Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.22 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 26555 987143 969209 2026-10-05T21:41:42Z Alkapone67 81117 /* À qui s'applique le droit du travail français ? */ 987143 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = droit | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Le contrat de travail/]] | niveau = 15 }} == Ce qu'est le droit du travail == Le droit français étant très spécialisé, le droit du travail n'est qu'une partie du droit des relations privées. == Le droit français == Le droit n’est pas exclusivement inclus dans le code du travail : lorsque le juge décide, les traités internationaux entrent aussi en compte. Exemples : * droit pénal ; * droit civil ; * droit des sociétés ; * droit de la propriété intellectuelle. Le droit français fait intervenir un jury populaire uniquement pour les affaires criminelles. Ces dernières années, on a assisté à l'intégration de grandes parts du droit anglo-américain dans le droit français. Mais contrairement au premier, le droit français suppose des décisions justifiées par des textes juridiques en vigueur. === Portée du droit français === Le droit français s'applique sur l'ensemble du territoire national. Ainsi, un ressortissant français travaillant à l'étranger est soumis à la législation locale et non pas au droit français. {{Attention|Il n'existe pas de droit international du travail.}} Il y a des réglementations qui sont spécifiques à des sous-ensemble du territoire français, comme pour l'Alsace-Moselle et les territoires d'outre-mer. Le droit français repose sur un mécanisme de preuves : il faut toujours prouver les faits allégués, la parole ne vaut rien aux yeux de la loi. {{Attention|« Pas de preuve, pas d'application du droit. »}} === Classification du droit français === {| class="wikitable" !Juridiction administrative !colspan="2"|Juridiction judiciaire |- |rowspan="3"|La personne mis en accusation est une personne publique. |colspan="2"|La personne mis en accusation est une personne privée. |- |Pénal |Civil |- |Plainte au titre de la société |Plainte au titre individuel |} === Les preuves dans le droit français === En matière pénale, le juge est libre d'accepter ou refuser les preuves lors de l'instruction de l'affaire. En revanche, dans le civil, le juge ne peut accepter que des éléments entrant dans les '''cinq types de preuves possibles''' et ne peut refuser une '''preuve parfaite'''. Les cinq types de preuves sus-citées sont : * le témoignage ; * la présomption ; * l'aveu ; * le serment ; * l'écrit. ==== Le témoignage ==== Considéré imparfaite, le témoignage est la déclaration d'un tiers ayant assisté aux faits, le juge donnera plus de crédit au témoignage d'un haut fonctionnaire sans relations avec les parties qu’à un membre de la famille d'une des parties. ==== L'aveu ==== Considéré parfaite, l'aveu est la reconnaissance d'un fait par l'une des parties devant un fonctionnaire assermenté susceptible de relever un aveu. ==== La présomption ==== Considérée imparfaite, la présomption est une preuve indirecte qui induit la probabilité d'un fait. Par exemple, dans le cas d'un accident de voiture, les traces de freinages ou les effets de l'impact, qui permettent de donner la vitesse probable du véhicule au moment de l'incident. ==== Le serment ==== Considéré parfaite, est d'origine religieuse et moyenâgeuse, elle repose sur la peur du courroux divin en cas de blasphème. Elle n'est plus employée dans notre société dans laquelle cette peur n'est plus si courante d'autant que la demande du serment de l'accusé le disculpe ou le condamne sur sa simple parole. ==== L'écrit ==== L'écrit est pris en compte de manière varié : * est considéré preuve parfaite un écrit pré-constitué, c'est-à-dire : ** répondant à des qualités obligatoires : *** l'identification des parties ; *** les signatures de chacune des parties ; *** un nombre d'exemplaire au moins égal au nombre de signataires<ref>Une seule copie où est inscrit que le document a été fait à un nombre suffisant de copies est suffisante, une partie ne peut simplement prétendre ne pas disposer d'une copie.</ref> ; *** s'il s'agit d'un contrat faisant intervenir des transactions financières, les sommes en chiffres et en lettres ; ** dont l'établissement s'est fait : *** sous seing privé, c’est le cas de tous les contrats établis directement entre les parties ; *** écrit authentique ou notarié : signé devant un officier ministériel (notaire, huissier, avocat) dont la valeur probante est plus forte ; * est considéré preuve imparfaite un écrit simple, c'est-à-dire tout ceux qui ne sont pas pré-constitués. Depuis mars 2006, les écrits numériques sont désormais considérés comme écrits simples. Cela étant, un écrit ne peut être accepté s'il est obtenu dans la transgression du secret de la correspondance. == Sources du droit == Où va-t-on chercher sur quoi appuyer une décision de justice ? * la loi contenue dans les codes ; * les textes internationaux (conventions) : par exemple, les accords du BIT (Bureau international du travail) qui ont par exemple interdit le CNE fait par l'OIT (Organisation internationale du travail) ; * la Constitution de la République française et le droit constitutionnel ; * le contrat de travail et ses clauses ; * les conventions collectives et accords d'entreprise ; * le règlement intérieur ; * les usages dans les entreprises, par exemple la prime de vacance ; * la jurisprudence (c'est-à-dire l'interprétation de la loi). Dans les textes qu'utilisent les juges, on retrouve les intitulés : {| | * article L.XXX : Loi | | valable pour tous sur tout le territoire jusqu'à promulgation d'une nouvelle loi. |- | * article R.XXX : réglementaire |rowspan="2"| <span style="font-size: 60pt">}</span> |rowspan="2"| décision des autorités |- | * article D.XXX : décret |} L'explication du décret demande un peu d'histoire. Dans la IV{{e}} République, le président avait peu de pouvoir : toutes les décisions étaient prises par le Sénat et par l'Assemblé nationale, processus fort démocratique, mais inévitablement long. Or, la France est alors dans une situation réclament des décisions réactives : décolonisation, guerre d'Algérie, etc. Les articles réglementaires et les décrets permettent une telle réactivité, mais leur domaine d'application est alors très limité. De Gaulle, arrivant au pouvoir et instaurant la V{{e}} République, élargit notablement le champs d'application des règlements et décrets en même temps que les pouvoirs du président de la République. C'est également le cas de certains textes du code du travail, qui n'ont plus à passer devant l'Assemblée nationale mais peuvent être modifié par décision administrative. == À qui s'applique le droit du travail français ? == Le [[droit du travail en France|droit du travail français]] régit principalement les relations individuelles et collectives entre les [[employeur]]s de droit privé et leurs [[salarié]]s. L'article L. 1111-1 du [[Code du travail (France)|Code du travail]] prévoit ainsi que les dispositions relatives aux relations individuelles de travail sont applicables « aux employeurs de droit privé ainsi qu'à leurs salariés »<ref>Article L. 1111-1 du Code du travail.</ref>. Le Code du travail s'applique également au personnel des [[Personne morale de droit public|personnes publiques]] lorsqu'il est employé dans les conditions du [[droit privé]], sous réserve des dispositions particulières résultant du statut applicable à ce personnel<ref>Article L. 1111-1 du Code du travail.</ref>. En revanche, les [[Fonction publique française|agents de la fonction publique]] relevant d'un statut de droit public sont principalement soumis aux règles du [[droit de la fonction publique]], tandis que les [[Travailleur indépendant|travailleurs indépendants]], n'étant pas liés à un employeur par un [[contrat de travail en France|contrat de travail]], n'entrent en principe pas dans le champ des règles du droit du travail applicables aux salariés. Au deuxième trimestre 2026, la France compte environ '''21 millions d'emplois salariés dans le secteur privé''' (20,957 millions), contre environ 6,064 millions dans la fonction publique<ref>{{Article | langue = fr | auteur institutionnel = Institut national de la statistique et des études économiques | titre = Au deuxième trimestre 2026, l'emploi salarié est quasi stable (-0,1 %) | périodique = Informations rapides | numéro = 214 | date = 28 août 2026 }}</ref>. À la même date, l'[[Institut national de la statistique et des études économiques|Insee]] estime à environ '''3,6 millions''' le nombre d'emplois non salariés<ref name="InseeEmploi2026">{{Article | langue = fr | auteur institutionnel = Institut national de la statistique et des études économiques | titre = Au deuxième trimestre 2026, l'emploi salarié est quasi stable (-0,1 %) | périodique = Informations rapides | numéro = 214 | date = 28 août 2026 }}</ref>. Ces données statistiques donnent un ordre de grandeur du nombre de personnes concernées, sans toutefois se confondre exactement avec le champ juridique du droit du travail, certaines personnes employées par des organismes publics étant notamment titulaires d'un contrat de droit privé. == Historique du droit du travail en France == Dans l'Antiquité, le travail est complètement assimilé à la torture réservé aux esclaves. Le christianisme qui se développe ensuite considère le travail comme une mauvaise chose car le temps passé au travail n’est pas consacré à Dieu. Avec la Révolution française on assiste à la fin des corporations et à l'avènement de la liberté du travail. Jusqu'alors le patron avait une attitude paternaliste, le salarié lui appartenant : il est nourri logé blanchie et payé mais n'a pas le droit de proposer ses services à d'autres corporations. L'esprit corporatiste est fondé sur les monopoles, une corporation ne peut débaucher des artisans d'un concurrent ou même pratiquer une concurrence trop importante. La bourgeoisie qui est bloquée et ennuyée par ces monopoles va être à la base de la révolution. Or, la législation est induite par les pressions économiques et sociales et reflète donc la volonté des personnes en position de domination économique. À la suite de cette révolution, la majorité de la population passe d'une activité paysanne à une activité ouvrière, modifiant les rapports entre les individus. Pour les mineurs, l'absence de loi est préoccupante. Fin {{rom|XIX|19}}{{e}}, les premières lois promulguent l'interdiction du travail de nuit pour les enfants de moins de {{unité|8|ans}}, ce qui est est révélateur des conditions de travail alors en vigueur. Le début du {{s|20}} (1910) voit apparaître le code du travail, puis en 1936, la semaine de 40 heures, les premiers droits syndicaux et les congés payés. Après mai 1968, les représentants syndicaux se voient attribués plus de droits. En 1982 et 1983, les lois Auroux instaurent les 39 heures et la retraite à {{unité|60|ans}}, elles créent le comités d'entreprise (CE) et le comité d'hygiène, de sécurité et des conditions de travail (CHSCT). En 1999 et en 2000, on observe le passage aux 35 heures (loi Auberg 1 et 2). À noter que toutes ces réformes ont été mises en place sous un gouvernement de gauche, socialiste. Cependant, la refonte de 2008 du code du travail contenant de nombreuses suppressions et l'ajout de quelques concepts nouveaux ayant pour but de rationaliser une construction empirique a eu lieu sous un gouvernement de droite. On peut toute de fois dégager les tendances suivantes : * gouvernement de gauche : réformes favorables aux employés * gouvernement de droite : réformes favorables au patronat == Exemples de droits du travail et de réformes == En cas de liquidation, le droit du travail garantit que les employés soient prioritaires en tant que créanciers. En second, viennent les organismes sociaux (URSAF, etc.). Rappelons qu'une liquidation est mise en œuvre quand le passif (les diverses charges) d'un organisme dépasse trop largement l'actif (les divers bénéfices). On procède alors à la vente de tous les actifs et on rembourse avec autant que possible ses créanciers. On peut noter la proposition de réforme faisant passer les banques avant les organismes sociaux. Une autre réforme qui, elle, est en vigueur concerne la création d'entreprise. Avant la réforme, la création d'une nouvelle entreprise était interdite pendant plusieurs années après une liquidation, ce qui n'est plus le cas aujourd'hui. Dans la sphère syndical, alors que seuls les délégués syndicaux étaient habilités à négocier, une modification des règles de représentativité des organisations syndicales et des mécanismes de modifications permet à tout à chacun de négocier directement. Cela fait perdre la force du poids du groupe d'un coté, mais d'un autre coté cela supprime le risque de se voir appliquer le résultat d'une mauvaise négociation faite par un tiers. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = droit | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Le contrat de travail/]] }} s9alruif1p8yudxylonuvko60at7698 0 26556 987145 969210 2026-10-05T21:49:42Z Alkapone67 81117 /* Le pré-contractuel */ 987145 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | titre_leçon = Droit du travail en France | idfaculté = droit | numéro = 2 | précédent = [[../Introduction/]] | suivant = [[../Obligations en matière d'hygiène et de sécurité/]] | niveau = 15 }} Le droit du travail est applicable dès qu’il a un contrat de travail de droit privé entre un employeur et un salarié. == La notion de contrat de travail == Il ne suppose pas un document papier mais une situation de fait qui existe même en l'absence d'écrit signé. C'est une situation de volonté (exemple : le trader au téléphone ou les ventes aux enchères). Le contrat de travail nécessite 3 éléments cumulatifs : * la prestation de travail (originellement physique, intellectuel ou artistique) * une contre partie financière : le salaire * lien de subordination, c'est-à-dire le fait d'accepter d'obéir à son patron, ou lien d'autorité ou hièrarchique Depuis une directive européenne de 1990 il y a obligation de prouver le contrat de travail par l'écrit (ne s'applique qu'aux employeurs, par exemple par une fiche de paie, une promesse d'embauche ou une déclaration d’emploi à l'URSAF) === Les règles générales des contrats === Le [[contrat de travail en France|contrat de travail]] est soumis aux conditions générales de validité des contrats prévues par le [[Code civil (France)|Code civil]], auxquelles s'ajoutent les règles particulières du [[droit du travail en France|droit du travail]]. L'article 1128 du Code civil exige trois conditions pour la validité d'un contrat : le '''consentement des parties''', leur '''capacité de contracter''' et un '''contenu licite et certain'''<ref>{{Lien web | titre = Article 1128 du Code civil | url = https://www.legifrance.gouv.fr/codes/article_lc/LEGIARTI000032040911 | site = Légifrance | consulté le = 5 octobre 2026 }}</ref>. ==== Capacité des parties ==== Toute personne physique peut en principe contracter, sauf lorsqu'une incapacité est prévue par la loi. Le Code civil vise notamment, dans la mesure définie par la loi, les [[Mineur (droit)|mineurs non émancipés]] et les [[Majeur protégé en France|majeurs protégés]]<ref>{{Lien web | titre = Articles 1145 à 1152 du Code civil | url = https://www.legifrance.gouv.fr/codes/section_lc/LEGITEXT000006070721/LEGISCTA000032041017/ | site = Légifrance | consulté le = 5 octobre 2026 }}</ref>. En matière de travail, un mineur peut en principe être salarié à partir de '''16 ans''', avec l'autorisation de son [[Représentant légal en France|représentant légal]] lorsqu'il n'est pas émancipé. Des exceptions permettent de travailler avant cet âge dans certaines situations et sous certaines conditions<ref>{{Lien web | titre = À partir de quel âge peut-on travailler ? | url = https://www.service-public.fr/particuliers/vosdroits/F1649 | site = Service-Public.fr | date = 1 juin 2026 | consulté le = 5 octobre 2026 }}</ref>. Un [[contrat d'apprentissage]] peut notamment être conclu à partir de 16 ans et, sous certaines conditions, dès l'âge de 15 ans lorsque le jeune a accompli la scolarité du premier cycle de l'enseignement secondaire<ref>{{Lien web | titre = Article L. 6222-1 du Code du travail | url = https://www.legifrance.gouv.fr/codes/article_lc/LEGIARTI000037386029 | site = Légifrance | consulté le = 5 octobre 2026 }}</ref>. ==== Consentement des parties ==== Le consentement de l'employeur et du salarié doit être '''libre et éclairé'''. Selon l'article 1130 du Code civil, trois vices sont susceptibles d'affecter le consentement lorsqu'ils ont déterminé une partie à contracter ou à accepter des conditions substantiellement différentes<ref>{{Lien web | titre = Article 1130 du Code civil | url = https://www.legifrance.gouv.fr/codes/article_lc/LEGIARTI000032040835 | site = Légifrance | consulté le = 5 octobre 2026 }}</ref> : * '''l'[[Erreur (droit civil français)|erreur]]''', lorsqu'elle porte notamment sur les qualités essentielles de la prestation ou du cocontractant dans les conditions prévues par la loi ; * '''le [[Dol en droit civil français|dol]]''', qui consiste pour un contractant à obtenir le consentement de l'autre au moyen de manœuvres, de mensonges ou de la dissimulation intentionnelle d'une information dont il connaît le caractère déterminant<ref>{{Lien web | titre = Article 1137 du Code civil | url = https://www.legifrance.gouv.fr/codes/article_lc/LEGIARTI000036829827 | site = Légifrance | consulté le = 5 octobre 2026 }}</ref> ; * '''la [[Violence en droit civil français|violence]]''', qui existe lorsqu'une partie s'engage sous la pression d'une contrainte lui inspirant la crainte d'un mal considérable pour elle-même, sa fortune ou ses proches<ref>{{Lien web | titre = Article 1140 du Code civil | url = https://www.legifrance.gouv.fr/codes/article_lc/LEGIARTI000032040977 | site = Légifrance | consulté le = 5 octobre 2026 }}</ref>. ==== Liberté contractuelle et force obligatoire ==== Le contrat de travail est soumis au principe de la '''[[liberté contractuelle]]'''. Selon l'article 1102 du Code civil, chacun est libre de contracter ou de ne pas contracter, de choisir son cocontractant ainsi que de déterminer le contenu et la forme du contrat, dans les limites fixées par la loi<ref>{{Lien web | titre = Article 1102 du Code civil | url = https://www.legifrance.gouv.fr/codes/article_lc/LEGIARTI000032040782 | site = Légifrance | consulté le = 5 octobre 2026 }}</ref>. Cette liberté est toutefois particulièrement encadrée en droit du travail par de nombreuses dispositions d'[[Ordre public en droit français|ordre public]], auxquelles les parties ne peuvent déroger. Le contrat régulièrement conclu possède également une '''force obligatoire''' : l'article 1103 du Code civil dispose que les contrats légalement formés « tiennent lieu de loi à ceux qui les ont faits »<ref>{{Lien web | titre = Article 1103 du Code civil | url = https://www.legifrance.gouv.fr/codes/article_lc/LEGIARTI000032040777 | site = Légifrance | consulté le = 5 octobre 2026 }}</ref>. Enfin, le contrat de travail présente un caractère '''''[[Intuitu personæ|intuitu personae]]''''' à l'égard du salarié : il est conclu en considération de sa personne, de ses compétences et de ses qualités propres. Le salarié est ainsi personnellement tenu d'exécuter la prestation de travail convenue. == Les promesse d'embauche == Il y a deux situations possibles : * un document écrit qui précise la date d'embauche, la qualification, le lien de travail et l'éventuel période d'essai est une promesse d'embauche. Il n'y a donc pas d'obligation d'embauche mais des dommages et intérêts (DI) possibles si l'embauche ne se réalise pas. Mais l'employeur peu tout a fait contourner ce risque de DI en embauchant la personne et en rompant le contrat pendant la période d'essai. * un dossier qui n'a pas toutes les précédentes caractéristiques est un projet d'embauche. Un contrat de travail non signé devient automatiquement un CDI au bout de 48 heures. === Les principales clauses possibles === * clause de mobilité : ** clause de mutation le salarié s'engage à se déplacer dans d'autres lieux de travail. En cas de refus l'employeur peu procéder au licenciement pour faute grave (refus d'obéissance). La jurisprudence dégage l'obligation pour l'employeur de respecter un délais de prévenance. La mutation doit conserver au moins le même niveau de rémunération. Un salarié muté de Strasbourg (France) à ??? (Roumanie) conservera son salaire, tandis qu'un salarié muté de Woustviller (Moselle, France) à Paris devra être augmenté de manière a compenser la différence du coût de la vie courante. ** clause de déplacement fréquent, obligatoire pour les non-cadres (les cadres ne pouvant la refuser). * clause d'exclusivité : engagement du salarié à ne pas travailler que pour son employeur (aucune autre activité professionnelle concurrente ou non). Elle n'est légal que dans certains cas (ce qui exclus les contrats à temps partiel et n'inclus que les postes à responsabilité fortement rémunéré). Elles toutefois souvent ajoutés dans pour tout type de poste, elle n'a alors simplement aucune valeur légale (mais peu rester dissuasive pour l'employé mal informé). * clause de dédit-formation : le salarié qui a suivi une formation doit la rembourser s'il veut quitter l'entreprise. C'est donc un engagement du salarié à rembourser la formation obtenu ''en début'' de contrat ou à ne pas démissionner et rester un certain temps proportionnellement au prix de la formation. Cela ne s'applique donc pas aux formations suivis dans le cadre du droit individuel à la formation (DIF), l'employeur ne peut empêcher perpétuellement le départ par des formations régulières comme c’était le cas des corporations avant