle page de la wikiversité, j'en serai averti via le système de notification et je viendrai donc voir de quoi il s'agit. Cela fonctionne pour tout autre utilisateur. Un très agréable fin de journée, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 11 décembre 2015 à 14:35 (UTC) acr8no83xu3nja7lx5j814hbtuydylm 4 58670 987026 982010 2026-10-04T11:58:04Z Crochet.david.bot 1005 Robot : conversion/correction du HTML 987026 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2016|01}}</noinclude> == Bonne année à tous ! == Tous mes vœux pour cette nouvelle année, aussi bien pour la Wikiversité que pour vous et vos proches. --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 1 janvier 2016 à 13:59 (UTC) : Mes vœux de même — {{Espiègle}} ! J'espère investir correctement le laboratoire pour tous. [[Utilisateur:Frigory|Frigory]] <small class="plainlinks">([[Discussion Utilisateur:Frigory|<span title="page de discussion">d</span>]] · [[Spécial:Contributions/Frigory|<span title="contributions">c</span>]] · [{{fullurl:Special:Log|type=block&page=User:{{urlencode:Frigory}}}} <span title="blocages">b</span>] · [[sulutil:Frigory|<span title="Compte unifié">s</span>]])</small> 10 janvier 2016 à 10:02 (UTC) == Bonne année 2016 ! Marquons la date ! == [[Fichier:Letter by Date Tadamune (1600-1658), Edo period, 17th century, ink on paper - Tokyo National Museum - DSC05902.JPG|100px|vignette]] Bonne année 2016 à tous les téméraires qui contribuent sur Wikiversité ! Merci de m'avoir accueillie en 2015 et de m'aider à développer mes recherches. Marquer la date reste reste un point noir (oh, {{Désespoir}} !) de mes compétences. Impossible de développer une [[Discussion Département:Bases de données bibliographiques|base de données bibliographiques]] sans date ! Je trouve {{m|Inscription date}}. Mais je ne comprends pas comment l’utiliser. Dans la page [[:Catégorie:Documentations de modèles]], aucun {{m|Date}} comme on peut trouver sur Wikipédia : [[w:Modèle:Date]]. Quelle action est possible pour mon bonheur ? Bel bonjour, --[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 3 janvier 2016 à 14:28 (UTC) :La documentation a été ajoutée au modèle {{m|Inscription date}}. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 3 janvier 2016 à 16:47 (UTC) ::Merci, [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]]. {{m|Inscription date|jour|mois|année}} est un progrès et demandera un apprentissage supplémentaire par rapport à {{m|Date}}. --[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 4 janvier 2016 à 14:09 (UTC) == On pourrait faire la publicité de [[w:Wikipédia:WikiMOOC|Wikipédia:WikiMOOC]] sur Wikiversité ? == Qu'en pensez-vous ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 3 janvier 2016 à 15:35 (UTC) :Et même s'inscrire pour en faire un petit compte-rendu circonstancié !? {{sourire}} :En tout cas, ça me tente bien, car ce qui peut servir pour Wikipédia peut servir pour la Wikiversité. --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 3 janvier 2016 à 16:34 (UTC) ::En faire la publicité où ? [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 3 janvier 2016 à 16:57 (UTC) :::Bonne question [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]]. Sur la page d'accueil ? Ou alors via un bandeau escamotable en début février par exemple ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 3 janvier 2016 à 20:29 (UTC) {{Comment}} Il me semble, en effet, intéressant de suivre le [[w:Wikipédia:WikiMOOC|Wikipédia:WikiMOOC]] qui de toutes les manières donnera les bases de la contribution sur tous les projets Wikimedia. Pourquoi pas un bandeau (léger...) ? Voire une page de discussion pour échanger avec le filtre Wikiversité ? --[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 4 janvier 2016 à 13:59 (UTC) {{contre}} Faites des liens si vous voulez, chacun est en droit de le faire depuis le début des wikis. Par contre gardez à l'esprit que la notion de publicité est maudite, dégradante et malvenue sur un projet Wiki. Facilitons l'accès au contenu de qualité de nos Facultés et départements, trions et mettons en avant ces contenus, écartons le reste. Rendons visibles nos meilleurs contenus, concentrons-nous sur notre sujet : améliorer la Wikiversité. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 6 janvier 2016 à 12:28 (UTC) :Tu as raison. En même temps, ce n’est pas pour un yaourt ou une voiture... {{sourire}} Personnellement, je me suis inscrit et ferai un petit travail personnel. --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 6 janvier 2016 à 14:16 (UTC) ::Je rejoins l'avis de [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni]], j'aurais même pas dû faire la proposition en fait. Mais pour me faire pardonner, j’ai une autre idée. Je vais (avec qui voudra m'aider) importer le contenu du {{Abréviation|MOOC|Massive Open Online Course|en}} pour en faire un contenu permanent et intégré à la sphère des projets Wikimedia. En fait c’est quand même incroyable qu'une organisation extérieure choisisse Wikiversité pour organiser leur cours sur le sujet de l'accessibilité numérique et que Wikimédia France ne pense même pas à le faire... Plus on avance, moins je comprends les choix et comportements observables au niveau de la fondation Wikimédia et des différentes associations nationales qui la représentent. Belle fin de journée à tous, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 6 janvier 2016 à 19:11 (UTC) Bonjour à tous [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]], [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]], [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]], [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] et [[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] {{sourire}}. En fait, le choix de la plateforme FUN n’est pas (du tout) une décision de Wikimédia France, mais une décision collective de la douzaine de contributeurs de Wikipédia qui conçoivent le MOOC. En effet, si le {{Abréviation|MOOC|Massive Open Online Course|en}} est bien soutenu, notamment financièrement, par Wikimédia France, ce sont des Wikipédiens bénévoles qui en ont eu l'idée, le conçoivent, et prennent les décisions {{clin}}. Ce choix de plateforme s'appuie notamment sur le fait que le ''format'' {{Abréviation|MOOC|Massive Open Online Course|en}} soit bien particulier et n’est pas comparable à celui de « simples » cours en ligne : toute la partie évaluation et interactions, primordiale et caractéristique des MOOCs, n'aurait pas pu être menée correctement sur la Wikiversité. En outre, FUN a l'avantage d’être assez connu, ce qui nous l'a fait préférer à d'autres plateformes (privées, à l'inverse de FUN). En revanche, nous avions discuté [[Wikiversité:La_salle_café/octobre_2015#WikiMOOC|ici-même]], à l'initiative de [[User:Psychoslave|Psychoslave]], du fait qu’il était tout à fait envisageable (et souhaitable !) de copier et adapter les cours textuels sur la Wikiversité, dans une optique de cours en ligne plus classiques (sans la partie évaluation et la partie interactions), accessibles toute l'année (ce que n’est pas le MOOC). Je suis à votre disposition pour discuter et coordonner cela, et je suis ouvert à toute idée. Amicalement, [[Utilisateur:Jules78120|Jules78120]] ([[Discussion utilisateur:Jules78120|discussion]]) 9 janvier 2016 à 17:30 (UTC) :Ouille ! Voilà qui est fait [[Utilisateur:Jules78120|Jules78120]]. Je viens de me taper sur les doigts pour le procès d'intention fait à l'association Wikimédia France. C'est bien que tu aies pris la peine de nous communiquer toutes ces informations ; merci beaucoup. J'imagine que ce doit être [[User:Psychoslave|Psychoslave]] qui t'a informé de cette présente discussion. Si c’est le cas, je le remercie aussi. On se recontacte donc à la fin du {{Abréviation|MOOC|Massive Open Online Course|en}} pour la mise en chantier du transfert de contenu. D'ici-là, il se peut que le projet de cours actuellement en chantier au sujet de l’[[Accessibilité numérique : introduction|accessibilité numérique]] aura atteint un stade de maturité suffisant pour que les nouveaux modèles soit fonctionnels et suffisamment aboutis pour que l’on puisse les utiliser. @ bientôt donc, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 9 janvier 2016 à 18:56 (UTC) ::{{notif|Lionel Scheepmans}} En fait, je suis tombé sur cette discussion tout à fait par hasard, par le truchement de... Google. ::Ce projet d'intégration de cours du {{Abréviation|CNED|Centre National d’Enseignement à Distance}} sur l'Accessibilité numérique sur la Wikiversité m'a l'air très prometteur, pour ses graphismes, mais aussi parce que j’ai l'impression qu’il est prévu de pouvoir mener des évaluations directement sur la Wikiversité (?). Où puis-je trouver plus d'informations sur la genèse de ce projet ? ::Et sinon, oui, on se recontacte d'ici la fin du WikiMOOC. Bien à toi, [[Utilisateur:Jules78120|Jules78120]] ([[Discussion utilisateur:Jules78120|discussion]]) 9 janvier 2016 à 19:10 (UTC) :::[[Utilisateur:Jules78120|Jules78120]] : Wikiversité est bien référencé, tant mieux. Pour plus d'info sur le cours du {{Abréviation|CNED|Centre National d’Enseignement à Distance}} sur l'Accessibilité numérique. Tu devrais à mon avis communiquer par mail avec la [[utilisateur:Isabelle-ANDI|Isabelle-ANDI]] j’ai crus comprendre qu'elle était chef de projet. Si ça tombe, tu pourras leur apporter de l'aide dans leur démarche. Bonne chance et à bientôt, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 10 janvier 2016 à 11:25 (UTC) :::::{{notif|Jules78120}}Nous avons un bref descriptif du projet sur cette page [[Discussion:Accessibilité_numérique_:_introduction.|intro accessibilité numérique]] La formation est organisée en séquences : une vidéo pour les bases, du contenu écrit pour le cours et un quizz pour de l'auto- évaluation. Nous avons créé un visuel un peu à la façon d'un mooc de manière à faciliter le parcours de celui qui apprend, il est visible en test sur un autre hébergement sécurisé, ici :[http://metamedias.net/dev-tests/wikiversite/template_1_video.htm template video ][http://metamedias.net/dev-tests/wikiversite/template_2_activites.htm template activités ][http://metamedias.net/dev-tests/wikiversite/template_3_evaluation.htm template d’auto-évaluation ], pour y accéder Identifiant : '''demo''' Mot de passe : '''demo'''. Nous recherchons effectivement une aide technique pour la création du modèle, car il faudrait idéalement pouvoir intégrer dans le modèle les CSS et les javascripts spécifiques. Les autres contributeurs nous ont conseillé de porter ces questions sur la page laboratoire.--[[Utilisateur:Isabelle-ANDI|Isabelle-ANDI]] ([[Discussion utilisateur:Isabelle-ANDI|discussion]]) 11 janvier 2016 à 14:34 (UTC) == Des flèches enfin fonctionnelles == Depuis le temps que ça trainait dans mes tiroirs. En ce moment je m’attèle plus du côté de la mise en branle d’une version espérantophone de la wikiversité, mais j’ai quand même pris un peu de temps pour améliorer (ou en tout cas modifier {{rire}}) l’ergonomie de notre version francophone. Normalement les flèches en bas des leçons devraient désormais pointer vers les chapitres précédents/suivants, comme chacun peu s’y attendre, plutôt que vers les pages de description des images. J’ai changé les flèches au passage en les agrandissant. Merci de me signaler si vous découvre des problèmes liés à ces modifications. Pour l’aspect technique, je n’ai pas changé grand chose au modèle, je n’ai fait que traiter l’argument correspondant au lien par un module scribunto. La dernière fois que je m’étais penché sur la question, scribunto n’était pas encore en place il me semble. L’autre solution aurait été de faire passer un bot pour modifier tous les appels du modèle (!!!). --[[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discussion]]) 3 janvier 2016 à 17:44 (UTC) :Les flèches sont plus jolies. Par contre, j’ai essayé sur quelques leçons : quand on clique sur les flèches elles-mêmes, comme on peut être tenté de le faire, on arrive quand même sur la description du fichier image (ex : File:Go-next-grey.svg). --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 3 janvier 2016 à 18:54 (UTC) ::Pourrais-tu me donner les références des leçons concernés ? Je soupçonne un simple problème de cache (tu peux demander un rafraîchissement de la page par crtl+shift+R (en tout cas cas avec Firefox sous Linux). Merci pour tes retours. --[[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discussion]]) 3 janvier 2016 à 23:14 (UTC) :::Par exemple, sur [[Modes jazz/Exercices/Mode de do (ionien)]] et [[Gammes classiques jazz/Exercices/Motifs de deux éléments]] :::J’ai fait crtl+shift+R, j’ai cliqué sur l'onglet, "Purger", j’ai aspergé d'eau bénite, mais ça marche toujours pôs ! :::C'est grave, docteur ? --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 4 janvier 2016 à 10:13 (UTC) ::::Très grave oui, il va falloir envisager l’amputation ! {{rire}} Bon, il semble que le paramètre ''link='' des images n’est pas compatible avec des liens faisant référence aux pages ascendantes, comme ''../Mode de ré (dorien)/''. Il va falloir que je charcute un peu le module pour qu’il crache la référence complète de la page. Ça pourrait me prendre un peu de temps, car il faut que je me documente sur la façon de récupérer ces informations contextuels sans avoir à modifier les appels du modèle. --4 janvier 2016 à 12:10 (UTC) :::::OK. Mais si ya que "mes" leçons concernées, ne te casse pas trop le bol non plus... (Ampute directement ! {{mdr}}) --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 4 janvier 2016 à 17:16 (UTC) ::::::Non, je ne pense pas, et il faut vraiment que je prenne le temps de le faire. Là en ce moment avec les {{Unité|15|ans}} de Wikipédia je suis vraiment très occupé, mais n’hésite surtout pas à me relancer sur le sujet si jamais j’ai l’air de ne plus y penser. ^^ --[[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discussion]]) 10 janvier 2016 à 19:58 (UTC) :::::::Oky. {{sourire}} --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 10 janvier 2016 à 22:01 (UTC) ::::: {{Notif|Psychoslave}} Tu peux remplacer <code>..</code> par <code><nowiki>{{BASEPAGENAME}}</nowiki></code>, non ? [[Utilisateur:Frigory|Frigory]] <small class="plainlinks">([[Discussion Utilisateur:Frigory|<span title="page de discussion">d</span>]] · [[Spécial:Contributions/Frigory|<span title="contributions">c</span>]] · [{{fullurl:Special:Log|type=block&page=User:{{urlencode:Frigory}}}} <span title="blocages">b</span>] · [[sulutil:Frigory|<span title="Compte unifié">s</span>]])</small> 11 janvier 2016 à 10:13 (UTC) :::::: À voir, c’est possible, mais je ne serais pas étonné si ça ne fonctionnait pas. Ma supposition c’est que le problème du ../ non interprété est dû même niveau que {{BASEPAGENAME}}. En plus je ne suis pas sûr que ce dernier renvoie '/page/sous-page/' pour la page '/page/sous-page/sous-souspage'. --[[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discussion]]) 11 janvier 2016 à 16:14 (UTC) Et hop, la solution était d’utiliser <nowiki>{{#rel2abs:../page suivante}}</nowiki>. {{sourire}} J’ai testé sur la page que tu pointais, après une purge du cache ça fonctionne. Si quelqu’un repère d’autres soucis, merci de me le signaler. --[[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discussion]]) 12 janvier 2016 à 03:37 (UTC) == Lister les leçons par degré d’avancement == Salut, je me demandais s’il y avait un moyen de lister les leçons par degré d’avancement… --[[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discussion]]) 3 janvier 2016 à 23:12 (UTC) :Tu veux dire en plus de [[:Catégorie:Leçons par avancement]] ? [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 3 janvier 2016 à 23:23 (UTC) ::Oui, exactement ! :) ::: Je rejoins Psychoslave, quand j’ai vu le modèle Département envahir la Wikiversité (2008), j’ai regretté de ne plus pouvoir éditer la page d'accueil du dpt. (le code est trop complexe). Finalement, je me suis consolé en pensant que si cet inconvénient était compensé par des sections automatiques « leçons par thèmes », « leçons par niveau », « leçons par degrés d'avancement », ça en vaudrait la peine. Huit ans plus tard, les sections sont vides, mal renseignées, la mise à jour est manuelle, aucune automatisation. Donc on a perdu la faculté d'éditer la page du dpt. uniquement pour uniformiser l'aspect visuel. Nous sommes aux antipodes de la philosophie Wiki. Nous écartons de potentiels nouveaux contributeurs avec une interface compliquée (les modèles Dept et leçon) et souvent vide. [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) ::::Mouais... Enfin je te rassure ils ne sont pas sur Wikibooks non plus, où la syntaxe est pourtant ultimement libre. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 6 janvier 2016 à 16:07 (UTC) ::: :::: Je vais tenter d'y travailler sous peu. Je commencerai par les leçons. :::: C'est bien d'uniformiser l'interface, mais je ne suis même pas satisfait du style actuel… [[Utilisateur:Frigory|Frigory]] <small class="plainlinks">([[Discussion Utilisateur:Frigory|<span title="page de discussion">d</span>]] · [[Spécial:Contributions/Frigory|<span title="contributions">c</span>]] · [{{fullurl:Special:Log|type=block&page=User:{{urlencode:Frigory}}}} <span title="blocages">b</span>] · [[sulutil:Frigory|<span title="Compte unifié">s</span>]])</small> 11 janvier 2016 à 10:16 (UTC) ::::: Tout à fait d’accord. On pourrait même créer un projet collaboratif sur le sujet. À prendre en compte : * [https://wikimediafoundation.org/wiki/Visual_identity_guidelines Visual identity guidelines] * https://meta.wikimedia.org/wiki/Wikimedia_visual_identity_guidelines * https://www.mediawiki.org/wiki/Wikimedia_Foundation_Design/Agora_icon_set * https://www.mediawiki.org/wiki/Project:Visual_identity * https://www.mediawiki.org/wiki/Wikimedia_Foundation_Design/Agora_icon_set * https://www.mediawiki.org/wiki/Design/WikiFont * [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/wikimania2007/0/0f/GPaumier-Visualidentity-WM2007-proceedings.pdf Strengthening and unifying the visual identity of Wikimedia projects: a step towards maturity] --[[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discussion]]) 12 janvier 2016 à 21:22 (UTC) <nowiki> {{Category tree|Leçons par avancement}} {{Category tree|Leçons d'avancement 3}} {{Category tree|Modèle:Racine}}</nowiki> ( en cours de suppression) J'avoue que ça fait bien longtemps que je cherchais quelque-chose de semblable. J’ai simplement fait une copie du modèle de la Wikiversity. Malheureusement y'a un soucis, je n'arrive pas à voir le contenu pour "Leçons d'avancement 3". Peut-être lié au fait que les catégories soient cachées (je ne connais pas cette fonction). Je m'en tient là pour aujourd'hui. Amicalement. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 13 janvier 2016 à 23:51 (UTC) :Il n'y a pas de sous-catégorie dans [[:Catégorie:Leçons d'avancement 3]], pour en voir les pages il faut donc utiliser : {{(|<nowiki><categorytree mode=pages>Leçons d'avancement 3</categorytree></nowiki>}} <categorytree mode=pages>Leçons d'avancement 3</categorytree> {{)}} [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 14 janvier 2016 à 12:57 (UTC) :: Ce qui me permet de faire ceci :<br /> {{(|Items à faire du département portugais}}<categorytree mode=pages>À faire Portugais</categorytree>{{)}}<br /> :: A ce stade je préfère continuer les tests au Labo [[Projet:Laboratoire/Propositions/Nouveaux_modèles#Propositions_d.27améliorations]]. Un grand merci à [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]]. == Bandeau participatif sur Wikiversity == Bonjour, je viens de découvrir que la [[v:en:Wikiversity:Main Page|Wikiversité anglophone]] utilisait un bandeau escamotable pour avertir les utilisateurs sur l’existence d'une discussion en cours en matière de la politique de gestion des bots. Je trouve la démarche intéressante et j'aimerais savoir ce qu'en pense notre communauté. Je vous informe par la même occasion sur l’existence d'[[v:en:Wikipedia & democracy, why and how improve equality among actives editors in project and movement governance?|un texte]] traitant justement de la question processus démocratique au sein des projets Wikimedia qui pourrait intéresser certains d'entre vous. Il est actuellement en anglais, mais je prévois de le traduire d'ici peu, je vous tiendrai au courant. Bonne fin de journée à tous, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 4 janvier 2016 à 15:01 (UTC) :J’ai participé à ce vote mais ici nous avions déjà une politique de retrait des statuts de bot depuis des années. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 4 janvier 2016 à 16:20 (UTC) == Renseignements techniques au sujet des modèles == Pour faire suite à nos interrogations sur les projets accessibilité, j'aimerais poser quelques questions techniques pour nous permettre d'évaluer la faisabilité de créer un nouveau modèle avant de le soumettre à une prise de décision. Dans la page de prise de décision, je pourrais expliquer l’intérêt de cette proposition mais auparavant, voici le visuel du modèle que nous aimerions créer et mes questions. Suite à nos tests dans le bac à sable et dans nos premières pages en construction, voici le visuel final du modèle que nous proposons pour les 3 types de page qui constituent le cours sur l'accessibilité numérique :<br /><br />[http://metamedias.net/dev-tests/wikiversite/template_1_video.htm template video ]<br /><br />[http://metamedias.net/dev-tests/wikiversite/template_2_activites.htm template activités ]<br /><br />[http://metamedias.net/dev-tests/wikiversite/template_3_evaluation.htm template d’auto-évaluation ]<br /><br />Ces pages sont hébergée sur le serveur de test de [[Utilisateur:Mobyou|Mobyou]] (Carsten), pour y accéder entrez :<br /><br />Identifiant : '''demo'''<br /><br />Mot de passe : '''demo'''<br /><br /> Est-il possible d'intégrer dans le code source du modèle les scripts javascripts simples qui permettent entre autres d’avoir le menu "accordéon" ? Ou héberger les scripts sur médiawiki ?<br /> Est-il possible d'intégrer les codes CSS qui permettent la mise en page de ce cours dans le code source du modèle ? Ou les héberger sur médiawiki ?<br /> D'après la page "aide" sur la création d'un modèle, il semble qu'on puisse le faire : https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversité:Modèles.<br /> Merci de votre aide<br /> --[[Utilisateur:Isabelle-ANDI|Isabelle-ANDI]] ([[Discussion utilisateur:Isabelle-ANDI|discussion]]) 4 janvier 2016 à 16:36 (UTC) :Bonjour à tous les contributeurs des pages: [[Accessibilité numérique : introduction]]. Félicitations pour votre persévérance, la lisibilité des pages progresse. Vous avez choisi l’utilisation de notre modèle "Leçon du jour" qui est pour moi un mystère et une aberration. En conséquence (ou pas), vos travaux paraissent orphelins, sans faculté ni département. Quand je clique sur le titre du modèle "Département Accessibilité numérique"(il faut simplement créer le département, pardon. ). Quand je clique sur vos pages de tests je suis déconnecte de mon compte (oups!). Donc j’ai vu le template d'auto-evaluation, je suis "bleufé" c’est beau. Je ne sais pas comment vous faites, qu'est-ce que le serveur de test Mobyou? La nouvelle solution choisie pour améliorer, le "travail" des modèles sur mediawiki est le language Lua combiné avec la bibliothèque Scribunto qui s'exécutent dans des modules, c’est une solution au même titre que Python et pywikibot. Garder à l'esprit que vos travaux doivent pouvoir être modifiés par tous et de la même façon que sur l’ensemble du wiki. Les questions soulevées ici, devraient (pourraient) être traitées dans le [[Projet:laboratoire|laboratoire]] curieusement abandonné depuis plusieurs années. Les difficultés que vous rencontrez sont celles de tout contributeur, rejoignons nous au labo. Isabelle, du fait de l'importance de vos questions ; pensez à créer votre page utilisateur. Mes encouragements ; pour un savoir plus accessible. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 6 janvier 2016 à 13:48 (UTC) ::Je confirme ; c’est de la belle ouvrage. Ceci étant, je ne pense pas que l’utilisation du modèle "Leçon du jour" empêche de rattacher la page à un département. --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 6 janvier 2016 à 15:25 (UTC) :::Bravo à toute votre équipe [[Utilisateur:Isabelle-ANDI|Isabelle-ANDI]], le rendu est vraiment très bien. Pour les questions techniques cela atteint un niveau qui me dépasse et pour la question d'intégration dans la wikiversité je trouve les recommandations de [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] très bonnes. Si vous entamer un travail de concertation sur la page [[Projet:laboratoire|laboratoire]], n'oubliez pas d'inviter [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie]] pour tout ce qui concerne les aspects maintenances, elle est certainement la plus active d'entre nous et aura donc des avis pertinents qui pourrons vous guider. Une belle fin de journée à tous. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 6 janvier 2016 à 19:03 (UTC) :::: Merci pour vos commentaires et idées. Nous avons pris un peu de temps finalement mais je viens de porter le sujet avec des propositions de solutions au laboratoire --[[Utilisateur:Isabelle-ANDI|Isabelle-ANDI]] ([[Discussion utilisateur:Isabelle-ANDI|discussion]]) 16 février 2016 à 12:08 (UTC) :::::Ça se passe sur [[Projet:Laboratoire/Propositions/Projet accessibilité numérique]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 16 février 2016 à 14:58 (UTC) == bonne adresse == Bonjour, j'essaye de faire un tableau donnant la liste des premières exploitations (édition, lecture, représentation) de pièce de théâtre traduites d'une langue européenne en français. par exemple : Slovène -> Français * première édition : La Libération de Skopje de Dusan Jovanovic, traduction (via le serbo-croate) Mireille Robin, éditions l'Espace d'un instant, Paris, 2003 * première lecture : La Libération de Skopje de Dusan Jovanovic, traduction (via le serbo-croate) Mireille Robin, direction Isabelle Suran, Théâtre Ouvert, Paris, 2001 * première création : Vladimir de Matiaz Zupancic, traduction Primoz Vitez, mise en scène Véronique Ros de la Grange, Théâtre Alchimic, Genève, 2013 Je voudrais le faire de façon participative pour le français, puis pour chacune des langues d'Europe. Est-il possible de le faire sur Wikiversité ? Sinon, où ? Merci de votre réponse. Cordialement, {{non signé|Dominique Dolmieu}} :Ici c’est possible, mais si les pièces sont tombées dans le domaine public elle peuvent être entièrement sur [[s:|Wikisource]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 11 janvier 2016 à 10:42 (UTC) == [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/02|Tech News: 2016-02]] == <section begin="technews-2016-W02"/><div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="fr" dir="ltr"><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/02|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Changements récents''' * Les sites Wikimédia n’utiliseront plus les statistiques de visiteurs uniques de [[w:fr:ComScore|ComScore]]. [[meta:ComScore/Announcement]] * Vous pouvez créer des graphiques interactifs avec l’[[mw:Extension:Graph|extension Graph]]. [[mw:Extension:Graph/Interactive Graph Tutorial|Un tutoriel pour le faire]] a été créé. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-l/2015-December/084416.html] '''Problèmes''' * Certaines pages n’apparaissent pas dans les catégories dans lesquelles elles devraient être. Cela est dû au fait que certaines tables de liens ne sont parfois pas remplies. [https://phabricator.wikimedia.org/T117332] '''Changements cette semaine''' * L’[[mw:Extension:Nuke|extension Nuke]] pourra interagir avec [[mw:Flow|Flow]]. Cela simplifiera le traitement des pourriels dans Flow. [https://phabricator.wikimedia.org/T115695] * Les téléversements de nouveaux fichiers pourront dorénavant être marqués comme « patrouillés ». [https://phabricator.wikimedia.org/T11501] * Les scripts [[w:fr:JavaScript|JavaScript]] ne seront plus exécutés par Internet Explorer 8. Il sera [[mw:Special:MyLanguage/Compatibility#Basic|toujours possible de lire et de modifier Wikipédia]] avec ce navigateur mais certaines fonctionnalités ne seront pas disponibles. Il est possible de retrouver ces fonctionnalités en utilisant une version plus récente ou un autre navigateur. [https://phabricator.wikimedia.org/T118303][https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-ambassadors/2015-November/001286.html] '''Réunions''' * <span title="Sujet récurrent"> [[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]</span> Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=20&min=00&sec=0&day=12&month=01&year=2016 12 janvier à 20 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]]. '''Changements à venir''' * <span title="Sujet technique">[[Fichier:Octicons-tools.svg|15px|link=]]</span> Les URL du flux IRC des modifications récentes ne seront plus réécrites pour utiliser HTTP (non chiffré). Les passage au HTTPS pourrait poser problèmes aux robots dépendant de ce flux. [https://phabricator.wikimedia.org/T122933] * Les onglets de modification pour l'éditeur de code et l'éditeur visuel vont être combinés en un seul onglet. Il vous sera possible de choisir lequel vous préférez. Si vous n'êtes pas connecté, votre choix sera sauvegardé par l'intermédiaire d'un cookie dans votre navigateur. Vous pouvez [[m:Special:MyLanguage/VisualEditor/Newsletter/2015/December|tester l'onglet de modification unique]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T102398][[meta:Special:MyLanguage/VisualEditor/Newsletter/2015/December]] * Une fonctionnalité ''bêta'' [[mw:Beta Features/Other projects sidebar|ajoute des liens vers le sujet de la page sur un autre projet Wikimédia]]. Son fonctionnement est en grande partie similaire à celui des liens interlangues des articles de Wikipédia. Elle va sortir du stade ''bêta'' et être activée pour tous en janvier. Les wikis ne souhaitant pas l’activation généralisée peuvent demander sa désactivation. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-ambassadors/2015-December/001305.html][https://phabricator.wikimedia.org/T103102] * La différence entre les notifications d’« alerte » et de « message » n’est pas claire pour tous les utilisateurs. Les développeurs demandent des avis complémentaires [[phab:T123018|sur la tâche ''Phabricator'']] ou [[mw:Topic:Sw196pvf5vwt6pku|sur MediaWiki.org]] afin d’améliorer la catégorisation. Vous pouvez donner votre avis dans la langue de votre choix si vous ne pouvez pas le faire en anglais. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et publiées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/02|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l'aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].'' </div></div> <section end="technews-2016-W02"/> 11 janvier 2016 à 16:59 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=15213553 --> == Suppression des caractères spéciaux dans l'URL == Bonjour tout le monde, J’aimerais savoir : est-ce qu'on pourrait avoir un titre de page masqué pour éviter d’avoir une transformation des caractères spéciaux dans l'URL d'une leçon (pas de prise en compte du É, de l'apostrophe, underscores, etc). Par exemple, sur notre formation sur l'accessibilité numérique, https://fr.wikiversity.org/wiki/Mise_en_%C5%93uvre_de_l%E2%80%99accessibilité_numérique, il y a plein de caractères spéciaux. Est-ce qu’il y a une aide ou des étapes à suivre pour pouvoir enlever ces caractères de l'URL ? Merci beaucoup par avance pour vos retours Cordialement --[[Utilisateur:Mdia12|Mariama Dia]] ([[Discussion utilisateur:Mdia12|discussion]]) 12 janvier 2016 à 15:12 (UTC) :Bonjour [[Utilisateur:Mdia12|Mariama Dia]], je n'ai pas parfaitement compris la question de l'URL. Tout ce que je peux dire c’est que quand je clique sur votre lien, l'url de la page s'affiche correctement dans mon navigateur mais si je fais un copié colle cela donne effectivement ceci : https://fr.wikiversity.org/wiki/Mise_en_%C5%93uvre_de_l%E2%80%99accessibilité_numérique. Au sujet du titre des pages, des questions s'étaient déjà posées précédemment pour l'espace recherche. Je vais donc me décider à lancer une prise de décision pour essayer de trouver un consensus sur comment gérer la question de titre dans notre projet. En ajoutant votre nom dans la liste présente sur cette page vous pouvez être tenu au courant de toute nouvelle prise de décision via un message personnalisé dans votre page de discussion. Bonne continuation, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 12 janvier 2016 à 16:14 (UTC) ::Ce n’est pas un choix des développeurs de MediaWiki, mais la norme d'encodage des URL. En effet, vous pouvez voir qu'en copiant depuis la barre URL https://fr.wikiversity.org/wiki/Mise_en_œuvre_de_l’accessibilité_numérique, le navigateur place dans le presse-papier la chaine https://fr.wikiversity.org/wiki/Mise_en_%C5%93uvre_de_l%E2%80%99accessibilité_numérique à la place. Pour reconstituer la bonne il faut copier le titre depuis la page (au lieu de la barre), et remplacer les espaces par des underscores. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 12 janvier 2016 à 16:36 (UTC) :::Je plussoie [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]]. Lorsque vous devez indiquer un lien interne, il ne faut pas copier l'url dans son format native ni dans le format absolue, mais utiliser un lien interne. Ainsi le lien <code><nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Mise_en_œuvre_de_l’accessibilité_numérique</nowiki></code> s'écrit <code><nowiki>[[Mise en œuvre de l’accessibilité numérique]]</nowiki></code>. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 12 janvier 2016 à 17:19 (UTC) :::: A noter que d'un point de vue technique on peut aussi produire un lien interne en recopiant une partie du code URL mais cela donne un résultat beaucoup moins propre et moins lisible au niveau de la syntaxe wiki : <nowiki>[[Mise_en_œuvre_de_l%E2%80%99accessibilité_numérique]]</nowiki> donne [[Mise en œuvre de l’accessibilité numérique]] et l’on voit aussi que dans ce cas, les espaces sont remplacés par des tirais. Pour que les tirais disparaissent, tout en gardant le code, il faut y ajouter « |Mise en œuvre de l’accessibilité numérique » de la sorte <nowiki>[[Mise_en_œuvre_de_l%E2%80%99accessibilité_numérique|Mise en œuvre de l’accessibilité numérique]]</nowiki> ce qui donne [[Mise en œuvre de l’accessibilité numérique]]. Je me demande aussi si [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] n'a pas dressé un bot pour corriger le code automatiquement ? Bien à vous, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 12 janvier 2016 à 20:48 (UTC) :::: Bonjour à tous, Merci beaucoup pour vos réponses [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]],[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]],[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] je parlais plus dans le cas où je copie l'URL de notre page Wikiversité pour la transmettre par exemple aux personnes qui doivent suivre la formation. Bien à vous --[[Utilisateur:Mdia12|Mariama Dia]] ([[Discussion utilisateur:Mdia12|discussion]]) 13 janvier 2016 à 16:08 (UTC)Mariama DIA :Coin coin coin coin... Anne Onyme {{non signé|Youni Verciti}} ::Le jours où tout le monde parlera en codage UTF, ce sera possible, mais il y en a qui son ISO-machin, d’autre ISO-truc, et peut-être encore ASCII. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 14 janvier 2016 à 06:43 (UTC) == À propos de la page Wikiversité:Notification de prises de décisions == J’aimerais poser deux questions à propos de la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]]. * J'observe une certaine dérive dans la gouvernance des projets de la fondation partant de l'établissement de [[w:consensus|consensus]] pouvant aller vers le vote à majorité simple. Dans l'optique de ne pas entretenir cette dérive, je voudrais savoir ce que vous penseriez de renommer la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]] en [[Wikiversité:Notification de prises de décision]] ? Si vous avez une meilleure idée pour renommer celle-ci, elle est la bienvenue. * J’aimerais améliorer l’introduction de l'actuelle page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]] en informant le lecteur de tous les espaces de prises de décisions concernés par ce service de notification. J'établis ici la liste, avez-vous quelque chose à y ajouter ? : ** [[Wikiversité:Prise de décision]] ** [[Wikiversité:Pages à supprimer]] ** [[Wikiversité:Pages à fusionner]] ** [[Wikiversité:Administrateur/Candidature]] ** [[Wikiversité:Bureaucrate/Candidature]] ** [[Wikiversité:Bot/Statut]] Une belle fin de journée à tous, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 12 janvier 2016 à 20:32 (UTC) : {{Pour}} aux deux points ; ce sont effectivement de bonnes remarques. Tu peux t'en charger illico — {{Sourire}} ! [[Utilisateur:Frigory|Frigory]] <small class="plainlinks">([[Discussion Utilisateur:Frigory|<span title="page de discussion">d</span>]] · [[Spécial:Contributions/Frigory|<span title="contributions">c</span>]] · [{{fullurl:Special:Log|type=block&page=User:{{urlencode:Frigory}}}} <span title="blocages">b</span>] · [[sulutil:Frigory|<span title="Compte unifié">s</span>]])</small> 19 janvier 2016 à 16:23 (UTC) == Équilibres et jeux matriciels == Bonjour, l’article ''[[w:Équilibres et jeux matriciels]]'' a été créé par un débutant sur WP:fr, et ça n’est pas vraiment sa place. Peut-être que la wikiversité convient mieux. Est-ce que quelqu’un pourrait jeter un coup d’œil ? (Voir aussi la pdd qui pointe vers une discussion avec l'auteur.) Bonne journée, --[[Utilisateur:Roll-Morton|Roll-Morton]] ([[Discussion utilisateur:Roll-Morton|discussion]]) 14 janvier 2016 à 13:40 (UTC) :Si la communauté Wikipédia est d'accord pour le déplacer ici, il y sera importé sous 24 h. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 14 janvier 2016 à 13:50 (UTC) :: Ok ça marche. Je vais mettre un mot sur la pdd, mais je crois que personne à part son auteur et moi ne l'a remarqué (pas de liens entrants). --[[Utilisateur:Roll-Morton|Roll-Morton]] ([[Discussion utilisateur:Roll-Morton|discussion]]) 14 janvier 2016 à 14:03 (UTC) : ::Bonne idée. --[[Spécial:Contributions/195.132.98.227|195.132.98.227]] 14 janvier 2016 à 17:34 (UTC) --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 14 janvier 2016 à 19:11 (UTC) J’ai mis le mot sur la pdd, désolé du retard. --[[Utilisateur:Roll-Morton|Roll-Morton]] ([[Discussion utilisateur:Roll-Morton|discussion]]) 17 janvier 2016 à 21:25 (UTC) :{{notif|JackPotte|Thierry613}} Pas de réaction, vous pouvez importer {{sourire}}. --[[Utilisateur:Roll-Morton|Roll-Morton]] ([[Discussion utilisateur:Roll-Morton|discussion]]) 25 janvier 2016 à 19:45 (UTC) ::{{fait}} Voilà : [[Transwiki:Équilibres et jeux matriciels]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 25 janvier 2016 à 20:10 (UTC) ::: Ok, merci ! Il va falloir un peu de polissage, je ferai ça un de ces jours. --[[Utilisateur:Roll-Morton|Roll-Morton]] ([[Discussion utilisateur:Roll-Morton|discussion]]) 26 janvier 2016 à 09:11 (UTC) :::{{notif|JackPotte}} Curiosité : que veut dire le préfixe transwiki ? Et aussi : est-ce que je peux lancer une procédure de suppression sur wikipedia ? (Pas pour tout de suite, il y a des morceaux à utiliser, mais plus tard.) --[[Utilisateur:Roll-Morton|Roll-Morton]] ([[Discussion utilisateur:Roll-Morton|discussion]]) 26 janvier 2016 à 09:14 (UTC) ::::{{ping|Roll-Morton}} c’est un espace de transition où se trouvent les pages qui n'ont pas encore été intégrées dans les cours. Et pour ce faire il faudrait bien sûr demander la suppression du doublon Wikipédia comme je le disais plus haut. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 26 janvier 2016 à 11:33 (UTC) ::::: Ok, merci. Ça va peut-être prendre un peu de temps, le temps de prendre les morceaux pertinents pour wikipedia (certains morceaux portent sur des sujets précis non-traités). Je vous tiens au courant. --[[Utilisateur:Roll-Morton|Roll-Morton]] ([[Discussion utilisateur:Roll-Morton|discussion]]) 26 janvier 2016 à 19:27 (UTC) == Accueil — Bac à sable == Bonjour et joyeux anniversaire ! Je suis surpris par la disparition du(es) lien(s) pour le « [[Wikiversité:Bac à sable|Bac à sable]] ». --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 15 janvier 2016 à 10:46 (UTC) :Je le vois bien sur [[Aide:Premiers pas/3]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 15 janvier 2016 à 12:55 (UTC) :Si tu parlais [//fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Bac_à_sable&diff=524132&oldid=524118 du ratissage automatique], je l'ai remis en place hier toutes les nuits. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 15 janvier 2016 à 12:57 (UTC) :: Salut, Je parlais de l'absence de lien vers le Bac à sable sur la page d'accueil. Pour qu’il soit utile il faut le mettre en évidence. Les nouveaux utilisateurs doivent le trouver facilement les anciens veulent y accéder rapidement. Je trouve saine la démarche qui consiste à le mettre en avant, il témoigne de l'esprit d'ouverture des projets Wiki. Pour le nettoyage du bac à sable, ou ratissage je crois que ce serait une bonne idée de diminuer la fréquence, les tests des uns et des autres peuvent s'afficher quelques jours. En passant par là l'utilisateur lambda peut découvrir des nouveautés. Mais mon souci est d'afficher et de faciliter l'accès au "bac à sable" qui est une pièce commune à tous les projets Wiki quelque-soit leur langues. Sans cela nous (contributeurs) oublions sont existence et multiplions nos tests en dehors de l'espace prévu à cet effet. Amicalement. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 16 janvier 2016 à 12:10 (UTC) ::: Tu as peut-être raison ; j’ai remis un lien dans le cadre de présentation du projet, sur la page d'accueil. [[Utilisateur:Frigory|Frigory]] <small class="plainlinks">([[Discussion Utilisateur:Frigory|<span title="page de discussion">d</span>]] · [[Spécial:Contributions/Frigory|<span title="contributions">c</span>]] · [{{fullurl:Special:Log|type=block&page=User:{{urlencode:Frigory}}}} <span title="blocages">b</span>] · [[sulutil:Frigory|<span title="Compte unifié">s</span>]])</small> 18 janvier 2016 à 15:32 (UTC) == [[Recherche:Questions de démocratie et de responsabilité sociale au sein du mouvement Wikimedia]] == Bonjour, Je viens de traduire en m'aidant de google translate un essai écrit sur Wikiversity qui se trouve maintenant sur la page [[Recherche:Questions de démocratie et de responsabilité sociale au sein du mouvement Wikimedia]]. Avant de le proposer à la publication bilingue sur le blog wikimedia, je passe d’abord prendre un café pour inviter les personnes qui auraient un peu de temps à faire une petite relecture. Le commentaire de fond sont bien sûr les bienvenus sur la page de discussion de la recherche. Merci d'avance et une belle fin de journée à tous, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 16 janvier 2016 à 17:11 (UTC) :Oui [[Recherche:Questions de démocratie et de responsabilité sociale au sein du mouvement Wikimedia#Pourquoi_et_Comment_améliorer_l.27égalité_entre_les_éditeurs_actif_sur_le_projet_Wikipedia_et_de_la_gouvernance_du_mouvement_.3F|quand on arrive à ce paragraphe]] on voit bien que c’est du pur Google Translate et que tu ne l'as même pas relu toi. Du coup je renonce à le modifier. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 16 janvier 2016 à 17:51 (UTC) ::C'est impossible d'écrire en deux langues... Déjà dans une seul, j’ai du mal. Ici c’était un travail que je devais rendre en anglais. La traduction google n'est vraiment pas une bonne idée je pense. Je me suis dit que cela m'aidreait pour l'orthographe. Mais pour le reste ça ne marche pas. Mais merci [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]]. C'est l'intention qui compte. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 16 janvier 2016 à 21:05 (UTC) :::Je trouve quand même que Google Traduction â fait des progrès... Si ya pas d'urgence, je pourrai bosser dessus le week-end prochain. Peut-être un peu ces jours-ci mais c’est pas sur, je suis un peu pris. --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 17 janvier 2016 à 12:08 (UTC) :::: Et si nous apprenions à dire "moteur de recherche", personnellement j'utilise celui-ci [https://www.startpage.com/ startpage] qui propose moins publicité, moins de liens vers des sites commerciaux donc de meilleurs réponses et plus de confidentialité aussi parce que Buggle enfin... je veux dire... bon vous en avez entendu parlé, bien sûr! ::::[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 17 janvier 2016 à 12:32 (UTC) :::::Tout à fait d'accord avec toi [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] de mon côté j'utilise Duckduckgo jusqu'à présent. Malheureusement quand je compare avec google il arrive souvent que l'information soit plus facile à trouver sur ce dernier. Je vais maintenant tester ta proposition merci. :::::Concernant les moteurs de traductions, je n'ai malheureusement jamais trouver quelque chose de plus efficace que google translate. Mais attention [[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]], j’ai publier le texte après l'avoir retravailler pour améliorer sa version française. Ce n'est donc pas un résultat 100 % G T ne t'y méprend pas. Je vais d'ailleurs retravailler le texte avec ce gros problème lié au faite que quand j'écris en anglais c’est vraiment pas très bon et du coups la traduction française n’est pas bonne non plus. Il faudrait en fait tout reformuler et la difficulté est de faire abstraction de la traduction google excepté dans mon cas pour l’orthographe des mots. Il fallait bien que j'essaie une fois pour me rendre compte que ce n’est pas une bonne idée. Si tu veux intervenir dans le texte, soit le bienvenu et quand cela t'arrange évidement. Pas de coercitivité dans Wikiversité ! Bon dimanche à tous les deux, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 17 janvier 2016 à 13:00 (UTC) ::::::Ne te prends pas trop la tête non plus. L'essentiel est qu'on comprenne les idées. Je trouve que c’est du bon boulot. --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 17 janvier 2016 à 14:38 (UTC) :::Comme moteur de recherche, il y a Qwant aussi qui est pas mal. --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 17 janvier 2016 à 14:38 (UTC) == Wikinews, l'anti-wiki == Nous fêtons les {{Unité|15|ans}} de Wikipedia. Depuis {{Unité|15|ans}} Wikipedia diffuse et démocratise le savoir et la connaissance, grâce à une solution informatique que nous appelons Mediawiki. Nous avons accepté et imposé l’idée que la diffusion du savoir est plus importante que sa vérification. Quiconque peut participer et publier immédiatement un article sur Wikipedia, la communauté se charge de vérifier, corriger, promouvoir, critiquer, développer, améliorer ou supprimer cet article. Nous traitons de connaissance avec la prétention d'un encyclopédie. Tout le monde se réjouit de cette "révolution" culturelle à l'exception de quelques rabat-joie qui s'inquiètent de l'effet boule de neige de la pensée unique. Les projets autour de la solution Mediawiki se multiplient et nous bénéficions de merveilleux projets "frères" comme sont Wikilivre, Wikiversité notamment. Tout cela participe à une circulation libre et rapide de l'Information au profit de tous. Discrètement, Wikinews c’est développé avec comme proposition: traiter l'information. L'information sans majuscule, l'actu. les news... La télévision, les journaux, les médias tarditionnels ont démontré depuis longtemps leur impartialité, leur dépendance aux pouvoirs. Dans ce contexte Wikinews aurait du faire une entrée fracassante dans l'univers wiki. Voilà enfin le temps où nous allons pouvoir relater, commenter, critiquer, contester, comparer, l'information. Mais Wikinews est venu sournoisement, pleine de principes et de précautions. Son discours ne séduit pas, mais la solution s'implante et ses publications apparaissent aujourd’hui sur la page d'accueil de fr.Wikipédia. C'est-à-dire qu'un lecteur comme un contributeur de Wikipedia francophone est soumis aux publications Wikinews. À partir de là il devient normal que les contributeurs des autres projets, fiers des valeurs issues du projet initial Wikipedia et défendues par la communauté ; s'intéressent au fonctionnement de ce projet. Wikinews est le seul projet à ma connaissance qui ne publie pas immédiatement les données du contributeur. L'article, une fois terminé entre dans une file d'attente pour être relu, approuvé ou rejeté. Ce qui est du domaine du savoir et de la connaissance est publié immédiatement, ce qui est du domaine de l'information, du futile de l'éphémère est vérifié avant publication et effectivement censuré au prétexte que des spécialistes se sont arrogé le droit de déterminer ce qui est et ce qui n’est pas de l'information. Ils sont donc là derrière wikinews, organisés en agences de spécialistes, ils ont définit ce qu'est l'information. Ce que vous voyez, ce que vous entendez, ce que vous vivez, ne peut se transformer en information, car les spécialistes ont pris une décision: Une information pour obtenir le statut d'information doit avoir été traitée auparavant par une agence spécialisée en information. Le contributeur doit citer des sources reconnues par la profession. Autrement dit vous ne lirez rien de nouveau sur Wikinews mais uniquement ce qui à déjà été dit ailleurs. Le plus beau, le tour de maitre du grand manipulateur c’est d'empêcher tout commentaire. Chers Wikipédiens comprenez l'information est un sujet trop précieux pour être commenté, critiqué, comparé ; vous ne pourrez donc pas écrire sur la page de discussion d'un sujet, ni sur la page du sujet lui-même. Il aurait suffit de ne pas prêter attention au projet, boycotter sa lecture mais "Wikipedia France" relaye les sujets de "wiki-ni-use" sur sa page d'accueil et tous les contributeurs devront savoir que la guerre fait rage ici et là, que la dernière déclaration inconsistante de n’importe quel politicien sans idée ni conviction devient une citation de premier ordre. Chers Wikipédiens francophones, réagissez, défendez les idées, les principes qui ont fait notre force et notre qualité. Wiki est fait pour cela, le silence est coupable, nous sommes coupable de laisser faire Wikinews. Faisons là évoluer vers un traitement libre, démocratique en un mot: wiki, de l'information où supprimons la de notre communauté. Traiter l'information comme wikinews le fait actuellement avec un outils merveilleux et puissant tel que Mediawiki soulève un doute. Est-ce là l'objectif de tant de générosité, celui d'imposer une version unique et incontestable de l'information? Dans l'immédiat je vais me tourner vers la communauté lusophone, là Wikipedia est resté hermétique aux publications de Wikinews. Une grève de publications sur l'espace "fr" en quelque sorte pour ma part. Je vous invite à expérimenter Wikinews, à essayer de publier, vos informations nous intéressent quoiqu’ils en disent. Amicalement. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 17 janvier 2016 à 12:44 (UTC) :Waw ! Merci [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] de nous signaler ce problème. Je me sens tout à coup moins seul dans la dénonciation des dérives du mouvement Wikimedia. J’ai en projet de réaliser [[Recherche:Questions d'éthique au sein du mouvement Wikimédia|un travail sur les questions d'éthiques liées au mouvement Wikimedia]]. Je ne manquerai pas de m'intéresser à fr.Wikinews. J'avais en son temps fait une tentative pour rejoindre cette communauté, mais l'accueil avait été tellement repoussant que j’ai vite tourné les talons. Si jamais tu étais intéressé de partager nos points de vue et même coordonner certaines actions via un logiciel libre de vidéo conférence. Je suis partant. Podemos mesmo falar em Português ... Les contestation sociale démarrent souvent des universités {{clin}} [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 17 janvier 2016 à 13:36 (UTC) {{Retour indentation}} Plusieurs remarques en vrac (dont des banalités hélas, {{sourire}}) : * il y a plusieurs "éléments" : la fondation Wikimédia, l'outil Wikimédia lui-même, les gens qui s'en servent, les projets divers. Si un outil est mal utilisé, ce n’est pas la faute de l'outil mais plutôt celle des utilisateur ; * il était inévitable qu'un ou plusieurs des projets de wikis soient en deça des attentes, et pas à la hauteur de ceux qui fonctionnent le mieux ; * un des reproches ci-dessus rejoint un reproche qu'on voit parfois vis-à-vis de Wikipédia elle-même, à savoir qu'elle donne l'impression d’être "noyautée" par un petit groupe d'administrateurs qui accaparent le projet. Que le reproche soit fondé ou pas, je ne saurai dire. C'est un débat à part entière ; * c’est une tentation humaine de se sentir "propriétaire" d'un projet, surtout si on y a investi beaucoup de temps ou d'énergie ; * en ce concerne l'aspect média, en France, on a des médias officiels de style un peu "soviétique". Donc, je ne pense pas que les français soient bien placés pour donner des leçons de démocratie ou de pluralité aux autres (même si c’est une tendance très française de se poser en donneur de leçon). Comme il y a des chances que la plupart des francophones qui s'occupent du Wikinews français soient eux-mêmes français, il n’est pas étonnant qu’ils reproduisent le même comportement de rétention de l'information et "recadrage" vers la pensée unique ; * en parallèle, l'opinion de francophones non-français ({{sourire}}) comme [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] est particulièrement précieuse... * en ce qui concerne Wikinews, je l'ai très peu fréquenté. Je ne peux donc pas en dire grand-chose. Mais le meilleur moyen d'exprimer son opinion, c’est à mon avis de le boycotter ; Voilà ce qui me vient, là comme ça, très (trop) rapidement... --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 17 janvier 2016 à 15:52 (UTC) :Tout un débat en perspective, c’est sûr [[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] de mon côté je n'ai pu m'empêcher de jeter un coup d'œil sur fr.wikinews. Le propos de [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ne se vérifie pas de façon flagrante. D'où l’intérêt de sourcer ceux-ci. Je suis toutefois tombé sur ces deux pages intéressantes [https://fr.wikinews.org/w/index.php?title=Spécial:Liste_des_utilisateurs&offset=&limit=500&username=&group=facilitator la liste de relecteurs] où je retrouve quelques connaissances : [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]], [[Utilisateur:M0tty|M0tty]] belge, [[Utilisateur:Harmonia Amanda|Harmonia Amanda]] quebecoise je crois, et puis la liste des [[n:Spécial:SuperviseurQualité|relectures]] dans laquelle on constate encore une fois que les relectures sont faite pas un nombre relativement restreins de relecteurs. Encore une fois, le pouvoir décisionnel va de paire avec les heures passée au sein des projets. Difficile de changer cette état de faite... À part peut être établir des cotas d'activité au sein des sites. Mais est-ce souhaitable ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 17 janvier 2016 à 16:35 (UTC) ::Et encore, [//fr.wikinews.org/w/index.php?title=Daniel_Balavoine,_Trente_ans_déjà!&type=revision&diff=627079&oldid=627008 ton article n'a pas été supprimé] contrairement au mien sur Wikinews anglophone pour des raisons similaires. Mais ce sont [[n:Wikinews:Critères d'admissibilité des articles|leurs critères d'admissibilité]], qui sont nécessaires pour figurer dans Google Actualités et autres agrégateurs de nouvelles. ::Mais [//fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Portail:Politique/Actualités/Wikinews&diff=prev&oldid=122393061 je suis peut-être parti pris sans le savoir]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 17 janvier 2016 à 17:32 (UTC) :::Wikinews: l'information c’est vous qui la vivez ; c’est nous qui en vivons! C'est éloquent je prends conscience de l'ampleur du problème un wikimedia-meta problème. Je vous remercie de votre soutient car je suis abattu. J’ai publié un certain bilan du Rallye "Dakar" 2016, j’ai trouvé dans un premier temps l'abordage plus agréable sur Wikinoticias [[n:pt:Rali_Dakar_2016]]. Je me fait insulté de vandale et autres qualificatifs puis l’article est proposé pour suppression. J’ai posté le même article sur fr.wikinews mais j’ai tardé à placer la balise relecture [[n:[[n:pt:Rallye Dakar 2016 - un bilan]]. L'article en Hommage à Daniel Balavoine est proposé pour suppression, lui aussi. Je me suis trompé en créant deux fois le même sujet... ça leur donne un prétexte pour supprimer les deux. Je relis [[n:Daniel Balavoine, Trente ans déjà!]] pour essayer de comprendre et corriger ce qui ne va pas. Amicalement --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 19 janvier 2016 à 16:07 (UTC) == [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/03|Tech News: 2016-03]] == <section begin="technews-2016-W03"/><div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="fr" dir="ltr"><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/03|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Changements récents''' * Il sera possible de trouver ou de marquer des bugs et des suggestions sur [[mw:Special:MyLanguage/Phabricator|Phabricator]] comme étant spécifiques à une langue ou un wiki. [https://phabricator.wikimedia.org/T91286] * Les Notifications ont été améliorées avec plus de détails et un meilleur accès aux informations. [[mw:Special:MyLanguage/Help:Notifications|Voyez la documentation]]. Les Notifications cross-wiki seront bientôt disponibles sur les deux wikis de test. [https://phabricator.wikimedia.org/T123570] '''Changements cette semaine''' * L'éditeur visuel utilise l'extension [[mw:Extension:TemplateData|TemplateData]] pour rendre les modèles plus faciles à éditer. Vous reveverez un message d'avertissement quand vous modifiez un TemplateData et quittez l'édition sans sauvegarder. [https://phabricator.wikimedia.org/T106382] * <span title="Sujet technique">[[Fichier:Octicons-tools.svg|15px|link=]]</span> MediaWiki va recevoir un nouveau système d'authentification et d'autorisation nommé AuthManager. Cela arrivera dans un mois ou deux. Certains bots devront changer la manière dont ils s'authentifient. Deux méthodes d'identification, nouvelles et plus stables, sont disponibles : identification unique du propriétaire sur [[mw:Extension:OAuth|OAuth]] et les mots de passe de bots. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-l/2016-January/084501.html En savoir plus sur ces changements.] [https://phabricator.wikimedia.org/T121113] * <span title="Sujet récurrent">[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]</span> La [[mw:MediaWiki 1.27/wmf.11|nouvelle version]] de MediaWiki sera sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 19 janvier. Elle sera sur tous les projets non-Wikipédia et certaines Wikipédia à partir du 20 janvier. Elle sera déployée sur toutes les Wikipédias le 21 janvier ([[mw:MediaWiki 1.27/Roadmap|calendrier]]). '''Réunions''' * <span title="Sujet récurrent"> [[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]</span> Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=20&min=00&sec=0&day=19&month=01&year=2016 19 janvier à 19 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]]. * <span title="Sujet technique">[[Fichier:Octicons-tools.svg|15px|link=]]</span> Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec le comité d’architecture. Le sujet de cette semaine est le modèle de gouvernance. La réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=22&min=00&sec=0&day=20&month=01&year=2016 20 janvier à 22 h (UTC)]. Voyez [[mw:Architecture meetings|comment participer]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et publiées par le [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/03|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l'aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].'' </div></div> <section end="technews-2016-W03"/> 18 janvier 2016 à 17:55 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=15252579 --> == 2016 WMF Strategy consultation == Bonjour à vous. La Wikimedia Foundation (WMF) a lancé une consultation pour aider à créer et prioriser sa stratégie début juillet 2016 et pour les 12 à 24 mois qui arrive. Cette consultation sera ouverte, sur Metawiki, du 18 janvier au 26 février, et après la Fondation va utiliser ces idées pour aider à compléter son plan annuel. (Plus de détails sur notre calendrier peut être trouvé sur cette page Meta.) Vos commentaires sont les bienvenus (et fortement souhaitée) lors de la discussion de la page [[:m:2016 Strategy/Community consultation| Stratégie 2016/consultation de la communauté]]. Toutes mes excuses pour l'anglais, où cela s'est affiché sur un projet non-anglais. Nous avons pensé qu’il était plus important d'obtenir la consultation traduit autant que possible, et de bons progrès ont été fait dans certaines langues. Il y a encore beaucoup à faire, cependant ! Nous avons créé [[:m:2016 Strategy/Translations]] pour essayer d'aider à coordonner de ce qui doit être traduis et des progrès soient réalisés. :) Si vous avez des questions, Contactez-moi sur ma page de discussion ou sur la page de discussion de la consultation en stratégie ou par courriel à mdennis@wikimedia.org. Je espère que vous allez nous rejoindre ! [[:m:User:Mdennis (WMF)|Maggie Dennis]] via [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 18 janvier 2016 à 19:06 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Mdennis (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:PEarley_(WMF)/Mass_Message_-_large&oldid=15253743 --> : Salut, J’ai justement essayer d’éditer du contenu sur Wikimedia-meta ; c’est trop compliqué dites-moi! On ne comprends pas comment fonctionne vos templates aux contenus automatisés et impossible à éditer. Si vous vouliez interdire la communication inter-culturelle c’est très réussi ; vous allez pouvoir imposer la langue anglaise et soumettre tous les autres. Congrastuelestion! --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 19 janvier 2016 à 17:13 (UTC) ::{{ping|Youni Verciti}} si tu as réussi à lancer un bot Python tu peux tout faire. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 19 janvier 2016 à 17:35 (UTC) == Trivial pour site == Aujourd'hui, [[:Catégorie:Quiz par niveau]] permet de trouver des exercices adaptés à son niveau. De là, il ne manque pas grand chose pour en faire un jeu de hasard. En effet, [[MW:Manual:Random page|la notice]] de [[Spécial:PageAuHasard]] indique que l’on peut filtrer les résultats par espace de noms. Ex : [[Spécial:PageAuHasard/Recherche]]. Cet aspect ludique vaudrait-il le coup de lancer une prise de décision pour créer l'espace "Quiz:" ? Je pense qu'oui, et mon bot pourrait aisément renommer toutes ces pages dedans ensuite. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 20 janvier 2016 à 19:24 (UTC) :Excellent ! Pas besoin de prise de décision en ce qui me concerne. L’idée est trop bonne. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 20 janvier 2016 à 22:37 (UTC) == Langage C == Bonjour à vous mes amis, tout d’abord je suis nouveau et j'aimerais avoir quelqu’un pour m'aider, je suis malgache mais je peux très bien communiquer en français. Je sais même pas si je peut poster ce genre de message dans la salle café, bon voila, j’ai suivi le cours Langage C dans la section programmation informatique voici le lien : [[Langage C]], est il en manque des parties qui ont été supprimées, est-ce que l'auteur peut restaurer ces parties. Merci {{non signé|Tendrry}} :Bonjour, les quatre chapitres absents de la leçon n'ont pas été supprimés, ils ont toujours été manquants. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 21 janvier 2016 à 13:40 (UTC) :PS : pour les créer, il faudrait essayer si possible (mais ce n’est pas du tout obligatoire) de calquer [[:en:C|la version anglaise]] pour obtenir un cours multilingue, tout en évitant de réinventer {{WL|Programmation C}} afin d’éviter les doublons. Même si nos chapitres sont prévus pour faire des cours d'une heure chacun. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 21 janvier 2016 à 13:50 (UTC) == Coucou, me revoilà ! == Bonne année à tous ! Me revoilà de retour sur la Wikiversité, avec un nouvel ordinateur, après trois semaines de galères techniques. J'espère n'avoir rien raté d’important. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 21 janvier 2016 à 14:18 (UTC) :Bon retour à la maison [[utilisateur:Lydie Noria|Lydie]] et à toi aussi meilleur vœux. Attention au prescription du spécialiste. Pas de rechute dans l'addiction hein ! On est là pour t'aider {{clin}}. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 21 janvier 2016 à 14:26 (UTC) :: C'est vrai, tu as raison, il faut que je me ménage ! {{sourire}} je n'ai plus la même résolution d'écran, je n'ai plus le même navigateur, je n'ai plus le même système d'exploitation. Tout a l'air différent ! Je sens qu’il va me falloir un certain temps avant de me réhabituer. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 21 janvier 2016 à 14:43 (UTC) :::Justement il fallait compléter [[Systèmes d'exploitation]] qui est avancé seulement à 1/6. Profitons du [[:Catégorie:Images en fair use|fair use]] pour ajouter des illustrations. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 21 janvier 2016 à 15:10 (UTC) ::::Coucou ! Tu nous (me, en tout cas) as manqué ! --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 21 janvier 2016 à 18:20 (UTC) == [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/04|Tech News: 2016-04]] == <section begin="technews-2016-W04"/><div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="fr" dir="ltr"><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/04|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Changements récents''' * Vous pouvez dorénavant suivre lorsque des pages sont ajoutées ou retirées d'une catégorie sur la Wikipédia en allemand. Il est prévu d'ajouter cette fonctionnalité à Wikimedia Commons et aux aux autre Wikipédias cette semaine. [https://phabricator.wikimedia.org/T9148][https://www.mediawiki.org/wiki/Manual:CategoryMembershipChanges] * Les administrateurs peuvent cacher des modifications d'une page à l'aide de ''[[mw:Special:MyLanguage/Manual:RevisionDelete|RevisionDelete]]''. Il y a dorénavant un bouton pour choisir « tous », « aucun » ou « inverser » dans Spécial:Journal (Special:Log). Les historiques d’articles auront bientôt les mêmes boutons. Les Wikis qui ont ajouté cette fonctionnalité par le biais de JavaScript pourront supprimer ce code. [https://phabricator.wikimedia.org/T92230] '''Changements cette semaine''' * Il sera possible de voir les notes et références lors de l'aperçu d'une section en cours d'édition. Cela fonctionnera même en l'absence de balise <nowiki><references /></nowiki> dans cette section. [https://phabricator.wikimedia.org/T7984] * <span title="Sujet récurrent">[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]</span> La [[mw:MediaWiki 1.27/wmf.12|nouvelle version]] de MediaWiki sera sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 26 janvier. Elle sera sur tous les projets, excepté la majorité des Wikipédias, à partir du 27 janvier. Elle sera déployée sur toutes les Wikipédias le 28 janvier ([[mw:MediaWiki 1.27/Roadmap|calendrier]]). '''Réunions''' * <span title="Sujet récurrent">[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]</span> Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=20&min=00&sec=0&day=26&month=01&year=2016 26 janvier à 20 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]]. '''Changements à venir''' * Il y a dorénavant une extension appelée ''[[mw:Extension:ArticlePlaceholder|ArticlePlaceHolder]]''. Elle peut générer automatiquement du contenu sur Wikipédia à l'aide des données de Wikidata si l’article Wikipédia n'existe pas. Un avertissement sera présent pour expliquer au lecteur qu’il ne s'agit pas d'un article et l'invitant à le créer. Le développeur est aujourd’hui à la recherche de petites Wikipédias qui voudraient tester l'extension. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikidata/2016-January/008004.html] * Le système [[m:Special:MyLanguage/OTRS|OTRS]] va être mis à jour. Le planning prévoit de le faire le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=08&min=00&sec=0&day=03&month=02&year=2016 3 février à 8&nsbsp;h (UTC)]. Cela devrait durer entre 6 et 8 heures. OTRS ne fonctionnera pas pendant la mise à jour. [https://phabricator.wikimedia.org/T74109] * Les utilisateurs seront bientôt automatiquement félicités lorsqu’ils atteindront des nombres de contributions seuils. [https://phabricator.wikimedia.org/T124003] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et publiées par le [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/04|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l'aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].'' </div></div> <section end="technews-2016-W04"/> 25 janvier 2016 à 16:38 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=15269963 --> == Proposition renommage département == Bonjour ! Le nom du [[Département:Création de langues construites|département "Création de langue(s) construite(s)"]] ne me paraît pas très judicieux (à cause des parenthèses et, dans une moindre mesure, du pluriel). Je propose plutôt : '''Création de langue construite''' ou "langues construites" au pluriel, à la limite. Qu'en pensez-vous ? --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 26 janvier 2016 à 14:13 (UTC) --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 26 janvier 2016 à 15:26 (UTC) :Les deux noms me vont, mais ne serait-ce pas plutôt un travail de recherche ? [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 26 janvier 2016 à 15:30 (UTC) ::J'approuve le nom est mal choisi. Existe: [[Faculté:Langues construites]], mieux vaut utiliser le département éponyme dans ce cas (et le placer en première position sur la page de la faculté). Quelle peine que la langue des signes soit vide. Encouragements. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 26 janvier 2016 à 15:26 (UTC) Toutes mes excuses. Je me suis mal exprimé. Ma deuxième proposition est : '''Création de langues construites''' Ce n’est pas un travail de recherche, apparemment. C'est un département destiné aux outils, méthodes, etc. servant à ceux qui veulent apprendre à créer une langue construite. --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 26 janvier 2016 à 16:36 (UTC) :C'est quoi une « langues construites » ? [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 26 janvier 2016 à 18:36 (UTC) ::C'est une langue construite soit de toute pièces soit plus ou moins inspirée de langues existantes. Parfois, comme l'espéranto, pour servir de langue internationale. Parfois pour un monde fictif, comme les langues des elfes dans Le Seigneur des Anneaux, ou les Naavis dans Avatar. Plus de détails dans https://fr.wikipedia.org/wiki/Langue_construite. --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 26 janvier 2016 à 18:53 (UTC) {{Notif|Lydie_Noria}} Lydie, t'en penses quoi ? --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 27 janvier 2016 à 12:41 (UTC) : '''Création de langues construites''' me paraît bien. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 27 janvier 2016 à 13:15 (UTC) Bon, puisqu’il n'y a pas d'objections depuis quelques jours, je pense qu'on peut opter pour '''Création de langues construites'''. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie]], tu m'avais dit que tu avais un outil pour renommer plusieurs pages d'un seul coup d'un seul. Est-ce que tu veux bien le faire, stp, si tu as un petit moment de libre ? Un grand merci ! --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 4 février 2016 à 13:31 (UTC) : {{fait}} {{Notif|Thierry613}} Voila, c’est fait ! {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 4 février 2016 à 14:42 (UTC) ::Merci ! {{sourire}} --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 4 février 2016 à 15:04 (UTC) == Frise chronologique : Existe-t-il un modèle sur Wikiversité == J'avais utilisé cette frise en 2009 sur Wikipédia. Je voudrais l’utiliser aujourd’hui sur Wikiversité. J'imagine qu’il faut adapter le modèle. Sauf s'il existe quelque chose de mieux aujourd'hui. L'intérêt de la frise chronologique: [[w:Capitulaire#L'esclavage dans les capitulaires carolingiens|L'esclavage dans les capitulaires carolingiens]], outre les informations contenues, est la <nowiki><timeline></nowiki> qui permet d'obtenir une frise chronologique assez élégante. {|class="wiktable" |- ! Code source !! Rendu |- | <syntaxhighlight lang="text"><timeline> ImageSize = width:900 height:700 PlotArea = left:50 right:20 bottom:20 top:20 DateFormat = yyyy Period = from:751 till:884 TimeAxis = orientation:vertical order:reverse ScaleMajor = unit:year increment:5 start:884 ScaleMinor = unit:year increment:1 start:751 PlotData= color:purple mark:(line, black) align:left fontsize:12 shift:(25,-5) # shift text to right side of bar # there is no automatic collision detection, # so shift texts up or down manually to avoid overlap shift:(25,10) at:751 fontsize:m text:Début du règne de Pépin le Bref (751-768) at:754 fontsize:m text:Début de la série des capitulaires at:768 fontsize:m text:Début du règne de Charlemagne (768 - 814) at:785 fontsize:m text:Capitulaire ''De partibus Saxoniae'', 785 at:789 fontsize:m text:Capitulaire ''Admonitio generalis'', 789 at:794 fontsize:m text:Capitulaire portant qu'on ne peut conférer l'ordination à un esclave sans la permission de son maître, 794 (I, 43. - Isambert, 1833) at:800 fontsize:m text:Capitulaire ''De Villis'', vers 800 at:803 fontsize:m text:Capitulaire sur l'esclavage et la responsabilité des délits commis par les esclaves, 803 (I, 50. - Isambert, 1833) at:808 fontsize:m text:Capitulaire instaurant la défense de receler les esclaves fugitifs, 808 (id. 54, V. - Isambert, 1833) at:814 fontsize:m text:Début du règne de Louis le Pieux (814-840) at:817 fontsize:m text:Capitulaire ''Ordinatio Imperii'', 817 at:843 fontsize:m text:Début du règne de Charles le Chauve (843-877) et Capitulaire de Coulaines, 843 at:847 fontsize:m text:Capitulaire de Meerssen, 847 at:877 fontsize:m text:Capitulaire de Quierzy, 877 at:884 fontsize:m text:Décès de Carloman II et fin de la série des capitulaires </timeline></syntaxhighlight> | <timeline> ImageSize = width:900 height:700 PlotArea = left:50 right:20 bottom:20 top:20 DateFormat = yyyy Period = from:751 till:884 TimeAxis = orientation:vertical order:reverse ScaleMajor = unit:year increment:5 start:884 ScaleMinor = unit:year increment:1 start:751 PlotData= color:purple mark:(line, black) align:left fontsize:12 shift:(25,-5) # shift text to right side of bar # there is no automatic collision detection, # so shift texts up or down manually to avoid overlap shift:(25,10) at:751 fontsize:m text:Début du règne de Pépin le Bref (751-768) at:754 fontsize:m text:Début de la série des capitulaires at:768 fontsize:m text:Début du règne de Charlemagne (768 - 814) at:785 fontsize:m text:Capitulaire ''De partibus Saxoniae'', 785 at:789 fontsize:m text:Capitulaire ''Admonitio generalis'', 789 at:794 fontsize:m text:Capitulaire portant qu'on ne peut conférer l'ordination à un esclave sans la permission de son maître, 794 (I, 43. - Isambert, 1833) at:800 fontsize:m text:Capitulaire ''De Villis'', vers 800 at:803 fontsize:m text:Capitulaire sur l'esclavage et la responsabilité des délits commis par les esclaves, 803 (I, 50. - Isambert, 1833) at:808 fontsize:m text:Capitulaire instaurant la défense de receler les esclaves fugitifs, 808 (id. 54, V. - Isambert, 1833) at:814 fontsize:m text:Début du règne de Louis le Pieux (814-840) at:817 fontsize:m text:Capitulaire ''Ordinatio Imperii'', 817 at:843 fontsize:m text:Début du règne de Charles le Chauve (843-877) et Capitulaire de Coulaines, 843 at:847 fontsize:m text:Capitulaire de Meerssen, 847 at:877 fontsize:m text:Capitulaire de Quierzy, 877 at:884 fontsize:m text:Décès de Carloman II et fin de la série des capitulaires </timeline> |- |} Peut-être faut-il placer cette demande sur une page "Requête" mais je n'ai pas su trouver la bonne page. Merci d'éclairer ma lanterne le cas échéant. Bel bonjour ! [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) :Il n'y a rien à adapter : je vois bien la frise en retirant les balises <nowiki><pre></nowiki> autour des <nowiki><timeline></nowiki>. :Pour les autres graphiques nous avons aussi [[MW:Extension:Graph/Demo]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 30 janvier 2016 à 22:42 (UTC) :: En effet ! {{Merci}} pour le lien [[MW:Extension:Graph/Demo]]. Alice au pays des merveilles ! --[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 31 janvier 2016 à 11:03 (UTC) == Discussion Département:Bases de données bibliographiques == Merci de venir discuter ici : [[Discussion Département:Bases de données bibliographiques#Wikidata me semble l'outil bibliographique adapté|Wikidata me semble l'outil bibliographique adapté]] & évolutif. Je dialogue avec moi-même depuis quelques temps... mais, le débat arrive à son terme. Il reste à prendre des décisions pour le développement des modèles permettant d'échanger avec [[Wikidata:Wikidata|Wikidata]]. Cette phase n’est pas (encore) mon fort. Bel bonjour ! --[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 31 janvier 2016 à 11:20 (UTC) :Je t'invite à faire preuve de patience car les liens avec Wikidata ne sont pas encore installés ici. Mais en attendant tu peux bricoler sur Wikipédia, voire sur Wikibooks où j’ai importé [[b:Module:Wikidata]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 31 janvier 2016 à 12:16 (UTC) ::Ok, [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]]. Pas de problème. je patiente en travaillant sur les autres projets. --[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 31 janvier 2016 à 18:35 (UTC) ::Le modèle {{m|Bibliographie|2=identifiant wikidata}} permet de citer en référence un ouvrage qui existe dans Wikidata. Par exemple : ::{{m|Citation|2=...idées reçues sur le code Noir<ref>{{m|Bibliographie|2=Q21997202|3=page=72}}</ref>...}}. :: C'est magique ! Mais, il faudra adapter encore. bel bonjour ! --[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 6 février 2016 à 21:49 (UTC) {{Références}} ab6qxwkfcolywuk97q3zjwrnzg7pzek 4 58671 987027 971188 2026-10-04T11:58:14Z Crochet.david.bot 1005 Robot : conversion/correction du HTML 987027 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2016|02}}</noinclude> == Language links via Wikidata are coming == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr"> Hi everyone :) I wanted to let you know that Wikiversity is scheduled to receive the first round of Wikidata support on February 23rd. This means you will be able to manage the links between different language versions just in one place (on Wikidata) instead of having to do it in each article. I hope this will help you by reducing some work. If that goes well you'll receive access to the data on Wikidata a while later (date will be scheduled later). If you have any questions please don't hesitate to ask on [[d:Wikidata:Wikiversity]] or [[d:Wikidata:Project chat]]. [[:d:User:Lydia Pintscher (WMDE)|Lydia Pintscher (WMDE)]] 1 février 2016 à 16:10 (UTC) </div> <!-- Message envoyé par User:Lydia Pintscher (WMDE)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Lydia_Pintscher_(WMDE)/Distribution_List&oldid=15301884 --> === Traduction : Les liens de langue via Wikidata arrivent === Bonjour à tous {{Sourire}} Je souhaitais vous informer qu’il est prévu que Wikiversité reçoive le support de Wikidata le 23 février. Cela signifie que vous pourrez gérer les liens entre les différentes versions linguistiques à une unique place (sur Wikidata) au lieu de devoir le faire dans chaque article/page. J'espère que cela aidera en vous faisant économiser du temps de travail. Si cela se passe bien, vous aurez accès aux données sur Wikidata un moment après (la date sera fixée plus tard). Si vous avez une question, n'hésitez pas à la poser sur [[d:Wikidata:Wikiversity]] ou [[d:Wikidata:Project chat]]. Traduction par [[Utilisateur:Frigory|Frigory]] <small class="plainlinks">([[Discussion Utilisateur:Frigory|<span title="page de discussion">d</span>]] · [[Spécial:Contributions/Frigory|<span title="contributions">c</span>]] · [{{fullurl:Special:Log|type=block&page=User:{{urlencode:Frigory}}}} <span title="blocages">b</span>] · [[sulutil:Frigory|<span title="Compte unifié">s</span>]])</small> 2 février 2016 à 18:08 (UTC) :Merci [[user:Frigory|Frigory]]. Je comprends mieux quand c’est traduit... Quelque chose de très important se passera le 23 février... wait & see ! --[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 2 février 2016 à 21:38 (UTC) == [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/05|Tech News: 2016-05]] == <section begin="technews-2016-W05"/><div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="fr" dir="ltr"><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/05|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Problèmes''' * Les sites ayant une adresse <code>wikimedia.org</code> étaient redirigés par erreur vers le [[wmf:Accueil|wiki de la Wikimedia Foundation]] le 26 janvier. Meta et Wikimedia Commons étaient concernés. L'erreur a été corrigée au bout d'une heure. [https://wikitech.wikimedia.org/wiki/Incident_documentation/20160126-WikimediaDomainRedirection] * Certains utilisateurs ont eu des problèmes de connexion et déconnexion autour du 22 janvier. Les robots ont également eu des problèmes et les aperçus des modifications ne fonctionnaient pas correctement. Cela était dû à des problèmes liés au nouveau composant ''SessionManager''. Il a été enlevé le 23 janvier. [https://wikitech.wikimedia.org/wiki/Incident_documentation/20160123-SessionManagerRolloutFailure][https://phabricator.wikimedia.org/T123451] * À cause de problèmes avec ''SessionManager'', la dernière version de Mediawiki a été retirée de tous les wikis Wikimedia le 31 janvier. La nouvelle version de MediaWiki qui sera déployée cette semaine ne comprendra pas ''SessionManager''. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-l/2016-February/084669.html] '''Changements cette semaine''' * L'historique de la page sera doté d'un lien d'aide. Ce dernier mènera vers [[m:Special:MyLanguage/Help:Page history|Help:Page history/fr]] sur Meta. Les wikis pourront mettre un lien vers une page locale à la place. [https://phabricator.wikimedia.org/T124885] * Les notifications n'afficheront qu'une partie seulement du nom d'une page si celui-ci est très long. Un autre moyen de marquer des notifications comme lues sera également disponible. [https://phabricator.wikimedia.org/T123657][https://phabricator.wikimedia.org/T121935] * Les méthodes de saisie du [[mw:Special:MyLanguage/Universal Language Selector|sélecteur universel de langue]] sont dorénavant disponibles avec l'éditeur visuel. Cela signifie que beaucoup de ceux écrivant en caractères non latins pourront maintenant utiliser l'éditeur visuel. [https://phabricator.wikimedia.org/T51569] * L'éditeur visuel contiendra dorénavant plus d’outils de modification de tableaux. Vous pourrez déplacer des lignes et colonnes dans un tableau et copier des parties de tableaux pour en créer des nouveaux. Il sera aussi possible de copier et coller plus d'une cellule à la fois. [https://phabricator.wikimedia.org/T88694][https://phabricator.wikimedia.org/T85791][https://phabricator.wikimedia.org/T123826] * L'éditeur visuel a un nouveau message d'avertissement lorsque vous quittez une page en cours d'édition sans sauvegarder. Les wikis non anglophone peuvent avoir besoin de le traduire. [https://phabricator.wikimedia.org/T121754][https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special:MessageGroupStats&language=&group=ext-visualeditor-0-all] * <span title="Sujet récurrent">[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]</span> La [[mw:MediaWiki 1.27/wmf.12|nouvelle version]] de MediaWiki sera sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 2 février. Elle sera sur tous les projets, excepté la majorité des Wikipédias, à partir du 3 février. Elle sera déployée sur toutes les Wikipédias le 4 février ([[mw:MediaWiki 1.27/Roadmap|calendrier]]). '''Réunions''' * <span title="Sujet récurrent">[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]</span> Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=20&min=00&sec=0&day=02&month=02&year=2016 2 février à 20 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]]. * <span title="Sujet technique">[[Fichier:Octicons-tools.svg|15px|link=]]</span> Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec le comité d'architecture. Le sujet cette semaine concerne[[phab:E138|les entrées d'expiration de la liste de suivi]]. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=22&min=00&sec=0&day=03&month=02&year=2016 3 février à 22 h (UTC)]. Voyez [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=22&min=00&sec=0&day=03&month=02&year=2016 comment participer]. '''Changements à venir''' * <span title="Sujet technique">[[Fichier:Octicons-tools.svg|15px|link=]]</span> Le domaine <code>rest.wikimedia.org</code> va être fermé en mars. <code>/api/rest_v1/</code> doit être utilisé à la place chez chaque domaine de projet individuel. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-l/2016-January/084566.html] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et publiées par le [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/05|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l'aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].'' </div></div> <section end="technews-2016-W05"/> 1 février 2016 à 21:02 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=15298047 --> == Déconnexions pour raisons inconnues == Je suis assez souvent déconnectée de Wikiversité sans que je m'en rende compte. Par exemple aujourd’hui 2 février 2016 entre 14:16‎ et 18:42‎. Sur Commons, j'étais déconnectée à 18:20‎ et j’ai pu contribuer sous IP. Ce qui, à ma connaissance ne devrait pas survenir. Il y a-t-il une raison particulère ? Merci de votre attention. --[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 2 février 2016 à 19:07 (UTC) :Cela l'as fait combien de temps après ta dernière connexion ? Une première solution : supprimer les cookies liés aux sites wikimedia. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 2 février 2016 à 22:08 (UTC) ::Moi ça me le fait une fois par moi sauf hier : trois fois en un jour. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 3 février 2016 à 18:24 (UTC) :Merci de votre attention. J'essaie de vérifier l'état de ma connexion plus souvent. Bel bonjour ! --[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 12 février 2016 à 12:48 (UTC) == Importation de 21 didacticiels == Si ces messieurs dames veulent bien se donner la peine, c’est sur {{WP|Discussion Wikipédia:Atelier graphique/Didacticiels cartographiques}}. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 3 février 2016 à 18:23 (UTC) :{{fait}}Dans l'espace de nom Transwiki. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 3 février 2016 à 19:00 (UTC) ::A vrai dire je comptais plutôt sur toi pour plaider l'exportation au lieu de la duplication. J'espère que ton action pourra être poursuivie. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 3 février 2016 à 19:38 (UTC) :::Ha ok, c’est pour ça que tu ne l'avais pas fait. Bon, au pire, on effacera. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 3 février 2016 à 20:13 (UTC) :::: Je me suis souvent demandé ce que signifie transwiki. En cherchant le mot via l'aide on trouve: [[Aide:Droits_des_groupes#Importateurs]] section vide, pas d'aide. Ensuite: [[:Catégorie:Export_Transwiki]] pas de définition de la catégorie. Puis: [[Aide:Comment renommer une page]] dit "La procédure Transwiki permet de déplacer des pages entre projets Wikimedia." Quelle procédure? On trouve encore [[Modèle:Pour Wikibooks]]. J’ai utilisé les options communes qui consistent à chercher dans les espaces "aide, catégorie, modèle". Dans l'espace transwiki lui-même, pas de résultat. Une recherche sur tous le contenu, permet de trouver [[Projet:Maintenance#Transwiki]] et enfin en cherchant transwiki exclusivement sur l'espace de nom "Wikiversité" apparait [[Wikiversité:Espace_de_noms#Espace_transwiki]] et [[Wikiversité:Jargon#T]]... Je m’intéresse à la question car j’ai parcouru l'espace de nom "transwiki" récemment. Il en ressort beaucoup d'interrogations dont les principales sont pourquoi le document est dans l'espace transwiki (est-ce que le document a été supprimé de son wiki d'origine etc..) et quel est l’utilisation envisagée dans la wikiversité. [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) :::::Tu as une définition dans {{wt|transwiki}}, normalement les utilisateurs demandent une importation aux administrateurs, qui choisissent si la destination de la page importée est directement dans l'espace principal, ou bien en attente d'intégration dans l'espace "Transwiki". Personnellement je les sors de cet espace seulement une fois qu’elles ont été supprimées du wiki d'origine, mais parfois c’est que le demandeur n'a pas terminé son adaptation. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 4 février 2016 à 14:35 (UTC) ::::::Je n’avais pas eu l’idée de regarder sur Wiktionnaire mais ça ne m'apprends pas grand chose sur le processus. Au risque de sembler pénible, je crois qu’il faudrait mettre en évidence les informations relatives à la présence du document dans la "zone transwiki". Qui est (sont) l'auteur ; qui à fait la demande de déplacement du document ; pourquoi ; le(s) auteur est-il d'accord, est-il prêt a aider pour l’intégration au sein de la Wikiversité ; que devient le document dans le wiki d'origine (suppression, reformulation...). On trouve dans transwiki de très bon documents, ça me parait un manque de respect vis--vis de leurs auteurs de les laisser là comme dans une fourrière. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 5 février 2016 à 10:32 (UTC) ::::::: Depuis j’ai trouvé cette page [[m:Help:Transwiki]] et j’ai compris qu’il ne fallait pas chercher à comprendre, le concept est obsolète. C'est triste qu'une fondation si riche ne fasse rien pour résoudre la question. J’ai perdu le lien où poster les requêtes pour les prochaines orientations WMf. La communauté à besoin d'un meta-modèle accompagné d'un processus clairement définit ; capable d’identifier l'utilisateur à l'origine de la requête transwiki, de notifier les éditeurs de la page concernée, de lister les documents en attente de transfert ; de notifier l’ensemble des utilisateurs concernés quand le transfert est finalisé et de créer ou vérifier les redirections nécessaire. Si quelqu’un peut rediriger chez Wmf je suis prêt à traduire en anglais. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 5 février 2016 à 20:33 (UTC) {{Retour indentation}} Obsolète est un peu fort sans doute. Mais probablement mal documenté. Du coup, c’est bien d’en parler, ne serait-ce que pour informer que la fonction existe, est disponible et efficace pour ne pas perdre de travaux susceptibles d'intéresser la Wikiversité. --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 5 février 2016 à 22:25 (UTC) : Obsolète je ne l'invente pas c’est écrit sur la première ligne de cette page [[:Meta:meta:Transwiki log]]. Je comprends qu’il existe une zone qui craint, c’est "transwiki" avec un nom pareil c’était prédestiné ;-) En lisant les discussions on voit bien que c’est mal vécu par la communauté ; principalement par les auteurs d'origine. On voit surtout que l’absence de processus clair permet certains abus. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 8 février 2016 à 17:52 (UTC) ::Ce n’est pas parce que c’est obsolète sur Métawiki que cela l'est partout ailleurs. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 8 février 2016 à 18:52 (UTC) ::: Pourtant c’est MédiaWiki qui me redirige chez MetaWiki, MediaWiki c’est l’ensemble de logiciel libre qui fait fonctionner tous les projets de La Fondation. MetaWiki se définit ainsi: "Bienvenue sur Méta-Wiki, le site communautaire global des projets de la Fondation Wikimédia et du mouvement Wikimédia en général, permettant leur coordination et leur documentation, ainsi que leur planification et leur analyse." Évidemment la question de l’échange ou déplacement de documents entre projets de La Fondation est un problème qui lui appartient, on ne peut réclamer de MediaWiki dont l'objectif est de faire fonctionner chaque projet indépendamment des autres. Si La Fondation n’éclaircit pas la question cela ouvre la porte à une forme d'anarchie où chaque projet, dans chaque langue, ou même chaque utilisateur, interprètera la notion "transwiki" comme il le souhaite. Voyez comment est traité un excellent contributeur dans la conversation suivante: https://fr.wikiversity.org/wiki/Discussion_utilisateur:Lylvic#Copier-coll%C·%A9,%20violation%20de%20licence, %20et%20import%20possible --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 12 février 2016 à 11:35 (UTC) ::::Mais il n'existe aucune pages liés dans mediawiki qui amène à cette page, donc rien n'est lié à mediawiki. Et quant à ce contributeur, cela ne l'a pas empêcher de respecter la [[Spécial:diff/291499|procédure]] par la suite. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 12 février 2016 à 11:55 (UTC) :::::C'est cela, l'auteur nous dit qu’il ne comprends pas la procédure, nous constatons qu'elle n'existe pas et vous prétendez que tout va bien. Si on se penche sur la question dans le [[Projet:Laboratoire/Espaces de noms | laboratoire]] car ici ça devient laborieux, on observe qu'aucun des sites Wikiversity voisins n'utilise cet espace de nom. Amicalement. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 14 février 2016 à 12:46 (UTC) ::::::Et pourtant jawikiversity, son NS n° 110, c’est bien transwiki. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 14 février 2016 à 18:46 (UTC) === Quelques petites questions === * Arrêtez-moi si je me trompe, mais si j’ai bien compris, l'espace Transwiki servait d'étape intermédiaire pour le transfert d'une page d'un wiki vers un autre ? * L'utilisation du transwiki est obsolète ? ou bien en passe de l'être ? * Quelle est la décision à prendre sur la page [[Projet:Laboratoire/Espaces de noms]] ? * Ça serait pas plus simple d’utiliser le fichier XML qu'on obtient sur la page [[Spécial:Exporter]], en décochant l'option ''Exporter uniquement la version courante, sans l’historique complet'' ? --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 14 février 2016 à 13:22 (UTC) :L'espace transwiki est toujours utilisé comme tampon, et pas qu'ici. :Il n'y a pas d'importation de XML possible sur les wikis de la fondation : cette fonction de MediaWiki n’est pas activée. :[[Projet:Laboratoire/Espaces de noms]] est en cours de développement par son auteur. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 14 février 2016 à 13:40 (UTC) ::OK. --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 14 février 2016 à 14:05 (UTC) :::* Oui :::* Non. À priori je pense pas :::* Je ne sais pas :::* Il faut avoir les droits « importupload », or ce droit n'est que très rarement donné, Il l'est sur quelques wiki (7 wikis sur les 804 projets existants) et donc seuls les stewards peuvent l'avoir de façon générale pour un point précis et sur une demande précise. :::[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) == Histoire de la Wikiversité == J’ai trouvé un indicateur sociologique sur [[b:en:Template:AdminsChart]], mais le temps me manque cruellement pour m'adonner à son importation ici. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 4 février 2016 à 03:13 (UTC) :Il fait quoi ce modèle? --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 4 février 2016 à 14:01 (UTC) ::Il affiche la liste des participants élus par date. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 4 février 2016 à 14:32 (UTC) :::Waw ! Super efficace pour comprendre un ensemble de données en un clin d’œil ! Ce graphe existe-t-il sur wikipedia [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ? {{Non signé|Lionel Scheepmans}} ::::Pas encore. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 4 février 2016 à 22:21 (UTC) == From English to Français == Hello. Sorry for my English. Please, translate this text from English to Français: "Welcome to Ukrainian Wikiversity!". I would be very grateful! — [[User:Green Zero|<span style="font:17px impact;color:green;">Green Zero</span>]] [[User talk:Green Zero|<span style="font:10px arial;">обг</span>]] 6 février 2016 à 23:37 (UTC) :Elle n’est pas dans Incubator : [[incubator:Wv/uk]], mais je la vois sur [[betawikiversity:Category:UK]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 7 février 2016 à 00:00 (UTC) :: I need a text on the Français language... --— [[User:Green Zero|<span style="font:17px impact;color:green;">Green Zero</span>]] [[User talk:Green Zero|<span style="font:10px arial;">обг</span>]] 9 février 2016 à 17:02 (UTC) ::: We too! --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 12 février 2016 à 10:49 (UTC) == Peut-on afficher l’existence de prise de décision sur la page d'accueil? == Chaque fois je découvre une prise de décision par hasard et souvent trop tard. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 8 février 2016 à 17:56 (UTC) :Oui c’est possible, il faut faire une maquette de préproduction. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 8 février 2016 à 18:53 (UTC) ::Sinon il existe la liste de suivi et ses indications ad'hoc tel que le flux RSS : en mettant une page dans sa liste de suivi, on peut suivre toutes les modifications apportées dessus, et en récupérant le flux RSS de sa liste de suivi on peut être informé via un lecteur de flux RSS et donc être indépendant de sa présence quasi-permanent sur la wikiversité. Dans le même principe, il existe un canal IRC qui envoie toutes les modifications récentes, et on peut alors utiliser les notifications du logiciel d'IRC pour être alerté lorsqu'un mots ou une expression régulière apparait. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 8 février 2016 à 18:58 (UTC) ::: Le mieux serait un bandeau qui prévient l'utilisateur quand il se connecte, tu as parfaitement raison David.--[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 11 février 2016 à 19:48 (UTC) ::::[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]], si tu veux être au courant de toutes les prises de décisions faite au sein de Wikiversité via un message dans ta page de discussion, il te suffit d'ajouter ton nom d'utilisateur sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]]. Je m'étonnes d'ailleurs que cela n'ai pas été fait vu ton implication dans le projets. On devrait peut-être envoyer un message à tous les comptes utilisateurs pour les avertir de l’existence de cette page. Qu'en pense la communauté ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 11 février 2016 à 22:05 (UTC) :::::Il me semble que ce serait une bonne chose. --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 11 février 2016 à 22:15 (UTC) ::::::Par contre le racolage pourrait engendrer des préjugés sur la nature spammeur du message. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 12 février 2016 à 00:23 (UTC) :::::::On pourrait aussi utiliser le bandeau d'annonce escamotable en tête de page pour être moins intrusif, non ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 12 février 2016 à 23:43 (UTC) ::::::::Pourquoi pas. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 12 février 2016 à 23:49 (UTC) :::::::::Je pense que c’est nécessaire. Un petit pas vers plus de transparence et d'agilité. Merci pour l'info à propos de [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]], on peut difficilement faire cette démarche pour chaque projet. En espérant que le bandeau escamotable voie le jour. Amicalement. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 14 février 2016 à 12:55 (UTC) == [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/06|Tech News: 2016-06]] == <section begin="technews-2016-W06"/><div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="fr" dir="ltr"><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/06|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Changements récents''' * La [[coloration syntaxique]] fonctionne dorénavant avec cinquante-trois langages informatiques supplémentaires. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-l/2016-February/084695.html] * Lorsqu'une notification vous informe qu'une de vos modifications a été annulée, elle cite dorénavant une partie du résumé de l'annulation. [https://phabricator.wikimedia.org/T121808] * <span title="Sujet technique">[[Fichier:Octicons-tools.svg|15px|link=]]</span> [[mw:RESTBase|RESTBase]] utilise dorénavant <code>scrub_wikitext</code> à la place de <code>scrubWikitext</code>. [https://phabricator.wikimedia.org/T114620] '''Changements cette semaine''' * Wikidata va être doté d'un nouveau type de données appelé « math ». Il sera utilisé pour les formules mathématiques. [https://phabricator.wikimedia.org/T124931][https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikidata/2016-February/008140.html] * <span title="Sujet récurrent">[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]</span> La [[mw:MediaWiki 1.27/wmf.13|nouvelle version]] de MediaWiki sera sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 9 février. Elle sera sur tous les projets, excepté la majorité des Wikipédias, à partir du 10 février. Elle sera déployée sur toutes les Wikipédias le 11 février ([[mw:MediaWiki 1.27/Roadmap|calendrier]]). '''Réunions''' * <span title="Sujet récurrent">[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]</span> Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=20&min=00&sec=0&day=09&month=02&year=2016 9 février à 20 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]]. * <span title="Sujet technique">[[Fichier:Octicons-tools.svg|15px|link=]]</span> Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec le comité d'architecture. Le sujet cette semaine concerne [[phab:T114662|les URL spécifiques à chaque langue pour les pages des wikis multilingues]]. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=22&min=00&sec=0&day=10&month=02&year=2016 10 février à 22 h (UTC)]. Voyez [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=22&min=00&sec=0&day=10&month=02&year=2016 comment participer]. '''Changements à venir''' * Les autres sites pourront savoir si leurs visiteurs proviennent de Wikipédia ou d’autres sites de Wikimedia. Ils avaient auparavant cette information jusqu'à ce que nous ayons commencé à utiliser [[m:Special:MyLanguage/HTTPS|HTTPS par défaut]], en juin 2015. Cela se passera normalement le 15 février. [https://phabricator.wikimedia.org/T87276][https://meta.wikimedia.org/wiki/Research:Wikimedia_referrer_policy] * Wikidata va être doté d'un nouveau type de données appelé « external-id ». Il sera utilisé pour faire référence à des ressources externes. Il sera activé le 16 février. Certaines propriétés seront changés pour utiliser ce nouveau type de données. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikidata/2016-February/008140.html][https://phabricator.wikimedia.org/T125633][https://www.wikidata.org/wiki/User:Addshore/Identifiers] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et publiées par le [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/06|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l'aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].'' </div></div> <section end="technews-2016-W06"/> 8 février 2016 à 18:58 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=15323422 --> == Les statistiques? == Bonjour, Est-ce qu’il y a eu une décision concernant les statistiques dernièrement? Depuis le 20 janvier plus rien ne bouge et il m’est impossible de vérifier l'appréciation de mes exercices. Merci, --[[Spécial:Contributions/77.231.18.171|77.231.18.171]] 11 février 2016 à 11:05 (UTC) :Quel est le souci ? [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 11 février 2016 à 11:41 (UTC) ::Le site http://stats.grok.se/ n'affiche pas les derniers résultats. Cela dépend d'un seul bénévole qui fait ce qu’il peut. ::D'ailleurs le mieux serait d’avoir les noms et les notes en plus du total d'apprenants. ::Techniquement c’est faisable mais moi je n'ai pas le temps du tout, mais alors pas du tout du tout... [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 11 février 2016 à 11:41 (UTC) Je croyais qu'un logiciel faisait le travail automatiquement, mais si c’est comptabilisé à la main comme on dit, je comprends qu’il n'y ait personne d'intéressée. C'est dommage, car j’ai l'impression qu’il n'y a plus personne dans la classe... --[[Spécial:Contributions/77.231.18.171|77.231.18.171]] 11 février 2016 à 12:38 (UTC) :Et nous n'avons pas encore de cours pour booster le nombre de visiteurs sur une page (par des campagnes marketing et du référencement). [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 11 février 2016 à 12:44 (UTC) == m:Référence nécessaire == Bonjour ! Je voudrais utiliser le {{m|Référence nécessaire}} qui est très documenté ici : [[w:Modèle:Référence nécessaire]]. Par exemple dans cette phrase : "[https://www.worldcat.org/wcidentities/lccn-n89665334 Loisel, Antoine 1536-1617] sur WorldCat|lccn-n89665334<br />49 éditions publiées entre <nowiki>{{référence obsolète|1710|Cf. {{BNF|30828453s}}.}}</nowiki> et <nowiki>{{Citation nécessaire|2013}}</nowiki> en Français and d'autres langues, conservées par 140 bibliothèques dans le monde". C'est en prévision de l'écriture et de la relecture du texte.<br />Est-il possible d'importer le modèle complet ? Merci d'avance. Bel Bonjour ! --[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 12 février 2016 à 13:13 (UTC) :Mais le même modèle existe ici. Qu’est ce qui ne fonctionne pas ici ? [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 12 février 2016 à 17:01 (UTC) ::J'obtiens un lien rouge. J'essaie à nouveau. Là, j’ai trop tiré sur la corde... @bientôt --[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 12 février 2016 à 20:14 (UTC) :::Tu vois bien que ce modèle {{m|Référence nécessaire}} est bleu, donc le modèle existe. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 12 février 2016 à 20:31 (UTC) == Projet d'extension de Wikiscan à d'autres projets == Bonjour, j'envisage de faire évoluer le site de statistiques sur Wikipédia en français [//wikiscan.org wikiscan.org] pour qu’il supporte d'autres wikis et d'autres langues. Chaque wiki disposerait de son propre site, pour Wikiversité ça serait http://frwikiversity.wikiscan.org/. Pour ceux qui ne connaissent pas, le site calcule différentes statistiques sur l’ensemble du wiki : * Des statistiques par dates, pour chaque jour et chaque mois depuis la création du wiki, ainsi que pour les dernières 24 heures flottantes : ** Pages les plus actives selon divers critères [//fr.wikiscan.org/date/20160201/pages] : nombre d'utilisateurs, d'éditions, de révocations, tailles des modifications. Filtrable pour certains espaces de noms. ** Utilisateurs les plus actifs selon le nombre de modifications, d'actions journalisées, de révocations et la taille des modifications [//fr.wikiscan.org/date/20160201/utilisateurs]. Filtrable par type d'utilisateur. ** Des statistiques générales sur cette période, comme le nombre total de modifications, pour chaque espace de noms, le nombre de suppressions, blocages, etc. [//fr.wikiscan.org/date/20160201/statistiques] * Une page synthétique appelée [//fr.wikiscan.org/grille grille] qui regroupe les pages les plus actives pour certains espaces de noms et les utilisateurs les plus actifs sur les dernières 24 heures. * Des statistiques pré-calculées par utilisateur, cela permet d'afficher rapidement la page même avec de nombreuses modifications, par exemple un robot totalisant presque 2 millions de modifs [//fr.wikiscan.org/utilisateur/HAL]. ** Environ 30 statistiques sont calculées comme le total des modifications, le nombre de jours et de mois avec au moins une action, le diff global, le nombre de petites ou grosses modifications, une estimation du temps passé à faire des modifs, etc. ** Toutes ces statistiques sont disponible pour le total et dans des tableaux par an et par mois. ** Il y a également un graphique par mois et un camembert par catégorie d'espaces de noms. * Un tableau général montrant ces statistiques pour les principaux utilisateurs [//fr.wikiscan.org/utilisateurs], triable pour la plupart des statistiques utilisateur. Le même tableau est envisagé pour chaque année et chaque mois. Les menus supportés en multi-wiki devraient être : dernière 24 h (Live), Grille, Calendrier et Utilisateurs. Les parties IP, Plages d'IP et Pages vues total et par an (plus mises à jour actuellement) ne sont pas prévues pour l'instant. Le retour de la prise en compte des pages vues pour les statistiques par dates et par mois est envisagé avec un nouveau système et les nouvelles données qui excluent les robots. Cela représenterait une grande évolution pour le site, je souhaiterais également transformer le site avec une interface multi-langue, au moins en anglais dans un premier temps. Le projet actuel serait d’avoir un site Wikiscan pour chaque wiki Wikimedia totalisant plus de {{formatnum:100000}} modifications, cela ferait actuellement plus de 300 wikis supportés. Pour dégager le temps nécessaire, j'envisage de demander une bourse à la Fondation Wikimedia via [[m:Grants:IEG]], il est donc important de savoir si des wikis concernés sont intéressés et soutiendraient ce projet. --[[Utilisateur:Akeron|Akeron]] ([[Discussion utilisateur:Akeron|discussion]]) 12 février 2016 à 15:14 (UTC) :# {{pour}} [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 12 février 2016 à 16:25 (UTC) :# {{pour}} [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 12 février 2016 à 16:54 (UTC) :# {{pour}} --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 12 février 2016 à 19:49 (UTC) :# {{pour}} Et bon courage pour le Grant. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 12 février 2016 à 23:39 (UTC) :# {{pour}} Ce serait parfait! --[[Utilisateur:Claude Reid|Claude Reid]] ([[Discussion utilisateur:Claude Reid|discussion]]) 13 février 2016 à 09:46 (UTC) == J’ai retrouvé le BàS == Salut les gens, j’ai retrouvé le bac à sable après l'avoir cherché pendant une demi-heure. C'est fou il était dans l'espace de noms Wikiversité, ah non arrêtez c’est trop drôle ;-) dans l'espace kkk... bon je vais mettre un lien ici au cas ou je le perde de nouveau: [[Wikiversité:Bac à sable]]. [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) :{{notif|Youni Verciti}}Pourtant il y avait le lien sur ta page de discussion lorsque l’on t'a souhaité la bienvenue. Mais tu l'as [[Spécial:diff/507487|effacé]]. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 13 février 2016 à 19:43 (UTC) :: Autant pour moi, je découvre que c’est la coutume de mettre le "Bac à sable" dans l'espace de nom relatif au projet lui-même. Je pense que nous devrions mettre en avant l'usage de cet outil, j’apprécie particulièrement les projets qui offrent un "Bac à sable personnel " sur la barre des menus. L'usage plus fréquent du BàS soulagerait le travail de ceux qui patrouillent et de ceux qui éditent. Amicalement. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 14 février 2016 à 12:16 (UTC) :::Pourquoi pas mettre un lien "Bac à sable" sur la barre latérale, entre "Premiers pas" et "Aide" (section "Contribuer") ? --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 14 février 2016 à 12:29 (UTC) :::: {{Notif|Thierry613|Youni Verciti}} Ça commence à faire beaucoup de liens ; il faudrait peut-être que j'en enlève… :::: Le [[Wikiversité:Bac à sable|bac à sable]] est accessible depuis le [[Aide:Sommaire|sommaire de l'aide]], la [[Wikiversité:Communauté|page d'accueil de la communauté]], la [[Aide:Premiers pas/2|deuxième page des premiers pas]], et même la [[Wikiversité:Accueil#Qu'est-ce que Wikiversité ?|page d'accueil]], en bas de la section « Qu'est-ce que Wikiversité ? ». Le [[Modèle:Bienvenue|modèle Bienvenue]] aussi, comme l'a signalé notre cher [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]]. Il y a également le [[MediaWiki:Gadget-monBrouillon|gadget MonBrouillon]]. :::: C'est vraiment insuffisant ? [[Utilisateur:Frigory|Frigory]] <small class="plainlinks">([[Discussion Utilisateur:Frigory|<span title="page de discussion">d</span>]] · [[Spécial:Contributions/Frigory|<span title="contributions">c</span>]] · [{{fullurl:Special:Log|type=block&page=User:{{urlencode:Frigory}}}} <span title="blocages">b</span>] · [[sulutil:Frigory|<span title="Compte unifié">s</span>]])</small> 22 février 2016 à 17:39 (UTC) :::::Je sais pas. C'était juste une idée. Moi je m'en sers jamais. {{sourire}} --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 22 février 2016 à 17:45 (UTC) :::::: Au passage j’ai confondu brouillon et bac à sable dans mes posts, pardon. Sincèrement je trouve que c’est un accessoire utile et pédagogique que l’on a l'habitude de trouver sur la barre de gauche dans l’ensemble des projets Wiki. En le supprimant on perd l'habitude de l’utiliser on oublie qu’il existe. Bref je suis un peu rigide là mais j’y tiens beaucoup, d'avance merci [[Utilisateur:Frigory|Frigory]]. Amicalement. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 22 février 2016 à 18:03 (UTC) ::::::: Faudra que j’y réfléchisse un de ces jours… Bon… J’ai ajouté un lien dans la barre latérale. [[Utilisateur:Frigory|Frigory]] <small class="plainlinks">([[Discussion Utilisateur:Frigory|<span title="page de discussion">d</span>]] · [[Spécial:Contributions/Frigory|<span title="contributions">c</span>]] · [{{fullurl:Special:Log|type=block&page=User:{{urlencode:Frigory}}}} <span title="blocages">b</span>] · [[sulutil:Frigory|<span title="Compte unifié">s</span>]])</small> 22 février 2016 à 18:55 (UTC) == Modèle {{m|Trad}} == Je ne parviens pas à faire fonctionner le modèle Trad, j’ai laissé deux exemples dans le [[WV:BàS]]. Merci d'avance. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 14 février 2016 à 11:24 (UTC) :Il faut mettre une balise '''<nowiki><references group="trad"/></nowiki>''' à la fin du document (ou dans une section "Références" par exemple). --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 14 février 2016 à 11:38 (UTC) ::Merci Thierry, c’était dans la doc. j’avais pas vu. Bon dimanche! --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 14 février 2016 à 12:27 (UTC) == Présentation du projet sur la mise en œuvre du Parcours Personnalisé de Scolarisation (PPS) et le Plan d'Accompagnement Personnalisé (PAP) pour les enfants en situation de handicap == === Qui sommes-nous ? === Le FIPHFP (Fond d'Insertion pour les Personnes Handicapées de la Fonction Publique) nous a missionnés pour produire des projets en rapport avec l’accessibilité numérique et le handicap. Ce projet portant sur la mise en œuvre du Projet Personnalisé de Scolarisation (PPS) et du Plan d'Accompagnement Personnalisé (PAP) a été initié par les chefs de projets du programme accessibilité du Cned. Nous sommes Sandrine Ventana, Virginie Ventana, Mariama Dia et Carsten Meyer. === Pourquoi un projet PPS/PAP ? === Le droit à l'éducation pour tous les enfants, quel que soit leur handicap, est un droit fondamental. La loi du 11 février 2005 pour l’égalité des droits et des chances, la participation et la citoyenneté des personnes handicapées a consacré ce droit et permis le développement d’actions en faveur de la scolarisation des élèves en situations de handicap. À la rentrée scolaire 2014, {{formatnum:259941}} élèves en situation de handicap sont scolarisés en milieu ordinaire. Des dispositifs qui sont parfois complexes à mettre en place : * Pour les parents d’élèves en situation de handicap : comment faire ? quels documents remplir ? comment bien remplir tous ces documents ?… * Pour les enseignants : comment accueillir cet enfant à besoins éducatifs particuliers ? quels aménagements mettre en place ? comment orienter efficacement cet élève ?… * Pour les AVS/AESH : comment guider au mieux cet élève particulier ? comment me positionner dans la classe vis-à-vis de l’enseignant ?… Nous souhaitons donc apporter des réponses concrètes et des aides à ces différents publics autour de 2 dispositifs : ==== Le PPS (Projet Personnalisé de Scolarisation) ==== Il consiste à mettre en place selon les besoins de l’élève : * l’orientation scolaire : ULIS, classe ordinaire, cours à domicile ; * l’aménagement de la scolarité : prise en charge extérieure durant les heures scolaires (orthophoniste, psychologue, répétiteur CNED…) ; * l’aménagement pédagogique : adaptation des apprentissages (allègement du travail scolaire, polycopiés des cours…) ; * les mesures d’accompagnement : auxiliaire de vie scolaire, SESSAD, orthophoniste… ; * l’attribution de matériels pédagogiques adaptés : ordinateur… ; * l'aménagement des examens et concours (tiers temps, secrétaire…). ==== Le PAP (Projet d’Accompagnement Personnalisé) ==== C'est permettre : * l’aménagement de la scolarité : prise en charge extérieure durant les heures scolaires (orthophoniste, psychologue, répétiteur CNED…) ; * un suivi tout au long de la scolarité ; * un aménagement pédagogique d’un point de vue adaptation des apprentissages (allègement du travail scolaire, polycopiés des cours, aménagement des contrôles…)… ==== [[:File:Tableau des besoins identifiés.jpg|Les besoins que nous avons recensés]] ==== {| class="wikitable" ! Les parents !! Les enseignants !! Les AVS |- | style="vertical-align: top" | * Connaître leurs droits (financier, décisionnel…) * Savoir remplir les documents relatifs au parcours personnalisé de scolarisation de leur enfant * Savoir comment préparer une ESS * Connaître les différents types d'aménagements possibles * Connaître les différentes structures spécialisées pouvant accueillir leur enfant * Connaître les moyens mis en place par l'enseignant * Échanger avec l'AVS | style="vertical-align: top" | * Savoir préparer une ESS et une équipe éducative * Connaître les différentes structures spécialisées * Savoir comment aider les parents * Savoir repérer les différents troubles et difficultés de l'élève afin d'orienter les parents vers un spécialiste ou qu’ils puissent être conseillés par leur médecin * Savoir proposer des solutions en classe | style="vertical-align: top" | * Connaître différents types de handicap et ce que cela implique dans leurs prises en charge de l'enfant * Échanger avec les parents et le précédent AVS s'il y en a eu un |} ==== [[:File:Tableau 2.jpg|La réponse que nous souhaitons apporter]] ==== {| class="wikitable" ! Les parents !! Les enseignants !! Les AVS |- | colspan="2" style="vertical-align: top" | * Des tutoriels vidéo expliquant comment remplir les différents documents relatifs au parcours scolaire de l'enfant | style="vertical-align: top" | * Des textes expliquant les difficultés rencontrées par l'enfant en fonction de son trouble |- | colspan="3" style="vertical-align: top" | * Des vidéos expliquant les différentes structures adaptées aux besoins de l'enfant |- | style="vertical-align: top" | * Des vidéos et textes expliquant les droits des parents * Un guide d'informations relatives à l'enfant à destination de l'AVS et de l'enseignant | style="vertical-align: top" | * Un tutoriel vidéo expliquant queldes informations écrire et pourquoi afin de préparer une équipe éducative ou une ESS |} === Public cible === Ce projet est à destination des parents ayant un enfant en situation de handicap et des enseignants + AVS/AESH les accueillant dans leur classe. === Les objectifs === Améliorer la prise en charge scolaire des enfants en situation de handicap : * connaître ses droits financiers, décisionnels et en termes d’actions ; * connaître les dispositifs à mettre en place pour que l’enfant bénéficie d’un parcours scolaire adapté à ses besoins spécifiques ; * faciliter le parcours du combattant vécu par les parents pour permettre la scolarisation de leurs enfants en situation de handicap. === Durée === {{Unité|4|h}}. === Médias === Nous mettrons à disposition des vidéos, du texte, des photos pour que chaque partie prenante puisse se retrouver dans ce parcours. === Communauté === Nous avons choisi la Wikiversité parce qu’elle est l’une des rares plateformes où la contribution est largement encouragée. Nous souhaitons que chaque personne qui accédera à la page de notre dispositif puisse être libre et puisse disposer des mêmes droits en ce qui concerne l'amélioration qualitative et quantitative des contenus qui y seront intégrés. L’atout majeur qu’offre la Wikiversité est la pérennité des contenus intégrés. Or, notre objectif principal est que notre projet puisse perdurer dans le temps et puisse être enrichi par la communauté de contributeurs. L’élaboration du PPS et du PAP étant « un véritable parcours du combattant », ce dispositif riche et complet permettra aux élèves, aux parents mais aussi aux enseignants et AVS/AESH d’avoir toutes les informations centralisées et personnalisées afin de leur faciliter les démarches et procédures pour qu’ils puissent appréhender la mise en œuvre du PPS/PAP de façon plus sereine. === Utilité sociale === Grâce à ce dispositif, nous souhaitons que : * les parents ne soient plus perdus quand ils remplissent tous les documents administratifs qui leur sont fournis ; * les parents abordent sereinement les réunions en étant suffisamment informés et outillés : ESS, {{Abréviation|CDAPH|Commission des droits et de l'autonomie des personnes handicapées}}, etc. ; * les enseignants se sentent plus à l’aise avec les orientations qu’ils proposent en ayant une meilleure connaissance des structures de scolarisation existantes ; * les enseignants ne se posent plus de question sur l’accueil d’élèves en situation de handicap et soient plus inclusifs ; * les AVS/AESH connaissent mieux leur rôle et se sentent soutenus pour accompagner les élèves à besoins éducatifs particuliers. En résumé, nous souhaitons favoriser une inclusion des élèves en situation de handicap plus sereine et plus efficace en limitant les peurs/souffrances des parties prenantes. --[[Utilisateur:Mdia12|Mariama Dia]] ([[Discussion utilisateur:Mdia12|discussion]]) 15 février 2016 à 14:24 (UTC) === Réponses === :Merci d’avoir apporté ces éclaircissements sur votre beau projet. J'espère que la Wikiversité répondra à vos attentes. Il me vient à l'esprit la question de visibilité du contenu. Wikiversité ne bénéficie pas d'un référencement aussi fort que Wikipédia via les moteurs de recherche dont le plus célèbre est certainement Google. Avez-vous un plan d'action en termes de visibilité ? Je peux déjà vous suggérer quand vous vous sentirez prêt à le faire d'ajouter un lien « L'accessibilité numérique sur Wikiversité » sur la page Wikipédia [[w:Accessibilité_numérique#Voir_aussi|au niveau de la partie « voir aussi »]] et éventuellement un autre lien externe [[w:Accessibilité_numérique#Liens_externes|dans la partie dédiée]] vers une page spécifique traitant du sujet sur votre site CNED. La communauté Wikipédia est parfois imprévisible en termes d'acceptation des liens externes, mais comme votre organisme est d'une grande notoriété publique et visiblement actif sur le sujet, l'ajout de ce lien externe me semble justifiable. En cas de besoin, n'hésitez pas à faire appel. Bonne continuation, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 16 février 2016 à 17:36 (UTC) :Bonjour [[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]], :Merci beaucoup pour votre proposition. C'est une excellente idée. Oui nous avons pensé à un plan d'action pour gagner en visibilité. Est-ce qu'une fois que les contenus seront prêts nous pourrons revenir vers vous pour les liens depuis Wikipédia ? :Bonne journée --[[Utilisateur:Mdia12|Mariama Dia]] ([[Discussion utilisateur:Mdia12|discussion]]) 22 février 2016 à 08:43 (UTC) ::Bonjour [[Utilisateur:Mdia12|Mariama Dia]], désolé de répondre tardivement à votre question. Oui bien sûr, je serai à votre disposition. @ bientôt, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 3 mars 2016 à 09:11 (UTC) Bonjour, je suppose qu'AVS est l’acronyme de [[w:fr:Auxiliaire de vie scolaire|Auxiliaire de vie scolaire]]. Merci pour cette explication détaillée et très informative. Je me joindrai volontiers à Lionel, dans la limite de ma disponibilité, pour vous aider à la bonne réalisation de votre projet. --[[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discussion]]) 31 mars 2016 à 08:29 (UTC) == [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/07|Tech News: 2016-07]] == <section begin="technews-2016-W07"/><div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="fr" dir="ltr"><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/07|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Changements récents''' * Il est dorénavant possible de modifier des pages depuis l'interface mobile sans JavaScript. [https://phabricator.wikimedia.org/T125174] * L'[[mw:Special:MyLanguage/Extension:Math|extension Math]] peut dorénavant être utilisé pour écrire des formules chimiques. [https://phabricator.wikimedia.org/T126272] '''Problèmes''' * Quelques contributeurs ont pu avoir été connectés en tant que quelqu’un d’autre en raison d'un bug. Pour des raisons de sécurité, tout le monde a été déconnecté le 9 février. Si vous avez été témoin de ce bug, n'hésitez pas à [[mw:User talk:Tgr (WMF)/Session pollution|le signaler]]. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-ambassadors/2016-February/001345.html][https://phabricator.wikimedia.org/T126069] '''Changements cette semaine''' * Il existe une fonctionnalité bêta qui [[mw:Beta Features/Other projects sidebar|ajoute des liens traitant le même sujet sur d'autres projets Wikimedia]]. Le but était de le faire quitter l'état de phase de test et de l'activer pour tous les utilisateurs en janvier. Finalement, cela se passera le 16 février. Les wikis qui ne veulent pas de cette fonctionnalité peuvent décider de la désactiver. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-ambassadors/2015-December/001305.html][https://phabricator.wikimedia.org/T103102] * Les notifications [[mw:Special:MyLanguage/Help:Notifications/Cross-wiki|inter-wikis]] seront disponibles comme une fonctionnalité bêta sur Wikidata, MediaWiki, Commons et tous les wikis en français et en hébreu le 19 février. [https://phabricator.wikimedia.org/T124234] * <span title="Sujet récurrent">[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]</span> La [[mw:MediaWiki 1.27/wmf.14|nouvelle version]] de MediaWiki sera sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 16 février. Elle sera sur tous les projets, excepté la majorité des Wikipédias, à partir du 17 février. Elle sera déployée sur toutes les Wikipédias le 18 février ([[mw:MediaWiki 1.27/Roadmap|calendrier]]). '''Réunions''' * <span title="Sujet récurrent">[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]</span> Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=20&min=00&sec=0&day=16&month=02&year=2016 16 février à 20 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]]. '''Changements à venir''' * La fonction de recherche des wikis Wikimedia sera doté de [[mw:Extension:CirrusSearch/CompletionSuggester|suggestions complétives]] qui seront proposées au fur et à mesure de la frappe de l'utilisateur. Par ailleurs, les erreurs de frappes seront reconnues. La fonctionnalité est actuellement en phase de test et sera probablement intégrée en mars. [https://phabricator.wikimedia.org/T126271] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et publiées par le [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/07|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l'aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].'' </div></div> <section end="technews-2016-W07"/> 15 février 2016 à 16:16 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=15345667 --> == Juste pour info concernant la suite du projet d'accessibilité numérique == Une page [[Projet:Laboratoire/Propositions/Projet accessibilité numérique]] a été créer pour discuter des questions d'intégrations du projet. Belle fin de journée à tous, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 16 février 2016 à 16:25 (UTC) == Les Notifications Cross-wiki disponibles sur votre wiki le 19 février == Chère communauté de la Wikiversité en français L'équipe Collaboration est heureuse de vous annoncer que les Notifications Cross-wiki seront disponible comme fonctionnalité Beta sur votre wiki le '''19 février à 01h00 UTC'''. Les Notifications Cross-wiki (ou inter-wiki) vont vous permettre de connaître certaines activités arrivant sur d'autres wikis. '''Comment cela fonctionne-t-il ?''' Imaginez que quelqu’un vous remercie sur Commons : la prochaine fois que vous ouvrez une page sur ce wiki, vous verrez cette notification provenant de Commons ! Nous espérons que cela aidera tous ceux qui sont actifs sur plusieurs wikis à la fois. Vous trouverez plus d'informations dans la [[mediawikiwiki:Help:Notifications/Cross-wiki/fr|documentation]]. Bien entendu, il s'agit d'une fonctionnalité Beta. Nous avons testé de très nombreux cas de figure, mais vous pourriez éventuellement rencontrer des problèmes. Si c’est le cas (et nous en sommes désolés), merci de le reporter sur [[mediawikiwiki:Help talk:Notifications|la page de discussion dédiée]] (dans n’importe quelle langue). Pour activer cette fonctionnalités, allez dans [[Spécial:Preferences#mw-prefsection-betafeatures|vos préférences]], dans l'onglet Beta, et cochez « Notifications améliorées ». Vous receverez alors les Notifications provenant de n’importe quel autre wiki. Vous ne receverez ces notifications que sur le wiki où vous avez activé cette fonctionnalité Beta (wikis en test : Wikidata, MediaWiki, Commons, tous les wikis en français et hébreu). Si vous n'activez pas cette fonctionnalité, rien ne changera dans vos Notifications. Si vous avez des questions, merci de me mentionner ! Bien à vous, [[Utilisateur:Trizek (WMF)|Trizek (WMF)]] ([[Discussion utilisateur:Trizek (WMF)|discussion]]) 16 février 2016 à 16:40 (UTC) :Super! Je m'en vais tester ça tout de suite. Merci pour l'info [[Utilisateur:Trizek (WMF)|Trizek (WMF)]] et bien le bonjour à [[Utilisateur:Trizek|Trizek]] {{clin}} [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 16 février 2016 à 17:05 (UTC) ::Tout de suite, ça va être difficile : nous déployons cela jeudi :) Merci pour l'enthousiasme ! [[Utilisateur:Trizek (WMF)|Trizek (WMF)]] ([[Discussion utilisateur:Trizek (WMF)|discussion]]) 16 février 2016 à 17:17 (UTC) == Liens entre Wikiversité et Wikipédia == Bonjour, Je suppose qu’il est judicieux de mettre des liens (bijectifs ???) entre les termes employés dans le cours que je viens de créer et les articles ''ad hoc'' de Wikipédia Exemple : "chargé de clientèle assurance " et ... + d'autres... Avez-vous connaissance d'une fiche technique ''ad hoc'' pour présenter l'essentiel et les pièges à éviter ? D'avance merci, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 18 février 2016 à 09:40 (UTC) :Vous avez ce modèle {{m|Autres projets}} et vous pouvez ajouter un [[Aide:Lien inter-langue|lien interwiki]] sur la page de la leçon ou du cours. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 18 février 2016 à 10:17 (UTC) == Références et bibliographies == Bonjour, Dans Wikiversité je ne retrouve pas l'équivalent de Wikipédia pour les "notes de bas de page", les citations, et les références bibliographiques. Seul un modèle "référence" m'apparaît si j'utilise le "mode non wiki" : et il est beaucoup moins riche de potentialité... Ai-je "loupé un métro" ??? J’ai mis mes ouvrages de référence en dur dans le texte sans "encadré spécifique type WkP" pour le général... Il me manque tout le reste qui est spécifique et "local" : les "notes de bas de page", les citations, et les références bibliographiques....Je ne voudrais pas me retrouver au pénal pour plagiat... Merci pour votre aide, Guy --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 18 février 2016 à 09:48 (UTC) :Dans le cadre de la wikiversité, on dédit plutôt une page de chapitre, dite « Annexe » disponible par un paramètre du modèle {{m|Leçon}}. Tout comme vous créer un chapitre d'apprentissage, on peut créer des annexes, des fiches, des exercices, etc.. De façon ponctuelle il existe aussi les modèles {{m|Ouvrage}}, {{m|Lien web}}, {{m|Article}}. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 18 février 2016 à 10:15 (UTC) : {{notif|Guy6631}} À titre d'exemple, il y a une page d'annexe dans la leçon : [[Systèmes monétaires]]. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 18 février 2016 à 18:42 (UTC) == Questionnaire sur la stratégie de Wikimédia France == Bonjour à toutes et à tous, Dans le cadre de sa prochaine demande de financement au mouvement Wikimédia, le Conseil d'administration de Wikimédia France souhaite consulter la communauté pour fixer les priorités de ses actions au cours des deux prochaines années. Sur la base des actions réalisées de 2013 à 2015, nous vous proposons d'indiquer quels types d'actions doivent être mis en avant, lesquels doivent être ralentis et de proposer des idées nouvelles. Ce questionnaire, anonyme, nous permettra d'orienter notre stratégie à venir. Celle-ci sera décrite dans notre prochaine demande de subvention qui sera soumise pour le {{1er}} avril 2016. Nous vous remercions pour le temps que vous voudrez bien consacrer à [https://wikimedia.qualtrics.com/jfe/form/SV_2ay8LRYIWavisGF ce questionnaire]. Afin de nous permettre d'analyser l’ensemble des réponses, merci de bien vouloir compléter le questionnaire avant le 26 février. Bonne journée, Cordialement, Le conseil d'administration de Wikimédia France <small>(message déposé par [[Utilisateur:Jules WMFr|Jules WMFr]] ([[Discussion utilisateur:Jules WMFr|discussion]]) 18 février 2016 à 10:28 (UTC))</small> :Wikimedia France à besoin de vous, pour taxer La Fondation et vient avec un questionnaire au format java. Pourtant Wikimedia France se vante d’avoir collecter {{unité|300000|€}} sur sa page d'accueil mais c’est peu comparé au score de la fondation. Pour écarter le contributeur indépendant c’est une bonne stratégie de communication. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 19 février 2016 à 19:24 (UTC) ::J’ai pas compris le sous-entendu. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 19 février 2016 à 20:54 (UTC) == Les sous-pages == Bonjour à tous, j'aimerais savoir quelle est la procédure pour réalisé des sous-pages ; une barre oblique « / » ou deux petits points verticaux « : » ? Cordialement. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] % [[Discussion utilisateur:FrankyLeRoutier|Service après-vente]] 19 février 2016 à 03:36 (UTC) :{{notif|FrankyLeRoutier}} Bonjour, Pour créer une sous-page, on utilise une barre oblique « / ». Mais j’ai tout de même annulé vos renommages sur les pages des [[:Catégorie:Accessibilité numérique]] et [[:Catégorie:Handicap en entreprise]]. Ces pages vont faire parti d'une prochaine prise de décision sur la mise en place de pages gadget-MOOC. Leurs structurations n'a pas encore été clairement définie. Il faut donc les laisser en l'état pour le moment pour ne pas perturber les créateurs de ces pages avant que les choses soient clairement définies. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 19 février 2016 à 03:50 (UTC) == Médecine occidentale, médecines chinoises... == Bonjour, Je remarque que la faculté de médecine est en fait une faculté de médecine occidentale. Comme vous le savez, il existe de nombreuses médecines : médecines chinoises, médecine tibétaine, médecine ayurvédique ... Il serait peut-être bon d'indiquer, d'une manière ou d'une autre aux futurs étudiants de la wikiversité que d'autres médecines existent, qu'en pensez-vous ? [[Utilisateur:Chrisaiki|Chrisaiki]] ([[Discussion utilisateur:Chrisaiki|discussion]]) 19 février 2016 :La wikiversité est ouverte à tout ce qui peut s'apprendre, donc n'hésiter pas à ajouter vos « herbes » ou « graines ». [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 19 février 2016 à 18:00 (UTC) ::L'humour d'un administrateur de la wikiversité est parfois hermétique. Ce que David veut dire c’est que nombre de nos facultés et départements constituent une galerie complexe de modèles qui dissimulent efficacement l'absence de contenu. Vous êtes le bienvenu, nous appelons vos contributions de tous nos vœux. N'hesitez pas à demander de l'aide. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 19 février 2016 à 19:13 (UTC) == Le Nouveau Meta Moteur Libre == Bonjour, J’ai fais la propagande de [https://startpage.com Startpage] comme alternative à buggle. Nous avons mieux que startpage depuis un an semble-t-il. J’ai passé par hasard "Portugais/Index vocabulaire/vcb Nom" dans startpage curieux du résultat j’ai passé la même chaine de caractère dans Searx [https://searx.laquadrature.net/ Le Nouveau Meta Moteur Libre]. Tchurutchutchu le nouveau meta moteur libre est arrivé, Gente! --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 19 février 2016 à 18:28 (UTC) == Fiches pédagogiques == Bonjour, Je n'ai rien trouvé de spécifique pour le versement des fiches pédagogiques en lien avec le cours déposé sur WkV. L’idée est de donner un fil rouge, des matériaux et des expériences d'animation de la séance. S'il n'y a pas de consignes particulières je pourrais faire une annexe spéciale shadow de chaque chapitre. Qu'en pensez-vous ? d'avance merci, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 19 février 2016 à 19:16 (UTC) :Nous utilisons un modèle documenté : {{m|Fiche de lecture}}. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 19 février 2016 à 21:44 (UTC) :: J’ai du mal m'expliquer : j’ai déposé le cours sur WkV. Je cherche à y déposer aussi la méthode pour enseigner et le livre de bord prévisionnel de préparation de la séance de cours ; et non des fiches de lecture d'ouvrages de référence. Y a-t-il un modèle ? Sinon je dépose en Annexe avec une structure de chapitre shadow de l'organisation du cours complet, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 21 février 2016 à 10:00 (UTC) :::Dans ce cas je ne crois pas qu’il y ait un modèle distinct de {{M|chapitre}}. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 21 février 2016 à 10:09 (UTC) == Lydie Noria arrêtez de persécuter les contributeurs! == Lydie Noria, vous vous acharnez à modifier les pages d'indexation du vocabulaire du département de portugais. Vous savez pourtant que se sont des pages crées automatiquement par un programme (tool ou robot) que je suis en train de développer. Donc vous êtes consciente de ce que vous faites. Vous me faites perdre un temps énorme, ce n’est pas la première fois, c’est même systématique, Depuis que j’ai créé le département de portugais chacune de vos interventions sont des contrariétés des complications, des vexations. Je ne peux plus continuer à croire que vous êtes de bonne intention. Je vous demande de laisser les contributeurs en paix. Les pages que vous modifiées manuellement, sont créés par le programme vocabulary-index sur https://tools.wmflabs.org/: https://tools.wmflabs.org/vocabulary-index/ https://gerrit.wikimedia.org/r/#/admin/projects/labs/tools/vocabulary-index Vous n'avez jamais participé au contenu du département portugais je voue en prie laissez moi travailler paisiblement. PS: En plus de supprimer mes redirections, vous renommez les pages créés automatiquement puis supprimez les mises à jour de ces pages. C'est du sabotage ce que vous faites Lydie. Cordialement. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 19 février 2016 à 20:12 (UTC) :Vous créez des pages dans l'espace principal, donc ils doivent se conformer à la charte mise en place en ce qui concerne les cours, les leçons et les chapitres, c'est-à-dire la mise en place de modèles pour s'y structurer . Si vous voulez que, temporairement, ces pages ne soient pas modifier, ils doivent aller dans un espace qui vous est propre, comme l'espace utilisateur, le temps que vous finalisiez votre travail pour ensuite les placer dans l'espace principal. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 19 février 2016 à 21:01 (UTC) : {{notif|Youni Verciti}} Il est totalement hors de question que je vous laisse continuer à faire des infâmes bricolages sur la Wikiversité. J’ai déjà passé plus de 10 heures à rajouter des modèles chapitres ou autres dans vos chapitres (parce que vous trouvez fastidieux de les mettre) et corriger des erreurs dans vos leçons de portugais. Vous faite systématiquement des contributions en dépits du bon sens. Vous mettez des redirections là où il n’est pas normal de les mettre. Vous ne respecter pas la plus élémentaire des logiques dans la gestion des sous-pages, donnant ainsi un mauvais exemple aux nouveaux. Vous avez importé le [[Modèle:Sidebar]] anormalement par copier-coller. Vous l'avez utilisé pour faire la leçon [[Introduction au Lua]] contrairement au usage de la Wikiversité avec un nom absurde. Vous avez créer la page [[Pédagogie/Internet/Wiki Média]], qui visiblement n'a rien à faire dans l'espace principal, que j’ai transférer dans l'espace recherche et que vous avez remis dans l'espace principal. Ma patience a atteint ses limites. J’ai bien compris que vous étiez un dinosaure ressurgi du passé de la Wikiversité où l’on faisait n’importe quoi, mais je vous ai déjà expliqué que cette époque est révolue. Quand on est dans un chapitre et que l’on tape « chapitre suivant », la simple logique veut que l’on se retrouve dans un autre chapitre où en tapant « chapitre précédent », on revienne dans le chapitre d'où l’on est parti. Il n’est pas logique qu'en tapant « chapitre suivant » dans un chapitre, on se retrouve projeté dans une autre leçon alors que l’on ne s'y attend pas. Pareil si l’on essaie d'accéder à un chapitre ou une fiche à partir du sommaire d'une leçon. Dorénavant, je révoquerai systématiquement toutes vos contributions bordéliques. Je n'ai pas passé des heures de maintenance sur la Wikiversité pour voir quelqu’un comme vous tout remettre en cause. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 19 février 2016 à 21:07 (UTC) ::Je reconnais bien là un esprit mathématique habitué à une seule solution par problème. Mais je ne pense pas qu'annuler les travaux en voie de développement du département portugais, pour un motif peu consensuel soit la meilleure conduite à tenir. C'est d'ailleurs pour cela que tu avais lancé {{M|leçon du jour}}. Je suggère donc de nous adapter aux syntaxes des artistes en utilisant la même technique de la quarantaine balisée par un bandeau. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 19 février 2016 à 22:10 (UTC) ::: {{notif|JackPotte}} Regarde de près ce qu’il fait et tu comprendras. Ce n’est pas du travail transitoire vers quelque chose qui deviendra convenable. Ce n’est pas une solution alternative. C'est du travail bordélique définitif, et je repasse derrière pour corriger. par exemple, à partir du sommaire, si tu cliques sur certaines fiches, tu tombes sur une page de redirection vers une page sans modèle, à partir de laquelle tu ne peux pas revenir au sommaire. Enfin plus maintenant car j’ai corrigé. Avant que je corrige, dans certaine de ses leçons, si tu cliquais sur certains chapitres, tu te retrouvais dans le chapitre d'une autre leçon, je n'appelle pas cela une autre solution. Tu as dû remarquer à un moment que la page [[Spécial:Pages non catégorisées]] était pleine de ses pages, c’est parce-qu’il a décidé de ne plus mettre de modèle dans ses sous-pages. C'est moi qui, après avoir attendu en vain qu’il les mette, m'en suis occupée. Je passe du temps à corriger ses pages et ils vient de révoquer mes modifications sur les fiches. Que doit-on faire, le laisser faire ! ça ne se limite pas aux leçons de Portugais, mais on le voit très souvent faire des choses bizarres comme créer un travail inédit dans l'espace principal ou importer un modèle par copier-coller. Et je n'ai pas parlé du laboratoire où il a entraîné une contributrice qui n'avait rien à y faire. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 19 février 2016 à 23:18 (UTC) ::::Bien sûr, il me démangeait de renommer son "vcb" en "vocabulaire", plus intelligible et à l'image des autres cours. Et j’avais vu que la travail s'accumulait, tout en gardant espoir qu'Youni Verciti se fixe, mais aujourd’hui ces frictions rendent la chose quelque peu difficile. ::::{{ping|Youni Verciti}} si tu refuses les bandeaux votés par la Wikiversité, tu n'as qu’à publier sur Wikibooks, où {{M|AutoCat}} suffit. ::::PS : je verrais bien une séparation des langues plus nette dans tes fiches (par tableau ou coloration du texte). [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 20 février 2016 à 11:09 (UTC) ::::: Lydie Noria vos insultes et crises de nerfs montrent qui vous êtes. Vous êtes quelqu’un qui veut prendre à son compte l'effort communautaire des contributeurs. Vous contrariez tous le monde en imposant votre vision, vous censurez, déplacez, renommez les contributions d'autrui. Vous inventez des règles qui sont gravement en contradiction avec les principes fondateurs de Wikipedia. Maintenant vous m'insultez et insultez mon travail. Le nombre de grief que j’ai à votre égard est trop élevé pour en faire la liste ici. Je demande que vous me laissiez travailler en utilisant les modèles et les redirections qui me conviennent. Cela fait parti des règles élémentaires d'un projet Wiki. Je vous demande de rester polie et courtois, votre statut d'administrateur vous y oblige. Dans le même temps ce statut ne vous donne pas le droit de massacrer les contributions des autres contributeurs. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 20 février 2016 à 11:22 (UTC) :::::: Mon statut de simple utilisatrice me donne le droit d'améliorer les contributions des autres utilisateurs. Il n'y a pas besoin de remonter jusqu'à mon statut d'administratrice. Il n'y a aucune règle élémentaire d'un projet wiki qui vous autorise à utiliser les modèles et les redirections qui vous conviennent si ce n’est pas approuvé par la communauté. Par contre, vous avez raison de dire que je suis gravement en contradiction avec les principes fondateurs de Wikipedia, mais je ne vois pas qu'elle importance cela a, car on ne dépends pas de ceux-ci. Toute la Wikiversité est gravement en contradiction avec les principes fondateurs de Wikipedia. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 21 février 2016 à 10:44 (UTC) {{Retour indentation}} Allons, allons, les enfants, ne nous disputons pas ! {{sourire}} Youni, tu proposes beaucoup de choses nouvelles. Peut-être trop à la fois ? Il faut expérimenter, certes, mais il faut aussi laisser le temps aux autres de se familiariser avec les nouveaux outils / modèles / pages que tu as développés. Lydie, peut-être que tu es allée un peu vite en besogne, sans laisser à Youni le temps d'aller au bout de ses idées. Et sans qu'on puisse tous posément voir ce qui marche ou pas, ce qui convient à la communauté ou pas, en cherchant un consensus qui soit satisfaisant pour tout le monde ou au moins pour une large majorité. Il me semble que nous avons là deux conceptions différentes d'un wiki, ce qui nécessiterait un débat à tête reposée, sur une page spécifique, où chacun puisse exposer sereinement sa façon de voir, sa façon de fonctionner (intellectuellement et en pratique). Qu'en pensez-vous ? --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 20 février 2016 à 12:13 (UTC) :Je pense que Lydie Noria a raison, et que son seul tort est justement qu'elle n'a pas inventé toutes les règles qu'elle fait respecter, comme [[Wikiversité:Organisation des enseignements]] en 2006. C'est donc à Youni Verciti de faire des concessions en travaillant dans [[Utilisateur:Youni Verciti/Brouillon]] comme elle le suggère, ou en intégrant les bandeaux obligatoires à son robot. Pour ce faire, il peut s’inspirer de [[Utilisateur:JackBot/formatage.py]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 20 février 2016 à 12:18 (UTC) ::Depuis quand la Wikiversité doit appliquer les principes fondateurs de Wikipédia. Wikiversité à la philosophie de Wikipédia mais à ses propres règles. Elles ont été définit dans la bétawikiversty à l'époque où la wikiversity était dans le projet Wikibooks. Des règles ont été émis, des structures ont été proposé et elles sont mises en œuvre. Ensuite, lorsqu’il y a une évolutions de proposé, elle est discuté, amendé et soumis à approbation. Et ce sont ces règle qui sont mises en œuvre. L'ajout de modèle structurant que les {{m|Cours}} {{m|Leçon}}, {{m|Leçon du jour}}, {{m|chapitre}}, {{m|Recherche}}, etc. Si un contributeur veut proposer autre choses, une autre forme, comme je l'ai dit, comme cela l'a été dit, c’est pas dans l'espace principale que cela dit se faire de prime abord. Pour cela il existe l'espace utilisateur ou l'utilisateur expérimente, travaille, améliore, etc. Une fois que son projet est abouti et qu’il convient à l'utilisateur proposant, il le soumet à l'avis de la communauté sous la forme d'une prise de décision, enfin il est acté de l’application de l'avis émis par la prise de décision. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 20 février 2016 à 15:31 (UTC) == Résumé de la situation == Je développe un programme pour récolter les couples de mots traduis, dans les leçons de langues étrangères ou au moins pour le département portugais dont je suis le créateur et le seul contributeur significatif (je remercie au passage ceux qui ont aidé d'une façon ou d'une autre). Le programme créé un liste synthétique des mots et leur traduction sous forme de nouvelle page que nous appellerons "fiche vocabulaire". Un administrateur empêche la poursuite de ce travail en supprimant des liens renommant des fichiers et ceci de façon répétitive malgré l'insistance de l'auteur. Les fiches de vocabulaire ainsi créés n'ont jamais existé donc on ne peut pas les comparer à un travail existant c’est quelque chose de nouveau. Pourquoi faites vous cela? Quels sont vos arguments? Pourquoi Lydie devient grossière? Quel image voulez-vous donner de la Wikiversité francophone? Pour conclure toute mon action respecte les procures et conventions, vous pouvez lire et participer au code de l'outil vocabulary-index via https://gerrit.wikimedia.org/r/#/admin/projects/labs/tools/vocabulary-index (Je suis ouvert aux modifications et critiques, mais elles doivent avoir lieu à la source c'est-à-dire dans le code du programme.). Vous pouvez vérifier l’ensemble du département portugais dont l'auteur est qualifié ici de dynausore et son travail de bordélique. La personne qui profère ces insultes ne respectent pas les conventions de bases, et n'applique pas à elle-même ni la moitié ni le quart des obligations qu'elle inflige à l’ensemble des contributeurs. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 20 février 2016 à 11:54 (UTC) :La Wikiversité n’est pas fermée aux nouveautés, mais je ne vois pas pourquoi [//fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Portugais/Grammaire/Nom/Fiche/vcb_Nom&type=revision&diff=533572&oldid=533568 tes fiches] ne pourraient pas s'intégrer à {{M|Entête de fiche}}. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 20 février 2016 à 12:30 (UTC) :Les modifications ne doivent pas aller dans le code programme. Car tout le monde ne sait pas programmer. Les avis et demandes doivent avoir lieu dans une page de discussion ad'hoc, tel que, par exemple, la page de discussion du robot lui-même car c’est bel et bien le robot qui fabrique ces pages. De plus les pages ne respectes pas la charte, puisque la charge demande une mise en page via des modèles. Je ne vais pas répéter ces modèles. Par exemple le modèle {{m|Leçon du jour}} s'applique aux pages ne pouvant s'inscrire dans une leçon déjà existante. La [[Projet:Wikiversité/Autoriser les leçons sur une seule page|prise de décision]] ne date pas d’aujourd’hui. Elle a été approuve par la communauté, elle s'applique donc jusqu'à preuve du contraire ou d'une amélioration également prise par une prise de décision. Par la suite, il y a eu aussi cette [[Projet:Wikiversité/Validation des nouvelles pages|prise de décision]] toujours concernant les pages ne rentrant pas dans une délai relativement bref de la charte de la wikiversité et qui est mise en œuvre également. Je ne vois pas comment la communauté peut mieux faire tout en préservant l'intégrité du projet. C'est le travail qu'a effectué [[user:Lydie Noria |Lydie Noria ]] afin de faire rapprocher les pages d'une leçon en mettant en place des {{m|chapitre}} ou {{m|Leçon}}, ou en mettant en œuvre le bandeau de {{m|Leçon du jour}}. Ce qui a été effectué me semble toute à fait correcte. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 20 février 2016 à 15:45 (UTC) :J’ai consulté mon dictionnaire des synonymes à propos du mot « bordélique », il donne les mots « incohérent », « désordonnée », « chaotique ». Je trouve que c'est, tout de même, le mot bordélique (qui n’est pas vraiment un mot grossier) qui qualifie le mieux votre façon de procéder dans vos leçons de Portugais, aussi bien du point de vue du formatage que de ce que va voir le lecteur. Entre les sous-leçons, sous-sous leçons, sous-sous-sous leçons et parachutage du lecteur d'une leçon dans une autre leçon sans le prévenir en incluant dans une leçon, des chapitres d'une autre leçon. Je ne sais pas comment le lecteur va faire pour s'y retrouver dans ce labyrinthe qui ne peut que donner une mauvaise image de la Wikiversité. Quand au mot « dinosaure », il fait référence au fait que vous êtes un ancien contributeur qui a disparu durant quelque année et qui revient et se remet à contribuer sans tenir compte de l'évolution de la Wikiversité pendant son absence. En ce qui concerne le fait que je n'applique pas à moi-même ni la moitié ni le quart des obligations que j'inflige à l’ensemble des contributeurs, je ne vois pas de quoi vous voulez parler. : Pour les récapitulatifs de vocabulaire, je vous fait la même réponse que [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ci-dessus. Je ne vois pas (même après réflexion) pourquoi ces listes ne se trouverais pas simplement dans une sous-page formatée en fiche et utilisant [[Modèle:Entête de fiche]]. C'est vous qui devriez donner des explications plus détaillées sur la nécessité d’utiliser des nouveaux types de pages. Pourquoi ne pas programmer simplement votre bot pour lui faire établir ces listes dans des sous-pages de votre espace utilisateur et copier-coller le résultat dans une fiche de la leçon concernée ? — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 21 février 2016 à 06:20 (UTC) == À propos de l'accusation sur le Laboratoire == Me voilà accusé d’avoir entrainé un utilisateur vers le laboratoire. Je n'ai fait que simplifier l'interface dudit Laboratoire qui était devenu tellement confuse que plus personne n'y participait depuis plusieurs années. Car l'obscurantisme de certains tend vers cet objectif. Je continue de croire que le Labo. est un espace utile pour y faire des expériences et propositions sous forme d'introspection: Comment fonctionnons nous, nous qui sommes la Wikiversité francophone? --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 20 février 2016 à 11:49 (UTC) :Il n'y a pas d'obscurantisme, et je suis d'accord avec le fait que [[Projet:Laboratoire/Propositions/Projet accessibilité numérique]] peut s'inscrire dans [[Projet:Laboratoire]], même s'il démarre par un vote pour son existence. Par contre je partage la vision de Lydie qui dit comme sur tous les autres wikis que je connais, qu'une activation par défaut du gadget {{Abréviation|MOOC|Massive Open Online Course|en}} pour les IP doit impérativement passer par une prise de décision en bonne et due forme. Et donc je soutiens [[Projet:Wikiversité/Autoriser la création de pages gadget-MOOC]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 20 février 2016 à 12:34 (UTC) :: Je suis désolé [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] de vous faire perdre votre temps avec de telles discussions, vous êtes un de ceux qui m'ont le plus aidé au sein de la Wikiversité. Je ne souhaite pas débattre du projet d’accessibilité numérique, c’est un projet auquel je souhaite longue vie. Le problème qui me concerne est lié au fait qu'un utilisateur m'empêche de poursuivre mon travail sur les fiches de vocabulaire du département portugais j'essaye de clarifier ci-dessous. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 20 février 2016 à 13:00 (UTC) == Fiches de vocabulaire & département portugais de la faculté de langues étrangères == Les fiches de vocabulaire sont créés par un programme vocabulary-index. J’ai finalisé la configuration git/gerrit récemment, cela est très nouveau pour moi et je serais ravi d’avoir des retours constructifs sur cet outil. Actuellement il me permet de générer des fiches de vocabulaire pour le département Portugais. Il est inutile et déconseillé de modifier manuellement des pages créés automatiquement. L'utilisateur qui modifie les fiches de vocabulaire le sait puisqu’il développe lui-même un robot. Nous comprenons la première partie du conflit à laquelle j'aimerais trouver une issue rapide car elle empêche le développement de l'outil sur lequel je consacre beaucoup de temps et d'efforts ces derniers temps. La seconde partie est que le fonctionnement de l'outil contrarie... contrarie une vision qui tend à imposer l’utilisation d'une multitude de modèles ({{m|Leçon}}, {{m|Chapitre}}...). Dans la réponse que me donne mon ami JackPotte plus haut: "Notification Youni Verciti : si tu refuses les bandeaux votés par la Wikiversité, tu n'as qu’à publier sur Wikibooks, où {{AutoCat}} suffit. Je retiens {{m|AutoCat}} car le département portugais est trop intimement lié à la Wikiversite pour pouvoir migrer sur Wikibook. J'utilise dans le département sus-cité tous les modèles recommandés de façon disciplinée depuis plusieurs années, désormais la taille du projet m'amène à chercher une solution plus efficace pour gérer les sous-pages d'une leçon où d'un cours. J’ai trouvé dans [[w:en:Lua]] une nouvelle solution que j'utilise en premier lieu pour traduire ici, le document de la wikiversité anglophone, [[Introduction au Lua]]. La solution se nomme initialement {{m|Sidebar}}. C'est un méta-modèle développé par un suédois et largement utilisé sur l’ensemble des projets de toute la Fondation Wmf. J’ai importé le modèle et traduit sa documentation de mon plein gré, pour m'être souvenu d'une discussion probablement animé par Lydie, quelques années en arrière où votre conclusion (Jack) était: "Désormais les utilisateurs importeront eux-même les modèles dont ils ont besoin car ils en ont la possibilité.". Je n'ai pas osé déployer le modèle {{m|Sidebar}} dans le département portugais... On critique son nom ; l'avantage d'un nom uniforme et unique est multiple, cela facilite notamment la traduction et la cohésion entre projets de langue différente (...) J’ai tendance à croire que l’utilisation de ce modèle amène des contrariétés psychologiques car techniquement "Sidebar" apporte des avantages évidents. En conclusion j'attendrais que vous me donniez un feu vert formel pour poursuivre le développement du contenu du département portugais en utilisant librement les modèles qui me conviennent le mieux. Dans l'immédiat je demande humblement que l’on me laisse poursuivre le développement de l'outil vocabulary-index selon le schéma suivant: index des pages de vocabulaire [[Portugais/Index vocabulaire]] (cette page vise à être incrémentée automatiquement de liens vers les listes de vocabulaire). Pages de vocabulaire: <nowiki>[[Portugais/Index_vocabulaire/vcb Nom_de_la_leçon]]</nowiki> avec une redirection sur la fiche incluse dans le modèle {{m|Leçon}}. Cela peut être discuté et modifié évidemment. Je ne m'oppose pas non plus à l'usage du bandeau "Memo" sur les fiches, je pourrais l'intégrer facilement. Je m'oppose aux interventions de Lydie qui empêchent le robot de fonctionner, donc je vais pour la quatrième fois depuis hier devoir/pouvoir rétablir la situation? Désolé pour tant de perte d’énergie et de temps. Amicalement. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 20 février 2016 à 13:43 (UTC) :Je pense que tout serait réglé si tu créais une page consensuelle avec ton robot modifié, et que nous votions pour sa généralisation, par exemple dans [[Wikiversité:Bot/Statut#Utilisateur:Youni Verciti Bot]]. Bon courage à toi. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 20 février 2016 à 14:25 (UTC) :[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] tu dis tout justement : « Il est inutile et déconseillé de modifier manuellement des pages créés automatiquement ». Dans ce cas, ces pages ne '''doivent''' pas, tant qu’elles ne sont pas structuré, être dans l'espace principale. Car en soumettant la page dans l'espace principale (entre autres puisque ceci est globalement vrai qu'elle que soit le lieu ou il est enregistré), l'auteur (ici le robot, donc le dresseur du robot) accepte irrévocablement : « En enregistrant les modifications, vous acceptez les conditions d’utilisation et de placer, de façon irrévocable, votre contribution sous les licences Creative Commons Attribution – partage à l’identique 3.0 et GFDL. ». De plus, il est inscrit en gras de chaque page d'édition : « Si vous ne désirez pas que vos écrits soient modifiés et distribués à volonté, ne les envoyez pas.» (sous entendu dans un espace autre que l'espace utilisateur tant qu'elle ne contrevient pas aux règles définit par la wikiversité et la fondation). [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 20 février 2016 à 15:54 (UTC) :[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]], je rejoins la réponse de [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]], vous ne pouvez pas mettre dans l'espace principal des pages que seul un robot pourra modifier (en plus techniquement, pour réaliser cela, il faudrait protéger la page et donner au bot le statut d'administrateur). La solution simple est de mettre ces pages dans votre espace utilisateur et de copier-coller le résultat dans une sous-page formatée en fiche de la leçon concernée(fiche qui sera librement modifiable par tous). D'autre part, vous dites attendre une autorisation (feu vert). Sur la Wikiversité (comme sur les autres projets), on peut ou on ne peut pas faire certaines choses. Si vous voulez faire quelque chose de nouveau, il n'y a personne qui est habilité à titre personnel, à vous donner une autorisation à titre exceptionnel. Seul un vote de la communauté ([[Wikiversité:Prise de décision]]) peut vous permettre d'obtenir l'autorisation de faire quelque chose de nouveau. Les administrateurs ne font qu'appliquer bêtement ce qui a été décidé par la communauté (ou établi par la coutume qui suppose une approbation de la communauté). — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 21 février 2016 à 07:08 (UTC) — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 21 février 2016 à 07:08 (UTC) == Quelques précisions == Pour mettre les points sur les « i » et les barres aux « t », je précise que je ne reproche absolument pas à [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] d’utiliser un robot ou de vouloir faire des listes récapitulatives de vocabulaires dans les leçons de vocabulaire. Mais, comme le fait remarquer [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] plus haut, je ne comprends absolument pas pourquoi ces listes ne peuvent pas être incluses dans une sous-page de leçon formaté en fiche et utilisant le [[Modèle:Entête de fiche]]. Je précise que mes griefs vis-à-vis de [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] dans ses leçons de Portugais, portent principalement sur les points suivants : * Non respect des formatages habituels des sous-pages du sommaire d'une leçon. :'''Inconvénient : ''' Utilisation inadéquate de redirection ou court-circuitage des [[Modèle:C]], [[Modèle:Ann]], [[Modèle:F]] etc. dans la page de sommaire. Difficulté à assurer le bon enchaînement « page précédente-page suivante » et le retour correct à la page de sommaire * Non utilisation des [[Modèle:Chapitre]], [[Modèle:Entête de fiche]], etc. Dans les sous-pages de ses leçons. :'''Inconvénient :''' Un autre utilisateur devra le faire à sa place. En attendant, la page n’est pas catégorisée et n’est pas comptabilisée par le robot de [[Utilisateur:Phe|Phe]] etc. * Inclusion dans le sommaire de ses leçons, de certains chapitres appartenant à d'autres leçons. :'''Inconvénient : ''' Utilisation inadéquate de redirection ou court-circuitage des [[Modèle:C]], [[Modèle:Ann]], [[Modèle:F]] etc. dans la page de sommaire. Difficulté ou impossibilité à assurer le bon enchaînement « page précédente-page suivante » et le retour correct à la page de sommaire initiale. Le lecteur de la leçon ne s'y reconnaîtra pas, se retrouvera dans une autre leçon sans comprendre pourquoi. [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]], comme il le dit plus haut, souhaite poursuivre le développement du contenu du département portugais en utilisant librement les modèles qui lui conviennent le mieux. Il souhaite remplacer le [[Modèle:Leçon]] par le [[Modèle:Sidebar]] qu’il a importé par copier-collée sous le prétexte que j'aurais probablement animé une discussion dont la conclusion de [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] aurait été : "Désormais les utilisateurs importeront eux-même les modèles dont ils ont besoin car ils en ont la possibilité." Je ne me souvient pas du tout d'une telle discussion et je doute fort que [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ait dit à un moment ou à un autre que l’on pouvait copier-coller des modèles d'autres projets. Je signale à [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] que la procédure normale pour pouvoir utiliser des nouveaux modèles importants est la [[Wikiversité:Prise de décision|prise de décision]] (et pas un vote dans le labo). Seule la communauté, par son vote, est habilité à satisfaire ses demandes. Pour obtenir une telle autorisation, il faut des raisons valables et je n'en vois, pour le moment aucune. Par contre, comme l'a suggéré [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] plus haut, j'encourage [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] à programmer son robot pour faire des listes de vocabualire dans une sous-page de son espace utilisateur et de transférer la dite liste, par copier-coller, dans une sous-page de la leçon concernée. Cette sous-page étant formaté en fiche et utilisant le [[Modèle:Entête de fiche]]. Il est vraiment regrettable d’être parfois confronté à des utilisateurs incapables de s'adapter à ce qui existe sur la Wikiversité( heureusement, il y en a peu). Quelle perte de temps ! — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 20 février 2016 à 18:47 (UTC) :Je maintiens que j’ai déclaré autoriser le copier-coller pour avancer et voir si le modèle convient et si on le garde, en attendant qu'un administrateur régularise par une importation de son historique. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 20 février 2016 à 19:45 (UTC) :Lydie, sur le fond, tu a probablement raison, mais je ne comprends pas où peut être l'urgence. Rappelle-toi la patience que tu as eue avec moi, le temps qu’il a fallu pour que j'arrive à maîtriser les modèles !... {{sourire}} --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 20 février 2016 à 21:02 (UTC) :: {{notif|Thierry613}} Il n'y a aucun rapport. [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] n’est pas un débutant (première contribution en 2007). Il connait bien la Wikiversité et revendique la libre contribution sans contrainte. Il veut pouvoir utiliser ou ne pas utiliser n’importe quels modèles. Faire librement tout ce qu’il veut. Il veut changer l'organisation actuelle de la Wikiversité. Ses contributions sont quasiment systématiquement à contre courant de ce qui se fait habituellement. Si l’on accepte ses revendications, on sera obligé de l'accepter pour tout le monde et la Wikiversité deviendra un lieu désorganisé où tout le monde fera ce qu’il veut dans son coin. Il ne met plus de modèles dans les sous-pages de ses leçons (c'est moi qui ait complété les modèles qui manquaient, environ 70), il a importé un modèle pour remplacer le modèle leçon. Bref, il met en danger la Wikiversité telle qu'on la connait aujourd'hui. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 20 février 2016 à 21:50 (UTC) == Salle café ou Bistro ? == Dite-donc, il y a de la vie ici ! En cinq an de souvenir, je ne me souvient pas avoir vu autant d'ambiance dans la cafétariat. Personnellement, je trouve ça super et même très rassurant pour la Wikiversité. Vous savez pourquoi ? Et bien parce que ce genre de discussion ne peuvent surgir qu'entre personnes passionnées par ce qu'elle font. Et quand des gens passionnés ont des points de vue divergents, c’est encore mieux car les débats sont nourrit et les solutions toujours de très grandes qualités. Enfin sous certaines conditions tout de même. Je vous parle pas de ce qui peut se passer dans bistro. Dans un bistro, ont ne retrouve pas forcément des gens qui comme au sein de la wikiversité son motivés par un but commun tel que développer une lieu d'apprentissage et de recherche ouvert à tous. Heureusement d'ailleurs qu’il n'y a pas de bistro dans la wikiversité, mais bien une salle café. Bon déjà, dans une salle café il y a pas d'alcool enfin sauf quand on a un truc à fêter. C'est déjà pas rien ça... Et puis une salle café, c’est pas un lieu où l’on vient pour remplir sa vie. On y est parce que l’on a des activités à côté. Les comportements moqueurs, provocateurs ou agressifs sont rares et l'humour par contre est toujours le bien venu. En gros, c’est une espace de rencontre pour se relaxer, pour rencontrer les autres, pour partager un avis, ou un soucis, avec beaucoup de courtoisie et de bienveillance. Dans un idéale, une sale café serait peut-être un lieu où: * On interpelle la collectivité pour l'informer de quelque choses, pour avoir réponse à une question, ou encore une solution à un problème. * En parlant d'idées sans focaliser sur les personnes. * Dans le but de trouver un consensus. Ou autrement dit, une solution qui conviendra à tous. Le consensus est toujours possible. Sauf peut-être quand il y a une tête de bois qui ne veut rien entendre. Mais c’est justement pour ça que consensus ne veut pas dire unanimité. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 20 février 2016 à 22:38 (UTC) == Un espace non pour tout ce qui est expérimental et sous forme d'ébauche. == Pour accomplir son projet, il me semble que la Wikiversité doit être deux choses : # Un lieu cohérent facilitant la maintenance et permettant aux utilisateurs de s'y retrouver facilement tout en se sentant invité à compléter son contenu. # Un lieu d'expérimentation et de développement permettant aux utilisateurs d'exprimer leur imaginations en proposant de nouvelle forme de contenu ou des amélioration de fonctionnement du projet. Il se fait que ces deux activités sont incompatibles dans un même espace. Ne devrions-nous pas dès lors penser à développer un nouvel espace dédié aux nouveaux projets ? Dans lequel on pourrait rassembler les projets expérimentaux mais aussi les projets sous forme d'ébauche. * Un espace en dehors de l'espace principale * Qui ne serait pas référencé par les moteurs de recherche * Visible que par les initiés dans un premier temps avant d’être intégré dans l'espace principale quand le projet est suffisamment abouti. * Soumis à un consensus de la communauté lorsque plusieurs personnes le justifie. Nous avons besoin de cette espace de liberté et nous gagnerons aussi je pense d'y placer les pages sans contenus significatifs de tel sorte à ce que la Wikiversité n'apparaissent plus comme une coquille vide et ne souffre plus d’être un lieux ou il y a beaucoup d'espace préformatées mais sans contenu. J’aimerai avoir votre avis. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 20 février 2016 à 23:30 (UTC) :Sur les autres wikis les gens ont l'habitude d’utiliser des sous-pages de leur compte utilisateur. D'ailleurs cela confirme qu'un contenu en construction est bien souvent réservé à une seule personne. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 20 février 2016 à 23:37 (UTC) ::Oui, c’est vrai. Mais rien ne nous empêche de faire mieux. Si un espace d'ébauche et d'expérimentation existe, tout le monde se sentira invité à rejoindre un projet en cours d'élaboration. Ce n’est pas le cas pour les sous pages utilisateurs. Et puis il reste la question des pages formatées mais sans contenus. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 20 février 2016 à 23:44 (UTC) :C'est l'espace de nom « Utilisateur ». On va pas quand même pas créer un nouvel espace de nom pour cela. L'espace « Utilisateur » permet de travailler dans son coin, ensuite une fois que l’on veut le proposer à la communauté, cela irait dans une autre espace. Pour « Visible que par les initiés » ce n’est pas et ce ne sera pas possible. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 21 février 2016 à 08:49 (UTC) Il me semblait que le Laboratoire remplissait les fonctions dont parle Lionel et peut être un espace d'expérimentation, justement. --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 21 février 2016 à 10:25 (UTC) :{{notif|Lionel Scheepmans|Crochet.david}} Où en sommes-nous de ce projet ? --[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 26 mars 2016 à 21:50 (UTC) ::Je ne sais pas. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 27 mars 2016 à 07:33 (UTC) == Apprendre à contribuer sur Wikipédia == Si c’est pas indiscret, qui suivra le {{Abréviation|MOOC|Massive Open Online Course|en}} "Apprendre à contribuer sur Wikipédia" qui commence demain ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel]], est-ce que tu vas travailler dessus ? De mon côté, je vais faire un petit travail de recherche. Je me suis inscrit pour plusieurs raisons, d’abord pour approfondir mes connaissances du système wikimedia, glaner peut-être quelques trucs et astuces, et ensuite réfléchir sur des différences de fonctionnement (intellectuel) qu’il pourrait y avoir entre Wikipédia et Wikiversité. Mais ça restera un témoignage de contributeur de base. J'aurai peut-être besoin de tes lumières et de ton regard averti d'anthropologue {{sourire}}. --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 21 février 2016 à 11:57 (UTC) :Ben non [[Utilisateur:Thierry613|Thierry]], j’ai pas vraiment le temps et l'envie de me lancer dans cette expérience. Et je n'ai pas non plus participé à sa préparation. De toute façon, il y a beaucoup de chance pour que cela reste en ligne après la fin de la formation. Je pense que la formation sera axée sur son titre. Peu de chance donc d'y trouver des informations sur le systhème wikiMedia. Pour la comparaison entre le fonctionnement Wikipédia Wikiversité c’est peut-être intéressant si tu a peux ou pas d'expérience sur Wikipedia. Par rapport à mes « lumières » elle se trouve en gros résumée sur ma page utilisateur dans la partie [[Utilisateur:Lionel_Scheepmans#Travaux_de_recherches_concernant_Wikipedia_et_la_sphère_Wikimedia|Travaux de recherches concernant Wikipedia et la sphère Wikimedia]]. D'autres éclairage doivent encore surgir d'ici juin et peut-être septembre. J’ai aussi pour projet de rééditer mon travail [[Recherche:Culture fr.wikipedia]] pour le remettre à jour. Le faire au cours du {{Abréviation|MOOC|Massive Open Online Course|en}} avec l'intervention des participants serait peut-être une bonne idée. À terme, j’aimerai produite un ouvrage collaboratif permettant d’offrir une description la plus exhaustive et la plus neutre possible de ce qu'est la wikipedia francophone et de comment elle fonctionne. L’idée serait de prendre comme base ma monographie pour reconstruire un autre document épuré d'un tas de chose peu utile en dehors d'un mémoire de fin d'étude. Si tu participes au {{Abréviation|MOOC|Massive Open Online Course|en}} tu pourra en parler au participants. L'observation de nouveaux utilisateurs est souvent meilleurs que celle des anciens tellement habitués qu’il en oublie l’existence de certaines choses. On se tient au courant. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 21 février 2016 à 13:18 (UTC) ::OK. Merci. Je vais regarder tes documents avec intérêt. --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 21 février 2016 à 18:58 (UTC) ::: Je suivrai le {{Abréviation|MOOC|Massive Open Online Course|en}} en tant que "jeune contributeur WkP et WkV"--[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 21 février 2016 à 19:48 (UTC) ::::Bonne idée [[Utilisateur:Guy6631|Guy]] sans la jeunesse au sein de nos projets, l'avenir serait bien morne {{clin}}. Je t'invite au même titre que tout ceux qui lisent ce message à ne pas hésiter à améliorer tout ce que j’ai pu faire dans l'espace Wikimédia. Directement dans la page principale ou encore dans la page de discussion associée si jamais il s'agissait d'un doute ou d'une question. N'hésite pas non plus à prendre ta place quand tu te sentiras à l'aise dans les discussions et les prises de décisions liées au futur des projets. Une idée en plus dans un débat peut parfois faire toute la différence. À bientôt, bonne continuation et vive la jeunesse Wikimédienne ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 21 février 2016 à 21:02 (UTC) == '''Résolu''' : Champ "Recherche" dans un article == Bonjour, y a-t-il une raison technique expliquant le fait qu’il n'existe pas de champ « recherche » dans un article, et ce quel que soit le wiki... Le but est de trouver rapidement le lieu pour se positionner... --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 22 février 2016 à 09:20 (UTC) :Bonjour :Ctrl + F ? :[[Utilisateur:Trizek (WMF)|Trizek (WMF)]] ([[Discussion utilisateur:Trizek (WMF)|discussion]]) 22 février 2016 à 10:24 (UTC) ::En effet, tous les navigateurs proposent déjà cette fonction. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 22 février 2016 à 11:02 (UTC) ::: Je ne me suis pas bien expliqué visiblement. CTRL F en mode "modifier" OK....mais CTRL F ne fonctionne pas dans l’article de base : Si vous allez sur https://fr.wikipedia.org/wiki/Tintin et que vous recherchez le mot "amis" qui se trouve dans l'article. Comment faites-vous ? Merci --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 22 février 2016 à 13:52 (UTC) ::::Je viens de tester cet exemple dans Firefox et Chrome, et "CTRL + f" marche toujours, peu importe si on est en mode modifier. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 22 février 2016 à 14:04 (UTC) ::::: Je vous remercie. Il me manquait un outil sur mon FireFox... --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 22 février 2016 à 14:11 (UTC) :'''Résolu''' == Fiche méthode == Bonjour, Je suis un jeune puceau de contributeur WkV... Je recherchais il y a 15 jours une fiche méthode pour organiser mon travail de versement et de présentation de mes cours à partir de mon original sous word. Échec... Je me suis donc lancé et obtenu un "certain" résultat... qu’il vous reste à évaluer... Cette expérience acquise (via un livre de bord !) pourrait-elle être "utilisée" !!!... Question: Il y a-t-il une difficulté particulière à indiquer un "schéma de méthode" voire de un "schéma de procédure" dont le sommaire serait : * Contexte : Pour ceux qui ont leur cours disponible sur traitement de texte [...] et (si tant est que cela soit nécessaire !) qui dispose des outils [xxx] : * Schéma général : explication en français châtié de la méthode ci après détaillée... * Méthode : # Création page WkV : utilisation du modèle [xxx] / création des différents encarts du modèle (introduction modèle [xxx], ..., objectifs modèle [xxx], ..., annexes modèle [xxx], exercices modèle [xxx], ...) # Travaux en mode "Modifier wikicode" : le découpage en chapitre modèle [xxx]/ la création des pages de chapitre modèle [xxx]/ le cadre haut droit et les flèches Bas (chapitres "précédent" et "suivant" avec l’utilisation des modèles [xxx]) # Création et/ou Vérification des différentes catégories et des liens par rapport à la "Faculté" # Versement par copier coller du traitement de texte dans chaque page de chapitre # Travaux en mode "Modifier wikicode" : Références bibliographique et éléments bas de page (note, références, ...) # Travaux en mode "Modifier" : Présentation du format texte / Encadrer formules / liens avec les articles d'autres wiki / "Embellissements divers" # Mise en place des schémas et tableaux en intégrant les logiques "mal voyant" # Travaux en mode "Modifier wikicode" : Bandeaux Merci pour vos conseils et... j'admire votre patience... À +, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 22 février 2016 à 09:48 (UTC) : Guy lancez-vous publiez, dans l'espace contenu! À propos de la possibilité d'éditer hors-ligne via son traitement de texte préféré, c’est tombé à l'eau il y'a quelques années déjà. OpenOffice avait une "extension" disponible et La fondation promettait de collaborer puis finalement tout à échoué. La Fondation s'est tournée vers les grands comptes. Aujourd’hui nous cherchons toujours un éditeur hors ligne et la fondation nous inflige son éditeur visuel façon buggle apps. {{non signé|Youni Verciti }} pardon --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 22 février 2016 à 17:59 (UTC) ::Bonjour ::Je me permets d'intervenir suite à la remarque sur l'éditeur visuel. En effet, il est à présent possible de copier/coller dans l'éditeur visuel un document créé sous un traitement de texte, pour peu qu’il soit structuré convenablement (utilisation des titres, des puces...). C'est un des nombreux avantages à l’utiliser. ::Personnellement, je ne me sers plus que de l'éditeur visuel lors de mes contributions à Wikipédia avec mon compte de bénévole. ::Si vous rencontrez des problèmes ou des difficultés pour l’utiliser, contactez moi ! ::Cordialement, [[Utilisateur:Trizek (WMF)|Trizek (WMF)]] ([[Discussion utilisateur:Trizek (WMF)|discussion]]) 22 février 2016 à 16:58 (UTC) ::: Bien-sûr Trizek mais nous aimerions pouvoir éditer directement avec LibreOffice. Sur ma station l'éditeur visuel est très long à charger. Globalement on sait qu’il ne faut pas en dire de mal mais on ne l'utilise pas. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 22 février 2016 à 17:59 (UTC) :::: [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]]: N’hésites pas à utiliser le [[Wikiversité:Bac à sable|bac à sable]] ou tes pages utilisateurs comme brouillons. Amicalement. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 22 février 2016 à 17:59 (UTC) :::::Je rebondis que cette remarque, [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] : que souhaitez-vous que LibreOffice fasse avec l'éditeur visuel, sachant qu'un glisser/déposer fonctionne. Le but serait de charger la page dans LibreOffice, puis de la synchronier avec la Wikiversité ? Combien de personnes ont besoin de cette fonctonnalité ? :::::Pour ce qui est de la vitesse, quelle est votre configuration ? Parfois, certains gadgets peuvent ralentir le chargement de l'éditeur visuel. Un ystème d'opération ancien et/ou un navigateur ancien peuvent aussi jouer en défaveur. :::::Quand au fait qu’il ne faille pas dire de mal de l'EV, vous pouvez en réalité en dire ce que vous voulez. Pour ma part, j'écoute tout ce qui est constructif, positif ou négatif ! :) :::::Bonne soirée, [[Utilisateur:Trizek (WMF)|Trizek (WMF)]] ([[Discussion utilisateur:Trizek (WMF)|discussion]]) 22 février 2016 à 18:16 (UTC) ::::::Bonjour et merci pour vos contributions, la discussion fait ressortir 2 soucis : ::::::1/ le copié collé d'un traitement de texte : j’avais mon cours sur word avec les niveaux de titres (Table des Matières automatique), les références et notes bas de page, les liens avec des sites, des polices spécifiques, des encadrés de formules, etc. J’ai copié-collé, chapitre par chapitre, tout le texte enrichi dans l'éditeur visuel et je me suis mobilisé pour 1 semaine de reprises diverses afin d’avoir l'équivalent au document de base... Je n'ai pas encore les tableaux et schémas... En bref il faut avoir la vocation de l'enseignant !!!... Merci à Trizek [[Utilisateur:Trizek (WMF)|Trizek (WMF)]] ([[Discussion utilisateur:Trizek (WMF)|discussion]]) de me donner des tuyaux car j’ai un autre cours à verser... ::::::2/ La méthode pour un nouveau contributeur WkV : Je modifie les "aides:[...]" et autres pages de conseils pour valoriser l'expérience acquise... Sous votre contrôle bien sûr... N'hésitez pas à revenir vers moi si... :::::: Merci d'avance pour vos conseils, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 22 février 2016 à 18:32 (UTC) ::::::: Nous continuons à regretter que la fondation ait abandonné sa collaboration avec le projet LibreOffice, ce serait tellement agréable de pouvoir travailler son document dans un éditeur Gnu/Gpl. Mais j'avoue utiliser l’éditeur visuel principalement pour les tableaux, comme j'avoue apprécier votre présence ici. Amicalement. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 22 février 2016 à 18:50 (UTC) ::::::::Bon, si tout le monde est satisfait à cette heure, j'en suis satisfait ! :) N'hésitez pas à me mentionner si vous avez des questions quant à l'éditeur visuel ou les notifications ! [[Utilisateur:Trizek (WMF)|Trizek (WMF)]] ([[Discussion utilisateur:Trizek (WMF)|discussion]]) 22 février 2016 à 18:57 (UTC) :::::::::[[Utilisateur:Guy6631|Guy]], {{notif|Guy6631}} pour les tableaux, il existe [http://excel2wiki.net/ cette page web] qui fait le travail à ta place. Ca m'a sauvé la vie quand j’ai publié ce [[Recherche:Contribution à l'étude des espaces boisés et arbustes de la préfecture de Kissidougou|travail de recherche]]. D'autres outils en ligne sont aussi disponibles sur ma [[w:Utilisateur:Lionel_Scheepmans#Aides_.26_Utilitaires_en_ligne|page utilisateur Wikipedia]]. Et puis il existe aussi une [[w:Aide:Utilitaires|page spécifique]] à ce sujet sur wikipédia. Bien à toi, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 22 février 2016 à 21:50 (UTC) == Sabotage suite == Suite au conflit qui m'oppose depuis vendredi à pardon... Je constate que quelqu’un à créé un compte Wikitech sous le pseudo "Johnsmith2167" pour vandaliser ma page utilisateur. J’ai laissé en état pour que vous puissiez constater: [https://wikitech.wikimedia.org/wiki/User:Youni_Verciti/Memo_cmd Youni_Verciti/Memo_cmd] vandalisé par [https://wikitech.wikimedia.org/wiki/User:Johnsmith2167 User:Johnsmith2167]. J’ai mis à jour ma page [[User:Youni Verciti Bot]] et j'attends toujours que celui qui à modifié les pages suivantes révoque ses modifications: * Portugais/Grammaire/Article/Fiche/vcb Article * Portugais/Grammaire/Nom/Fiche/vcb Nom * Portugais/Grammaire/Pronom/Fiche/vcb Pronom * Portugais/Grammaire/Grau/Fiche/vcb Grau Amicalement. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 22 février 2016 à 16:25 (UTC) : Si vous ne voulez pas que vos contributions soient modifiées par d'autres, il ne faut pas les mettre sur l'un des projets wikimédia. Le seul moyen de limiter l'intervention d'autres contributeurs est de faire des contributions irréprochables, mais ce n'est malheureusement pas le cas ici. Cordialement ! — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 23 février 2016 à 06:53 (UTC) :: Vous considérez que vos contributions sont irréprochables? Vous vous attribuez le droit de juger les contributions des autres? Vous bloquez simplement mon travail et empêchez qu’il évolue. Je parle du département portugais. J'observe qu'un nombre considérable de vos contributions sont loin d'atteindre les objectifs que vous m'imposez personnellement. Je demande à la communauté comment dois-je faire pour continuer mon travail si [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] modifie sans relâche une demie-douzaine de pages sur lesquelles j’ai besoin de redirections vers les pages correspondantes à l'adresse suivante "Portugais/Index vocabulaire/..."? Vos arguments sont insoutenables Lydie. Si vous souhaitez que le contenu soit irréprochable tournez vous vers des sites commerciaux. Ici, vous sabotez, vous vandalisez et vous censurez en considérant cela irréprochable. Cordialement. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 23 février 2016 à 16:14 (UTC) ::: On vous a donné une solution simple pour résoudre le problème, faire ces listes dans votre espace utilisateur et les transférer ensuite par copier-coller dans des fiches correctement formatées. Si vous ne voulez pas l'appliquer et si vous ne voulez pas nous dire en quoi cette solution est problématique, je ne vois pas quoi vous dire de plus. Il n’est pas possible de faire dans l'espace principal des listes uniquement modifiables par un bot ([[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] vous a expliqué pourquoi) et il n’est pas souhaitable de laisser des bricolages avec des redirections ou des court-circuitages des [[Modèle:C]], [[Modèle:F]] etc. Même si je n'interviens pas, il y aura nécessairement, un jour ou l'autre, quelqu’un de plus soigneux que vous qui viendra refaire différemment ce que vous avez fait. En attendant, vos bricolages donnent le mauvais exemple aux nouveaux et perturbent les lecteurs. Cordialement. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 23 février 2016 à 19:55 (UTC) En ce qui concerne le vandalisme, malheureusement, on ne peut pas faire grand-chose d’autre que de révoquer les "contributions". C'est le cas de ce "Johnsmith2167" (et ce n'est ni le premier ni le dernier). {{sourire}} [[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 23 février 2016 à 16:37 (UTC) : De la part du même utilisateur de notre Wikiversité, voulez-vous dire? --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 23 février 2016 à 18:46 (UTC) ::Non, pardon, je me suis mal exprimé. Je voulais dire que ce n'est ni le premier ni le dernier vandale. Il y a peu de chances pour que le même revienne, mais on ne peut pas le garantir non plus. Par contre, il y en aura sûrement d'autres (il y en a toujours...). --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 23 février 2016 à 19:30 (UTC) ::: Le cas de johnsmith2167 a été réglé par un admin sur Wikitech suite à un message sur Irc. Le cas de [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] est plus désespérant. Il s'agit d'un utilisateur qui est administrateur. Si un admin se comporte comme cela, on peut en déduire que le vandalisme est institutionnalisé ici. Le pire est qu'on me demande à moi de montrer l'exemple. ûhuuu. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 24 février 2016 à 13:35 (UTC) ::::Je ne pense pas que le terme de ''vandalisme'' soit approprié. Il s'agit plutôt de deux conceptions de la Wikiversité qui s'opposent. Cela nécessite un débat serein. Et peut-être qu’il vaudrait mieux mettre en pause les fiches produites par le robot, le temps qu'une décision soit prise ? --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 24 février 2016 à 13:50 (UTC) == Merci [[user:Frigory]] == Pour avoir rétabli le lien du bac à sable. Je vois que tu es un proche de la quadrature du net, j’ai découvert le moteur [https://searx.laquadrature.net/ Searx] récemment ; c'est... oufff! Ça fait du bien un moteur libre! Amicalement.--[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 23 février 2016 à 19:18 (UTC) == [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/08|Tech News: 2016-08]] == <section begin="technews-2016-W08"/><div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="fr" dir="ltr"><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/08|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Changements récents''' * [[mw:Special:MyLanguage/Phabricator|Phabrictor]] a été mis à jour. [https://phabricator.wikimedia.org/T120013][https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-l/2016-February/084841.html] '''Problèmes''' * Il n'y a pas eu de nouvelle version de MediaWiki la semaine dernière. Les modifications qui étaient prévues pour la semaine dernière auront lieu cette semaine. Il y a eu un problème technique provoquant l'allongement du temps de sauvegarde des pages qui a dû être résolu. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-l/2016-February/084816.html][https://phabricator.wikimedia.org/T126700] '''Changements cette semaine''' * À partir du 23 février, vous pourrez utiliser Wikidata pour héberger les liens inter-langues de Wikiversity. [https://phabricator.wikimedia.org/T109675] '''Réunions''' * <span title="Sujet récurrent">[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]</span> Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=20&min=00&sec=0&day=23&month=02&year=2016 23 février à 20 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]]. * <span title="Sujet technique">[[Fichier:Octicons-tools.svg|15px|link=]]</span> Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec le comité d’architecture. Le sujet de cette semaine concerne l’[[phab:T125865|assignation des RFC à des bergers d'ArchCom]]. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=22&min=00&sec=0&day=24&month=02&year=2016 24 février à 22 h (UTC)]. Voyez [[mw:Architecture meetings|comment participer]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et publiées par le [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/08|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l'aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].'' </div></div> <section end="technews-2016-W08"/> 22 février 2016 à 18:22 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=15364297 --> :Qu'est-ce qui a changé concrètement depuis le 23 février, date à laquelle nous pouvons utiliser Wikidata pour héberger les liens inter-langues de Wikiversity. Je ne sais pas extraire des informations de cette page : <[[phabricator:T109675]]>. Bel bonjour. --[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 24 février 2016 à 12:24 (UTC) ::Par exemple pour relier les pages d'accueil des Wikis [//www.wikidata.org/w/index.php?title=Q5296&type=revision&diff=306885933&oldid=305097243 cette page Wikidata a été mise à jour], j’ai donc retiré [[Spécial:diff/534399|nos "vieux" liens]]. Il faudrait maintenant faire de même partout (normalement des bots devaient s'en charger). [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 24 février 2016 à 15:09 (UTC) == Philosophie de la Wikiversité == Bonjour, Je me demande si la Wikiversité s'occupe : * ET du contenu d'une formation : Le Quoi enseigner * ET de la méthode : Le Comment enseigner... En effet, j’ai parcouru quelques cours et je n'ai pratiquement pas trouvé de pages de [[Faculté:Pédagogie|pédagogie]]... Comme s'il était convenu que l'apprenant se débrouille avec le cours tel qu’il est et les quiz et exercices proposés et versés par l'enseignant créateur et la communauté qui s'en est emparé. Quid de l'enseignant qui verse un cours : * certes pour des apprenants, * mais aussi pour d'autres enseignants en vue du partage des méthodes d'enseignement : Les fiches pédagogiques... Y a-t-il moyen de structurer des fiches pédagogiques dans une annexe du cours ou ailleurs ??? D'avance merci de votre avis, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 24 février 2016 à 11:01 (UTC) :Voici une remarque bien pertinente [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] et probablement une nouvelle chose à mettre à notre agenda. Il est possible en effet d'ajouter à une leçons, une partie pédagogique destinée aux enseignants. Avant que cela soit prévu par le {{m|Leçon}}, je me dis qu’il est toujours possible de mettre ce contenu dans une [[Modèle:Leçon#Qu.27est-ce_qu.27une_annexe_.3F|annexe]]. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 24 février 2016 à 12:16 (UTC) :: Merci Lionel, je me disais aussi que l'annexe était appropriée mais alors comment organiser pour retrouver une structure shadow ou miroir du cours ? D'avance merci, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 24 février 2016 à 14:11 (UTC) :::Il est clair que la faculté de [[Faculté:Pédagogie|pédagogie]] a besoin de s'étoffer, ainsi que la Wikiversité [[Utilisateur:Chrisaiki|Chrisaiki]] ([[Discussion utilisateur:Chrisaiki|discussion]]) 24 février 2016 à 17:30 (UTC) ::::{{notif|Guy6631}} L'annexe est effectivement appropriée, quant à la question « comment organiser pour retrouver une structure shadow ou miroir du cours », ce serait bien que tu emploies un langage simple compréhensible par tous, les utilisateurs de la Wikiversité ont des origines très diverses et pour cette raison, le jargon propre à une discipline est à éviter dans une page de discussions. Bref, je n'ai pas compris ta question. Pourrais-tu la reformuler avec des mots simples. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 24 février 2016 à 20:03 (UTC) :::::Pardon Noria, comment mettre en place une annexe qui recopie la décomposition en chapitre / en section / et en § de la partie "cours" sans avoir à la reconstruire une 2ème fois dans la partie "Annexes" pour indiquer que tel § peut se présenter lors d'un enseignement "en live" (face à face ou groupe classe) sous forme : cours magistral/question ouverte/question directive/... avec leurs avantages respectifs... relatifs à la participation plus ou moins importante des apprenants. Question subsidiaire : comment formater une structure qui se dévoile hiérarchiquement comme un "Explorateur" de "Documents" sur un PC Merci, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 24 février 2016 à 20:35 (UTC) :::::: {{notif|Guy6631}} Je ne suis pas sûre d’avoir vraiment bien compris. Je récapitule ce que j’ai compris : tu voudrais qu’il apparaisse automatiquement dans une page annexe une sorte de table des matières représentant la totalité du cours en détaillant les chapitres et les paragraphes de façon que tu puisses y rajouter des directives, pour les enseignants, sur la façon d’utiliser les différentes parties du cours, face aux élèves. Si tel est bien la question, la réponse est : Désolée, ce n’est pas possible, tu es obligé de recopier toi-même le plan du cours. Courage ! {{sourire}}. Par contre, pour la question subsidiaire, c’est possible ! tu disposes des menus déroulants. Voir le [[Modèle:Boîte déroulante]] ou le [[Modèle:BDdebut]]. Les boites déroulantes peuvent s'emboiter les unes dans les autres, ce qui permet à une structure de se dévoiler hiérarchiquement comme un "Explorateur" de "Documents" sur un PC. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 25 février 2016 à 04:17 (UTC) == Wikidata support is here! == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr"> Hey everyone :) As announced earlier you can now manage your links to other languages and projects via Wikidata. I hope this will make your work here easier. If you keep the links in local wiki text they will overwrite what is coming from Wikidata. You can also completely surpress them using the magic word <nowiki>{{noexternallanglinks}}</nowiki>. If you have questions please don't hesitate to ask at [[d:Wikidata:Wikiversity]] or [[d:Wikidata:Project chat]]. Welcome to Wikidata! Cheers [[:d:User:Lydia Pintscher (WMDE)|Lydia Pintscher (WMDE)]] 24 février 2016 à 17:22 (UTC) </div> <!-- Message envoyé par User:Lydia Pintscher (WMDE)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Lydia_Pintscher_(WMDE)/Distribution_List&oldid=15301884 --> === Interprétation === La nouvelle procédure pour les liens inter-langue est en place depuis hier. Elle fait intervenir Wikidata. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 24 février 2016 à 14:48 (UTC) === Traduction : Le support WikiData est arrivé ! === Hé tout le monde {{Sourire}} Comme annoncé plus tôt, vous pouvez à présent gérer vos liens vers les autres langues et projets via Wikidata. J'espère que cela rendra votre travail plus facile. Si vous conservez les liens en wikitexte local, ils seront prioritaires sur les données de Wikidata. Vous pouvez aussi les supprimer complètement en utilisant le mot magique <nowiki>{{noexternallanglinks}}</nowiki>. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à les poser à [[d:Wikidata:Wikiversity]] ou [[d:Wikidata:Project chat]]. Bienvenue à Wikidata ! Santé, [[Utilisateur:Frigory|Frigory]] <small class="plainlinks">([[Discussion Utilisateur:Frigory|<span title="page de discussion">d</span>]] · [[Spécial:Contributions/Frigory|<span title="contributions">c</span>]] · [{{fullurl:Special:Log|type=block&page=User:{{urlencode:Frigory}}}} <span title="blocages">b</span>] · [[sulutil:Frigory|<span title="Compte unifié">s</span>]])</small> 2 mars 2016 à 13:13 (UTC) == Question sur les quizz == Bonjour, J’aimerai savoir si c’est possible de paramétrer un quizz de telle sorte que la personne ne voit que la réponse de la question à laquelle elle a répondu au lieu d’avoir toutes les réponses qui s'affichent. Par exemple sur [[Comprendre l'accessibilité : activités|cette page]] , si on fait soumettre que pour la question 1 est ce que c’est possible de ne pas afficher les réponses des autres questions ? Merci d'avance pour votre aide --[[Utilisateur:Mdia12|Mariama Dia]] ([[Discussion utilisateur:Mdia12|discussion]]) 25 février 2016 à 10:21 (UTC) :A priori, s'il y a plusieurs quiz dans une même page, l'action de soumettre l'un affiche les résultats des autres car le logiciel ne sait pas si c’est un oubli de réponse ou une volonté de non-réponse à l'un des quiz. Pour cela, il faut placer les quiz sur plusieurs pages. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 25 février 2016 à 12:12 (UTC) Merci beaucoup [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] --[[Utilisateur:Mdia12|Mariama Dia]] ([[Discussion utilisateur:Mdia12|discussion]]) 25 février 2016 à 13:22 (UTC) == [[Département:Psychologie du développement personnel]] == Je ne sais pas comment mettre en forme la page de ce département de la faculté de [[Faculté:Psychologie|psychologie]] Merci pour votre aide.[[Utilisateur:Chrisaiki|Chrisaiki]] ([[Discussion utilisateur:Chrisaiki|discussion]]) 25 février 2016 à 10:30 (UTC) :{{fait}} [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 25 février 2016 à 12:09 (UTC) == Page d'aide avec des sous pages:chapitres : Possible ou idée à repousser == Bonjour, J'essaye de "valoriser" mon versement de cours en établissant une "aide au versement d'un cours totalement fondé" : [[Aide:Versement_d'un_cours_totalement_fondé]]. Déesse Noria sait le mal que je me donne pour ce versement... et pour la rédaction... Je prends conscience du roman feuilleton que je suis en train d'écrire dans cette aide au versement... et je me faisais la remarque suivante : Pourquoi ne construirais-je pas cette "procédure" comme une leçon ???" c'est-à-dire avec des pages de chapitres... Qu'en pensez-vous ? Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 26 février 2016 à 15:36 (UTC) :Et pourquoi pas créer directement une leçon ? Des cours sur comment utiliser la Wikiversité, ça a du sens non ? Tu pourras dans ce cas, faire une page d'aide plus sommaire qui renvoie vers le cours pour les lecteurs qui veulent approfondir la question. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 26 février 2016 à 18:33 (UTC) : L'équivalent de la leçon : [[Participer à Wikipédia]] mais pour la Wikiversité. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 26 février 2016 à 19:38 (UTC) :: Bonjour à tous les 2, Superbes ouvertures : Merci beaucoup. Je m'attèle à cela : une leçon "Comment verser dans la wikiversité un cours totalement fondé", une aide qui renvoie à la leçon, les liens avec les autres "entités", ... Super content... Merci, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 27 février 2016 à 05:51 (UTC) :::Pareil, c’est une bonne idée. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 27 février 2016 à 07:32 (UTC) == VisualEditor News #1—2016 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="fr" dir="ltr"> ''[[:m:VisualEditor/Newsletter/2016/February|Lire ceci dans une autre langue]] • [[:m:VisualEditor/Newsletter|Liste d'inscription à cette lettre d'information multilingue]]'' <div style="margin:0.5em;width:230px;{{#switch:ltr|rtl=float:left;margin-left:0;|#default=float:right;margin-right:0;}}border:1px solid #AAA;padding:0.5em;"> [[Fichier:VisualEditor-logo.svg|200x70px|center|alt=L'éditeur visuel]] '''Le saviez-vous ?''' <div class="thumbcaption" style="font-size: 90%;"> Parmi les contributeurs expérimentés, l'édition de tableau de l'éditeur visuel est l'une des fonctionnalités les plus populaires. [[Fichier:VisualEditor table menu move column.png|alt=Capture d'écran montrant un menu surgissant avec des options pour altérer les colonnes du tableau|centre|frameless|230px]] Si vous sélectionnez le haut d'une colonne ou la fin d'une ligne, vous pouvez rapidement insérer et supprimer des colonnes et des lignes. Dorénavant, vous pouvez également réarranger les colonnes et les lignes. Cliquez sur « Déplacer avant » ou « Déplacer après » pour échanger la colonne ou la ligne avec sa voisine. Vous pouvez lire et aider à traduire [[:mw:VisualEditor/User guide|le guide utilisateur]], qui fournit plus d'informations sur l’utilisation de l'éditeur visuel.</div></div> Depuis le dernier bulletin d'actualités, l’[[:mw:VisualEditor/Portal|Équipe de l'ÉditeurVisuel]] a corrigé de nombreux bogues. Leur tableau de travail est disponible [[phab:project/board/483/|sur Phabricator]]. Leurs [[:mw:VisualEditor/Current_priorities|priorités actuelles]] sont l'amélioration du support pour l'écriture en japonais, coréens, arabes, indiens et hans, et l'amélioration de l'interface de l'onglet unique d'édition. === Changements récents === Vous pouvez '''passer de l'éditeur wikitexte à l'éditeur visuel''' après avoir démarré l'édition. Cette fonction est disponible dans presque tous les éditeurs sur la plupart des wikis sauf les Wiktionnaires et les Wikisources. De nombreuses '''pages de remarques''' locales pour l'éditeur visuel ont été redirigées vers [[:mw:VisualEditor/Feedback]]. Vous pouvez à présent réarranger les colonnes et les lignes dans les '''tableaux''', ainsi que copier une ligne, une colonne ou une autre sélection de cellules et les coller à un autre endroit. L''''éditeur de formules''' a deux options : vous pouvez choisir « Modification rapide » pour voir et changer seulement le code LaTeX, ou « Modifier » pour utiliser l'outil complet. Celui-ci met à votre disposition l'aperçu immédiat et une longue liste de symboles. === Changements à venir === Le projet d''''[[:mw:VisualEditor/Single edit tab|onglet unique d'édition]]''' combinera les onglets « {{int:vector-view-edit}} » et « {{int:visualeditor-ca-editsource}} » dans un unique onglet « {{int:vector-view-edit}} ». Cela est similaire au système déjà en place sur le site mobile. ([[phab:T102398|T102398]]) Initialement, l'onglet « {{int:vector-view-edit}} » ouvrira l'environnement d'édition que vous avez utilisé la dernière fois. Votre dernier choix d'édition sera stocké comme une préférence de compte pour les éditeurs connectés, et comme un cookie pour les utilisateurs déconnectés. Les éditeurs connectés auront ces options dans l'onglet {{int:prefs-editing}} de [[Spécial:Preferences]] : * {{int:visualeditor-preference-tabs-remember-last}}, * {{int:visualeditor-preference-tabs-prefer-ve}}, * {{int:visualeditor-preference-tabs-prefer-wt}}, et * {{int:visualeditor-preference-tabs-multi-tab}}. (C'est la situation pour les personnes utilisant l'éditeur visuel actuellement.) L'éditeur visuel utilise le même moteur de recherche que [[Spécial:Search|Spécial:Recherche]] pour trouver les liens et les fichiers. Cette recherche va bientôt progresser dans la détection des fautes de frappe et d'orthographe. Ces améliorations dans la recherche apparaîtront également dans l'éditeur visuel. The visual editor will be offered to all editors at most [[:mw:VisualEditor/Rollouts|"Phase 6" Wikipedias]] during the next few months. Cela affectera les langues suivantes, entre autres : [[:w:ja:|'''japonais''']], [[:w:ko:|'''coréen''']], [[:w:ur:|'''Ourdou''']], [[:w:fa:|'''perse''']], [[:w:ar:|'''arabe''']], [[:w:ta:|'''tamoul''']], [[:w:mr:|'''marathe''']], [[:w:ml:|'''malayalam''']], [[:w:hi:|'''hindi''']], [[:w:bn:|'''bengali''']], [[:w:as:|'''assamais''']], [[:w:th:|'''thaï''']], [[:w:arc:|'''araméen''']]. === Travaillons ensemble === * Allez essayer la version la plus récente de l''''[[:mw:VisualEditor/Single edit tab|onglet unique de modification]]''' sur [[test2wiki:Special:Random|test2.wikipedia.org]]. Il se peut que vous ayez besoin de restaurer les préférences par défaut (en bas de [[test2wiki:Special:Preferences]]) pour voir s'afficher la question initiale sur les options. Avez-vous pu trouver une option qui vous conviendra pour contribuer ? Avez-vous vu [[:c:File:VisualEditor single edit tab preference dialog.png|la large boîte de dialogue des préférences]] lorsque vous commencez à éditer un article ici ? * <mark>Pouvez-vous lire et taper en écriture coréenne, arabe, japonaise, indienne ou han ?