la révolution de 1789. * clause de non-concurrence : elles ne peuvent s'appliquer que si elles apparaissent dans le contrat et doit répondre aux exigences de la loi et de la jurisprudence. L’idée est d'empêcher aux employeurs de nuire à l'entreprise. C'est une obligation pour le salarié de ne pas travailler pour la concurrence à partir du moment où l’on quitte l'entreprise (démission, licenciement, rupture de la période d'essai, retraite). L'employeur choisi de l'appliquer ou non. Elle est applicable sous trois conditions : * limite professionnelle suffisaient précise si elle est trop large elle n’est pas applicable * limite géographique relative au marché exploité par l'entreprise * limite temporelle (généralement de 1 à {{unité|3|ans}}) Depuis 2003 il y a obligation d'une contrepartie financière. Globalement, c’est au minimum 25% du salaire qui aurait dû être versé pendant la période de non-concurrence. === Les obligations réciproques === ==== Les obligations du salarié ==== Elles existent en dehors de toute clause du contrat, elles sont imposés par la loi. Le salarié à les devoirs suivants : * travailler, c'est-à-dire effectuer consciencieusement le travail demandé. Au cas par cas, jugé par l'employeur qui doit démontrer ce qu’il est normalement attendu d'un homme de l'art. * respecter les directives de l'employeur * discrétion professionnelle qui est à distinguer du secret professionnel qui ne s'applique qu’à certains postes et qui lui relève du pénal. * loyauté ** ne pas faire concurrence à son employeur pendant qu’il est sous contrat ** interdiction de dénigrer en public l'employeur === Les principales obligations de l'employeur === * Fournir au salarié le travail prévu * rémunérer le salarié aux conditions convenus * ne pas faire preuve de discrimination (sexuelle, raciale, religieuse, etc.) à l'égard des salariés et des stagiaires à l'embauche, pendant l'activité et à la fin du contrat. Toutes les décisions de l'employeur doivent reposer sur des critères professionnels. Cela pose la difficulté de la preuve. Ces actes peuvent être sanctionnés jusqu'à deux de prison. * l'employeur ne peut apporter aux libertés individuelles des restrictions qu’il ne saurait justifier par la nature de la tâche à accomplir ou l'objectif économique recherché. * L'employeur doit laisser au salarié une part de vie privée au travail dans un rapport de proportionnalité raisonnable. Les moyens de contrôle du travail doivent respecter la vie privée du salarié. Le moyen de contrôle doit être porté à la connaissance de chacun des salariés de manière individuel et collective, discuté avec les représentants des salariés et surtout être nécessaire au contrôle de de l'activité. Par exemple si l’on met en place une caméra, il faut démontrer que cela à un intérêt pour l'entreprise, par exemple pour éviter le vol par des clients. * obligation générale de résultat en termes de sécurité au profit du salarié. Cette obligation pourrait entraîner des sanctions civiles alourdies en cas de faute inexcusable voire de poursuites pénales pour mise en danger du salarié. Pour atténuer ce principe il existe deux principes : ** la délégation de pouvoir de sécurité ** possibilité de prouver qu'on a tout mis en œuvre pour la sécurité Des plus la loi prévoie que le salarié lui-même doit prendre soin de sa sécurité. == Les pouvoirs de l'employeur == L'employeur dispose de deux pouvoirs encadrés par la loi : * le pouvoir règlementaire ; * le pouvoir disciplinaire. === Pouvoir règlementaire === C'est le règlement intérieur (RI) mis en place par l'employeur. C'est les règles de fonctionnement spécifique à l'entreprise. C'est sur cette base là que l'employeur pourra sanctionner. Le contenu obligatoire et exclusif (ne peut traiter d’autre sujet que cela) : * règles relatives à l'hygiène et à la sécurité ; * les règles relatives à la discipline et aux sanction ; * rappel des règles légales concernant le harcèlement et la discrimination. L'employeur a obligation de renvoyer un employé condamné pour harcèlement. S'il ne le fait pas l'employé peu démissionner et porter plainte pour licenciement abusif, ce qui sera tout à fait valable en justice. Il est obligatoire à partir de 20 salariés, l'employeur doit le soumettre au réprésentant du personnel (RP) et au l'inspecteur du travail (IT), ce dernier peu censurer tout ou parti du RI. Les notes de services si elles sont générales et permanentes (comme le horaires) sont intégrés au RI et s'applique à tous les employés. === Le pouvoir disciplinaire === C'est le pouvoir de sanctionner des comportements considérés comme fautifs par l'employeur. La difficulté et qu’il n'y a pas de définition de faute et que celle_ci est définie arbitrairement par l'employeur. Mais si l'employeur sanctionne abusivement, il peut demander des dommages et intérêts devant les prud'hommes. Le code du travail connaît au moins quatre types de sanctions : * l'avertissement : mise en garde écrite (interdiction de reproduire un comportement), donc tous les écrits de mise en garde sont donc des avertissement (mais la loi ne dit rien sur le nombre d'avertissement, il peut y avoir un tel mécanisme dans le RI, ce qui sera plutôt favorable à l'employé) ; * la mise à pied : exclusion temporaire sans rémunération (maximum 15 jours). Il s'agit d'une mise à pied disciplinaire, elle est à distinguer de la mise à pied conservatoire dans l'attente d'une sanction plus lourde ou l’on est payé (maximum 3 mois) ; * la rétrogradation : redescendre hiérarchiquement (rarement appliquée) ; * le licenciement : ** licenciement pour faute (réel et) sérieuse : tout dépendra des circonstances, c’est un comportement suffisamment grave pour mettre fin au contrat sans la nécessité d'un départ immédiat. Par exemple les absences injustifiées et répétées ou les insultes entre collègues. Conséquence : préavis plus indemnités de licenciement plus indemnités de congés payés (le cas échéant) plus droit à l’assurance chômage ** licenciement pour faute grave : tellement grave que l'employé doit quitter immédiatement son poste. L'employeur de prouver le caractère grave. Il peut s'agir de la désobéissance, l'abandon de poste (venir à {{unité|8|{{abréviation|h|heure}}}} et partir à {{unité|9|{{abréviation|h|heure}}}}), insulte à l'employeur, violence sur collègues ou clients. Conséquences : aucun indemnité sauf congés payés s'il y a lieu. En principe pas d'assurance chômage, mais souvent accordé avec délai de carence. ** faute grave plus pour volonté de nuire à l'entreprise. Exemple vol important, ou destruction volontaire. Aucune indemnité et pas de chômage. === La procédure de sanction === Pour une même faute on ne peut faire appliquer qu'une seule sanction : il n’est pas possible de modifier la sanction en cours de procédure. La procédure de sanction est valable pour toutes les sanctions sauf l'avertissement (remise du document). Elle se déroule en trois temps : * convocation à un entretien préalable à la sanction par lettre avec accusé de réception (LAAR) avec précision de la possibilité de se faire assister par une personne de l'entreprise ou une personne présente sur une liste préfectorale. Sans cela la sanction ne peut être appliqué. La lettre doit être envoyée au moins trois jours avant l'entretien, cinq pour le cadre (d'ôù la mise en pied conservatoire). * l'entretien : l'employeur présente ses reproches et le salarié se défend. * le cas échéant envoie d'une notification par une LAAR entre 2 jours à 1 mois après l'entretien. L'employeur ne peut pas sanctionner deux fois une même faute. L'employeur ne peut pas sanctionner pécuniairement le salarié. Une faute constaté depuis plus de deux ne peu plus être sanctionnée. Un comportement sanctionné plus de trois années auparavant elle ne peut plus être invoquer. === Les limites === Le contrepouvoir du conseil des prudhommes. C'est l'employeur qui sanctionne d’abord puis le cas échant le salarié qui conteste la sanction devant le CPH. Le CPH va vérifier si la sanction est proportionnelle à la faute commise et si ce n’est pas le cas il pourra annuler la sanction mais pas la modifier (impossibilité de requalification) Mécanisme valable sauf pour le licenciement (non annulable mais dommages et intérêts importants si le licenciement est abusif et injustifié) La lutte contre le harcèlement : * le harcèlement sexuel : tous les comportements qui seraient susceptible de faire une demande de nature sexuelle . peuvent être sanctionné pénalement ({{unité|1|an}} de prison) tous les comportements consistants à obtenir des faveurs de nature sexuelle au travail. La victime doit amener des éléments de preuve et l'accusé doit prouver son innocence. L'employeur doit réagir dès qu’il est informé au risque d’être accusé de complexité. * le harcèlement moral : les comportements répétés de collègues ou de supérieurs hiérarchiques qui auraient pour conséquence des dégradations de la santé ou des conditions de travail du salarié. Exemple : le insultes, le dénigrement systématique, le comportement vexatoire et le retrait injustifié des moyens de travail. Même mécanisme de preuve et de sanction que pour le harcèlement sexuel. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = droit | précédent = [[../Introduction/]] | suivant = [[../Obligations en matière d'hygiène et de sécurité/]] }} 0hb48r1peokzioibbd53ehs9q79c556 987147 987145 2026-10-05T21:59:54Z Alkapone67 81117 987147 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | titre_leçon = Droit du travail en France | idfaculté = droit | numéro = 2 | précédent = [[../Introduction/]] | suivant = [[../Obligations en matière d'hygiène et de sécurité/]] | niveau = 15 }} Le [[contrat de travail en France|contrat de travail]] constitue le fondement de la relation individuelle de travail entre un [[employeur]] et un [[salarié]]. Il est soumis à la fois aux règles générales du [[Droit des contrats en France|droit des contrats]] et aux dispositions particulières du [[Code du travail (France)|Code du travail]]<ref name="L1221-1">Code du travail, art. L. 1221-1.</ref>. Le [[contrat de travail à durée indéterminée]] (CDI) constitue la forme normale et générale de la relation de travail<ref>Code du travail, art. L. 1221-2.</ref>. Des contrats particuliers, notamment le [[contrat de travail à durée déterminée]] (CDD) ou le contrat de travail temporaire, ne peuvent être conclus que dans les cas et aux conditions prévus par la loi. == La notion de contrat de travail == Le Code du travail ne donne pas de définition générale du contrat de travail. Sa qualification résulte principalement de la [[Jurisprudence en droit français|jurisprudence]]. L'existence d'un contrat de travail suppose classiquement la réunion de trois éléments : * une '''prestation de travail''' effectuée pour le compte d'autrui ; * une '''rémunération''' versée en contrepartie de cette prestation ; * un '''lien de subordination juridique''' entre le travailleur et celui pour lequel le travail est accompli. La [[Cour de cassation (France)|Cour de cassation]] définit le lien de subordination comme l'exécution d'un travail sous l'autorité d'un employeur disposant du pouvoir de donner des ordres et des directives, d'en contrôler l'exécution et de sanctionner les manquements du travailleur. Le travail au sein d'un service organisé peut constituer un indice de subordination lorsque l'employeur détermine unilatéralement les conditions d'exécution du travail<ref name="Soc1996">Cour de cassation, chambre sociale, 13 novembre 1996, n° 94-13.187, publié au Bulletin.</ref>. La qualification donnée par les parties à leur relation n'est pas déterminante. Le juge recherche les '''conditions réelles dans lesquelles l'activité est exercée'''. Une personne présentée comme travailleur indépendant peut ainsi être reconnue comme salariée si les conditions concrètes d'exercice de son activité révèlent l'existence d'un lien de subordination. === Forme du contrat et informations remises au salarié === Le contrat de travail est soumis aux règles du droit commun et peut, en principe, être établi selon les formes que les parties décident d'adopter<ref name="L1221-1" />. Un CDI à temps complet peut donc, sauf disposition conventionnelle particulière, ne pas faire l'objet d'un contrat écrit. Cette absence éventuelle d'écrit ne dispense toutefois pas l'employeur de remettre au salarié les informations exigées par la loi concernant les éléments essentiels de la relation de travail. Ces informations portent notamment sur l'identité des parties, le lieu de travail, l'emploi occupé, la date d'embauche, la rémunération, la durée du travail, les congés, la période d'essai éventuelle et la convention collective applicable<ref>Code du travail, art. L. 1221-5-1 et R. 1221-34.</ref>. Une partie de ces informations doit être communiquée au salarié au plus tard dans les '''sept jours calendaires''' suivant l'embauche et les autres dans un délai maximal d''''un mois'''<ref>Code du travail, art. R. 1221-35.</ref>. Lorsqu'un contrat écrit est établi, il doit être rédigé en français. Le salarié étranger peut, à sa demande, obtenir une traduction dans sa langue<ref>Code du travail, art. L. 1221-3.</ref>. Certaines formes de contrats doivent obligatoirement être écrites. C'est notamment le cas : * du [[contrat de travail à durée déterminée]], qui doit comporter la définition précise de son motif<ref>Code du travail, art. L. 1242-12.</ref> ; * du contrat de travail à temps partiel<ref>Code du travail, art. L. 3123-6.</ref> ; * du contrat de travail temporaire ; * de certains contrats particuliers prévus par la loi. Le CDD doit être transmis au salarié au plus tard dans les '''deux jours ouvrables suivant l'embauche'''<ref>Code du travail, art. L. 1242-13.</ref>. Contrairement à une idée parfois répandue, le seul dépassement de ce délai n'entraîne pas automatiquement la requalification du contrat en CDI. Le retard de transmission ouvre droit, dans les conditions prévues par la loi, à une indemnité qui ne peut être supérieure à un mois de salaire<ref>Code du travail, art. L. 1245-1.</ref>. == La formation du contrat de travail == === Le recrutement === L'employeur dispose d'une liberté de choix lors du recrutement, mais celle-ci est encadrée par la loi. Les informations demandées à un candidat ne peuvent avoir pour finalité que d'apprécier sa capacité à occuper l'emploi proposé ou ses aptitudes professionnelles. Elles doivent présenter un '''lien direct et nécessaire''' avec l'emploi ou l'évaluation des aptitudes professionnelles. Le candidat est tenu d'y répondre de bonne foi<ref>Code du travail, art. L. 1221-6.</ref>. Le candidat doit être préalablement informé des méthodes et techniques d'aide au recrutement utilisées à son égard. Les résultats obtenus sont confidentiels et les méthodes utilisées doivent être pertinentes au regard de la finalité poursuivie<ref>Code du travail, art. L. 1221-8.</ref>. Aucune personne ne peut être écartée d'une procédure de recrutement en raison d'un [[Discrimination à l'embauche|motif discriminatoire]] prohibé par la loi, notamment en raison de son origine, de son sexe, de sa situation de famille, de son âge, de son état de santé, de son handicap, de ses opinions politiques, de ses activités syndicales ou de ses convictions religieuses<ref>Code du travail, art. L. 1132-1.</ref>. === Les règles générales des contrats === Le contrat de travail est soumis aux conditions générales de validité des contrats prévues par le [[Code civil (France)|Code civil]], auxquelles s'ajoutent les règles particulières du droit du travail. L'article 1128 du Code civil exige trois conditions pour la validité d'un contrat : * le '''consentement des parties''' ; * leur '''capacité de contracter''' ; * un '''contenu licite et certain'''<ref>Code civil, art. 1128.</ref>. ==== Le consentement ==== Le consentement de l'employeur comme celui du salarié doit être libre et éclairé. Il peut être vicié par : * '''l'erreur''', lorsqu'elle porte sur les qualités essentielles de la prestation ou, dans les cas prévus par la loi, sur celles du cocontractant ; * '''le dol''', qui peut résulter de manœuvres, de mensonges ou de la dissimulation intentionnelle d'une information déterminante ; * '''la violence''', lorsqu'une partie contracte sous l'effet d'une contrainte répondant aux conditions prévues par le Code civil<ref>Code civil, art. 1130 et suivants.</ref>. Le dol ne se confond donc pas avec l'[[escroquerie en droit français|escroquerie]], qui constitue une infraction pénale distincte. ==== La capacité ==== Toute personne physique peut contracter sauf incapacité prévue par la loi<ref>Code civil, art. 1145.</ref>. Des règles particulières s'appliquent notamment aux mineurs non émancipés et aux majeurs faisant l'objet de certaines mesures de protection juridique. Ces règles de capacité se combinent avec les dispositions spécifiques du Code du travail relatives notamment à l'âge minimal d'admission au travail et à l'apprentissage. ==== Liberté contractuelle et ordre public ==== Le contrat de travail relève du principe de la '''liberté contractuelle''' : chacun est en principe libre de contracter ou de ne pas contracter, de choisir son cocontractant et de déterminer le contenu du contrat dans les limites fixées par la loi<ref>Code civil, art. 1102.</ref>. Cette liberté est néanmoins fortement encadrée en droit du travail par des règles d'[[ordre public]], destinées notamment à protéger le salarié et auxquelles les parties ne peuvent pas librement déroger. Le contrat légalement formé possède une '''force obligatoire''' entre les parties<ref>Code civil, art. 1103.</ref>. Il doit par ailleurs être négocié, formé et exécuté de bonne foi<ref>Code civil, art. 1104 ; Code du travail, art. L. 1222-1.</ref>. Le contrat de travail présente enfin un caractère '''''[[Intuitu personæ|intuitu personae]]''''' à l'égard du salarié : l'employeur recrute une personne déterminée en considération notamment de ses compétences et de ses qualités professionnelles. Le salarié doit donc personnellement fournir la prestation de travail convenue. === L'offre et la promesse unilatérale de contrat de travail === Depuis plusieurs arrêts rendus le 21 septembre 2017, la Cour de cassation distingue '''l'offre de contrat de travail''' de la '''promesse unilatérale de contrat de travail'''<ref name="Promesse2017">Cour de cassation, chambre sociale, 21 septembre 2017, n° 16-20.104, publié au Bulletin.</ref>. L''''offre de contrat de travail''' est l'acte par lequel un employeur propose un engagement en précisant notamment l'emploi, la rémunération et la date d'entrée en fonction et manifeste sa volonté d'être lié en cas d'acceptation. L'offre peut être rétractée tant qu'elle n'est pas parvenue à son destinataire. Sa rétractation avant l'expiration du délai fixé par son auteur ou, à défaut, avant l'expiration d'un délai raisonnable empêche la conclusion du contrat mais peut engager la responsabilité extracontractuelle de son auteur<ref name="Promesse2017" />. La '''promesse unilatérale de contrat de travail''' constitue en revanche un contrat par lequel l'employeur accorde au bénéficiaire le droit d'opter pour la conclusion d'un contrat de travail dont l'emploi, la rémunération et la date d'entrée en fonction sont déterminés et pour lequel ne manque plus que le consentement du bénéficiaire. La révocation de la promesse pendant le délai laissé au bénéficiaire pour opter n'empêche pas la formation du contrat promis<ref name="Promesse2017" />. Il n'existe donc pas de règle générale selon laquelle un simple « projet d'embauche » ou l'absence de signature du contrat pendant quarante-huit heures transformerait automatiquement la relation en CDI. === La période d'essai === La [[période d'essai]] permet à l'employeur d'évaluer les compétences du salarié dans son travail et au salarié d'apprécier si les fonctions occupées lui conviennent<ref>Code du travail, art. L. 1221-20.</ref>. La période d'essai et la possibilité de la renouveler '''ne se présument pas''' : elles doivent être expressément stipulées dans la lettre d'engagement ou le contrat de travail<ref>Code du travail, art. L. 1221-23.</ref>. Pour un CDI, sa durée initiale maximale est de : * '''deux mois''' pour les ouvriers et employés ; * '''trois mois''' pour les agents de maîtrise et techniciens ; * '''quatre mois''' pour les cadres<ref>Code du travail, art. L. 1221-19.</ref>. Elle ne peut être renouvelée qu'une seule fois et seulement lorsqu'un accord de branche étendu le prévoit. Cet accord fixe les conditions et les durées du renouvellement. La possibilité de renouvellement doit également être expressément stipulée dans le contrat ou la lettre d'engagement<ref>Code du travail, art. L. 1221-21 et L. 1221-23.</ref>. Renouvellement compris, la durée maximale ne peut en principe excéder quatre mois pour les ouvriers et employés, six mois pour les agents de maîtrise et techniciens et huit mois pour les cadres. Lorsqu'il rompt la période d'essai, l'employeur doit, sous les conditions prévues par la loi, respecter un délai de prévenance de : * 24 heures lorsque le salarié est présent depuis moins de huit jours ; * 48 heures entre huit jours et un mois de présence ; * deux semaines après un mois de présence ; * un mois après trois mois de présence<ref>Code du travail, art. L. 1221-25.</ref>. Lorsque la rupture est décidée par le salarié, le délai de prévenance est de 48 heures, ramené à 24 heures si sa présence dans l'entreprise est inférieure à huit jours<ref>Code du travail, art. L. 1221-26.</ref>. == Les principales clauses du contrat de travail == Les clauses du contrat de travail sont soumises à la loi, aux conventions et accords collectifs applicables ainsi qu'au principe selon lequel aucune restriction aux droits et libertés des personnes ne peut être apportée si elle n'est pas justifiée par la nature de la tâche à accomplir et proportionnée au but recherché<ref name="L1121-1">Code du travail, art. L. 1121-1.</ref>. === La clause de mobilité === La '''clause de mobilité''' permet de prévoir contractuellement que le lieu de travail du salarié pourra être modifié à l'intérieur d'une zone géographique déterminée. Pour être valable, la clause doit définir de manière suffisamment précise sa '''zone géographique d'application'''. Elle ne peut pas conférer à l'employeur le pouvoir d'en étendre unilatéralement la portée<ref>Voir notamment Cour de cassation, chambre sociale, 10 avril 2013, n° 11-28.480.</ref>. Même lorsqu'elle est valable, sa mise en œuvre doit être effectuée de bonne foi et ne doit pas porter aux droits du salarié une atteinte qui ne serait ni justifiée ni proportionnée. Les conséquences d'un refus du salarié dépendent donc des circonstances de l'espèce : le refus d'une mutation prévue par une clause de mobilité ne constitue pas automatiquement une faute grave. La clause de mobilité ne doit pas être confondue avec les déplacements professionnels inhérents aux fonctions exercées. === La clause d'exclusivité === La '''clause d'exclusivité''' interdit au salarié d'exercer, pendant la durée de son contrat, une autre activité professionnelle. Parce qu'elle porte atteinte à la liberté du travail, une telle clause ne peut être admise que si elle est '''indispensable à la protection des intérêts légitimes de l'entreprise''', justifiée par la nature des fonctions confiées au salarié et proportionnée au but recherché<ref name="L1121-1" />. Son utilisation est particulièrement encadrée pour les salariés travaillant à temps partiel. La clause d'exclusivité ne doit pas être confondue avec l''''obligation de loyauté''' qui découle de l'exécution de bonne foi du contrat. Même en l'absence de clause d'exclusivité, le salarié ne peut exercer une activité directement concurrente dans des conditions constituant un manquement à son obligation de loyauté. === La clause de dédit-formation === La '''clause de dédit-formation''' peut prévoir que le salarié qui quitte l'entreprise avant l'expiration d'une certaine durée rembourse tout ou partie de frais de formation spécialement exposés par l'employeur. La validité d'une telle clause suppose notamment que : * le financement supporté par l'employeur dépasse les dépenses qui lui sont imposées par la loi ou la convention collective ; * le montant demandé au salarié soit proportionné aux frais réellement engagés ; * la clause ne prive pas le salarié de sa faculté de démissionner ; * les conditions de la formation et du remboursement soient déterminées avant le début de celle-ci. La clause ne permet pas à l'employeur d'obtenir le remboursement des salaires versés au salarié pendant la formation<ref>Direction de l'information légale et administrative, « Clause de dédit-formation », Service-Public.fr, consulté le 5 octobre 2026.</ref>. === La clause de non-concurrence === La '''clause de non-concurrence''' produit ses effets après la rupture du contrat de travail. Elle limite la possibilité pour l'ancien salarié d'exercer certaines activités concurrentes. Selon une jurisprudence constante de la Cour de cassation, une clause de non-concurrence n'est licite que si elle est : * indispensable à la protection des intérêts légitimes de l'entreprise ; * limitée dans le temps ; * limitée dans l'espace ; * adaptée aux spécificités de l'emploi du salarié ; * assortie d'une '''contrepartie financière''' versée au salarié<ref name="NonConcurrence">Cour de cassation, chambre sociale, 10 juillet 2002, n° 00-45.135, publié au Bulletin.</ref>. Ces conditions sont cumulatives. Il n'existe pas de taux légal général fixant la contrepartie financière à 25 % du salaire. Son montant peut être prévu par le contrat ou la convention collective, mais il ne doit pas être dérisoire. La possibilité pour l'employeur de renoncer à la clause dépend des stipulations contractuelles ou conventionnelles applicables et doit être exercée dans les conditions et délais qui y sont prévus. == L'exécution du contrat de travail == Le contrat de travail doit être exécuté de '''bonne foi'''<ref name="L1222-1">Code du travail, art. L. 1222-1.</ref>. Cette exigence s'impose aussi bien à l'employeur qu'au salarié. === Les principales obligations du salarié === Le salarié doit notamment : * exécuter personnellement et consciencieusement le travail convenu ; * respecter les directives licites données par l'employeur dans le cadre de son pouvoir de direction ; * respecter les dispositions applicables du règlement intérieur et les règles relatives à la santé et à la sécurité ; * exécuter son contrat de bonne foi et respecter son obligation de loyauté ; * ne pas exercer une activité concurrente dans des conditions constituant un manquement à cette obligation de loyauté ; * respecter, lorsque la nature de ses fonctions le justifie, les obligations de confidentialité auxquelles il est soumis. Le salarié dispose néanmoins de ses libertés fondamentales, notamment de sa [[liberté d'expression]]. Celles-ci ne disparaissent pas du seul fait de l'existence d'un contrat de travail. Des restrictions ne peuvent être apportées que dans les conditions prévues par l'article L. 1121-1 du Code du travail. En matière de santé et de sécurité, chaque travailleur doit prendre soin, en fonction de sa formation et selon ses possibilités, de sa santé et de sa sécurité ainsi que de celles des autres personnes concernées par ses actes ou omissions au travail<ref>Code du travail, art. L. 4122-1.</ref>. Cette obligation ne remet pas en cause le principe de responsabilité de l'employeur. === Les principales obligations de l'employeur === L'employeur doit notamment fournir au salarié le travail convenu et lui verser la rémunération prévue. Il doit exécuter le contrat de travail de bonne foi<ref name="L1222-1" /> et respecter les droits et libertés du salarié. Les restrictions qu'il leur apporte doivent être justifiées par la nature de la tâche à accomplir et proportionnées au but recherché<ref name="L1121-1" />. L'employeur ne peut prendre aucune mesure discriminatoire à l'encontre d'un salarié pour un motif prohibé par la loi<ref>Code du travail, art. L. 1132-1.</ref>. Il doit également respecter la vie personnelle du salarié et les règles applicables à la collecte de données. Aucune information concernant personnellement un salarié ne peut être collectée par un dispositif qui n'a pas été préalablement porté à sa connaissance<ref>Code du travail, art. L. 1222-4.</ref>. L'installation et l'utilisation de dispositifs de contrôle doivent en outre respecter les règles relatives à la protection des données personnelles ainsi que le principe de proportionnalité. Enfin, l'employeur doit prendre les mesures nécessaires pour assurer la sécurité et protéger la santé physique et mentale des travailleurs. Ces mesures comprennent des actions de prévention des risques professionnels, des actions d'information et de formation ainsi que la mise en place d'une organisation et de moyens adaptés<ref>Code du travail, art. L. 4121-1.</ref>. Cette obligation implique une démarche effective de '''prévention des risques professionnels'''. La présentation ancienne de l'obligation de sécurité comme une simple « obligation de résultat » ne rend plus compte, à elle seule, de l'état actuel du droit positif et de la jurisprudence. == Les pouvoirs de l'employeur == Le lien de subordination confère à l'employeur un '''pouvoir de direction''', qui comprend notamment le pouvoir d'organiser le travail, d'édicter certaines règles applicables dans l'entreprise et de sanctionner les manquements professionnels. Ces pouvoirs ne sont toutefois pas discrétionnaires. Ils sont encadrés par la loi, les conventions et accords collectifs, le contrat de travail, les droits fondamentaux des salariés et le contrôle du juge. === Le pouvoir réglementaire : le règlement intérieur === Le [[règlement intérieur en droit du travail français|règlement intérieur]] est un document écrit par lequel l'employeur fixe notamment : * les mesures d'application de la réglementation en matière de santé et de sécurité ; * les conditions dans lesquelles les salariés peuvent être appelés à participer au rétablissement de conditions de travail protectrices de leur santé et de leur sécurité ; * les règles générales et permanentes relatives à la discipline, notamment la nature et l'échelle des sanctions pouvant être prononcées<ref>Code du travail, art. L. 1321-1.</ref>. Il rappelle également les dispositions relatives aux droits de la défense des salariés, au harcèlement moral et sexuel, aux agissements sexistes ainsi qu'à la protection des lanceurs d'alerte<ref>Code du travail, art. L. 1321-2.</ref>. Le règlement intérieur est obligatoire dans les entreprises ou établissements employant '''au moins 50 salariés'''. Cette obligation s'applique au terme d'un délai de '''douze mois''' à compter de la date à laquelle ce seuil a été atteint<ref name="RI50">Code du travail, art. L. 1311-2.</ref>. Le règlement intérieur ne peut contenir : * des dispositions contraires aux lois, règlements ou conventions et accords collectifs applicables ; * des restrictions aux droits et libertés qui ne seraient pas justifiées par la nature de la tâche à accomplir ni proportionnées au but recherché ; * des dispositions discriminatoires<ref>Code du travail, art. L. 1321-3.</ref>. Depuis le 28 mai 2026, l'article L. 1321-4 du Code du travail prévoit que le règlement intérieur ne peut être introduit qu'après avoir été soumis à l''''avis du comité social et économique''' (CSE). Il doit indiquer sa date d'entrée en vigueur, qui doit être postérieure d'au moins un mois à l'accomplissement des formalités de publicité. En même temps qu'il fait l'objet de ces mesures de publicité, il est communiqué à l'inspecteur du travail avec l'avis du CSE<ref>Code du travail, art. L. 1321-4, dans sa rédaction issue de la loi n° 2026-403 du 26 mai 2026, applicable depuis le 28 mai 2026.</ref>. Les notes de service ou autres documents comportant des obligations générales et permanentes relevant des matières du règlement intérieur sont, lorsqu'ils répondent aux conditions légales, considérés comme des adjonctions au règlement intérieur<ref>Code du travail, art. L. 1321-5.</ref>. L'[[Inspection du travail en France|inspecteur du travail]] peut exiger le retrait ou la modification des dispositions du règlement intérieur contraires aux prescriptions légales<ref>Code du travail, art. L. 1322-1.</ref>. === Le pouvoir disciplinaire === Constitue une '''sanction disciplinaire''' toute mesure, autre que les observations verbales, prise par l'employeur à la suite d'un agissement du salarié considéré par l'employeur comme fautif, lorsque cette mesure est de nature à affecter immédiatement ou non la présence du salarié dans l'entreprise, sa fonction, sa carrière ou sa rémunération<ref>Code du travail, art. L. 1331-1.</ref>. Les amendes et autres '''sanctions pécuniaires''' sont interdites<ref>Code du travail, art. L. 1331-2.</ref>. ==== Les principales sanctions ==== Selon la gravité des faits, les dispositions conventionnelles applicables et, lorsqu'il existe, le règlement intérieur, les sanctions peuvent notamment prendre la forme : * d'un avertissement ou d'un blâme ; * d'une mise à pied disciplinaire ; * d'une mutation disciplinaire ; * d'une rétrogradation, lorsque les conditions juridiques de sa mise en œuvre sont réunies ; * d'un licenciement disciplinaire. Lorsque l'entreprise est soumise à l'obligation d'établir un règlement intérieur, l'employeur doit respecter la nature et l'échelle des sanctions qui y sont prévues. La '''mise à pied disciplinaire''' constitue une sanction. Sa durée maximale n'est pas fixée de manière générale à quinze jours par le Code du travail : elle dépend notamment des dispositions du règlement intérieur et, le cas échéant, de la convention collective. Elle doit être distinguée de la '''mise à pied conservatoire''', qui n'est pas en elle-même une sanction disciplinaire mais une mesure provisoire pouvant être prise lorsque les faits reprochés paraissent rendre impossible le maintien du salarié à son poste pendant le déroulement de la procédure. ==== Faute simple, faute grave et faute lourde ==== Le Code du travail ne fournit pas une définition générale de tous les degrés de faute disciplinaire ; leur qualification résulte largement de la jurisprudence. La '''faute simple''' peut justifier une sanction disciplinaire et, lorsqu'elle constitue une cause réelle et sérieuse, un licenciement. Le salarié licencié pour faute simple conserve, sous réserve des conditions légales applicables, le bénéfice du préavis et de l'indemnité légale ou conventionnelle de licenciement. La '''faute grave''' est celle dont la gravité rend impossible le maintien du salarié dans l'entreprise, y compris pendant la durée du préavis. Elle prive en principe le salarié de l'indemnité de licenciement et de l'indemnité compensatrice de préavis. En revanche, l'indemnité compensatrice de congés payés reste due. La '''faute lourde''' suppose en outre une intention de nuire à l'employeur. Elle prive également le salarié de l'indemnité de licenciement et du préavis, mais non de l'indemnité compensatrice de congés payés. Le licenciement pour faute grave ou lourde ne prive pas, par lui-même, le salarié de l'[[allocation d'aide au retour à l'emploi]]. Le licenciement constitue une perte involontaire d'emploi au regard de l'assurance chômage ; le salarié peut donc être indemnisé s'il remplit par ailleurs les conditions d'attribution de l'allocation<ref>France Travail, « Je suis licencié(e) pour raison personnelle », consulté le 5 octobre 2026.</ref>. ==== La procédure disciplinaire ==== Aucun fait fautif ne peut, à lui seul, donner lieu à l'engagement de poursuites disciplinaires plus de '''deux mois''' après le jour où l'employeur en a eu connaissance, sauf lorsque le fait a donné lieu, dans ce même délai, à l'exercice de poursuites pénales<ref name="L1332-4">Code du travail, art. L. 1332-4.</ref>. Lorsqu'une sanction autre qu'un avertissement ou une sanction de même nature sans incidence sur la présence dans l'entreprise, la fonction, la carrière ou la rémunération est envisagée, l'employeur doit convoquer le salarié à un entretien<ref name="L1332-2">Code du travail, art. L. 1332-2.</ref>. Lors de cet entretien, le salarié peut se faire assister par une personne de son choix '''appartenant au personnel de l'entreprise'''. L'employeur expose le motif de la sanction envisagée et recueille les explications du salarié. La sanction ne peut être prononcée '''moins de deux jours ouvrables ni plus d'un mois''' après la date fixée pour l'entretien. Elle doit être motivée et notifiée au salarié<ref name="L1332-2" />. Lorsque la sanction envisagée est un [[licenciement pour motif personnel]], les règles particulières de la procédure de licenciement s'ajoutent aux règles disciplinaires. L'entretien préalable ne peut notamment avoir lieu moins de '''cinq jours ouvrables''' après la présentation de la lettre recommandée de convocation ou sa remise en main propre<ref>Code du travail, art. L. 1232-2.</ref>. La possibilité, dans certaines procédures de licenciement et en l'absence d'institutions représentatives du personnel dans l'entreprise, de recourir à un [[Conseiller du salarié|conseiller du salarié]] extérieur ne doit pas être confondue avec la règle applicable à l'entretien disciplinaire ordinaire. Une sanction disciplinaire datant de plus de '''trois ans''' ne peut être invoquée à l'appui d'une nouvelle sanction<ref>Code du travail, art. L. 1332-5.</ref>. Un même fait fautif déjà sanctionné ne peut, en principe, être sanctionné une seconde fois en tant que tel, conformément au principe jurisprudentiel de prohibition de la double sanction disciplinaire. ==== Le contrôle du conseil de prud'hommes ==== En cas de contestation d'une sanction disciplinaire, le [[Conseil de prud'hommes (France)|conseil de prud'hommes]] apprécie la régularité de la procédure suivie et vérifie si les faits reprochés sont de nature à justifier la sanction<ref>Code du travail, art. L. 1333-1.</ref>. L'employeur doit fournir les éléments retenus pour prendre la sanction. Au vu de ces éléments et de ceux présentés par le salarié, le juge forme sa conviction ; '''si un doute subsiste, il profite au salarié'''<ref>Code du travail, art. L. 1333-1.</ref>. Le conseil de prud'hommes peut annuler une sanction '''irrégulière en la forme, injustifiée ou disproportionnée'''<ref>Code du travail, art. L. 1333-2.</ref>. Ce régime d'annulation ne s'applique pas au licenciement disciplinaire, dont la contestation est soumise aux règles particulières relatives au licenciement<ref>Code du travail, art. L. 1333-3.</ref>. === Les limites aux pouvoirs de l'employeur === Les pouvoirs de direction, réglementaire et disciplinaire de l'employeur doivent respecter les droits fondamentaux des salariés. Aucune restriction aux droits des personnes et aux libertés individuelles et collectives ne peut être imposée si elle n'est pas justifiée par la nature de la tâche à accomplir et proportionnée au but recherché<ref name="L1121-1" />. De même, aucune sanction, mesure défavorable ou rupture du contrat ne peut être fondée sur un motif discriminatoire prohibé par l'article L. 1132-1 du Code du travail. == Harcèlement moral et harcèlement sexuel == === Le harcèlement moral === Aucun salarié ne doit subir des agissements répétés de [[Harcèlement moral en milieu professionnel|harcèlement moral]] ayant pour objet ou pour effet une dégradation de ses conditions de travail susceptible de porter atteinte à ses droits et à sa dignité, d'altérer sa santé physique ou mentale ou de compromettre son avenir professionnel<ref>Code du travail, art. L. 1152-1.</ref>. L'employeur doit prendre toutes les dispositions nécessaires en vue de prévenir les agissements de harcèlement moral<ref>Code du travail, art. L. 1152-4.</ref>. === Le harcèlement sexuel === Le [[harcèlement sexuel]] est notamment constitué par des propos ou comportements à connotation sexuelle ou sexiste répétés qui : * portent atteinte à la dignité d'une personne en raison de leur caractère dégradant ou humiliant ; * ou créent à son encontre une situation intimidante, hostile ou offensante<ref name="L1153-1">Code du travail, art. L. 1153-1.</ref>. La loi prend également en compte certaines situations dans lesquelles les propos ou comportements proviennent de plusieurs personnes, même lorsque chacune d'elles n'a pas agi de manière répétée. Est également assimilée au harcèlement sexuel toute forme de '''pression grave, même non répétée''', exercée dans le but réel ou apparent d'obtenir un acte de nature sexuelle, que cet acte soit recherché au profit de l'auteur des faits ou d'un tiers<ref name="L1153-1" />. L'employeur doit prendre toutes dispositions nécessaires afin de prévenir les faits de harcèlement sexuel, d'y mettre un terme et de les sanctionner<ref>Code du travail, art. L. 1153-5.</ref>. === Le régime de preuve === En matière de harcèlement, le salarié ou le candidat concerné doit présenter des '''éléments de fait laissant supposer l'existence d'un harcèlement'''. Il appartient alors à la partie défenderesse de démontrer que les agissements en cause ne sont pas constitutifs d'un tel harcèlement et que sa décision repose sur des éléments objectifs qui lui sont étrangers. Le juge forme sa conviction au vu de l'ensemble de ces éléments<ref>Code du travail, art. L. 1154-1.</ref>. Il ne s'agit donc pas, juridiquement, d'affirmer que la personne mise en cause doit « prouver son innocence » : il s'agit d'un '''aménagement de la charge de la preuve''' propre au contentieux civil du travail. Un mécanisme comparable existe en matière de discrimination : le salarié ou candidat présente des éléments laissant supposer l'existence d'une discrimination directe ou indirecte, puis il appartient à la partie défenderesse de démontrer que sa décision est justifiée par des éléments objectifs étrangers à toute discrimination<ref>Code du travail, art. L. 1134-1.</ref>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = droit | précédent = [[../Introduction/]] | suivant = [[../Obligations en matière d'hygiène et de sécurité/]] }} 5fjqezu0x1tj2egse5stossu9nbah5a 0 74477 987136 987135 2026-10-05T12:15:05Z Phl7605 31541 /* En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels */ 987136 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" /> avec «<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928)]]''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>1905</math> par '''Henri Poincaré''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''Hendrik Lorentz''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''Albert Einstein''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''Hendrik Lorentz''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''Pieter Zeeman (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''Henri Poincaré (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''Albert Einstein (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'effet photoélectrique.</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <br> ou encore «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, <br>le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\;E_{M_i}(t)\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <br>et le 2^nd <math>\;\big(</math>au signe près<math>\big)\;</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\;E^{\,0}_{M_i}\;</math> du point <math>\;M_i\;</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique u point et indépendante du référentiel.