</mark> La saisie dans ces langues est-elle naturelle dans l'éditeur visuel ? L'ingénieur en langue [[:mw:User:DChan (WMF)|David Chan]] a besoin de le savoir. Veuillez consulter les instructions sur [[:mw:VisualEditor/IME Testing#What to test]] si vous pouvez aider. Publiez vos commentaires et les langues que vous avez testées sur [[:mw:Topic:St8y4ni42d0vr9cv|la page de remarques sur mediawiki.org]]. * Si vous ne lisez pas ceci dans votre langue favorite, alors venez nous aider dans les traductions ! Inscrivez-vous à la [[mail:translators-l|liste de diffusion des traducteurs]] ou [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User_talk:Elitre_(WMF)&action=edit&section=new contactez-nous] directement, afin que nous puissions vous avertir dès que la prochaine version sera prête. {{int:Feedback-thanks-title}} </div> [[:mw:User:Elitre (WMF)|Elitre (WMF)]], 26 février 2016 à 19:21 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Elitre (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=VisualEditor/Newsletter/Wikis_with_VE&oldid=15385167 --> == Dans quelle faculté produire des contenus sur l'intelligence collective == Bonjour, Nous ( moi et [[Utilisateur:Mrousseaux|Marion Rousseaux]] ) souhaitons créer une formation sur les fonctionnements collectifs / l'intelligence collective sur Wikiversité. Dans quelle faculté ou département je peux la mettre ? Dans la même idée, nous comptons créer une formation sur les "communs", qui sont aujourd’hui en pleine renaissance grâce à ces nouvelles approches de l'intelligence collective (et Wikiversité ou Wikipedia en sont des exemples directs) Les communs sont présentés dans de plus en plus d'espaces : * http://www.lagazettedescommunes.com/418463/les-collectivites-peuvent-etre-protecteurs-des-communs-valerie-peugeot/ * http://www.bastamag.net/Les-biens-communs-nous-offrent-davantage-de-liberte-et-de-pouvoir-que-ne-le * https://www.youtube.com/watch?v=qrgtbgjMfu0 Où pensez vous qu’il soit le plus cohérent de lancer ces deux formations ? Faut il une nouvelle faculté, à l'image de ce que dit Jean-François Noubel, qui parle de l'intelligence collective comme une nouvelle discipline de recherche, à l'image de la sociologie ou de l'anthropologie à la minute 3 de cette vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=q8jgFrBkhFM&feature=youtu.be&list=PLMgJ9UQjGoTEaGSAjrJqwiLYkqeuSdboZ Ce qui ressemble le plus à ça sur wikiversité est ici : https://fr.wikiversity.org/wiki/Méthodologie_de_projet_collectif . C'est dans la faculté Pédagogie. Je ne suis pas certain que ce soit adapté ? J’ai lancé un laboratoire de recherche proche afin de travailler spécifiquement la question des communs ici https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Construire_des_communs Merci de votre aide et ravi de pouvoir enrichir la Wikiversité. Pour info sur nous, nous sommes situés à Lille, où nous pouvons compter sur l'aide de [[Utilisateur:Lamiot|Florent Lamiot]] pour créer ces formations et adopter wikiversité. Florent organise des rencontres chaque mois à La Coroutine, notre lieu de travail partagé, autour des plateformes Wikimedia. Marion et moi avons aussi comme mission de soutenir le travail du {{Abréviation|CNED|Centre National d’Enseignement à Distance}} pour l'écriture de leurs différentes formations sur wikiversité, un travail qui sera fait en parallèle de ces deux formations autour de l'intelligence collective. {{non signé|Simonsarazin}} :Je ne suis pas le mieux placé dans lâ Wikiversité pour répondre mais il me semble que ça à voir aussi avec l'économie et la politique (au sens noble du terme). Aussi que pensez-vous de ce département ? : :* https://fr.wikiversity.org/wiki/Département:Économie_politique :--[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 29 février 2016 à 11:08 (UTC) ::Pourquoi pas, mais je tenais juste à dire que ce choix ne devrait pas être bloquant car on peut facilement déplacer les cours ensuite. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 29 février 2016 à 11:28 (UTC) :::Un cours peut aussi figurer dans plusieurs facultés et départements, c’est là une richesse de la Wikiversité de pouvoir établir des cours et travaux interdisciplinaires sans toute ces complications administratives connues dans les universités hors ligne. Un super projet en perspective [[Utilisateur:Simonsarazin|Simonsarazin]] ! Soyez les bienvenus. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 1 mars 2016 à 20:52 (UTC) == Autoriser la création de pages gadget-MOOC == Bonjour, Pour info, une prise de décision est lancée par [[Utilisateur:Isabelle-ANDI|Isabelle-ANDI]] sur la création de pages gadget-MOOC dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page : [[Projet:Wikiversité/Autoriser la création de pages gadget-MOOC]]. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 29 février 2016 à 19:10 (UTC) == [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/09|Tech News: 2016-09]] == <section begin="technews-2016-W09"/><div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="fr" dir="ltr"><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/09|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Changements récents''' * Grâce à l’[[mw:Extension:Graph|extension ''Graph'']] et à l’[[wikitech:Analytics/PageviewAPI|API ''Pageview'']] (statistiques de visites), nous avons dorénavant le modèle [[m:template:Graph:PageViews|<nowiki>{{Graph:PageViews}}</nowiki>]] qui peut afficher les statistiques de visites de la page pour n’importe quelle page de n’importe quel wiki. Voir [[m:Community Tech/Pageview stats tool#Graph extension|les exemples]]. * L'extension [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Capiunto|Capiunto]] est installée sur le [https://test.wikipedia.org wiki de test]. Capiunto fournit des fonctionnalités d'infobox flexibles pour [[mw:Extension:Scribunto|Scribunto]] et génère du code HTML pour des fonctions d'infobox telles que les entêtes et les lignes. Elle est adaptée à des infobox propres et modernes qui sont construites à partir de données de Wikidata. Elle est facilement utilisable dans ses différentes versions par langue et facilement extensible. * L'éditeur visuel suit dorénavant le cadre du <code>format</code> TemplateData annoncé en novembre. Lors de la modification ou l'ajout d'un modèle, le wikicode sera déployé en une des deux manières. [https://phabricator.wikimedia.org/T111674][https://phabricator.wikimedia.org/T104599] * L'ordre des paramètres et le format défini dans les paramètres TemplateData d'un modèle seront dorénavant respectés. [https://phabricator.wikimedia.org/T104599][https://phabricator.wikimedia.org/T111674] '''Changements cette semaine''' * Sur les wikis où l'éditeur visuel est disponible dans l'onglet unique de modification, les liens rouges peuvent ouvrir l'éditeur visuel au lieu de l'éditeur de wikicode, selon les préférences de l'utilisateur. [https://phabricator.wikimedia.org/T55441] * L'avertissement au contributeur anonyme est dorénavant affiché comme une boite d'avertissement à la fois, pour uniformité, dans l'éditeur visuel et dans l'éditeur wikicode. [https://phabricator.wikimedia.org/T127403] * [[mw:Parsoid|Parsoid]] a été mis à jour pour se conformer à certaines spécifications HTML 5. [https://phabricator.wikimedia.org/T108134] '''Réunions''' * La directrice exécutive démissionnaire Lila Tretikov répond aux questions sur « ''[[m:Knowledge_Engine/FAQ|Knowledge Engine FAQ]]'' » concernant principalement les discussions sur le projet. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikimedia-l/2016-February/082470.html] * <span title="Sujet récurrent">[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]</span> Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=20&min=00&sec=0&day=01&month=03&year=2016 {{1er}} mars à 20 h (UTC)]. Regardez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et publiées par le [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/09|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l'aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].'' </div></div> <section end="technews-2016-W09"/> 29 février 2016 à 20:12 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=15391422 --> 8bbf8tifxetswjwdsh7ijv6r7d45udh 4 58672 987028 982011 2026-10-04T11:58:24Z Crochet.david.bot 1005 Robot : conversion/correction du HTML 987028 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2016|03}}</noinclude> == Espace contributeurs de Wikimédia France == Bonjour ! Je voulais rappeler que Wikimédia France met à disposition de la communauté un [[:w:fr:Wikipédia:Cléry|espace contributeurs]] dans ses bureaux parisiens depuis mai 2014. Il sert régulièrement pour des soirées [[:w:fr:Wikipédia:WikiCheese|Wikicheese]] et [[:w:fr:Wikipédia:WikiGrenier|WikiGrenier]], ainsi que pour des formations à la photographie, à Wikisource, à Wikidata ou encore à Lua/Scribunto... De plus, des contributeurs passent régulièrement pour utiliser le matériel mis à disposition ou simplement profiter du wifi et du thé {{clin}}. L'objet principal de ce message, cependant, est d'inciter des groupes de contributeurs à profiter de cet espace pour organiser des réunions. Par exemple, les agents OTRS gérant les files de Wikipédia ont fait une réunion en janvier, et en Allemagne où plusieurs espaces contributeurs de ce type existent, les contributeurs de certains projets comme [[:w:de:Wikipedia:Redaktion_Chemie|Chimie]] et [[:w:de:Wikipedia:Kartenwerkstatt/Hilfe|Cartographie]] se sont déjà rassemblés de cette façon. Si la réunion est planifiée très à l'avance, l'association peut même aider à payer le transport pour les contributeurs qui habitent loin de Paris (dans une certaine limite, bien sûr.) Il faudrait cependant me prévenir avant fin mars pour que je puisse avoir une idée du budget à demander pour cela pour la prochaine demande de financement. Je passe rarement ici (avec ce compte, du moins), du coup il vaut mieux m'écrire à sylvain.boissel{{@}}wikimedia.fr. -- [[Utilisateur:Sylvain WMFr|Sylvain WMFr]] ([[Discussion utilisateur:Sylvain WMFr|discussion]]) 1 mars 2016 à 18:17 (UTC) :Merci, j'habite à 30 min mais je n'ai jamais pris RDV. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 1 mars 2016 à 19:25 (UTC) == Traduction == Bonjour! [[Discussion_utilisateur:Youni_Verciti#Importation | Ici, ]]Lydie me fait justement remarquer que je n'ai pas procédé correctement lors de la traduction du document car mes premières pages du document ne tenaient pas compte de l’historique du document original de [[User :Dave Braunschweig]]. Merci Lydie pour avoir corrigé. Je suis sincèrement désolé. J'en déduis qu’il fallait simplement copier les pages initiales dans l'espace francophone avant de les modifier. Ça semble tellement évident une fois énoncé, désolé. J'avais pourtant consulté l'aide au préalable ; regardez ce que l’on trouve : * [[Aide:Frise_chronologique]] * [[Aide:Boîte de résumé]] * [[Aide:Droits_des_groupes#import]] En ajoutant les espaces modèle et wikiversité on trouve aussi: * [[Projet:Traduction/Traduction en en cours]] * [[Wikiversité:Requêtes_aux_contributeurs#Historique_de_traduction]] Un peu confus non? Cela rejoint un fil de discussion qui me laisse perplexe: [[Wikiversité:La_salle_café/février_2016#Page_d.27aide_avec_des_sous_pages:chapitres_:_Possible_ou_idée_à_repousser|Page d'aide avec des sous pages:chapitres : Possible ou idée à repousser]] Guy à gentiment prévenu la communauté les administrateurs lui ont gentiment répondu ; personne n'a mis en garde le nouvel utilisateur du fait que l’espace d'aide est très sensible. Qu' il est préférable d’être une utilisateur aguerri pour éditer dans cet espace. Qu'une page d'aide répond à des exigences en termes de vocabulaire, de concision etc. Résultat: [[Aide:Versement_d'un_cours_totalement_fondé]] - Amicalement. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 6 mars 2016 à 13:21 (UTC) : {{notif|Youni Verciti}} Si la question est : Pourquoi on est si méchant avec vous alors que l’on est si gentil avec d'autres contributeurs ? La réponse est simple, c’est parce que vous affichez une hostilité vis-à-vis des conventions de la Wikiversité que vous qualifiez d'exotiques et que vous semblez faire sciemment des choses en contradiction avec ces conventions tout en affirmant que l’on ne doit pas nécessairement les respecter, ce qui est inacceptable et extrêmement inquiétant ! Même si vous n’êtes pas d'accord avec certaines conventions, la vie en communauté exige que l’on suive certaines règles. Je vous signale, par exemple, que je suis d'accord avec vous sur le fait que les travaux de recherche devraient être dans l'espace principal et, comme vous pouvez le constater, j’ai voté comme vous dans [[Projet:Wikiversité/Espace de noms « Recherche » 2]], mais ce qui me différencie de vous, c’est que si je dois faire un travail de recherche, je le ferai dans l'espace recherche et je continuerai à m'opposer à ce que des contributeurs mettent des travaux de recherche dans l'espace principal. Pourquoi ? Parce que c’est une convention sur la Wikiversité qui a été votée !! Et que l’on doit respecter ce qui a été voté. On a le droit de ne pas être d'accord avec certaines conventions et d’en discuter, mais une fois que ces conventions sont votées, on doit se soumettre au résultat du vote. : En ce qui concerne la page [[Aide:Versement d'un cours totalement fondé]], là aussi, je suis d'accord avec vous. Cette page manque de concision et utilise des formulations qui peuvent ne pas être comprises par beaucoup d'utilisateurs. Je dirais même que je n'ai pas compris grand-chose à ce que l'auteur a voulu dire dans cette page et dans le peu que je pense avoir compris , il me semble qu’il y a des erreurs. Mais l'auteur est là depuis peu de temps et semble plein de bonne volonté, alors on essaye d’être diplomate. Je vous signale que l’on est déjà intervenu dans sa page de discussion à propos de cette page (voir [[Discussion utilisateur:Guy6631]]). Mais vous avez raison, la rédaction de la page [[Aide:Versement d'un cours totalement fondé]] doit être revue et je vais mettre un autre mot dans la page de l'auteur. Cordialement. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 7 mars 2016 à 07:13 (UTC) :: Je suis vraiment désolé que mon initiative soit instrumentalisée... Je suis un Bisounours : 1/ qui veut déposer sur la Wikiversité 2 de ses cours totalement disponibles sur Word 2013. 2/ qui a découvert au cours du versement du 1er que ce n'était pas impossible mais bien plus compliqué que prévu !!! 3/ qui a proposé de faire quelque chose dont le fond et la forme sont totalement ouverts. J'ai demandé de l'aide : Seule : Lydie m'en a donné. ::Si cela ne va pas, SVP, ne vous frappez pas à cause de moi. C'est pas compliqué la vie ! : Vous n'avez qu’à me dire où et comment il faut que je fasse un copié collé pour mon 2ème cours et je retourne à mes activités... charge à "ceux qui savent" à le mettre dans la forme ''ad hoc'' là où il faut !!!... A + Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 8 mars 2016 à 19:40 (UTC) ::: Salut à tous! Je crois que nous sommes sur la bonne voie. Pardon [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] d'avoir instrumentalisée la situation. Merci [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] d'avoir corrigé. L'objectif est d'attirer l'attention de tous, sur le fait que l'espace "Aide:", mérite plus de soins. Les questions sous-jacentes sont: Comment l'utilisateur peut-il faire pour importer une page qu’il souhaite traduire? Doit-il absolument contacter un administrateur? Peut-on envisager une page d'aide sur le sujet? Amicalement. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 9 mars 2016 à 13:07 (UTC) == [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/10|Tech News: 2016-10]] == <section begin="technews-2016-W10"/><div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="fr" dir="ltr"><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/10|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Changements récents''' * Les fichiers sur Wikimédia Commons peuvent dorénavant avoir une taille de {{unité|2|Go}}. Auparavant, la limite était de {{unité|1|Go}}. [https://phabricator.wikimedia.org/T76614] * Les notifications de bienvenue ont dorénavant un symbole différent. La Wikipédia en anglais en était déjà doté. [https://phabricator.wikimedia.org/T49662] * Les serveurs Wikimedia de mémoire cache dans la [[wikitech:Eqiad cluster|grappe de serveur Eqiad]] ont été mis à jour vers Debian 8 (Jessie). En conséquence, certains utilisateurs ont peut-être dû se reconnecter. [https://phabricator.wikimedia.org/T123711] * Il est dorénavant plus facile de catégoriser les images téléversées sur Wikimedia Commons dans l’application Commons pour Android. [https://phabricator.wikimedia.org/T126848] * <span title="Sujet technique">[[Fichier:Octicons-tools.svg|15px|link=]]</span> Les attributs sans valeur des balises sont dorénavant analysés syntaxiquement de manière conforme aux spécifications HTML 5. <code><pages from= to= section=1></code> sera analysé comme <code><pages from="to=" section="1"></code> contre <code><pages from="" to="" section="1"></code> auparavant. Il faut donc utiliser à la place <code><pages from="" to="" section=1></code> ou bien <code><pages section=1></code>. Apparemment, cela affecte principalement les pages des projets Wikisource. [https://phabricator.wikimedia.org/T108134] '''Problèmes''' * Récemment, [[mw:Special:MyLanguage/Phabricator|Phabricator]] a connu des problèmes de stabilité. Cela devrait être maintenant résolu. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/engineering/2016-March/000098.html] * L'API PageView (statistiques de visites) affiche de mauvaises données entre le 23 et le 29 février pour les pages contenant des caractères spéciaux dans leur titre. [https://phabricator.wikimedia.org/T128295] * Le changement dans l'analyse syntaxique mentionné ci-dessus a causé des problèmes sur un grand nombre de pages, notamment sur Wikisource. [https://phabricator.wikimedia.org/T108134] * Il est possible que vous voyiez les liens de modification dans une mise en forme erronée, à la fois sur les appareils mobiles et de bureau. Les appareils mobiles peuvent aussi afficher de manière incorrecte les sommaires. Cela sera bientôt corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T124356] * Les modèles utilisant TemplateData qui ont été modifié avec l'éditeur visuel peuvent avoir certain problèmes dans le mode d'édition du code. Cela peut être corrigé en modifiant la page avec l'éditeur visuel et en la sauvegardant sans faire le moindre changement. [https://phabricator.wikimedia.org/T128337] '''Changements cette semaine''' * Les [[mw:Special:MyLanguage/Help:Notifications/Cross-wiki|notifications inter-wiki]] seront activés comme une fonctionnalités bêta sur tous les wikis le 10 mars. Il sera possible de recevoir une notification lorsque quelque chose se passera sur un autre wiki Wikimedia. [https://phabricator.wikimedia.org/T124234] * <span title="Sujet récurrent">[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]</span> La [[mw:MediaWiki 1.27/wmf.16|nouvelle version]] de MediaWiki sera sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 8 mars. Elle sera sur tous les projets, excepté la majorité des Wikipédias, à partir du 9 mars. Elle sera déployée sur toutes les Wikipédias le 10 mars ([[mw:MediaWiki 1.27/Roadmap|calendrier]]). * Wikivoyages va être doté de l'[[mw:Extension:Kartographer|extension ''Kartographer'']]. Kartographer permettra d'insérer une carte interactive et d'y insérer différents marqueurs à l'aide des nouvelles balises <code><mapframe></code> et <code><maplink></code>. Vous pouvez ajouter des idées et suggestions sur la [[mw:Talk:Maps|page de discussion ''Maps'']]. Si vous trouvez un bug, vous pouvez le signaler sur [[phab:|Phabricator]] et y ajouter les étiquettes <code>#kartographer</code> et <code>#maps</code>. [https://phabricator.wikimedia.org/T127136] '''Réunions''' * <span title="Sujet récurrent">[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]</span> Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=20&min=00&sec=0&day=08&month=03&year=2016 8 mars à 20 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]]. '''Changements à venir''' * Les boutons dans les interfaces seront simplifiés. À la place des boutons blancs, rouges, verts et bleus, il n'y aura à l'avenir que des boutons blancs, rouges et bleus. [https://phabricator.wikimedia.org/T110555] * L'équipe Wikimedia des opérations techniques prévoit de travailler sur les serveurs le 22 mars. Cela pourrait engendrer quelques problèmes, par exemple rendre possible la lecture mais pas la modification des wikis pendant une courte période. La date est susceptible de changer. [https://phabricator.wikimedia.org/T124671] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et publiées par le [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/10|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l'aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].'' </div></div> <section end="technews-2016-W10"/> 7 mars 2016 à 20:24 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=15402334 --> : Salut Tech News, Je profite d'un bulletin technique en français pour prendre des nouvelles de l'APIsandbox. J'ai été surpris de voir que tous les projets ont actualisé l'API, mais depuis je ne parviens pas à utiliser [[Spécial:ApiSandbox]]. Amicalement. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 9 mars 2016 à 13:16 (UTC) ::Personne ne va répondre ici, il faut utiliser Phabricator. Mais pour ma part cette page semble bien fonctionner. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 9 mars 2016 à 14:11 (UTC) ::: Merci, Il faudrait que je test sur une autre machine! Je ne vois pas les options de requêtes. {{non signé|Youni Verciti}} ::: Autant pour moi, ça fonctionne avec la même machine ; web 2.0 ou résistance au changement. J'ai compris en suivant un lien sur une doc. MediaWiki. Amicalement. [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) == Relecture d'une interview pour le blog de l’association Wikimedia France. == Yep ! Ca fait longtemps hein ! Content d’être de retour avec un peu plus de temps devant moi. Content aussi de voir que [[utilisateur:Lydie Noria|Lydie]] et [[utilisateur:Youni Verciti|Youni]] arrivent à communiquer sans se bouffer le bout du nez. Avec un peu de patience on finira peut-être par en faire des vieux amis inséparables. La complémentarité c’est toujours bon à prendre en amitié. Mais revenons à nos moutons. Ce message concerne un mail que j’ai reçu avec une série de questions dans le but de publier quelque chose sur le blog de l'association Wikimedia France. Je sais pas si je suis le seul à avoir reçu ce mail. Je ne sais pas non plus pourquoi il m'ont choisi, mais comme je veux pas faire de jaloux {{clin}}, j’ai publier ma réponse [[Utilisateur:Lionel Scheepmans/blog WPF|ici]] et je vous invite à la relire et à la modifier si nécessaire. Si des informations sont fausses mal formulées ou absentes, n'hésitez pas, je propose ce texte à l'édition collective même si certaines questions concerne ma propre vie et pas celle du projet. Je profite aussi de l'occasion pour vous présentez une trouvaille faite sur Wikipédia. Brrr... j'y ai vécu des choses horribles ces dernier temps ! Cette trouvaille c’est le code <nowiki>{{titre|ce que tu veux voir apparaitre comme titre pour la page|invisible=oui}}</nowiki>. Apparemment, c’est pas vraiment un modèle mais plutôt une fonctionnalité installée sur l’ensemble des projets de la fondation. Enfin j'en suis pas sûr, mais ce qui est certain c’est que la recherche modèle:titre ne donne aucun résultat. Il ne fonctionne pas non plus sur un site anglophone, sans doute faut-il le traduire en anglais mais j’ai pas encore trouvé. Si [[utilisateur:JackPotte|quelqu'un]] sait... Ce code à donc pour effet de remplacer le titre d'une page par un texte au choix comme vous pouvez l'observer sur ma page [[Utilisateur:Lionel Scheepmans/blog WPF]] ou le titre qui s'affichera sera « Interview pour le blog Wikimedia France‎ ». <small>Et non [[utilisateur:Crochet.david|David]] je n'ai pas encore créé par erreur une page dans l'espace principal comme j'en ai l'habitude.</small> Ce code est une aubaine car il permet de façon temporaire ou permanent en fonction de ce que la communauté décidera d'exporter en pdf des travaux de recherche directement au départ du site et ce dans une présentation acceptable pour la remise d'un travail d'étudiant. Voici pour exemple [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Recherche:Wikipédia, _média_de_colonisation_culturelle_occidentale&printable=yes la version imprimable de mon dernier travail en date]. J'en profite au passage pour demander à l'assemblée ce qu'elle pense du fait que j’ai déplacer le modèle <nowiki>{{Travail de recherche}}</nowiki> en fin de page. J'imagine que cela ne change rien au niveau de la maintenance, par contre cela fait plus présentable pour une travail imprimé ou en version PDF à remettre à un professeur. J'attends vos réactions et n'oubliez pas de jeter un coup d’œil au niveau de l'interview. Tout du bon à tous, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 9 mars 2016 à 23:42 (UTC) :Je n'ai jamais reçu de mail de l'association, dont je ne suis pas membre. D'ailleurs je pensais que les interviews se faisaient plutôt sur Wikinews. Pour le reste je suis sans avis. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 10 mars 2016 à 08:25 (UTC) ::De faite [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]], il aurait été logique de faire cette interview sur Wikinews, mais bon comme j’ai reçu les questions par email et que cela concernait Wikiverité uniquement, j’ai trouvé normal d'y répondre au sein du projet et demander une participation de notre communauté. Pour le reste merci de m'avoir donné ton « non avis » {{clin}} et puis je te souhaite une journée aussi ensoleillée que la mienne. <small>En Belgique, ça faisait longtemps qu'on l'attendais celui là</small>. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 10 mars 2016 à 14:04 (UTC) == Licences commons == Bonjour, J'aimerai savoir si c’est possible d’utiliser une licence sur Wikiversité ou sur tout un autre wiki d'ailleurs qui permettrait à ce que les contenus soient certes récupérés mais pour un but non commercial. Si oui, quelles sont les conditions à respecter ? Merci beaucoup par avance pour vos réponses --[[Utilisateur:Mdia12|Mariama Dia]] ([[Discussion utilisateur:Mdia12|discussion]]) 11 mars 2016 à 10:20 (UTC) :Bonjour [[Utilisateur:Mdia12|Mariama Dia]], Tu trouvera en bas de la page d'accueil de la Wikiversité cette phrase qui contient deux liens : « Les textes sont disponibles sous licence Creative Commons Attribution-partage dans les mêmes conditions ; d’autres conditions peuvent s’appliquer. Voyez les conditions d’utilisation pour plus de détails. ». Ce sera mieux que mon avis personnelle je crois et puis j’ai aussi trouvé [[Wikiversité:Avertissements_généraux#Respect_des_licences_de_réutilisation|ceci]] qui peut être intéressant même si n'ai pas tout compris. Un belle fin de journée à toi, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 11 mars 2016 à 10:33 (UTC) ::Bonjour. Un dépôt sous une licence CC-by-nc n’est pas autorisé sur les projet de la Wikimedia Foundation, c’est du CC-by-sa. Sur [[:commons:|Wikimedia Commons]], il y a en plus et entre autres le GFDL, le CC-0, le Libre-Art et dautre également {{non signé|Crochet.david}} ::: Non, ce n’est pas possible sur les Wiki de la Fondation. Initialement Wikipédia utilisait les licences gnu-gpl et gfdl. Sous prétexte de conflits la fondation à rapidement réalisé un virage à 90 degrés vers cette licence cc-by-sa, la communauté a obtenue qu'elle soit couplée avec la licence Gfdl. L’idée est que la licence Gfdl sans interdire l’utilisation commerciale est plus respectueuse des auteurs mais la fondation communique principalement sur la licence Cc-by-sa. Il doit rester des exceptions on peut publier du code informatique sous licence gnu-gpl via Wikitech... Amicalement. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 19 mars 2016 à 15:52 (UTC) == Atelier sur le harcèlement == Bonjour à tout·e·s, Cette note a pour but de faire connaître à tout le monde qu'un [[:m:Harassment workshop|atelier sur le harcèlement]] a actuellement lieu sur Meta. Cet atelier est un lieu pour discuter de la manière dont nous pouvons traiter les problèmes de harcèlement sur les projets Wikimedia. Nous espérons que vous pourrez participer ! Avec sympathie, la ''[[:m:Support and Safety|Support and Safety Team]]'' ''via'' [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 11 mars 2016 à 16:35 (UTC) <!-- Message envoyé par User:PEarley (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:PEarley_(WMF)/Inspire_Mass_Message_Manual/fr&oldid=15430721 --> :En anglais seulement... Il devrait commencer par un workshop anglais {{sourire}} [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 11 mars 2016 à 19:45 (UTC) ::La page est traduite, et il est possible d'y contribuer dans n'importe quelle langue. [[Utilisateur:Trizek (WMF)|Trizek (WMF)]] ([[Discussion utilisateur:Trizek (WMF)|discussion]]) 14 mars 2016 à 09:53 (UTC) == Changement de serveur prochain : test le 15 mars et wikis en lecture seule == [[Fichier:Wikimedia Foundation Servers 2015-79.jpg|thumb|Le nouveau serveur est situé à [[:fr:Carrollton (Texas)|Carrollton (Texas)]].]] Bonjour La création d'un nouveau serveur et le transfert prochain des données sur celui-ci nécessite une opération de test. Celle-ci aura lieu le '''15 mars à 07:00 UTC''' (08:00 heure de Paris). Voici une liste d'événements qui pourraient se passer pendant et un peu après cette opération : * '''tous les wikis seront en lecture seule pendant 5 minutes''' (aucune opération possible, de toute sorte) ; * certaines modifications pourraient être perdues. Des solutions sont en train d’être explorées pour éviter cela ; * certaines opération de routine pourraient être ralenties ; * les liens rouges risquent de ne pas bleuir si un article a été créé ; * certains scripts au fonctionnement long risquent d’être arrêtés (notamment sur Wikidata). Prochains événements : le changement du serveur aura lieu les '''22 et 24 mars''', avec la même opération mais pour une durée de '''15 à 30 minutes'''. N'hésitez pas à diffuser l'information (SiteNotice, Watchlist-summary...). Nous faisons notre possible pour que tout le monde ai l'information afin qu’il n'y ai pas de surprises, aussi n'hésitez pas à nous aider à faire passer le mot, notamment sur d'autres wikis où il y a moins de contributeurs ou ceux où nous n'avons pas la possibilité de traduire ces messages. Bonne journée, [[Utilisateur:Trizek (WMF)|Trizek (WMF)]] ([[Discussion utilisateur:Trizek (WMF)|discussion]]) 14 mars 2016 à 09:51 (UTC) :Après le test du 15 mars qui s'est bien déroulé, il a été décidé de repousser l'opération de basculement à la semaine du 18 avril au lieu des 22 et 24 mars. Je vous tiendra informé. [[Utilisateur:Trizek (WMF)|Trizek (WMF)]] ([[Discussion utilisateur:Trizek (WMF)|discussion]]) 17 mars 2016 à 10:19 (UTC) :PS : merci d'avoir mis en place un bandeau d'avertissement ! == [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/11|Tech News: 2016-11]] == <section begin="technews-2016-W11"/><div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="fr" dir="ltr"><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/11|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Changements récents''' * L'interface Web pour mobile ne suggère plus de [[Mw:HiDPI display support|vignettes HiDPI]]. Cela va permettre de réduire l’utilisation de bande passante sur des connexions lentes ou chères. [https://phabricator.wikimedia.org/T119797] * Le moteur de recherche sur [http://www.wikipedia.org wikipedia.org] a été mis à jour. [[meta:Wikipedia.org_Portal_Improvements]] '''Changements cette semaine''' * Wikimedia va mettre en place un serveur de sauvegarde à Dallas. Du fait des travaux pour mettre cela en place, '''il ne sera possible que de lire les wikis''' pendant une courte pérode de temps les 22 et 24 mars. Vous pourriez perdre le travail que vous tenteriez de sauvegarder durant ce temps. Du fait d'un test préparatoire, il ne sera pas possible de modifier les wikis pendant 5 minutes le 15 mars à partir de 07:00 UTC. Vous pouvez [[m:Tech/Server switch 2016|en savoir plus à propos du fonctionnement des serveurs]]. Il y aura d'autres avertissements et d'autres mises à jour à propos de cette opération. * Les administrateurs et les autres utilisateurs ayant des permissions avancées devront avoir un pot de passe de plus de 8 caractères de longueur. Ce changement aura lieu le 15 mars. Les utilisateurs ayant un mot de passe trop court auront à le changer lors de leur prochaine identification. Cela a été décidé par [[m:Requests for comment/Password policy for users with certain advanced permissions|cette discussion sur Meta]] et du fait de la présence d’outils pouvant impacter les wikis. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-ambassadors/2016-March/001374.html] * <span title="Sujet récurrent">[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]</span> La [[mw:MediaWiki 1.27/wmf.17|nouvelle version]] de MediaWiki sera sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 15 mars. Elle sera sur tous les projets, excepté la majorité des Wikipédias, à partir du 16 mars. Elle sera déployée sur toutes les Wikipédias le 17 mars ([[mw:MediaWiki 1.27/Roadmap|calendrier]]). * Les boutons dans les interfaces seront simplifiés. À la place des boutons blancs, rouges, verts et bleus, il n'y aura à l'avenir que des boutons blancs, rouges et bleus. [https://phabricator.wikimedia.org/T110555] '''Réunions''' * <span title="Sujet récurrent">[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]</span> Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=19&min=00&sec=0&day=15&month=03&year=2016 15 mars à 20 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]]. * <span title="Sujet technique">[[Fichier:Octicons-tools.svg|15px|link=]]</span> Vous pouvez participer à la prochaine réunon de l'''Architecture committee''. Les sujets cette semaine sont le [[phab:T78639|backlog]] et l'[[phab:T66214|API pour les vignettes-image]]. La réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=21&min=00&sec=0&day=16&month=03&year=2016 16 mars à 21:00 (UTC)]. Voyez [[mw:Architecture meetings|comment participer]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et publiées par le [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/11|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l'aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].'' </div></div> <section end="technews-2016-W11"/> 14 mars 2016 à 18:37 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=15438638 --> == Série de questions au sujet de la présentation des pages de travaux de recherche. == Bonjour les amichs, Je suis en train de faire quelques recherches pour améliorer la présentation des pages de travaux de recherche. Mon idée est de les rendre compatibles avec la remise de travaux imprimés dans le cadre d'un cursus universitaire comme c’est mon cas actuellement. J'aimerai donc avoir l'avis de la communauté. Je vous propose de réagir point par point pour plus de facilité [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 16 mars 2016 à 21:42 (UTC) : * Comme je l'avais signalé précédemment, j’ai trouvé un code <nowiki>{{titre|invisible=oui}}</nowiki> pour retirer l'espace nom du titre d'une page sans pour autant ouvrir le capot de la machine Wikiversité. L'espace nom n'appartait toujours pas quand on affiche la vesion imprimable de page. Malheureusement, lorsque l’on télécharge la page PDF l'espace nom apparait toujours dans le titre. Je me demande s'il est souhaitable d'intégrer ce code au dans les modèles utiliser dans l'espace nom recherche ou s'il est préférable de le laisser à la discrétion de chacun. Que pensez-vous ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 16 mars 2016 à 21:42 (UTC) * Je pensais aussi à placer les bandeaux créés par les modèles de recherche en fin de page avec l’ensemble des catégorie un peu comme sur wikipedia quand il y a un bandeau qui indique les portails, projets ou autre. Je pense que cela ne change rien au niveau de la maintenance. Par contre cela évite d'avoir tout un ensemble d'informations peu inutiles lorsque l’on imprime la page. Qu'en pensez-vous ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 16 mars 2016 à 21:42 (UTC) * J'ai aussi tester le modèle colonne sur [[Recherche:Questions_de_démocratie_et_de_responsabilité_sociale_au_sein_du_mouvement_Wikimedia|un de mes articles]] et je trouve que cela le rend beaucoup plus digeste. Le problème par contre, les menus modifier n'apparaissent plus dans les titres de section et que le contenu n’est pas directement modifiable avec l'éditeur visuel mais seulement à l'intérieur du modèle et donc uniquement en CodeWiki. Je réserve donc le modèle colonne pour un travail entièrement terminé. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 16 mars 2016 à 21:42 (UTC) : {{notif|Lionel Scheepmans}} Je vais faire ici la même remarque que j’ai faîte dans [[Projet:Wikiversité/Espace de noms « Recherche » 2]] : Si on introduit le code <nowiki>{{titre|invisible=oui}}</nowiki> dans le [[Modèle:Travail de recherche]] pour cacher le préfixe « recherche » dans toutes les recherches, il me semble qu'on se retrouve dans une situation absurde, car si l’on a mis la recherche dans un espace à part, c’est justement pour avoir ce préfixe. Si on cache le préfixe, il n'y a plus de raisons d'avoir mis la recherche à part. : Pour le bandeau en fin de page, il me semble qu’il y a une différence entre les bandeaux de fin de page sur Wikipédia qui donnent généralement des informations accessoires et notre bandeau recherche qui donne des informations importantes sur la recherche dans la Wikiversité. Le mettre en bas de page risque de faire perdre ces informations aux personnes qui ne liraient pas la page entièrement. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 17 mars 2016 à 08:57 (UTC) ::Oui c’est vrai. Je vais dans ce cas plutôt faire une page d'aide pour l'impression de travaux d'étudiant. Comme mes solutions sont d’application temporaires, ils suffirait aux étudiants de les appliquer juste le temps de l'impression pour revenir à la présentation initiale ensuite. Cela te conviendra mieux je pense. Belle journée à toi, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 17 mars 2016 à 09:17 (UTC) :::Il ne faut oublier une chose, c’est la licence. La CC-by-sa oblige à imprimer avec les documents la listes des auteurs. Si l’idée est d'édulcorer l'impression, cela n'empêchera pas l'obligation de joindre cette information aux documents, ce qui en ferra toujours un document « hors normalité ». En cela, pour être clair dès le départ, le bandeau d'informations que la page est un travail de recherches doit être placé dès le départ, afin que le lecteur soient informé dès le départ de la suite de ce qu’il va lire. C'est comme à la télé, on informe au départ et ensuite on diffuse. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 17 mars 2016 à 19:08 (UTC) ::::Aussi d'accord avec toi [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]], mettons donc le bandeau en tête de page. Et puisque le bandeau d'information annonce que cette page est un travail de recherche et que « En particulier, elle ne fait pas partie de l’espace des cours proposés par Wikiversité. », on peut donc intégrer le code <nowiki>{{titre|invisible=oui}}</nowiki> au niveau du modèle. Il n'y a en effet aucun intérêt d'avoir une information redondante avec l’apparition de l'espace nom dans le titre et ce d'autant plus que cette information est inesthétique et typographiquement incorrecte. Qu'en pense-tu ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 17 mars 2016 à 20:25 (UTC) P.S. A propos de la liste des auteurs, je viens de remarquer que cette liste n’apparaît pas dans la version imprimable. Bizarre ça non ? :::::« Version imprimable » est un système différent de « télécharger en PDF ». La version imprimable indique le lien vers la version à la fin, mais pas les auteurs ni les inclusions, c’est identique à la fonction « fichier, apercu avant impression, imprimer ». La version en téléchargement n'indique pas la version mais la liste des auteurs et des images incluses. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 17 mars 2016 à 20:46 (UTC) ::::::Autrement dit [[Utilisateur:Crochet.david|David]], le script qui génère la version imprimable ne respecte pas les obligations liées à la licence CC-by-sa puisqu'elle propose une page à l'impression sans mentionner les auteurs. C'est fou ça ! Tu n'as pas d'avis concernant l'inclusion du code <nowiki>{{titre|invisible=oui}}</nowiki> dans le modèle <nowiki>{{Travail de recherche}}</nowiki> ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 17 mars 2016 à 21:27 (UTC) :::::::De mon côté, le problème est différent. La version PDF ne gère pas les bouts de partition de musique. Je dois donc me rabattre sur la version imprimable, qui est moins "jolie" (mais tout à fait fonctionnelle). --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 18 mars 2016 à 05:31 (UTC) ::::::::Bonjour [[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]], je suis content de découvrir qu'un autre utilisateur que moi s'intéresse à l'exportation du contenu de la Wikiversité vers des pages imprimées ou des PDF. On a parfois tendance à oublier cette aspect utilisateur. Comme il arrive aussi parfois d'oublier le rendu de nos actions au niveau de l’utilisation de l’apparence vecteur lorsque l’on travail soi-même uniquement avec l’apparence monobook. Pourtant, parmi les utilisateurs de nos travaux, il y a une majorité de personnes qui utilisent vecteur comme apparence par défaut et aussi certainement nombreuse personnes qui désirent télécharger un cours ou une recherche dans le but de l’utiliser hors ligne ou de la partager avec d'autres. Et puis, il y a aussi toutes ces personnes, dont je fait partie, qui préfèrent lire du contenu sur papier partout où ça leur chante plutôt que vissé sur une chaise devant un écran d'ordinateur. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 18 mars 2016 à 08:06 (UTC) P.S. Nous ne devons pas non plus oublié que notre public potentiel ne se limite pas au personnes qui possède un ordinateur et une connexion internet à haut débit. Au contraire, s'il y a bien un publique intéressé par nos travaux plutôt qu'au {{Abréviation|MOOC|Massive Open Online Course|en}} fleurissant partout sur le net c’est certainement les personnes qui ont des difficultés d'accès à internet ou qui ne bénéficie que d'un trop bas débit pour consulter des vidéos. Ne les oublions pas, d'un point de vue éthique, ils devraient apparaître au sein de notre projet tel un public cible à privilégié. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]} 18 mars 2016 à 08:34 (UTC) :::::::::Ben oui, je fais peut-être déjà partie des vieux... {{sourire}} mais je trouve comme toi qu’il y a des choses qui se font mieux sur papier que sur écran. Et puis pouvoir lire ou travailler dans les transports en commun, c’est quand même mieux avec des feuilles de papier plutôt que sur un petit écran de smartphone (qu'on risque en plus de se faire voler...) (j'habite dans une grande ville). --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 18 mars 2016 à 16:14 (UTC) :::::::Sisi, cela fonctionne bien : la version imprimable met bien le lien vers la version, l'export met bien l'historique. Ce sont deux « approche » différentes. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 18 mars 2016 à 17:44 (UTC) :::::::: Gardons à l'esprit que l'espace recherche ne fait pas partie de l'espace principal ; c’est dommage lorsqu'il s'agit d'un travail universitaire au sens propre. Gardons à l'esprit que l’éditeur devrait pouvoir éditer sans contraintes liées à la mise en forme mais dans le respect simple et natif du langage wikitexte. Amicalement. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 19 mars 2016 à 16:01 (UTC) == [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/12|Tech News: 2016-12]] == <section begin="technews-2016-W12"/><div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="fr" dir="ltr"><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/12|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Problèmes''' * Wikimedia a nouveau centre de sauvegarde de données à Dallas. Le département ''Wikimedia Technology'' prévoyait de le tester cette semaine. Cela se passera finalement la semaine du 18 avril. Vous pouvez [[m:Tech/Server switch 2016|trouver ici plus d'informations sur le rôle du serveur]]. Il y aura de nouvelles notifications et mises à jour concernant cela. * Dans Firefox, l'éditeur visuel sautait parfois vers la fin de la page lors d'un double-clic sur une cellule de tableau. Ce souci a été résolu. [https://phabricator.wikimedia.org/T128282] '''Changements cette semaine''' * Il sera dorénavant plus facile de lister les adresses IP qui n'ont pas besoin de résoudre des [[:w:fr:CAPTCHA|CAPTCHA]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T103122] * Il est dorénavant possible de marquer des notifications du système ''Echo'' comme non lues. [https://phabricator.wikimedia.org/T73564] * <span title="Sujet récurrent">[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]</span> La [[mw:MediaWiki 1.27/wmf.18|nouvelle version]] de MediaWiki sera sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 21 mars. Elle sera sur tous les projets, excepté la majorité des Wikipédias, à partir du 22 mars. Elle sera déployée sur toutes les Wikipédias le 23 mars ([[mw:MediaWiki 1.27/Roadmap|calendrier]]). '''Réunions''' * <span title="Sujet récurrent">[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]</span> Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=19&min=00&sec=0&day=22&month=03&year=2016 22 mars à 19 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]]. '''Changements à venir''' * <span title="Sujet technique">[[Fichier:Octicons-tools.svg|15px|link=]]</span> Les URL du flux IRC des modifications récentes ne seront plus réécrites pour utiliser HTTP (non chiffré). Cela pourrait poser problèmes aux robots dépendants de ce flux. La modification sera faite le 2 mai. [https://phabricator.wikimedia.org/T122933] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et publiées par le [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/12|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l'aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].'' </div></div> <section end="technews-2016-W12"/> 21 mars 2016 à 16:04 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=15460858 --> :Hi, sorry for writing in English, I'm trying to update all community pages on all wikis. You're very welcome to translate this to your language. A minor correction: The MediaWiki deployment dates are March 22–24, not 21–23. My apologies. /[[Utilisateur:Johan (WMF)|Johan (WMF)]] ([[Discussion utilisateur:Johan (WMF)|discussion]]) 22 mars 2016 à 08:31 (UTC) : Traduction : Bonjour, désolé d'écrire en anglais, j'essaie de mettre à jour toutes les pages communautaires sur tous les wikis. Vous êtes très encouragés à traduire ceci dans votre langue. Une petite correction : les dates de déploiement de MediaWiki sont les 22 à 24 mars, et pas les 21 à 23. Mes excuses. [[Utilisateur:Frigory|Frigory]] <small class="plainlinks">([[Discussion Utilisateur:Frigory|<span title="page de discussion">d</span>]] · [[Spécial:Contributions/Frigory|<span title="contributions">c</span>]] · [{{fullurl:Special:Log|type=block&page=User:{{urlencode:Frigory}}}} <span title="blocages">b</span>] · [[sulutil:Frigory|<span title="Compte unifié">s</span>]])</small> 25 mars 2016 à 23:41 (UTC) == m:Bibliographie == Bonjour, Qu'est-ce qui empêche Modèle:Bibliographie de fonctionner sur Wikiversité ? Merci de votre attention. Bel bonjour, --[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 26 mars 2016 à 21:52 (UTC) :[[w:Modèle:Bibliographie]] étant sur Wikipédia, il bénéficie de fonctions Lua supplémentaires pour les échanges avec Wikidata. Mais la Wikiversité pourra certainement s'en doter à terme. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 26 mars 2016 à 21:59 (UTC) == [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/13|Tech News: 2016-13]] == <section begin="technews-2016-W13"/><div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="fr" dir="ltr"><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/13|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Changements récents''' * MediaWiki [[mw:Manual:Semantic Web|intègre dorénavant les standards du web sémantique ''Microdata'' et ''RDFa 1.0'']]. Sur les projets Wikimedia, une demande de changement de configuration est nécessaire pour activer ''RDFa 1.0''. [https://phabricator.wikimedia.org/T130034] [https://phabricator.wikimedia.org/T130040] '''Problèmes''' * L'ajout de références à l'aide de Citoid n'a plus fonctionné pendant approximativement six heures, le 24 mars. Cela a été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T130847] '''Changements cette semaine''' * <span title="Sujet récurrent">[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]</span> La [[mw:MediaWiki 1.27/wmf.19|nouvelle version]] de MediaWiki sera sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 29 mars. Elle sera sur tous les projets, excepté la majorité des Wikipédias, à partir du 30 mars. Elle sera déployée sur toutes les Wikipédias le 31 mars ([[mw:MediaWiki 1.27/Roadmap|calendrier]]). * Il sera possible de supprimer la mise en forme de l'entête et du pied de page des boite utilisateurs de langue ('babel'). Cela rendra plus facile leur utilisation avec d'autres boites utilisateurs. [https://phabricator.wikimedia.org/T33309] '''Réunions''' * <span title="Sujet technique">[[Fichier:Octicons-tools.svg|15px|link=]]</span> Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec une partie du comité d'architecture, qui discutera [https://phabricator.wikimedia.org/E152#1558 de plusieurs sujets]. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=21&min=00&sec=0&day=30&month=03&year=2016 30 mars à 21 h (UTC)]. Voyez [[mw:Architecture meetings|comment participer]]. * <span title="Sujet technique">[[Fichier:Octicons-tools.svg|15px|link=]]</span> Le comité d'architecture a envoyé un [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-l/2016-March/085100.html résumé des discussions sur les nouvelles RFC et celles en cours]. '''Changements à venir''' * Commons aura bientôt un meilleur accès aux propriétés Wikiadta, notamment la localisation. Nous apprécierions si vous pouviez tester ceci sur le cluster bêta. [[commons:Commons:Village_pump#Wikidata_support:_getting_arbitrary_access_done]] * <span title="Sujet technique">[[Fichier:Octicons-tools.svg|15px|link=]]</span> À partir d'avril 2016, wikibit.js ne sera plus chargé par défaut. Les auteurs de scripts et de gadgets devraient déjà avoir mis à jour leur code lors de la précédente annonce, mais si besoin, une autre procédure de migration est proposée. Voir [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-l/2016-March/085113.html wikitech-l (liste de diffusion) pour plus de détails]. '''Erratum''' * Les Actualités techniques de la semaine dernière indiquaient que la nouvelle version de MediaWiki serait déployée du 21 au 23 mars. Les dates réelles étaient du 22 mars au 24 mars. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et publiées par le [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/13|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l'aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].'' </div></div> <section end="technews-2016-W13"/> 28 mars 2016 à 19:43 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Quiddity (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=15480543 --> [[en:Lua]] l2teru91f3q4c1dpz6350amwdh1ts5k 0 87363 986998 986990 2026-10-03T12:31:03Z Phl7605 31541 /* Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M */ 986998 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> <math>\Rightarrow</math> possibilité de D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}voisinage de <math>\,0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» c.-à-d. une <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme du 1^er ordre et homogène. <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans le cas des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math>» de pulsation propre <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «<math>\;\color{transparent}{\sigma}\;</math>» tel que «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;</math>» ou «<math>\;\color{transparent}{\sigma}</math> }}<math>= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;</math>», <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma < 1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="même forme"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma = 1\;</math>» le régime est apériodique critique <ref name="même forme - bis"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma > 1\;</math>» le régime est apériodique <ref name="même forme - ter"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} rc0q9x4n2qmmzoib4iaygwtc9yye82c 986999 986998 2026-10-03T12:38:57Z Phl7605 31541 /* Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M */ 986999 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> <math>\Rightarrow</math> possibilité de D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}voisinage de <math>\,0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» c.-à-d. une <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme du 1^er ordre et homogène. <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans le cas des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math>» de pulsation propre <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «<math>\;\color{transparent}{\sigma}\;</math>» tel que «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;</math>» ou «<math>\;\color{transparent}{\sigma}</math> }}<math>= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;</math>», <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma < 1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="même forme"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma = 1\;</math>» le régime est apériodique critique <ref name="même forme - bis"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma > 1\;</math>» le régime est apériodique <ref name="même forme - ter"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} rkk0r6ayzp0b89h8q7bti2w318mmav3 987000 986999 2026-10-03T13:33:29Z Phl7605 31541 /* Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. */ 987000 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> <math>\Rightarrow</math> possibilité de D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}voisinage de <math>\,0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» c.-à-d. une <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme du 1^er ordre et homogène. <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans le cas des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math>» de pulsation propre <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «<math>\;\color{transparent}{\sigma}\;</math>» tel que «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;</math>» ou «<math>\;\color{transparent}{\sigma}</math> }}<math>= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;</math>», <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma < 1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="même forme"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma = 1\;</math>» le régime est apériodique critique <ref name="même forme - bis"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma > 1\;</math>» le régime est apériodique <ref name="même forme - ter"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> Pendule Pesant Simple Non Amorti.</ref> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\,M\,</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\,\Delta_O\,</math> l'axe passant par <math>\,O\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical initial, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de <math>\,M\,</math> est circulaire d'axe <math>\,\Delta_O</math> ; <br>{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\,M\,</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe polaire <math>\,\overrightarrow{Oz}</math> <math>\,\big(</math>le plan étant orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de <math>\,M\,</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\,\mathit{l}\,</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\,M\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> étant «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}</math> }}<math>\theta\,</math> définissant l'angle polaire de <math>\,M</math>, angle orienté par <math>\,\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point <math>\,M\,</math> est soumis à deux forces : <math>\bullet\;</math>une force à distance « le poids de <math>\,M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» de moment scalaire par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force à distance }}de rotation <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force à distance de rotation <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,</math> par <math>\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} h39kivkivndxhge4v54d45hg7vhmach 987001 987000 2026-10-03T13:38:23Z Phl7605 31541 /* Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. */ 987001 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> <math>\Rightarrow</math> possibilité de D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}voisinage de <math>\,0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» c.-à-d. une <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme du 1^er ordre et homogène. <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans le cas des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math>» de pulsation propre <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «<math>\;\color{transparent}{\sigma}\;</math>» tel que «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;</math>» ou «<math>\;\color{transparent}{\sigma}</math> }}<math>= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;</math>», <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma < 1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="même forme"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma = 1\;</math>» le régime est apériodique critique <ref name="même forme - bis"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma > 1\;</math>» le régime est apériodique <ref name="même forme - ter"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> Pendule Pesant Simple Non Amorti.</ref> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\,M\,</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\,\Delta_O\,</math> l'axe passant par <math>\,O\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical initial, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de <math>\,M\,</math> est circulaire d'axe <math>\,\Delta_O</math> ; <br>{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\,M\,</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe polaire <math>\,\overrightarrow{Oz}</math> <math>\,\big(</math>le plan étant orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de <math>\,M\,</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\,\mathit{l}\,</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\,M\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> étant «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}</math> }}<math>\theta\,</math> définissant l'angle polaire de <math>\,M</math>, angle orienté par <math>\,\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point <math>\,M\,</math> est soumis à deux forces : <math>\bullet\;</math>une force à distance « le poids de <math>\,M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» de moment scalaire par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force à distance }}de rotation <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force à distance de rotation <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,</math> par <math>\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : }}<math>\bullet\;</math>une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)\;</math>» <ref> A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.</ref> de moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} jr54gmcgkrkd85y1bj31khztd15s2av 987002 987001 2026-10-03T13:45:21Z Phl7605 31541 /* Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. */ 987002 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> <math>\Rightarrow</math> possibilité de D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}voisinage de <math>\,0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» c.-à-d. une <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme du 1^er ordre et homogène. <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans le cas des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math>» de pulsation propre <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «<math>\;\color{transparent}{\sigma}\;</math>» tel que «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;</math>» ou «<math>\;\color{transparent}{\sigma}</math> }}<math>= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;</math>», <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma < 1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="même forme"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma = 1\;</math>» le régime est apériodique critique <ref name="même forme - bis"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma > 1\;</math>» le régime est apériodique <ref name="même forme - ter"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> Pendule Pesant Simple Non Amorti.</ref> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\,M\,</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\,\Delta_O\,</math> l'axe passant par <math>\,O\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical initial, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de <math>\,M\,</math> est circulaire d'axe <math>\,\Delta_O</math> ; <br>{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\,M\,</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe polaire <math>\,\overrightarrow{Oz}</math> <math>\,\big(</math>le plan étant orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de <math>\,M\,</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\,\mathit{l}\,</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\,M\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> étant «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}</math> }}<math>\theta\,</math> définissant l'angle polaire de <math>\,M</math>, angle orienté par <math>\,\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point <math>\,M\,</math> est soumis à deux forces : <math>\bullet\;</math>une force à distance « le poids de <math>\,M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» de moment scalaire par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force à distance }}de rotation <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force à distance de rotation <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,</math> par <math>\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : }}<math>\bullet\;</math>une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)\;</math>» <ref> A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.</ref> de moment scalaire par rapport <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force de contact }}à l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\,T(t)\,</math> relativement à <math>\,O\,</math> étant nul car <math>\,\vec{T}(t)\,</math> central <math>\,\big(</math>c.-à-d. colinéaire à <math>\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,</math> d'où <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\,T(t)\,</math> relativement à <math>\,\Delta_O\,</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\,T(t)\,</math> coupe l’axe <math>\,\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\,T(t)\,</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,</math> d'où <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} sfykvwjycmh63iljuie5fv6r2x2rwa4 987003 987002 2026-10-04T01:55:19Z Phl7605 31541 /* Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. */ 987003 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> <math>\Rightarrow</math> possibilité de D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}voisinage de <math>\,0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» c.-à-d. une <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme du 1^er ordre et homogène. <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans le cas des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math>» de pulsation propre <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «<math>\;\color{transparent}{\sigma}\;</math>» tel que «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;</math>» ou «<math>\;\color{transparent}{\sigma}</math> }}<math>= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;</math>», <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma < 1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="même forme"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma = 1\;</math>» le régime est apériodique critique <ref name="même forme - bis"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma > 1\;</math>» le régime est apériodique <ref name="même forme - ter"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> Pendule Pesant Simple Non Amorti.</ref> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\,M\,</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\,\Delta_O\,</math> l'axe passant par <math>\,O\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical initial, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de <math>\,M\,</math> est circulaire d'axe <math>\,\Delta_O</math> ; <br>{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\,M\,</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe polaire <math>\,\overrightarrow{Oz}</math> <math>\,\big(</math>le plan étant orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de <math>\,M\,</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\,\mathit{l}\,</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\,M\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> étant «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}</math> }}<math>\theta\,</math> définissant l'angle polaire de <math>\,M</math>, angle orienté par <math>\,\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point <math>\,M\,</math> est soumis à deux forces : <math>\bullet\;</math>une force à distance « le poids de <math>\,M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» de moment scalaire par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force à distance }}de rotation <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force à distance de rotation <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,</math> par <math>\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : }}<math>\bullet\;</math>une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)\;</math>» <ref> A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.</ref> de moment scalaire par rapport <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force de contact }}à l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\,T(t)\,</math> relativement à <math>\,O\,</math> étant nul car <math>\,\vec{T}(t)\,</math> central <math>\,\big(</math>c.-à-d. colinéaire à <math>\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,</math> d'où <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\,T(t)\,</math> relativement à <math>\,\Delta_O\,</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\,T(t)\,</math> coupe l’axe <math>\,\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\,T(t)\,</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,</math> d'où <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire" />, conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>», avec <math>\,\ddot{\theta}(t)\,</math> accélération angulaire à la daue <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>», avec }}«<math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,</math> le moment d'inertie de <math>\,M\,\left( m \right)\,</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>», avec «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,</math> }}relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <math>\,\big(</math>où <math>\,\mathit{l}\,</math> est la longueur de la tige<math>\big)</math>, soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)</math>, sans terme du 1^er ordre, homogène <br>{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>» c.-à-d. }}caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire. === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} nyyhnt9pksswyjiopt8dm8r5spwqchy 987004 987003 2026-10-04T02:06:33Z Phl7605 31541 /* Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité */ 987004 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> <math>\Rightarrow</math> possibilité de D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}voisinage de <math>\,0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» c.-à-d. une <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme du 1^er ordre et homogène. <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans le cas des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math>» de pulsation propre <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «<math>\;\color{transparent}{\sigma}\;</math>» tel que «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;</math>» ou «<math>\;\color{transparent}{\sigma}</math> }}<math>= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;</math>», <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma < 1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="même forme"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma = 1\;</math>» le régime est apériodique critique <ref name="même forme - bis"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma > 1\;</math>» le régime est apériodique <ref name="même forme - ter"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> Pendule Pesant Simple Non Amorti.</ref> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\,M\,</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\,\Delta_O\,</math> l'axe passant par <math>\,O\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical initial, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de <math>\,M\,</math> est circulaire d'axe <math>\,\Delta_O</math> ; <br>{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\,M\,</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe polaire <math>\,\overrightarrow{Oz}</math> <math>\,\big(</math>le plan étant orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de <math>\,M\,</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\,\mathit{l}\,</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\,M\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> étant «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}</math> }}<math>\theta\,</math> définissant l'angle polaire de <math>\,M</math>, angle orienté par <math>\,\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point <math>\,M\,</math> est soumis à deux forces : <math>\bullet\;</math>une force à distance « le poids de <math>\,M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» de moment scalaire par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force à distance }}de rotation <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force à distance de rotation <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,</math> par <math>\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : }}<math>\bullet\;</math>une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)\;</math>» <ref> A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.</ref> de moment scalaire par rapport <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force de contact }}à l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\,T(t)\,</math> relativement à <math>\,O\,</math> étant nul car <math>\,\vec{T}(t)\,</math> central <math>\,\big(</math>c.-à-d. colinéaire à <math>\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,</math> d'où <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\,T(t)\,</math> relativement à <math>\,\Delta_O\,</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\,T(t)\,</math> coupe l’axe <math>\,\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\,T(t)\,</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,</math> d'où <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire" />, conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>», avec <math>\,\ddot{\theta}(t)\,</math> accélération angulaire à la daue <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>», avec }}«<math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,</math> le moment d'inertie de <math>\,M\,\left( m \right)\,</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>», avec «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,</math> }}relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <math>\,\big(</math>où <math>\,\mathit{l}\,</math> est la longueur de la tige<math>\big)</math>, soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)</math>, sans terme du 1^er ordre, homogène <br>{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>» c.-à-d. }}caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire. === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » <math>\big[</math>ici « composante de <math>\,m\;\vec{g}\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\theta</math>, <math>F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} 144e0ysq9v2fmsj05als21scypl9563 987005 987004 2026-10-04T02:07:21Z Phl7605 31541 /* Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité */ 987005 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> <math>\Rightarrow</math> possibilité de D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}voisinage de <math>\,0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» c.-à-d. une <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme du 1^er ordre et homogène. <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans le cas des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math>» de pulsation propre <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «<math>\;\color{transparent}{\sigma}\;</math>» tel que «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;</math>» ou «<math>\;\color{transparent}{\sigma}</math> }}<math>= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;</math>», <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma < 1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="même forme"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma = 1\;</math>» le régime est apériodique critique <ref name="même forme - bis"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma > 1\;</math>» le régime est apériodique <ref name="même forme - ter"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> Pendule Pesant Simple Non Amorti.</ref> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\,M\,</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\,\Delta_O\,</math> l'axe passant par <math>\,O\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical initial, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de <math>\,M\,</math> est circulaire d'axe <math>\,\Delta_O</math> ; <br>{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\,M\,</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe polaire <math>\,\overrightarrow{Oz}</math> <math>\,\big(</math>le plan étant orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de <math>\,M\,</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\,\mathit{l}\,</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\,M\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> étant «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}</math> }}<math>\theta\,</math> définissant l'angle polaire de <math>\,M</math>, angle orienté par <math>\,\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point <math>\,M\,</math> est soumis à deux forces : <math>\bullet\;</math>une force à distance « le poids de <math>\,M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» de moment scalaire par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force à distance }}de rotation <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force à distance de rotation <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,</math> par <math>\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : }}<math>\bullet\;</math>une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)\;</math>» <ref> A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.</ref> de moment scalaire par rapport <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force de contact }}à l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\,T(t)\,</math> relativement à <math>\,O\,</math> étant nul car <math>\,\vec{T}(t)\,</math> central <math>\,\big(</math>c.-à-d. colinéaire à <math>\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,</math> d'où <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\,T(t)\,</math> relativement à <math>\,\Delta_O\,</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\,T(t)\,</math> coupe l’axe <math>\,\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\,T(t)\,</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,</math> d'où <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire" />, conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>», avec <math>\,\ddot{\theta}(t)\,</math> accélération angulaire à la daue <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>», avec }}«<math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,</math> le moment d'inertie de <math>\,M\,\left( m \right)\,</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>», avec «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,</math> }}relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <math>\,\big(</math>où <math>\,\mathit{l}\,</math> est la longueur de la tige<math>\big)</math>, soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)</math>, sans terme du 1^er ordre, homogène <br>{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>» c.-à-d. }}caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire. === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » <math>\big[</math>ici « composante de <math>\,m\;\vec{g}\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\theta</math>, <math>F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} t39r065we9enutytby9pnmrfqtyincb 987006 987005 2026-10-04T03:18:18Z Phl7605 31541 /* Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité */ 987006 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> <math>\Rightarrow</math> possibilité de D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}voisinage de <math>\,0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» c.-à-d. une <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme du 1^er ordre et homogène. <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans le cas des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math>» de pulsation propre <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «<math>\;\color{transparent}{\sigma}\;</math>» tel que «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;</math>» ou «<math>\;\color{transparent}{\sigma}</math> }}<math>= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;</math>», <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma < 1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="même forme"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma = 1\;</math>» le régime est apériodique critique <ref name="même forme - bis"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma > 1\;</math>» le régime est apériodique <ref name="même forme - ter"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> Pendule Pesant Simple Non Amorti.</ref> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\,M\,</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\,\Delta_O\,</math> l'axe passant par <math>\,O\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical initial, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de <math>\,M\,</math> est circulaire d'axe <math>\,\Delta_O</math> ; <br>{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\,M\,</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe polaire <math>\,\overrightarrow{Oz}</math> <math>\,\big(</math>le plan étant orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de <math>\,M\,</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\,\mathit{l}\,</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\,M\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> étant «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}</math> }}<math>\theta\,</math> définissant l'angle polaire de <math>\,M</math>, angle orienté par <math>\,\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point <math>\,M\,</math> est soumis à deux forces : <math>\bullet\;</math>une force à distance « le poids de <math>\,M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» de moment scalaire par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force à distance }}de rotation <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force à distance de rotation <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,</math> par <math>\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : }}<math>\bullet\;</math>une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)\;</math>» <ref> A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.</ref> de moment scalaire par rapport <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force de contact }}à l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\,T(t)\,</math> relativement à <math>\,O\,</math> étant nul car <math>\,\vec{T}(t)\,</math> central <math>\,\big(</math>c.