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : En définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\;t</math>, par <center>«<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> par <center>«<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», </center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\;\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\;t</math>, peut se réécrire selon «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, ce qui revient à une intégrale volumique définie selon <center>«<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>,</center> {{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( S \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, ce qui revient à une intégrale surfacique définie selon <center>«<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et</center> {{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{lin}}(M,\,t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, ce qui revient à une intégrale curviligne définie selon <center>«<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>.</center> === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}Considérant le système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big\{</math>tous les points <math>\;M_i\;</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> soit <math>\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\big\}</math>, l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant définie selon <math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\;</math> soit, en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» puis en reconnaissant dans l'autre facteur «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», <center>l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <br>«<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ;</center> {{Al|5}}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ;</center> {{Al|5}}une 3^ème expression <math>\;\big(</math>très peu utilisée<math>\big)\;</math> peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et de la résultante cinétique newtonienne <ref name="peu intéressant"> C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.</ref>, on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» peut se réécrire selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />.</center> {{Al|5}}<u>Complément</u> : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation <math>\;\big(</math>et de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /><math>\big)</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;</math> et <br>le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>».</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» et le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de <math>\;K_M(t)\;</math> précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«<math>\;K_M(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math>» ou, par permutation circulaire du produit mixte <ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;C\;</math> «<math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;</math></center> {{Al|5}}ou encore, avec <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> et <math>\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> dans lesquelles <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> est le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du point <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> le moment cinétique scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M</math>, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit selon l'expression suivante <math>\;\big(</math>laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» ; </center> {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} n1mrl8q80i3elegfspumka5ag5657lp 987137 987136 2026-10-05T12:42:31Z Phl7605 31541 /* En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels */ 987137 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : En définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\;t</math>, par <center>«<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> par <center>«<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», </center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\;\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\;t</math>, peut se réécrire selon «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, ce qui revient à une intégrale volumique définie selon <center>«<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>,</center> {{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( S \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, ce qui revient à une intégrale surfacique définie selon <center>«<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et</center> {{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{lin}}(M,\,t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, ce qui revient à une intégrale curviligne définie selon <center>«<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>.</center> === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}Considérant le système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big\{</math>tous les points <math>\;M_i\;</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> soit <math>\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\big\}</math>, l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant définie selon <math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\;</math> soit, en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» puis en reconnaissant dans l'autre facteur «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», <center>l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <br>«<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ;</center> {{Al|5}}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ;</center> {{Al|5}}une 3^ème expression <math>\;\big(</math>très peu utilisée<math>\big)\;</math> peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et de la résultante cinétique newtonienne <ref name="peu intéressant"> C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.</ref>, on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» peut se réécrire selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />.</center> {{Al|5}}<u>Complément</u> : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation <math>\;\big(</math>et de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /><math>\big)</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;</math> et <br>le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>».</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» et le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de <math>\;K_M(t)\;</math> précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«<math>\;K_M(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math>» ou, par permutation circulaire du produit mixte <ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;C\;</math> «<math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;</math></center> {{Al|5}}ou encore, avec <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> et <math>\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> dans lesquelles <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> est le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du point <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> le moment cinétique scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M</math>, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit selon l'expression suivante <math>\;\big(</math>laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» ; </center> {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} 1l02v0fvwgazsoyg3unje0xvhmkkri9 987138 987137 2026-10-05T16:15:09Z Phl7605 31541 /* Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels */ 987138 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : En définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\;t</math>, par <center>«<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> par <center>«<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», </center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\;\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\;t</math>, peut se réécrire selon «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, ce qui revient à une intégrale volumique définie selon <center>«<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>,</center> {{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( S \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, ce qui revient à une intégrale surfacique définie selon <center>«<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et</center> {{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{lin}}(M,\,t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, ce qui revient à une intégrale curviligne définie selon <center>«<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>.</center> === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}Considérant le système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big\{</math>tous les points <math>\;M_i\;</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> soit <math>\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\big\}</math>, l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant définie selon <math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\;</math> soit, en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» puis en reconnaissant dans l'autre facteur «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», <center>l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <br>«<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ;</center> {{Al|5}}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ;</center> {{Al|5}}une 3^ème expression <math>\;\big(</math>très peu utilisée<math>\big)\;</math> peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et de la résultante cinétique newtonienne <ref name="peu intéressant"> C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.</ref>, on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» peut se réécrire selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />.</center> {{Al|5}}<u>Complément</u> : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation <math>\;\big(</math>et de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /><math>\big)</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;</math> et <br>le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>».</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» et le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de <math>\;K_M(t)\;</math> précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«<math>\;K_M(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math>» ou, par permutation circulaire du produit mixte <ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;C\;</math> «<math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;</math></center> {{Al|5}}ou encore, avec <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> et <math>\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> dans lesquelles <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> est le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du point <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> le moment cinétique scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M</math>, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit selon l'expression suivante <math>\;\big(</math>laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» ; </center> {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} egilm8kdwh3e99aq1vuq5c1rgr3cvk3 987139 987138 2026-10-05T16:17:15Z Phl7605 31541 /* Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels */ 987139 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : En définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\;t</math>, par <center>«<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> par <center>«<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», </center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\;\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\;t</math>, peut se réécrire selon «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, ce qui revient à une intégrale volumique définie selon <center>«<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>,</center> {{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( S \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, ce qui revient à une intégrale surfacique définie selon <center>«<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et</center> {{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{lin}}(M,\,t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, ce qui revient à une intégrale curviligne définie selon <center>«<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>.</center> === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}Considérant le système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big\{</math>tous les points <math>\;M_i\;</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> soit <math>\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\big\}</math>, l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant définie selon <math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\;</math> soit, en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» puis en reconnaissant dans l'autre facteur «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», <center>l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <br>«<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ;</center> {{Al|5}}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ;</center> {{Al|5}}une 3^ème expression <math>\;\big(</math>très peu utilisée<math>\big)\;</math> peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et de la résultante cinétique newtonienne <ref name="peu intéressant"> C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.</ref>, on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» peut se réécrire selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />.</center> {{Al|5}}<u>Complément</u> : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation <math>\;\big(</math>et de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /><math>\big)</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;</math> et <br>le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>».</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» et le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de <math>\;K_M(t)\;</math> précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«<math>\;K_M(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math>» ou, par permutation circulaire du produit mixte <ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;C\;</math> «<math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;</math></center> {{Al|5}}ou encore, avec <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> et <math>\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> dans lesquelles <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> est le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du point <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> le moment cinétique scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M</math>, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit selon l'expression suivante <math>\;\big(</math>laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» ; </center> {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} qdlxjy4rla7b50svlaaxaztixifwmjw 987140 987139 2026-10-05T16:18:16Z Phl7605 31541 /* Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels */ 987140 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : En définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\;t</math>, par <center>«<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> par <center>«<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», </center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\;\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\;t</math>, peut se réécrire selon «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, ce qui revient à une intégrale volumique définie selon <center>«<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>,</center> {{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( S \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, ce qui revient à une intégrale surfacique définie selon <center>«<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et</center> {{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{lin}}(M,\,t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, ce qui revient à une intégrale curviligne définie selon <center>«<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>.</center> === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}Considérant le système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big\{</math>tous les points <math>\;M_i\;</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> soit <math>\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\big\}</math>, l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant définie selon <math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\;</math> soit, en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» puis en reconnaissant dans l'autre facteur «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», <center>l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <br>«<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ;</center> {{Al|5}}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ;</center> {{Al|5}}une 3^ème expression <math>\;\big(</math>très peu utilisée<math>\big)\;</math> peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et de la résultante cinétique newtonienne <ref name="peu intéressant"> C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.</ref>, on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» peut se réécrire selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />.</center> {{Al|5}}<u>Complément</u> : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation <math>\;\big(</math>et de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /><math>\big)</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;</math> et <br>le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>».</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» et le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de <math>\;K_M(t)\;</math> précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«<math>\;K_M(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math>» ou, par permutation circulaire du produit mixte <ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;C\;</math> «<math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;</math></center> {{Al|5}}ou encore, avec <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> et <math>\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> dans lesquelles <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> est le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du point <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> le moment cinétique scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M</math>, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit selon l'expression suivante <math>\;\big(</math>laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» ; </center> {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} 52pv7prw0jlis09l2jic19nu768vkym 987141 987140 2026-10-05T16:21:53Z Phl7605 31541 /* En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels */ 987141 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : En définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\;t</math>, par <center>«<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> par <center>«<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», </center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\;\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\;t</math>, peut se réécrire selon «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, ce qui revient à une intégrale volumique définie selon <center>«<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>,</center> {{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( S \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, ce qui revient à une intégrale surfacique définie selon <center>«<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et</center> {{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{lin}}(M,\,t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, ce qui revient à une intégrale curviligne définie selon <center>«<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>.</center> === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}Considérant le système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big\{</math>tous les points <math>\;M_i\;</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> soit <math>\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\big\}</math>, l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant définie selon <math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\;</math> soit, en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» puis en reconnaissant dans l'autre facteur «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», <center>l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <br>«<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ;</center> {{Al|5}}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ;</center> {{Al|5}}une 3^ème expression <math>\;\big(</math>très peu utilisée<math>\big)\;</math> peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et de la résultante cinétique newtonienne <ref name="peu intéressant"> C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.</ref>, on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» peut se réécrire selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />.</center> {{Al|5}}<u>Complément</u> : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation <math>\;\big(</math>et de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /><math>\big)</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;</math> et <br>le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>».</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» et le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de <math>\;K_M(t)\;</math> précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«<math>\;K_M(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math>» ou, par permutation circulaire du produit mixte <ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;C\;</math> «<math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;</math></center> {{Al|5}}ou encore, avec <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> et <math>\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> dans lesquelles <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> est le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du point <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> le moment cinétique scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M</math>, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit selon l'expression suivante <math>\;\big(</math>laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» ; </center> {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} 90gqywibszxein5s5gilyfe8oh8h804 987144 987141 2026-10-05T21:48:16Z Phl7605 31541 /* En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels */ 987144 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" />{{,}} <ref> «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2 \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» correspondant à l'énergie totale du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse du point.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : En définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\;t</math>, par <center>«<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> par <center>«<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», </center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\;\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\;t</math>, peut se réécrire selon «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, ce qui revient à une intégrale volumique définie selon <center>«<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>,</center> {{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( S \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, ce qui revient à une intégrale surfacique définie selon <center>«<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et</center> {{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{lin}}(M,\,t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, ce qui revient à une intégrale curviligne définie selon <center>«<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>.</center> === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}Considérant le système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big\{</math>tous les points <math>\;M_i\;</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> soit <math>\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\big\}</math>, l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant définie selon <math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\;</math> soit, en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» puis en reconnaissant dans l'autre facteur «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», <center>l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <br>«<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ;</center> {{Al|5}}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ;</center> {{Al|5}}une 3^ème expression <math>\;\big(</math>très peu utilisée<math>\big)\;</math> peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et de la résultante cinétique newtonienne <ref name="peu intéressant"> C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.</ref>, on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» peut se réécrire selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />.</center> {{Al|5}}<u>Complément</u> : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation <math>\;\big(</math>et de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /><math>\big)</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;</math> et <br>le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>».</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» et le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de <math>\;K_M(t)\;</math> précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«<math>\;K_M(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math>» ou, par permutation circulaire du produit mixte <ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;C\;</math> «<math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;</math></center> {{Al|5}}ou encore, avec <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> et <math>\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> dans lesquelles <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> est le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du point <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> le moment cinétique scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M</math>, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit selon l'expression suivante <math>\;\big(</math>laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» ; </center> {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} r5xh5xsoqacxygq88bzwezepr3httad 987146 987144 2026-10-05T21:53:19Z Phl7605 31541 /* En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels */ 987146 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" />{{,}} <ref> «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2 \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» correspondant à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : En définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\;t</math>, par <center>«<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> par <center>«<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», </center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\;\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\;t</math>, peut se réécrire selon «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, ce qui revient à une intégrale volumique définie selon <center>«<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>,</center> {{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( S \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, ce qui revient à une intégrale surfacique définie selon <center>«<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et</center> {{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{lin}}(M,\,t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, ce qui revient à une intégrale curviligne définie selon <center>«<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>.</center> === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}Considérant le système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big\{</math>tous les points <math>\;M_i\;</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> soit <math>\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\big\}</math>, l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant définie selon <math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\;</math> soit, en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» puis en reconnaissant dans l'autre facteur «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», <center>l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <br>«<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ;</center> {{Al|5}}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ;</center> {{Al|5}}une 3^ème expression <math>\;\big(</math>très peu utilisée<math>\big)\;</math> peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et de la résultante cinétique newtonienne <ref name="peu intéressant"> C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.</ref>, on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» peut se réécrire selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />.</center> {{Al|5}}<u>Complément</u> : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation <math>\;\big(</math>et de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /><math>\big)</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;</math> et <br>le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>».</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» et le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de <math>\;K_M(t)\;</math> précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«<math>\;K_M(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math>» ou, par permutation circulaire du produit mixte <ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;C\;</math> «<math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;</math></center> {{Al|5}}ou encore, avec <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> et <math>\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> dans lesquelles <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> est le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du point <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> le moment cinétique scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M</math>, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit selon l'expression suivante <math>\;\big(</math>laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» ; </center> {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} me4pib2nkqrb1e1q5xz8r4irgc3t9j3 987148 987146 2026-10-05T22:00:40Z Phl7605 31541 /* En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels */ 987148 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" />{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2 \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : En définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\;t</math>, par <center>«<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> par <center>«<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», </center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\;\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\;t</math>, peut se réécrire selon «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, ce qui revient à une intégrale volumique définie selon <center>«<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>,</center> {{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( S \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, ce qui revient à une intégrale surfacique définie selon <center>«<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et</center> {{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{lin}}(M,\,t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, ce qui revient à une intégrale curviligne définie selon <center>«<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>.</center> === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}Considérant le système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big\{</math>tous les points <math>\;M_i\;</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> soit <math>\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\big\}</math>, l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant définie selon <math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\;</math> soit, en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» puis en reconnaissant dans l'autre facteur «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», <center>l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <br>«<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ;</center> {{Al|5}}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ;</center> {{Al|5}}une 3^ème expression <math>\;\big(</math>très peu utilisée<math>\big)\;</math> peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et de la résultante cinétique newtonienne <ref name="peu intéressant"> C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.</ref>, on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» peut se réécrire selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />.</center> {{Al|5}}<u>Complément</u> : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation <math>\;\big(</math>et de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /><math>\big)</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;</math> et <br>le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>».</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» et le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de <math>\;K_M(t)\;</math> précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«<math>\;K_M(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math>» ou, par permutation circulaire du produit mixte <ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;C\;</math> «<math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;</math></center> {{Al|5}}ou encore, avec <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> et <math>\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> dans lesquelles <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> est le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du point <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> le moment cinétique scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M</math>, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit selon l'expression suivante <math>\;\big(</math>laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» ; </center> {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} kbzccofg043dkf1l2bn4kfh3vipu4cm 987152 987148 2026-10-06T04:39:08Z Phl7605 31541 /* En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels */ 987152 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" />{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2 \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système }}par «<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système par }}la somme des énergies totales de tous les points matériels du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, au même instant <math>\,t</math>, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, }}par «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, par }}la somme des énergies masses de tous les points matériels du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : l'énergie cinétique relativiste du système }}peut se réécrire selon «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, ce qui revient à une intégrale volumique définie selon <center>«<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>,</center> {{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( S \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, ce qui revient à une intégrale surfacique définie selon <center>«<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et</center> {{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{lin}}(M,\,t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, ce qui revient à une intégrale curviligne définie selon <center>«<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>.</center> === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}Considérant le système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big\{</math>tous les points <math>\;M_i\;</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> soit <math>\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\big\}</math>, l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant définie selon <math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\;</math> soit, en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» puis en reconnaissant dans l'autre facteur «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», <center>l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <br>«<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ;</center> {{Al|5}}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ;</center> {{Al|5}}une 3^ème expression <math>\;\big(</math>très peu utilisée<math>\big)\;</math> peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et de la résultante cinétique newtonienne <ref name="peu intéressant"> C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.</ref>, on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» peut se réécrire selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />.</center> {{Al|5}}<u>Complément</u> : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation <math>\;\big(</math>et de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /><math>\big)</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;</math> et <br>le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>».</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» et le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de <math>\;K_M(t)\;</math> précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«<math>\;K_M(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math>» ou, par permutation circulaire du produit mixte <ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;C\;</math> «<math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;</math></center> {{Al|5}}ou encore, avec <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> et <math>\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> dans lesquelles <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> est le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du point <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> le moment cinétique scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M</math>, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit selon l'expression suivante <math>\;\big(</math>laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» ; </center> {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} r5h60f2oofptchc4mstbf14q3086h1d 987153 987152 2026-10-06T04:40:28Z Phl7605 31541 /* En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels */ 987153 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" />{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2 \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système }}par «<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système par }}la somme des énergies totales de tous les points matériels du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, au même instant <math>\,t</math>, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, }}par «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, par }}la somme des énergies masses de tous les points matériels du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, est égale à «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, ce qui revient à une intégrale volumique définie selon <center>«<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>,</center> {{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( S \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, ce qui revient à une intégrale surfacique définie selon <center>«<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et</center> {{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{lin}}(M,\,t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, ce qui revient à une intégrale curviligne définie selon <center>«<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>.</center> === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}Considérant le système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big\{</math>tous les points <math>\;M_i\;</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> soit <math>\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\big\}</math>, l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant définie selon <math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\;</math> soit, en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» puis en reconnaissant dans l'autre facteur «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», <center>l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <br>«<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ;</center> {{Al|5}}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ;</center> {{Al|5}}une 3^ème expression <math>\;\big(</math>très peu utilisée<math>\big)\;</math> peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et de la résultante cinétique newtonienne <ref name="peu intéressant"> C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.</ref>, on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» peut se réécrire selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />.</center> {{Al|5}}<u>Complément</u> : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation <math>\;\big(</math>et de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /><math>\big)</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;</math> et <br>le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>».