-à-d. colinéaire à <math>\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,</math> d'où <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\,T(t)\,</math> relativement à <math>\,\Delta_O\,</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\,T(t)\,</math> coupe l’axe <math>\,\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\,T(t)\,</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,</math> d'où <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire" />, conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>», avec <math>\,\ddot{\theta}(t)\,</math> accélération angulaire à la daue <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>», avec }}«<math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,</math> le moment d'inertie de <math>\,M\,\left( m \right)\,</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>», avec «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,</math> }}relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <math>\,\big(</math>où <math>\,\mathit{l}\,</math> est la longueur de la tige<math>\big)</math>, soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)</math>, sans terme du 1^er ordre, homogène <br>{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>» c.-à-d. }}caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire. === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » <math>\big[</math>ici « composante de <math>\,m\;\vec{g}\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\theta</math>, <math>F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <math>\big\{</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>, moment scalaire moteur »<math>\big\},</math> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «<math>\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit finalement «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\;\big(</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\big)\;</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » <math>\big[</math>ici « au voisinage de <math>\,\theta_{\text{éq}} = 0</math>, <math>F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>\,-m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» de rappel<math>\big]</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » <math>\big[</math>ici « au voisinage de <math>\,\theta_{\text{éq}} = \pi</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;</math>» <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}répulsive<math>\big]</math> ; <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,</math> lié à la force motrice <math>\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>» <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,</math> lié }}par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;</math>» nous induisons <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété suivante <math>\bullet\;</math>si le moment scalaire est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : la propriété suivante }}<math>\bullet\;</math>si le moment scalaire est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} sxzyhuchlyjixnibucodzmuo9m2cdik 987007 987006 2026-10-04T03:20:55Z Phl7605 31541 /* Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité */ 987007 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> <math>\Rightarrow</math> possibilité de D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}voisinage de <math>\,0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» c.-à-d. une <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme du 1^er ordre et homogène. <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans le cas des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math>» de pulsation propre <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «<math>\;\color{transparent}{\sigma}\;</math>» tel que «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;</math>» ou «<math>\;\color{transparent}{\sigma}</math> }}<math>= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;</math>», <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma < 1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="même forme"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma = 1\;</math>» le régime est apériodique critique <ref name="même forme - bis"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma > 1\;</math>» le régime est apériodique <ref name="même forme - ter"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> Pendule Pesant Simple Non Amorti.</ref> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\,M\,</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\,\Delta_O\,</math> l'axe passant par <math>\,O\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical initial, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de <math>\,M\,</math> est circulaire d'axe <math>\,\Delta_O</math> ; <br>{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\,M\,</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe polaire <math>\,\overrightarrow{Oz}</math> <math>\,\big(</math>le plan étant orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de <math>\,M\,</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\,\mathit{l}\,</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\,M\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> étant «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}</math> }}<math>\theta\,</math> définissant l'angle polaire de <math>\,M</math>, angle orienté par <math>\,\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point <math>\,M\,</math> est soumis à deux forces : <math>\bullet\;</math>une force à distance « le poids de <math>\,M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» de moment scalaire par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force à distance }}de rotation <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force à distance de rotation <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,</math> par <math>\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : }}<math>\bullet\;</math>une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)\;</math>» <ref> A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.</ref> de moment scalaire par rapport <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force de contact }}à l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\,T(t)\,</math> relativement à <math>\,O\,</math> étant nul car <math>\,\vec{T}(t)\,</math> central <math>\,\big(</math>c.-à-d. colinéaire à <math>\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,</math> d'où <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\,T(t)\,</math> relativement à <math>\,\Delta_O\,</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\,T(t)\,</math> coupe l’axe <math>\,\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\,T(t)\,</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,</math> d'où <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire" />, conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>», avec <math>\,\ddot{\theta}(t)\,</math> accélération angulaire à la daue <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>», avec }}«<math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,</math> le moment d'inertie de <math>\,M\,\left( m \right)\,</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>», avec «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,</math> }}relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <math>\,\big(</math>où <math>\,\mathit{l}\,</math> est la longueur de la tige<math>\big)</math>, soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)</math>, sans terme du 1^er ordre, homogène <br>{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>» c.-à-d. }}caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire. === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » <math>\big[</math>ici « composante de <math>\,m\;\vec{g}\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\theta</math>, <math>F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <math>\big\{</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>, moment scalaire moteur »<math>\big\},</math> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «<math>\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit finalement «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\;\big(</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\big)\;</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » <math>\big[</math>ici « au voisinage de <math>\,\theta_{\text{éq}} = 0</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}de rappel<math>\big]</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » <math>\big[</math>ici « au voisinage de <math>\,\theta_{\text{éq}} = \pi</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;</math>» <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}répulsive<math>\big]</math> ; <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,</math> lié à la force motrice <math>\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>» <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,</math> lié }}par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;</math>» nous induisons <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété suivante <math>\bullet\;</math>si le moment scalaire est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : la propriété suivante }}<math>\bullet\;</math>si le moment scalaire est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} 50414t0fvach3p0o98l1bi9lazwelc6 987008 987007 2026-10-04T03:22:43Z Phl7605 31541 /* Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité */ 987008 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> <math>\Rightarrow</math> possibilité de D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}voisinage de <math>\,0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» c.-à-d. une <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme du 1^er ordre et homogène. <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans le cas des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math>» de pulsation propre <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «<math>\;\color{transparent}{\sigma}\;</math>» tel que «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;</math>» ou «<math>\;\color{transparent}{\sigma}</math> }}<math>= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;</math>», <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma < 1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="même forme"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma = 1\;</math>» le régime est apériodique critique <ref name="même forme - bis"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma > 1\;</math>» le régime est apériodique <ref name="même forme - ter"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> Pendule Pesant Simple Non Amorti.</ref> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\,M\,</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\,\Delta_O\,</math> l'axe passant par <math>\,O\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical initial, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de <math>\,M\,</math> est circulaire d'axe <math>\,\Delta_O</math> ; <br>{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\,M\,</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe polaire <math>\,\overrightarrow{Oz}</math> <math>\,\big(</math>le plan étant orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de <math>\,M\,</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\,\mathit{l}\,</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\,M\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> étant «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}</math> }}<math>\theta\,</math> définissant l'angle polaire de <math>\,M</math>, angle orienté par <math>\,\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point <math>\,M\,</math> est soumis à deux forces : <math>\bullet\;</math>une force à distance « le poids de <math>\,M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» de moment scalaire par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force à distance }}de rotation <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force à distance de rotation <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,</math> par <math>\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : }}<math>\bullet\;</math>une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)\;</math>» <ref> A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.</ref> de moment scalaire par rapport <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force de contact }}à l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\,T(t)\,</math> relativement à <math>\,O\,</math> étant nul car <math>\,\vec{T}(t)\,</math> central <math>\,\big(</math>c.-à-d. colinéaire à <math>\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,</math> d'où <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\,T(t)\,</math> relativement à <math>\,\Delta_O\,</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\,T(t)\,</math> coupe l’axe <math>\,\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\,T(t)\,</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,</math> d'où <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire" />, conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>», avec <math>\,\ddot{\theta}(t)\,</math> accélération angulaire à la daue <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>», avec }}«<math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,</math> le moment d'inertie de <math>\,M\,\left( m \right)\,</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>», avec «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,</math> }}relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <math>\,\big(</math>où <math>\,\mathit{l}\,</math> est la longueur de la tige<math>\big)</math>, soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)</math>, sans terme du 1^er ordre, homogène <br>{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>» c.-à-d. }}caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire. === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » <math>\big[</math>ici « composante de <math>\,m\;\vec{g}\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\theta</math>, <math>F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <math>\big\{</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>, moment scalaire moteur »<math>\big\},</math> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «<math>\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit finalement «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\;\big(</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\big)\;</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » <math>\big[</math>ici « au voisinage de <math>\,\theta_{\text{éq}} = 0</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>-m\;g\;\varepsilon\;</math>» de rappel<math>\big]</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » <math>\big[</math>ici « au voisinage de <math>\,\theta_{\text{éq}} = \pi</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;</math>» <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}répulsive<math>\big]</math> ; <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,</math> lié à la force motrice <math>\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>» <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,</math> lié }}par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;</math>» nous induisons <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété suivante <math>\bullet\;</math>si le moment scalaire est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : la propriété suivante }}<math>\bullet\;</math>si le moment scalaire est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} as55aks9aiq41wa2228slriprdno4gb 987009 987008 2026-10-04T03:26:42Z Phl7605 31541 /* Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité */ 987009 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> <math>\Rightarrow</math> possibilité de D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}voisinage de <math>\,0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» c.-à-d. une <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme du 1^er ordre et homogène. <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans le cas des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math>» de pulsation propre <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «<math>\;\color{transparent}{\sigma}\;</math>» tel que «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;</math>» ou «<math>\;\color{transparent}{\sigma}</math> }}<math>= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;</math>», <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma < 1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="même forme"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma = 1\;</math>» le régime est apériodique critique <ref name="même forme - bis"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma > 1\;</math>» le régime est apériodique <ref name="même forme - ter"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> Pendule Pesant Simple Non Amorti.</ref> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\,M\,</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\,\Delta_O\,</math> l'axe passant par <math>\,O\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical initial, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de <math>\,M\,</math> est circulaire d'axe <math>\,\Delta_O</math> ; <br>{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\,M\,</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe polaire <math>\,\overrightarrow{Oz}</math> <math>\,\big(</math>le plan étant orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de <math>\,M\,</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\,\mathit{l}\,</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\,M\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> étant «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}</math> }}<math>\theta\,</math> définissant l'angle polaire de <math>\,M</math>, angle orienté par <math>\,\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point <math>\,M\,</math> est soumis à deux forces : <math>\bullet\;</math>une force à distance « le poids de <math>\,M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» de moment scalaire par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force à distance }}de rotation <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force à distance de rotation <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,</math> par <math>\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : }}<math>\bullet\;</math>une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)\;</math>» <ref> A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.</ref> de moment scalaire par rapport <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force de contact }}à l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\,T(t)\,</math> relativement à <math>\,O\,</math> étant nul car <math>\,\vec{T}(t)\,</math> central <math>\,\big(</math>c.-à-d. colinéaire à <math>\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,</math> d'où <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\,T(t)\,</math> relativement à <math>\,\Delta_O\,</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\,T(t)\,</math> coupe l’axe <math>\,\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\,T(t)\,</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,</math> d'où <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire" />, conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>», avec <math>\,\ddot{\theta}(t)\,</math> accélération angulaire à la daue <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>», avec }}«<math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,</math> le moment d'inertie de <math>\,M\,\left( m \right)\,</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>», avec «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,</math> }}relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <math>\,\big(</math>où <math>\,\mathit{l}\,</math> est la longueur de la tige<math>\big)</math>, soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)</math>, sans terme du 1^er ordre, homogène <br>{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>» c.-à-d. }}caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire. === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » <math>\big[</math>ici « composante de <math>\,m\;\vec{g}\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\theta</math>, <math>F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <math>\big\{</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>, moment scalaire moteur »<math>\big\},</math> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «<math>\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit finalement «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\;\big(</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\big)\;</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » <math>\big[</math>ici « au voisinage de <math>\,\theta_{\text{éq}} = 0</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>-m\;g\;\varepsilon\;</math>» de rappel<math>\big]</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » <math>\big[</math>ici « au voisinage de <math>\,\theta_{\text{éq}} = \pi</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;</math>» <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}répulsive<math>\big]</math> ; <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,</math> lié à la force motrice <math>\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>» <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,</math> lié }}par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;</math>» nous induisons <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété suivante <math>\bullet\;</math>un moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre stable et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : la propriété suivante }}<math>\bullet\;</math>un moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre instable. <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} hgr0e9f6jg8pak8rob1uh8rowzj47ff 987010 987009 2026-10-04T03:28:26Z Phl7605 31541 /* Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité */ 987010 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> <math>\Rightarrow</math> possibilité de D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}voisinage de <math>\,0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» c.-à-d. une <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme du 1^er ordre et homogène. <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans le cas des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math>» de pulsation propre <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «<math>\;\color{transparent}{\sigma}\;</math>» tel que «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;</math>» ou «<math>\;\color{transparent}{\sigma}</math> }}<math>= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;</math>», <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma < 1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="même forme"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma = 1\;</math>» le régime est apériodique critique <ref name="même forme - bis"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma > 1\;</math>» le régime est apériodique <ref name="même forme - ter"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> Pendule Pesant Simple Non Amorti.</ref> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\,M\,</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\,\Delta_O\,</math> l'axe passant par <math>\,O\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical initial, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de <math>\,M\,</math> est circulaire d'axe <math>\,\Delta_O</math> ; <br>{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\,M\,</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe polaire <math>\,\overrightarrow{Oz}</math> <math>\,\big(</math>le plan étant orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de <math>\,M\,</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\,\mathit{l}\,</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\,M\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> étant «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}</math> }}<math>\theta\,</math> définissant l'angle polaire de <math>\,M</math>, angle orienté par <math>\,\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point <math>\,M\,</math> est soumis à deux forces : <math>\bullet\;</math>une force à distance « le poids de <math>\,M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» de moment scalaire par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force à distance }}de rotation <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force à distance de rotation <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,</math> par <math>\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : }}<math>\bullet\;</math>une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)\;</math>» <ref> A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.</ref> de moment scalaire par rapport <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force de contact }}à l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\,T(t)\,</math> relativement à <math>\,O\,</math> étant nul car <math>\,\vec{T}(t)\,</math> central <math>\,\big(</math>c.-à-d. colinéaire à <math>\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,</math> d'où <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\,T(t)\,</math> relativement à <math>\,\Delta_O\,</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\,T(t)\,</math> coupe l’axe <math>\,\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\,T(t)\,</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,</math> d'où <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire" />, conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>», avec <math>\,\ddot{\theta}(t)\,</math> accélération angulaire à la daue <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>», avec }}«<math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,</math> le moment d'inertie de <math>\,M\,\left( m \right)\,</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>», avec «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,</math> }}relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <math>\,\big(</math>où <math>\,\mathit{l}\,</math> est la longueur de la tige<math>\big)</math>, soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)</math>, sans terme du 1^er ordre, homogène <br>{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>» c.-à-d. }}caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire. === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » <math>\big[</math>ici « composante de <math>\,m\;\vec{g}\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\theta</math>, <math>F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <math>\big\{</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>, moment scalaire moteur »<math>\big\},</math> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «<math>\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit finalement «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\;\big(</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\big)\;</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » <math>\big[</math>ici « au voisinage de <math>\,\theta_{\text{éq}} = 0</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>-m\;g\;\varepsilon\;</math>» de rappel<math>\big]</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » <math>\big[</math>ici « au voisinage de <math>\,\theta_{\text{éq}} = \pi</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;</math>» <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}répulsive<math>\big]</math> ; <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,</math> lié à la force motrice <math>\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>» <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,</math> lié }}par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;</math>» nous induisons <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété <math>\bullet\;</math>si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}<math>\bullet\;</math>si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} fryzo0401j2ytqa1jzbss2rghakd5d9 987011 987010 2026-10-04T08:10:41Z Phl7605 31541 /* Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité */ 987011 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> <math>\Rightarrow</math> possibilité de D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}voisinage de <math>\,0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» c.-à-d. une <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme du 1^er ordre et homogène. <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans le cas des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math>» de pulsation propre <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «<math>\;\color{transparent}{\sigma}\;</math>» tel que «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;</math>» ou «<math>\;\color{transparent}{\sigma}</math> }}<math>= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;</math>», <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma < 1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="même forme"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma = 1\;</math>» le régime est apériodique critique <ref name="même forme - bis"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma > 1\;</math>» le régime est apériodique <ref name="même forme - ter"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> Pendule Pesant Simple Non Amorti.</ref> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\,M\,</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\,\Delta_O\,</math> l'axe passant par <math>\,O\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical initial, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de <math>\,M\,</math> est circulaire d'axe <math>\,\Delta_O</math> ; <br>{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\,M\,</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe polaire <math>\,\overrightarrow{Oz}</math> <math>\,\big(</math>le plan étant orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de <math>\,M\,</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\,\mathit{l}\,</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\,M\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> étant «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}</math> }}<math>\theta\,</math> définissant l'angle polaire de <math>\,M</math>, angle orienté par <math>\,\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point <math>\,M\,</math> est soumis à deux forces : <math>\bullet\;</math>une force à distance « le poids de <math>\,M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» de moment scalaire par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force à distance }}de rotation <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force à distance de rotation <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,</math> par <math>\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : }}<math>\bullet\;</math>une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)\;</math>» <ref> A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.</ref> de moment scalaire par rapport <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force de contact }}à l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\,T(t)\,</math> relativement à <math>\,O\,</math> étant nul car <math>\,\vec{T}(t)\,</math> central <math>\,\big(</math>c.-à-d. colinéaire à <math>\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,</math> d'où <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\,T(t)\,</math> relativement à <math>\,\Delta_O\,</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\,T(t)\,</math> coupe l’axe <math>\,\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\,T(t)\,</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,</math> d'où <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire" />, conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>», avec <math>\,\ddot{\theta}(t)\,</math> accélération angulaire à la daue <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>», avec }}«<math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,</math> le moment d'inertie de <math>\,M\,\left( m \right)\,</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>», avec «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,</math> }}relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <math>\,\big(</math>où <math>\,\mathit{l}\,</math> est la longueur de la tige<math>\big)</math>, soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)</math>, sans terme du 1^er ordre, homogène <br>{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>» c.-à-d. }}caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire. === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » <math>\big[</math>ici « composante de <math>\,m\;\vec{g}\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\theta</math>, <math>F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <math>\big\{</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>, moment scalaire moteur »<math>\big\},</math> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «<math>\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit finalement «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\;\big(</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\big)\;</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » <math>\big[</math>ici « au voisinage de <math>\,\theta_{\text{éq}} = 0</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>-m\;g\;\varepsilon\;</math>» de rappel<math>\big]</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » <math>\big[</math>ici « au voisinage de <math>\,\theta_{\text{éq}} = \pi</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;</math>» <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}répulsive<math>\big]</math> ; <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,</math> lié à la force motrice <math>\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>» <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,</math> lié }}par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;</math>» nous induisons <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété <math>\bullet\;</math>si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}<math>\bullet\;</math>si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité <math>\,\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math> des équilibres d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />, mais il existe aussi <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique <ref name="détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » <math>\ldots</math> === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} jjrtpesdw1dxnf19mp8htcwaheje16t 987012 987011 2026-10-04T08:11:27Z Phl7605 31541 /* Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité */ 987012 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> <math>\Rightarrow</math> possibilité de D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}voisinage de <math>\,0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» c.-à-d. une <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme du 1^er ordre et homogène. <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans le cas des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math>» de pulsation propre <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «<math>\;\color{transparent}{\sigma}\;</math>» tel que «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;</math>» ou «<math>\;\color{transparent}{\sigma}</math> }}<math>= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;</math>», <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma < 1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="même forme"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma = 1\;</math>» le régime est apériodique critique <ref name="même forme - bis"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma > 1\;</math>» le régime est apériodique <ref name="même forme - ter"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> Pendule Pesant Simple Non Amorti.</ref> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\,M\,</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\,\Delta_O\,</math> l'axe passant par <math>\,O\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical initial, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de <math>\,M\,</math> est circulaire d'axe <math>\,\Delta_O</math> ; <br>{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\,M\,</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe polaire <math>\,\overrightarrow{Oz}</math> <math>\,\big(</math>le plan étant orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de <math>\,M\,</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\,\mathit{l}\,</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\,M\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> étant «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}</math> }}<math>\theta\,</math> définissant l'angle polaire de <math>\,M</math>, angle orienté par <math>\,\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point <math>\,M\,</math> est soumis à deux forces : <math>\bullet\;</math>une force à distance « le poids de <math>\,M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» de moment scalaire par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force à distance }}de rotation <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force à distance de rotation <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,</math> par <math>\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : }}<math>\bullet\;</math>une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)\;</math>» <ref> A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.</ref> de moment scalaire par rapport <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> est soumis à deux forces : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une force de contact }}à l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\,T(t)\,</math> relativement à <math>\,O\,</math> étant nul car <math>\,\vec{T}(t)\,</math> central <math>\,\big(</math>c.-à-d. colinéaire à <math>\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,</math> d'où <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\,T(t)\,</math> relativement à <math>\,\Delta_O\,</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\,T(t)\,</math> coupe l’axe <math>\,\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\,T(t)\,</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,</math> d'où <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire" />, conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>», avec <math>\,\ddot{\theta}(t)\,</math> accélération angulaire à la daue <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>», avec }}«<math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,</math> le moment d'inertie de <math>\,M\,\left( m \right)\,</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>», avec «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,</math> }}relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <math>\,\big(</math>où <math>\,\mathit{l}\,</math> est la longueur de la tige<math>\big)</math>, soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)</math>, sans terme du 1^er ordre, homogène <br>{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>» c.-à-d. }}caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire. === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » <math>\big[</math>ici « composante de <math>\,m\;\vec{g}\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\theta</math>, <math>F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <math>\big\{</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>, moment scalaire moteur »<math>\big\},</math> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «<math>\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit finalement «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\;\big(</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\big)\;</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » <math>\big[</math>ici « au voisinage de <math>\,\theta_{\text{éq}} = 0</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>-m\;g\;\varepsilon\;</math>» de rappel<math>\big]</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » <math>\big[</math>ici « au voisinage de <math>\,\theta_{\text{éq}} = \pi</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;</math>» <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}répulsive<math>\big]</math> ; <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,</math> lié à la force motrice <math>\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>» <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,</math> lié }}par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;</math>» nous induisons <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété <math>\bullet\;</math>si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}<math>\bullet\;</math>si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité <math>\,\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math> des équilibres d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />, mais il existe aussi <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique <ref name="détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » <math>\ldots</math> === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} n6jate0v3q3lm6jqh6deali8e2xstkg