</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» et le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de <math>\;K_M(t)\;</math> précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«<math>\;K_M(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math>» ou, par permutation circulaire du produit mixte <ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;C\;</math> «<math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;</math></center> {{Al|5}}ou encore, avec <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> et <math>\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> dans lesquelles <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> est le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du point <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> le moment cinétique scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M</math>, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit selon l'expression suivante <math>\;\big(</math>laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» ; </center> {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} g0xpw4wj6cv57u31f6kb5zibcldkeu0 987154 987153 2026-10-06T05:05:18Z Phl7605 31541 /* Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière */ 987154 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" />{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2 \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système }}par «<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système par }}la somme des énergies totales de tous les points matériels du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, au même instant <math>\,t</math>, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, }}par «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, par }}la somme des énergies masses de tous les points matériels du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, est égale à «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumiqque <math>\,\mu(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue volumique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration volumique sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|10}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, {{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( S \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, ce qui revient à une intégrale surfacique définie selon <center>«<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et</center> {{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{lin}}(M,\,t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, ce qui revient à une intégrale curviligne définie selon <center>«<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>.</center> === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}Considérant le système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big\{</math>tous les points <math>\;M_i\;</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> soit <math>\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\big\}</math>, l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant définie selon <math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\;</math> soit, en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» puis en reconnaissant dans l'autre facteur «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», <center>l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <br>«<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ;</center> {{Al|5}}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ;</center> {{Al|5}}une 3^ème expression <math>\;\big(</math>très peu utilisée<math>\big)\;</math> peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et de la résultante cinétique newtonienne <ref name="peu intéressant"> C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.</ref>, on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» peut se réécrire selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />.</center> {{Al|5}}<u>Complément</u> : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation <math>\;\big(</math>et de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /><math>\big)</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;</math> et <br>le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>».</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» et le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de <math>\;K_M(t)\;</math> précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«<math>\;K_M(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math>» ou, par permutation circulaire du produit mixte <ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;C\;</math> «<math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;</math></center> {{Al|5}}ou encore, avec <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> et <math>\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> dans lesquelles <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> est le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du point <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> le moment cinétique scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M</math>, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit selon l'expression suivante <math>\;\big(</math>laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» ; </center> {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} bi1tvfh4b1zibtzsrq90tb1c7am6tj5 987155 987154 2026-10-06T10:25:18Z Phl7605 31541 /* Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière */ 987155 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" />{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2 \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système }}par «<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système par }}la somme des énergies totales de tous les points matériels du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, au même instant <math>\,t</math>, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, }}par «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, par }}la somme des énergies masses de tous les points matériels du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, est égale à «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumiqque <math>\,\mu(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue volumique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration volumique sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|10}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, de masse surfaciqque <math>\,\sigma(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue surfacique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration surfacique sur l'expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéiqque <math>\,\lambda(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue curviligne"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration curviligne sur l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>,, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambdma(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{lin}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>. {{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\;A\;</math> en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\;</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, notée <math>\;K_{\text{lin}}(M,\,t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> «<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> soit encore «<math>\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, ce qui revient à une intégrale curviligne définie selon <center>«<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>.</center> === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}Considérant le système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big\{</math>tous les points <math>\;M_i\;</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> soit <math>\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\big\}</math>, l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant définie selon <math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\;</math> soit, en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» puis en reconnaissant dans l'autre facteur «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», <center>l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <br>«<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ;</center> {{Al|5}}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ;</center> {{Al|5}}une 3^ème expression <math>\;\big(</math>très peu utilisée<math>\big)\;</math> peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et de la résultante cinétique newtonienne <ref name="peu intéressant"> C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.</ref>, on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» peut se réécrire selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />.</center> {{Al|5}}<u>Complément</u> : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation <math>\;\big(</math>et de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /><math>\big)</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;</math> et <br>le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>».</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» et le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de <math>\;K_M(t)\;</math> précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«<math>\;K_M(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math>» ou, par permutation circulaire du produit mixte <ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;C\;</math> «<math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;</math></center> {{Al|5}}ou encore, avec <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> et <math>\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> dans lesquelles <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> est le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du point <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> le moment cinétique scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M</math>, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit selon l'expression suivante <math>\;\big(</math>laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» ; </center> {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} 4v84wzd1zs7lrrcduq3pe818ev3rtfl 987156 987155 2026-10-06T10:33:40Z Phl7605 31541 /* Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière */ 987156 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" />{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2 \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système }}par «<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système par }}la somme des énergies totales de tous les points matériels du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, au même instant <math>\,t</math>, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, }}par «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, par }}la somme des énergies masses de tous les points matériels du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, est égale à «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumiqque <math>\,\mu(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue volumique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration volumique sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|10}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, de masse surfaciqque <math>\,\sigma(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue surfacique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration surfacique sur l'expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéiqque <math>\,\lambda(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue curviligne"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration curviligne sur l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>,, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambdma(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{lin}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>. === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}Considérant le système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big\{</math>tous les points <math>\;M_i\;</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> soit <math>\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\big\}</math>, l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant définie selon <math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\;</math> soit, en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» puis en reconnaissant dans l'autre facteur «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», <center>l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <br>«<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ;</center> {{Al|5}}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ;</center> {{Al|5}}une 3^ème expression <math>\;\big(</math>très peu utilisée<math>\big)\;</math> peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et de la résultante cinétique newtonienne <ref name="peu intéressant"> C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.</ref>, on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» peut se réécrire selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />.</center> {{Al|5}}<u>Complément</u> : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation <math>\;\big(</math>et de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /><math>\big)</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;</math> et <br>le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>».</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» et le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de <math>\;K_M(t)\;</math> précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«<math>\;K_M(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math>» ou, par permutation circulaire du produit mixte <ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;C\;</math> «<math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;</math></center> {{Al|5}}ou encore, avec <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> et <math>\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> dans lesquelles <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> est le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du point <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> le moment cinétique scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M</math>, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit selon l'expression suivante <math>\;\big(</math>laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» ; </center> {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} i0gcmjrf5uo2bonoun5hbdwdizkpoc9 987157 987156 2026-10-06T10:35:03Z Phl7605 31541 /* Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière */ 987157 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" />{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2 \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système }}par «<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système par }}la somme des énergies totales de tous les points matériels du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, au même instant <math>\,t</math>, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, }}par «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, par }}la somme des énergies masses de tous les points matériels du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, est égale à «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumiqque <math>\,\mu(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue volumique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration volumique sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|10}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, de masse surfaciqque <math>\,\sigma(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue surfacique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration surfacique sur l'expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéiqque <math>\,\lambda(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue curviligne"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration curviligne sur l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>,, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{lin}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>. === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}Considérant le système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big\{</math>tous les points <math>\;M_i\;</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> soit <math>\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\big\}</math>, l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant définie selon <math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\;</math> soit, en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» puis en reconnaissant dans l'autre facteur «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», <center>l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <br>«<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ;</center> {{Al|5}}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ;</center> {{Al|5}}une 3^ème expression <math>\;\big(</math>très peu utilisée<math>\big)\;</math> peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et de la résultante cinétique newtonienne <ref name="peu intéressant"> C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.</ref>, on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» peut se réécrire selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />.</center> {{Al|5}}<u>Complément</u> : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation <math>\;\big(</math>et de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /><math>\big)</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;</math> et <br>le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>».</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» et le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de <math>\;K_M(t)\;</math> précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«<math>\;K_M(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math>» ou, par permutation circulaire du produit mixte <ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;C\;</math> «<math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;</math></center> {{Al|5}}ou encore, avec <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> et <math>\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> dans lesquelles <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> est le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du point <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> le moment cinétique scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M</math>, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit selon l'expression suivante <math>\;\big(</math>laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» ; </center> {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} 18vzgt8p5qry77motr6636kehp97p7z 4 87372 987142 987107 2026-10-05T18:52:11Z MediaWiki message delivery 20848 /* Actualités techniques n° 2026-41 */ nouvelle section 987142 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|10}}{{Clr}}</noinclude> == Wikidata Sitelink changes in Recent Changes and Watchlist == ''(Apologies for cross-posting in English, translating it will help spread the message)'' Editors on group 1 wikis, including Wikiquote, Wikibooks, Wikiversity, Wikivoyage, and Wikisource, will no longer see notifications on [[Special:RecentChanges|Recent Changes]] and [[Special:Watchlist|Watchlist]] when a link to ''another'' language version of a page is added, removed, or changed in its Wikidata item. This change will begin on '''October 5 at 07:00 UTC''' as a two-week trial to reduce high-volume, low-value notifications and make higher-value changes easier to identify. Editors who rely on these notifications should be aware of the change and can share feedback or concerns on the [[m:Wikidata For Wikimedia Projects/Clearer Wikidata Edit Summaries/Hide Language Link edits|project]] or [[m:Talk:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Clearer_Wikidata_Edit_Summaries/Hide_Language_Link_edits|talk page]].<br/>Please reach out if you have any questions, thank you! -- [[User:Danny_Benjafield_(WMDE)|Danny Benjafield (WMDE)]] ([[User_talk:Danny_Benjafield_(WMDE)|talk]]) sent via [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discuter]]) 1 octobre 2026 à 12:42 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Danny Benjafield (WMDE)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Danny_Benjafield_(WMDE)/MassMessage_test_list&oldid=31106967 --> == Harcèlement par hCaptcha == J'ai un compte sur Wikiversité au nom de Marvoir. Quand je remplis le formulaire pour me connecter, je reçois le message "Une vérification supplémentaire est nécessaire. Veuillez recommencer" (ou quelque chose comme ça). Je remplis donc le même formulaire et maintenant je dois exécuter un hCaptcha. Or ce hCaptcha est impossible à exécuter, parce que l'indication de la tâche à effectuer est mal positionnée et apparaît incomplètement. Je trouve quand même étonnant qualors que j'indique mon pseudo et mon mot de passe, je sois encore obligé d'exécuter des captchas impossibles à exécuter. Marvoir. [[Spécial:Contributions/~2026-52884-74|~2026-52884-74]] ([[Discussion utilisateur:~2026-52884-74|discussion]]) 1 octobre 2026 à 17:37 (UTC) == Des RAW tout frais, à lire sans délai ! == <div style="background-color:#177860; border-radius:.2em; color:#FFF;padding: 1em;"> <div style="font-family: Century Gothic; font-size:3em; line-height:120%;text-align:center;color: #fff;">RAW</div> <div style="margin-bottom:1.5em; margin-top:1em; text-align:center; color: #fff;">Le numéro d'octobre 2026 ({{numéro|297}}) est sorti.</div> <div class="center">[[:w:Wikipédia:RAW/2026-10-05|<span class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled" style="white-space:break-spaces; text-align:center; gap:0;"role="button" aria-disabled="false">Lire l'infolettre</span>]]</div> </div> '''Contribuer, chacun à sa manière''' Dans une grande partie de la francophonie, l'automne pointe le bout de son nez, et avec lui un nouveau numéro des RAW ! Ce numéro fait la part belle à la contribution sous plusieurs formes : des campagnes de contribution et des ateliers pour améliorer des milliers d'articles sur divers sujets, des discussions communautaires, des élections, des événements, des nouveautés techniques, et même une nouvelle publication francophone ! La contribution peut aussi prendre des formes plus inattendues : pourquoi pas à travers des jeux ? Et pour découvrir plus concrètement ce que signifie contribuer à Wikipédia, nous nous intéresserons au parcours d'un utilisateur fraîchement élu administrateur : Nanoyo88. Par ailleurs, la réflexion sur le changement de titre des RAW avance : les deux propositions favorites sont ''La Wikigazette'' et ''La Gazette de Wikimédia''. N'hésitez pas à [[w:Discussion Wikipédia:RAW/Rédaction#Deuxième tour|donner votre avis]]. Bonne lecture, et surtout, bonnes contributions ! ---- Au menu de ce numéro : '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">En bref</span>''' — Des actualités francophones et du mouvement Wikimédia, des nouveaux outils et des articles de recherche '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">L'Interview</span>''' — Nanoyo88 : de débutant à administrateur, pour une Wikipédia plus accessible '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">Le wik'hit parade</span>''' — Une analyse des articles les plus vus le mois dernier [[Fichier:Toicon-icon-sharp-corners-draw.svg|20px|classe=skin-invert-image]] Les RAW, c'est aussi vous : n'hésitez pas à suggérer des sujets ou participer à la rédaction du [[w:Wikipédia:RAW/Rédaction|prochain numéro]] ! [[Utilisateur:Antimuonium|Antimuonium]] ([[Discussion utilisateur:Antimuonium|discuter]]) 4 octobre 2026 à 22:06 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-41 == <section begin="technews-2026-W41"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/41|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * Le processus relatif à la liste de souhaits communautaires de cette année [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Community Wishlist 2027#Updated Community Wishlist Process 2027/2028|a été publié]], en tenant compte des commentaires de la communauté. La période de soumission des souhaits [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/FAQ#What is the deadline for submitting wishes?|prendra fin le 8 novembre]]. Cette année, [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Community Wishlist 2027/Working group|un groupe de travail (appel à volontariat ouvert)]] composé de membres de la communauté connaissant bien les aspects techniques de nos wikis et de membres du personnel de la Fondation Wikimedia se chargera du [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/FAQ#What is triage?|processus de triage]]. Le triage devrait être terminé d'ici la fin novembre. Le vote sur les souhaits débutera en janvier. '''Actualités pour la contribution''' * Les utilisateurs adeptes de l'[[mw:Special:MyLanguage/VisualEditor|éditeur visuel]] verront maintenant un avertissement lorsqu'ils collent du texte qui a probablement été copié d'une de 5 IA génératives dans Wikipédia. Cette fonctionalité est connue sous le nom de [[mw:Special:MyLanguage/Edit check/LLM Paste Check|Vérification du collage de LLM]]. C'est un type de [[mw:Special:MyLanguage/Edit check|Vérification des modifications]] qui est configurable par communauté. La vérification cherche des marques dans l'HTML copié et n'utilise pas de la détection de tatouage numérique (watermark). Les modifications seront aussi [[mw:Special:MyLanguage/Edit check/LLM Paste Check#Edit tags|marquées]] pour que les patrouilleurs puissent les revoir en détail. Cette fonctionalité aide les nouveaux ajouter du contenu qui respecte les règles de Wikipédia et rend l'identification de contributions problèmatiques plus facile pour les utilisateurs expérimentés. Les communautés avec des règles locales sur l'usage de LLM peuvent [[mw:Special:MyLanguage/Edit check/LLM Paste Check#Configuration|ajuster la formulation et les règles liées]]. L'équipe s'[[listarchive:list/translators-l@lists.wikimedia.org/message/EVHKWJ4IERZELMPIWNH3XUVUSQV5KOO4/|excuse]] que cette fonctionalité a été poussée sans un délai pour les traductions. * Les utilisateurs peuvent désormais [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/Future of Editing on the Mobile Apps|accéder facilement à l'éditeur visuel web directement depuis les applications iOS et Android]]. À l'ouverture de l'éditeur, les utilisateurs ont le choix entre l'édition visuelle et l'édition source. S'ils optent pour l'édition visuelle, ils sont redirigés vers une page web mobile dans leur navigateur internet. Une fois la modification terminée, une bannière leur permet de revenir à l'application. Cela permet aux lecteurs d'apporter rapidement des contributions tout en consultant le contenu, et facilite la transition vers la version web mobile. * Les utilisateurs des applications Android et iOS de Wikipédia verront désormais une proposition unique de création d'un compte après avoir utilisé l'application pendant deux semaines consécutives. Cette bannière explique les avantages d'avoir un compte. Il est destiné à aider les lecteurs occasionnels à devenir des utilisateurs connectés qui reviennent régulièrement aux applications. [https://phabricator.wikimedia.org/T434847] * Les contributeurs à des [[wmnoc:conf/dblists/group1.dblist|wikis de groupe 1]] (dont Wikiquote, Wikibooks, Wikiversity, Wikivoyage et Wikisource) ne verront plus de notifications dans les [[mw:Special:MyLanguage/Help:Recent changes|modifications récentes]] et la [[mw:Special:MyLanguage/Help: Watching pages|liste de suivi]] lorsqu'un lien vers une version d'un autre langage d'une page est ajouté, enlevé ou modifié sur Wikidata. Ce changement débutera le 5 octobre à 7h UTC en tant que test de 2 semaines pour réduire les notification à fort volume et de valeur basse ainsi que de rendre les modification importantes plus faciles à voir. Les utilisateurs qui se basent sur ces modifications peuvent en lire plus sur la [[m:Wikidata For Wikimedia Projects/Clearer Wikidata Edit Summaries/Hide Language Link edits|page du projet]] et partager du retour ou des préoccupations sur la [[m:Talk:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Clearer_Wikidata_Edit_Summaries/Hide_Language_Link_edits|page Discussion]] [https://phabricator.wikimedia.org/T439415] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:36|la tâche soumise|les {{formatnum:36}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:36||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où les mentors qui se sont retirés du programme de mentorat pouvaient encore avoir des novices qui leur étaient affectés et recevaient des questions a été résolu. Les novices seront désormais réaffectés quand un mentor quittera le programme. [https://phabricator.wikimedia.org/T418194] '''Actualités pour la contribution technique''' * Wikimédia Brésil a publié son [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Brasil/Arcabouço de Boas Práticas de Desenvolvimento|Framework des Bonnes Pratiques de Développement]]. C'est un guide pour les staff, contracteurs et volontaires qui créent des outils et des projets techniques. Il couvre le cycle de vie du projet, la sécurité, l'accessibilité, la sécurité des données personnelles et l'utilisation responsable de l'IA, et explique comment des règles d'un projet ont été adaptées à un contexte local. D'autres affiliés sont encouragés à le réutiliser et à l'adapter. En lire plus dans le [[wmfblog:2026/09/26/wikimedia-brasils-development-best-practices-framework-technical-sustainability-as-an-organizational-responsibility|post Diff]]. * Une nouvelle base canonique d'URL pour les API Wikimedia sera bientôt introduite. Cette nouvelle route canonique suit le modèle <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>{projectName}/api/</nowiki></code></bdi> et servira de voie alternative aux API REST actuelles (par exemple : <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>{projectName}/w/rest.php/</nowiki></code></bdi>). Les deux versions seront appelées pour toutes les API existantes, mais la nouvelle structure sera le chemin préféré pour les modules API nouvellement créés. Ce changement ne devrait pas casser la plupart des flux de travail. Les URLs existantes resteront disponibles pour toutes les demandes de points finaux existants. Cependant, certains appels peuvent retourner des URL suivant le nouveau modèle dans le corps de la réponse. Les modifications seront d'abord disponibles sur Test Wiki, avec le déploiement prévu pour tous les wikis d'ici la fin octobre. [https://phabricator.wikimedia.org/T433535] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.23|MediaWiki]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/41|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W41"/> 5 octobre 2026 à 18:52 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Trizek (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=31098825 --> poxy5khj8gsl8mi063w211qcyzd65e9 0 87385 987149 2026-10-05T22:07:52Z Alkapone67 81117 Page créée avec « = Le contrat de travail en France = Le '''contrat de travail''' est la convention par laquelle une personne, le [[salarié]], s'engage à fournir une prestation de travail pour le compte et sous l'autorité d'une autre personne, l'[[employeur]], en contrepartie d'une [[Salaire|rémunération]]. En [[Droit du travail en France|droit français]], le [[Code du travail (France)|Code du travail]] ne donne pas de définition générale du contrat de travail. Ses él... » 987149 wikitext text/x-wiki = Le contrat de travail en France = Le '''contrat de travail''' est la convention par laquelle une personne, le [[salarié]], s'engage à fournir une prestation de travail pour le compte et sous l'autorité d'une autre personne, l'[[employeur]], en contrepartie d'une [[Salaire|rémunération]]. En [[Droit du travail en France|droit français]], le [[Code du travail (France)|Code du travail]] ne donne pas de définition générale du contrat de travail. Ses éléments constitutifs ont principalement été dégagés par la [[Jurisprudence en droit français|jurisprudence]]. Le contrat de travail se distingue notamment du contrat d'entreprise, du mandat ou de l'exercice d'une activité indépendante par l'existence d'un '''lien de subordination juridique'''. L'article L. 1221-1 du Code du travail dispose que le contrat de travail est soumis aux règles du droit commun et qu'il peut être établi selon les formes que les parties décident d'adopter<ref>Code du travail, art. L. 1221-1.</ref>. Il est donc soumis à la fois aux règles générales du [[Droit des contrats en France|droit des contrats]] et aux règles particulières, souvent impératives, du droit du travail. == Les éléments constitutifs du contrat de travail == L'existence d'un contrat de travail suppose traditionnellement la réunion de trois éléments : * une '''prestation de travail''' ; * une '''rémunération''' ; * un '''lien de subordination juridique'''. Ces trois éléments sont appréciés à partir des conditions réelles dans lesquelles l'activité est exercée. === La prestation de travail === La prestation de travail correspond à l'activité que le salarié s'engage à accomplir pour le compte de l'employeur. Elle peut être de nature très diverse : manuelle, intellectuelle, artistique, commerciale, sportive ou encore administrative. La nature de l'activité exercée ne suffit donc pas, à elle seule, à déterminer l'existence ou l'absence d'un contrat de travail. Le salarié exécute en principe personnellement la prestation convenue. Le contrat de travail présente ainsi un caractère '''''[[Intuitu personæ|intuitu personae]]''''' à son égard. === La rémunération === La prestation de travail est accomplie en contrepartie d'une rémunération. La rémunération comprend principalement le [[salaire]], mais peut également comporter des primes, commissions, gratifications ou avantages en nature. L'existence d'une rémunération permet notamment de distinguer le contrat de travail d'une activité purement bénévole. === Le lien de subordination === Le '''lien de subordination juridique''' constitue le critère essentiel permettant de distinguer le salarié du travailleur indépendant. Dans un arrêt de principe du 13 novembre 1996, dit arrêt ''Société Générale'', la [[Cour de cassation (France)|Cour de cassation]] a défini le lien de subordination par l'exécution d'un travail sous l'autorité d'un employeur qui dispose du pouvoir : * de donner des ordres et des directives ; * d'en contrôler l'exécution ; * de sanctionner les manquements du travailleur. Le travail au sein d'un service organisé peut constituer un indice du lien de subordination lorsque l'employeur détermine unilatéralement les conditions d'exécution du travail<ref>Cour de cassation, chambre sociale, 13 novembre 1996, n° 94-13.187, publié au Bulletin.</ref>. Le juge ne s'arrête pas à la qualification choisie par les parties. Un contrat présenté comme un contrat de prestation de services peut ainsi être '''requalifié en contrat de travail''' si les conditions réelles d'exercice de l'activité révèlent un lien de subordination. == La formation du contrat de travail == === Application du droit commun des contrats === Le contrat de travail est soumis aux conditions générales de validité prévues par le [[Code civil (France)|Code civil]]. Selon l'article 1128 du Code civil, trois conditions sont nécessaires à la validité d'un contrat : # le consentement des parties ; # leur capacité de contracter ; # un contenu licite et certain<ref>Code civil, art. 1128.</ref>. La liberté contractuelle permet en principe à chacun de contracter ou de ne pas contracter, de choisir son cocontractant et de déterminer le contenu et la forme du contrat dans les limites fixées par la loi. Elle ne permet cependant pas de déroger aux règles d'ordre public<ref>Code civil, art. 1102.</ref>. Cette dernière limite revêt une importance particulière en droit du travail, où de nombreuses dispositions ont pour objet de protéger le salarié. === Le consentement === Le consentement de l'employeur et du salarié doit être '''libre et éclairé'''. Il peut être affecté par les trois vices du consentement prévus par le Code civil : * '''l'erreur''' ; * '''le dol''' ; * '''la violence'''<ref>Code civil, art. 1130 et suivants.</ref>. Le '''dol''' ne doit pas être confondu avec l'escroquerie au sens pénal. En droit des contrats, il peut notamment résulter de manœuvres, de mensonges ou de la dissimulation intentionnelle d'une information déterminante du consentement. === La capacité de contracter === Toute personne peut en principe contracter, sauf incapacité prévue par la loi<ref>Code civil, art. 1145.</ref>. Des règles particulières concernent notamment les mineurs et les personnes faisant l'objet d'une mesure de protection juridique. En droit du travail, un mineur peut en principe travailler à partir de seize ans. Des possibilités de travail avant cet âge existent dans les cas spécialement prévus par la loi, notamment en matière d'apprentissage. === Le recrutement === La liberté de recrutement de l'employeur est limitée par plusieurs règles. Les informations demandées au candidat doivent avoir pour seule finalité d'apprécier sa capacité à occuper l'emploi proposé ou ses aptitudes professionnelles. Elles doivent présenter un lien direct et nécessaire avec l'emploi proposé ou avec l'évaluation de ses aptitudes professionnelles<ref>Code du travail, art. L. 1221-6.</ref>. Les méthodes et techniques d'aide au recrutement doivent être portées à la connaissance du candidat et être pertinentes au regard de la finalité poursuivie<ref>Code du travail, art. L. 1221-8.</ref>. Le recrutement ne peut par ailleurs être fondé sur l'un des motifs de [[Discrimination à l'embauche|discrimination]] interdits par la loi<ref>Code du travail, art. L. 1132-1.</ref>. == L'offre et la promesse de contrat de travail == La jurisprudence distingue '''l'offre de contrat de travail''' de la '''promesse unilatérale de contrat de travail'''. Depuis deux arrêts rendus le 21 septembre 2017, la Cour de cassation considère que constitue une '''offre''' l'acte par lequel l'employeur propose un engagement en précisant notamment l'emploi, la rémunération et la date d'entrée en fonction et manifeste sa volonté d'être lié en cas d'acceptation<ref name="promesse">Cour de cassation, chambre sociale, 21 septembre 2017, n° 16-20.103 et n° 16-20.104, publiés au Bulletin.</ref>. L'offre peut être retirée avant qu'elle ne parvienne à son destinataire. Sa rétractation prématurée après sa réception peut empêcher la formation du contrat mais être susceptible d'engager la responsabilité de son auteur. La '''promesse unilatérale de contrat de travail''' est, quant à elle, le contrat par lequel l'employeur accorde au bénéficiaire le droit d'opter pour la conclusion d'un contrat dont les éléments essentiels sont déjà déterminés et pour lequel ne manque plus que le consentement du bénéficiaire<ref name="promesse" />. == La forme du contrat de travail == === Le principe === L'article L. 1221-1 du Code du travail prévoit que le contrat peut être établi selon les formes choisies par les parties. En conséquence, un '''CDI à temps complet''' peut en principe être conclu sans contrat écrit, sous réserve des dispositions conventionnelles applicables. L'absence d'un contrat écrit ne signifie toutefois pas que l'employeur est dispensé d'informer le salarié des éléments essentiels de la relation de travail. L'employeur doit remettre au salarié les informations prévues par le Code du travail concernant notamment l'identité des parties, le lieu de travail, l'emploi occupé, la rémunération, la durée du travail, les congés, la période d'essai et les règles applicables à la rupture de la relation de travail<ref>Code du travail, art. L. 1221-5-1 et R. 1221-34 et suivants.</ref>. === Les contrats obligatoirement écrits === Certains contrats doivent obligatoirement être établis par écrit. C'est notamment le cas : * du [[Contrat de travail à durée déterminée|CDD]] ; * du contrat de travail temporaire ; * du contrat à temps partiel ; * du contrat d'apprentissage ; * de plusieurs contrats particuliers prévus par la législation. Le contrat à temps partiel doit notamment mentionner la qualification du salarié, les éléments de rémunération, la durée hebdomadaire ou mensuelle prévue et les modalités de répartition et de modification de la durée du travail<ref>Code du travail, art. L. 3123-6.</ref>. == Les principales formes de contrat de travail == === Le contrat à durée indéterminée === Le '''[[Contrat de travail à durée indéterminée|contrat à durée indéterminée]]''' (CDI) constitue, selon l'article L. 1221-2 du Code du travail, la '''forme normale et générale de la relation de travail'''<ref>Code du travail, art. L. 1221-2.</ref>. Il est conclu sans limitation de durée. Il peut être à temps complet ou à temps partiel. === Le contrat à durée déterminée === Le '''[[Contrat de travail à durée déterminée|contrat à durée déterminée]]''' (CDD) constitue une forme dérogatoire de contrat de travail. Il ne peut avoir ni pour objet ni pour effet de pourvoir durablement un emploi lié à l'activité normale et permanente de l'entreprise<ref>Code du travail, art. L. 1242-1.</ref>. Il ne peut être conclu que dans les cas autorisés par la loi, notamment pour : * le remplacement de certains salariés absents ; * un accroissement temporaire de l'activité de l'entreprise ; * certains emplois saisonniers ; * certains emplois pour lesquels il est d'usage constant de ne pas recourir au CDI ; * les autres hypothèses expressément prévues par la loi<ref>Code du travail, art. L. 1242-2 et suivants.</ref>. Le CDD doit être établi par écrit et comporter la '''définition précise de son motif'''. À défaut d'écrit ou de motif suffisamment précis, il peut être réputé conclu pour une durée indéterminée<ref>Code du travail, art. L. 1242-12.</ref>. Il doit être transmis au salarié au plus tard dans les deux jours ouvrables suivant l'embauche<ref>Code du travail, art. L. 1242-13.</ref>. Le seul retard dans la transmission du contrat n'entraîne toutefois plus, à lui seul, sa requalification en CDI. Il peut ouvrir droit à une indemnité dans les conditions prévues par l'article L. 1245-1 du Code du travail. === Le travail temporaire === Le [[Travail temporaire en droit français|travail temporaire]] repose sur une relation triangulaire entre : * l'entreprise de travail temporaire ; * le salarié temporaire ; * l'entreprise utilisatrice. Le salarié conclut un contrat de mission avec l'entreprise de travail temporaire, laquelle conclut parallèlement un contrat de mise à disposition avec l'entreprise utilisatrice. Le recours au travail temporaire est, comme le CDD, limité aux cas autorisés par la loi. == La période d'essai == La [[Période d'essai en droit français|période d'essai]] permet à l'employeur d'évaluer les compétences du salarié et à celui-ci d'apprécier si les fonctions occupées lui conviennent<ref>Code du travail, art. L. 1221-20.</ref>. Elle '''ne se présume pas'''. Elle doit être expressément stipulée dans la lettre d'engagement ou le contrat de travail<ref>Code du travail, art. L. 1221-23.</ref>. Pour un CDI, sa durée initiale maximale est de : * '''deux mois''' pour les ouvriers et employés ; * '''trois mois''' pour les agents de maîtrise et les techniciens ; * '''quatre mois''' pour les cadres<ref>Code du travail, art. L. 1221-19.</ref>. Elle ne peut être renouvelée qu'une fois lorsque les conditions légales sont réunies, notamment lorsqu'un accord de branche étendu prévoit cette possibilité<ref>Code du travail, art. L. 1221-21.</ref>. La rupture de la période d'essai est en principe libre, sous réserve notamment du respect des délais de prévenance, de l'interdiction des discriminations et de l'abus de droit. == Les clauses du contrat de travail == Le contenu du contrat de travail est encadré par la loi, les conventions et accords collectifs ainsi que par les droits fondamentaux du salarié. L'article L. 1121-1 du Code du travail dispose que les restrictions apportées aux droits des personnes et aux libertés individuelles et collectives doivent être '''justifiées par la nature de la tâche à accomplir et proportionnées au but recherché'''<ref>Code du travail, art. L. 1121-1.</ref>. === La clause de mobilité === La '''clause de mobilité''' permet à l'employeur de modifier le lieu de travail du salarié dans une zone géographique définie à l'avance. La zone d'application de la clause doit être suffisamment précise et ne peut être étendue unilatéralement par l'employeur. Même lorsqu'elle est valable, sa mise en œuvre doit être effectuée de bonne foi et dans le respect des droits du salarié. === La clause de non-concurrence === La '''clause de non-concurrence''' limite la possibilité pour le salarié d'exercer, après la fin du contrat, une activité concurrente. La jurisprudence exige notamment qu'elle soit : * justifiée par les intérêts légitimes de l'entreprise ; * limitée dans le temps ; * limitée dans l'espace ; * adaptée aux caractéristiques de l'emploi du salarié ; * assortie d'une '''contrepartie financière'''<ref>Cour de cassation, chambre sociale, 10 juillet 2002, n° 00-45.135, publié au Bulletin.</ref>. Ces conditions sont cumulatives. === La clause d'exclusivité === La '''clause d'exclusivité''' interdit au salarié d'exercer une autre activité professionnelle pendant l'exécution de son contrat. Parce qu'elle porte atteinte à la liberté du travail, elle doit être justifiée par la nature de la tâche à accomplir et proportionnée au but recherché. Elle doit être distinguée de l''''obligation de loyauté''', qui s'impose au salarié même en l'absence de clause contractuelle particulière. === La clause de dédit-formation === La '''clause de dédit-formation''' permet, sous certaines conditions, de prévoir que le salarié remboursera une partie des frais de formation spécialement engagés par l'employeur s'il quitte l'entreprise avant une certaine date. Elle ne doit notamment pas avoir pour effet de priver le salarié de la possibilité effective de démissionner. == L'exécution du contrat de travail == L'article L. 1222-1 du Code du travail prévoit que le contrat de travail est '''exécuté de bonne foi'''<ref>Code du travail, art. L. 1222-1.</ref>. Cette obligation s'impose aux deux parties. === Les obligations du salarié === Le salarié doit notamment : * fournir le travail convenu ; * respecter les instructions licites de l'employeur ; * respecter les règles de sécurité ; * exécuter son contrat avec loyauté ; * respecter, lorsqu'elles sont justifiées, ses obligations de confidentialité. Le salarié demeure toutefois titulaire de ses droits et libertés fondamentaux. === Les obligations de l'employeur === L'employeur doit notamment : * fournir le travail convenu ; * verser la rémunération due ; * respecter les dispositions légales et conventionnelles ; * respecter les droits et libertés du salarié ; * assurer l'adaptation du salarié à son poste et veiller au maintien de sa capacité à occuper un emploi ; * assurer la sécurité et protéger la santé physique et mentale des travailleurs. L'article L. 4121-1 du Code du travail impose à l'employeur de prendre les mesures nécessaires en matière de prévention des risques professionnels, d'information, de formation, d'organisation et de moyens adaptés<ref>Code du travail, art. L. 4121-1.</ref>. == La modification du contrat de travail == Il convient de distinguer la '''modification du contrat de travail''' du simple '''changement des conditions de travail'''. === Modification d'un élément contractuel === La modification d'un élément essentiel du contrat nécessite en principe l''''accord du salarié'''. Tel est notamment le cas, selon les circonstances, d'une modification : * de la rémunération contractuelle ; * de la qualification professionnelle ; * de la durée contractuelle du travail ; * d'un élément du contrat que les parties ont expressément contractualisé. L'employeur ne peut donc pas imposer unilatéralement une telle modification. Lorsque la proposition de modification repose sur un motif économique, l'article L. 1222-6 prévoit une procédure particulière. Le salarié dispose en principe d'un délai d'un mois pour faire connaître son refus ; ce délai est ramené à quinze jours lorsque l'entreprise fait l'objet d'une procédure de redressement ou de liquidation judiciaire<ref>Code du travail, art. L. 1222-6.</ref>. === Changement des conditions de travail === L'employeur peut en principe imposer les changements qui relèvent de son pouvoir de direction et qui ne modifient pas un élément contractuel. La frontière entre modification du contrat et changement des conditions de travail est largement déterminée par la jurisprudence et dépend des circonstances propres à chaque relation de travail. == La suspension du contrat de travail == La '''suspension''' du contrat interrompt temporairement l'exécution de certaines obligations principales sans entraîner la disparition du contrat. Elle peut notamment résulter : * d'un arrêt de travail pour maladie ou accident ; * d'un accident du travail ou d'une maladie professionnelle ; * d'un congé de maternité, de paternité ou d'adoption ; * de certains congés familiaux ; * d'une grève ; * d'une mise à pied ; * de certaines périodes de formation ou de congés prévues par la loi. Pendant la suspension, le salarié n'est généralement plus tenu de fournir sa prestation de travail et l'employeur n'est pas toujours tenu de maintenir le salaire. Les effets précis dépendent de la cause de la suspension. Certaines obligations, notamment l'obligation de loyauté, peuvent continuer à produire leurs effets. == La rupture du contrat de travail == Les règles de rupture dépendent notamment de la nature du contrat. === Rupture du CDI === L'article L. 1231-1 du Code du travail prévoit que le CDI peut être rompu à l'initiative de l'employeur, à l'initiative du salarié ou d'un commun accord<ref>Code du travail, art. L. 1231-1.</ref>. Les principaux modes de rupture sont : * le [[Licenciement en France|licenciement]] ; * la [[Démission en droit du travail français|démission]] ; * la [[Rupture conventionnelle en droit français|rupture conventionnelle]] ; * le départ ou la mise à la retraite ; * la prise d'acte de la rupture ; * la résiliation judiciaire ; * certaines ruptures collectives prévues par la loi. ==== Le licenciement ==== Le licenciement peut notamment être fondé sur un motif personnel ou sur un motif économique. Tout licenciement pour motif personnel doit être justifié par une '''cause réelle et sérieuse'''<ref>Code du travail, art. L. 1232-1.</ref>. Lorsque le licenciement repose sur un motif économique, il doit satisfaire aux conditions prévues par les articles L. 1233-1 et suivants du Code du travail. La procédure de licenciement est strictement encadrée. ==== La démission ==== La démission est l'acte par lequel le salarié manifeste sa volonté de mettre fin à son CDI. La volonté de démissionner doit être '''claire et non équivoque'''. Sauf dispense ou disposition particulière, le salarié est normalement tenu de respecter un préavis déterminé notamment par la convention collective, les usages ou le contrat. ==== La rupture conventionnelle ==== La rupture conventionnelle individuelle permet à l'employeur et au salarié de convenir ensemble des conditions de la rupture du CDI. Elle ne constitue ni un licenciement ni une démission et ne peut être imposée par l'une des parties à l'autre<ref>Code du travail, art. L. 1237-11.</ref>. Elle suppose notamment la signature d'une convention, le respect d'un délai de rétractation et une homologation administrative, sauf régime particulier applicable aux salariés protégés. === Rupture du CDD === Le CDD prend normalement fin à l'arrivée de son terme ou à la réalisation de l'objet pour lequel il a été conclu. Avant son terme, il ne peut en principe être rompu que dans les cas prévus par la loi. Sauf accord entre les parties, la rupture anticipée est notamment possible en cas : * de faute grave ; * de force majeure ; * d'inaptitude constatée par le médecin du travail<ref>Code du travail, art. L. 1243-1.</ref>. Le salarié peut également rompre son CDD avant son terme lorsqu'il justifie de la conclusion d'un CDI<ref>Code du travail, art. L. 1243-2.</ref>. == Le transfert du contrat de travail == Le caractère personnel de la relation de travail n'empêche pas le contrat de se poursuivre dans certaines hypothèses de changement d'employeur. L'article L. 1224-1 du Code du travail prévoit notamment qu'en cas de modification dans la situation juridique de l'employeur, telle qu'une succession, une vente, une fusion ou une transformation du fonds, les contrats de travail en cours subsistent entre le nouvel employeur et le personnel de l'entreprise lorsque les conditions légales et jurisprudentielles du transfert sont réunies<ref>Code du travail, art. L. 1224-1.</ref>. La jurisprudence de la [[Cour de justice de l'Union européenne]] et de la Cour de cassation joue un rôle important dans l'interprétation de ces règles. == La preuve du contrat de travail == Lorsqu'un écrit n'est pas légalement obligatoire, l'existence du contrat de travail peut être établie par différents moyens. En cas de contestation, le juge recherche concrètement l'existence d'une prestation de travail, d'une rémunération et surtout d'un lien de subordination. Les éléments susceptibles d'être examinés peuvent notamment comprendre : * les horaires imposés ; * les instructions reçues ; * les comptes rendus d'activité ; * le contrôle exercé sur le travail ; * l'intégration dans un service organisé ; * l'existence d'un pouvoir disciplinaire ; * les modalités de rémunération ; * les courriers, courriels et autres documents professionnels. La qualification retenue par les parties ne lie donc pas le juge. == Le contentieux du contrat de travail == Les litiges individuels nés à l'occasion d'un contrat de travail de droit privé relèvent en principe du [[Conseil de prud'hommes (France)|conseil de prud'hommes]]<ref>Code du travail, art. L. 1411-1.</ref>. Le conseil de prud'hommes peut notamment être saisi de litiges concernant : * l'existence ou la qualification d'un contrat de travail ; * les salaires et accessoires de rémunération ; * l'exécution du contrat ; * les sanctions disciplinaires ; * la modification du contrat ; * la rupture de la relation de travail ; * la requalification d'un CDD ou d'une relation présentée comme indépendante ; * les discriminations et les situations de harcèlement. Les règles de prescription varient selon la nature de l'action exercée. == Principaux textes applicables == Les dispositions relatives au contrat de travail sont principalement contenues dans : * le '''Code du travail''', en particulier son livre II consacré au contrat de travail ; * le '''Code civil''', notamment pour les règles générales relatives à la formation, à la validité et à l'exécution des contrats ; * les [[Convention collective en France|conventions et accords collectifs]] ; * le contrat de travail lui-même ; * la jurisprudence de la Cour de cassation, du [[Conseil d'État (France)|Conseil d'État]], du [[Conseil constitutionnel (France)|Conseil constitutionnel]], de la [[Cour de justice de l'Union européenne]] et de la [[Cour européenne des droits de l'homme]] lorsqu'elle est applicable. En raison de la hiérarchie et de l'articulation particulières des normes en droit du travail, une stipulation du contrat ne peut produire d'effet lorsqu'elle méconnaît une règle impérative qui lui est applicable. == Notes et références == <references /> == Voir aussi == * [[Droit du travail en France]] * [[Contrat de travail]] * [[Contrat de travail à durée indéterminée]] * [[Contrat de travail à durée déterminée]] * [[Licenciement en France]] * [[Rupture conventionnelle en droit français]] * [[Conseil de prud'hommes (France)]] * [[Convention collective en France]] * [[Salaire en France]] rzl8chr4bg69ufbnccra6rw2n4ilhsn 0 87386 987150 2026-10-05T22:18:20Z Alkapone67 81117 Page créée avec « <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> = Le salarié = Le '''salarié''' constitue l'une des deux parties au [[contrat de travail en France|contrat de travail]], l'autre étant l'[[employeur]]. La qualité de salarié entraîne l'application d'un ensemble de règles protectrices issues principalement du [[Code du travail (France)|Code du travail]], des conventions et accords collectifs, du contrat de travail et de la jurisprudence. La notion de salar... » 987150 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> = Le salarié = Le '''salarié''' constitue l'une des deux parties au [[contrat de travail en France|contrat de travail]], l'autre étant l'[[employeur]]. La qualité de salarié entraîne l'application d'un ensemble de règles protectrices issues principalement du [[Code du travail (France)|Code du travail]], des conventions et accords collectifs, du contrat de travail et de la jurisprudence. La notion de salarié est fondamentale en [[Droit du travail en France|droit du travail]] : avant de déterminer quels droits sont applicables à une personne qui travaille, il faut déterminer si celle-ci possède juridiquement la qualité de salarié. Cette qualification ne dépend pas uniquement de la volonté des parties. Une personne présentée comme travailleur indépendant, prestataire de services, auto-entrepreneur ou partenaire commercial peut être reconnue comme salariée lorsque les conditions réelles d'exercice de son activité révèlent l'existence d'un contrat de travail. == Objectifs pédagogiques == À l'issue de ce cours, l'étudiant doit être capable de : * définir juridiquement la notion de salarié ; * identifier les éléments constitutifs d'une relation de travail salariée ; * caractériser un [[Lien de subordination|lien de subordination juridique]] ; * distinguer salarié, travailleur indépendant, stagiaire, bénévole, mandataire social et agent public ; * comprendre les mécanismes de présomption de salariat et de non-salariat ; * déterminer les règles de preuve applicables à l'existence d'un contrat de travail ; * identifier les principales obligations du salarié ; * connaître les principaux droits attachés au statut de salarié ; * comprendre la notion de salarié protégé ; * résoudre un cas pratique relatif à la requalification d'une relation de travail. == Introduction : une notion principalement jurisprudentielle == Le Code du travail utilise constamment le terme de « salarié » mais n'en fournit pas de définition générale. L'article L. 1221-1 du Code du travail dispose simplement que : : « Le contrat de travail est soumis aux règles du droit commun. Il peut être établi selon les formes que les parties contractantes décident d'adopter. »<ref>Code du travail, art. L. 1221-1.</ref> La définition du salarié résulte donc principalement de la jurisprudence. On peut définir le salarié comme une '''personne physique qui accomplit une prestation de travail, moyennant rémunération, pour le compte d'une autre personne sous l'autorité de laquelle elle est placée'''. Trois éléments permettent ainsi, en principe, d'identifier une relation salariée : # une '''prestation de travail''' ; # une '''rémunération''' ; # un '''lien de subordination juridique'''. Le troisième élément constitue le critère déterminant. = Première partie : L'identification du salarié = == Chapitre 1 : Les éléments du contrat de travail == === La prestation de travail === La qualité de salarié suppose en principe l'accomplissement d'une '''activité pour le compte d'autrui'''. La nature de cette activité importe peu. Elle peut notamment être : * manuelle ; * intellectuelle ; * commerciale ; * administrative ; * artistique ; * sportive ; * technique ; * scientifique. Le salarié fournit personnellement la prestation convenue. Le contrat de travail présente ainsi un caractère '''''[[Intuitu personæ|intuitu personae]]''''' à son égard : l'employeur embauche une personne déterminée en considération notamment de ses compétences et de ses aptitudes. L'existence d'une prestation de travail ne suffit cependant pas à caractériser une relation salariée. Un entrepreneur, un bénévole ou un stagiaire peuvent également fournir une activité au profit d'une autre personne. === La rémunération === Le travail salarié est normalement accompli en contrepartie d'une '''rémunération'''. Celle-ci peut notamment comprendre : * un salaire de base ; * des commissions ; * des primes ; * des gratifications ; * des avantages en nature ; * certains accessoires de salaire. Le mode de calcul de la rémunération est indifférent à la qualification de salarié. Elle peut être calculée en fonction : * du temps de travail ; * du rendement ; * du chiffre d'affaires ; * du nombre d'opérations accomplies ; * d'une combinaison de plusieurs critères. Le fait qu'une personne soit rémunérée à la tâche ou à la commission ne suffit donc pas à exclure le salariat. === Le lien de subordination juridique === Le '''lien de subordination''' constitue le critère essentiel de la relation salariée. Dans son arrêt ''Société Générale'' du 13 novembre 1996, la chambre sociale de la Cour de cassation a défini le lien de subordination comme l'exécution d'un travail sous l'autorité d'un employeur disposant du pouvoir : * de donner des '''ordres et directives''' ; * d'en '''contrôler l'exécution''' ; * de '''sanctionner''' les manquements de son subordonné<ref>Cour de cassation, chambre sociale, 13 novembre 1996, n° 94-13.187, publié au Bulletin.</ref>. Cette définition demeure la référence fondamentale en droit français. On distingue ainsi trois pouvoirs. ==== Le pouvoir de direction ==== L'employeur peut déterminer les conditions dans lesquelles le salarié accomplit son travail. Il peut notamment, dans les limites de son pouvoir de direction : * donner des instructions ; * fixer des objectifs ; * organiser le travail ; * déterminer des procédures ; * répartir les tâches ; * imposer certaines méthodes de travail. ==== Le pouvoir de contrôle ==== L'employeur doit pouvoir vérifier l'exécution de la prestation. Le contrôle peut notamment porter sur : * les horaires ; * la qualité du travail ; * le respect des instructions ; * les résultats obtenus ; * la présence du salarié ; * certaines modalités d'organisation du travail. Dans les activités numériques, la surveillance peut également prendre la forme d'un contrôle effectué au moyen d'une application, d'un système informatique ou d'un dispositif de géolocalisation. ==== Le pouvoir de sanction ==== L'employeur dispose enfin d'un pouvoir disciplinaire. Il peut sanctionner les comportements qu'il considère comme fautifs dans les conditions prévues par le Code du travail. Le pouvoir de sanction constitue un indice particulièrement important de subordination. {{Encadré | titre = À retenir | contenu = Le lien de subordination repose classiquement sur le triptyque '''direction – contrôle – sanction'''. }} == Chapitre 2 : La méthode du faisceau d'indices == L'existence d'une relation salariée ne résulte pas nécessairement d'un indice unique. Le juge procède à une analyse concrète des conditions dans lesquelles l'activité est exercée. Parmi les éléments pouvant être pris en considération figurent notamment : * l'existence d'horaires imposés ; * l'obligation de respecter un planning ; * le lieu de travail imposé ; * les instructions reçues ; * les comptes rendus devant être effectués ; * l'intégration à une organisation déterminée ; * l'utilisation de matériel fourni ; * l'existence d'objectifs fixés unilatéralement ; * le contrôle de l'activité ; * l'existence de sanctions ; * la fixation unilatérale des tarifs ; * l'impossibilité réelle de développer une clientèle propre ; * l'obligation de porter certains équipements ou signes distinctifs ; * les conditions de rupture de la relation. Aucun de ces éléments n'est nécessairement décisif pris isolément. === Le service organisé === Dans l'arrêt ''Société Générale'', la Cour de cassation a également précisé que le travail au sein d'un '''service organisé''' peut constituer un indice de subordination lorsque l'employeur détermine unilatéralement les conditions d'exécution du travail<ref>Cour de cassation, chambre sociale, 13 novembre 1996, n° 94-13.187.</ref>. L'intégration dans une organisation ne constitue donc pas, à elle seule, le critère du contrat de travail. Elle constitue un '''indice''' venant compléter l'analyse des pouvoirs de direction, de contrôle et de sanction. == Chapitre 3 : La réalité prime sur la qualification choisie par les parties == Un principe essentiel veut que l'existence d'une relation salariée ne dépende pas du nom donné au contrat. Dans l'arrêt ''Labbane'' du 19 décembre 2000, la Cour de cassation affirme que : : l'existence d'une relation de travail ne dépend ni de la volonté exprimée par les parties, ni de la dénomination donnée à leur convention, mais des conditions de fait dans lesquelles l'activité est exercée<ref>Cour de cassation, chambre sociale, 19 décembre 2000, n° 98-40.572, publié au Bulletin.</ref>. Ainsi, la dénomination : * « contrat de prestation de services » ; * « partenariat » ; * « freelance » ; * « consultant indépendant » ; * « auto-entrepreneur » ; * « contrat commercial » n'empêche pas le juge de constater l'existence d'un contrat de travail. Inversement, la seule signature d'un document intitulé « contrat de travail » n'est pas toujours suffisante lorsque la réalité de la relation est contestée et que le contrat apparaît fictif. La qualification juridique dépend donc de la '''réalité de la relation'''. = Deuxième partie : Salarié et travailleur indépendant = == Chapitre 1 : Le principe de distinction == Le travailleur indépendant exerce normalement son activité pour son propre compte. Il organise son activité de manière autonome et supporte les risques économiques qui lui sont attachés. Le salarié travaille au contraire dans le cadre d'un pouvoir juridique exercé par un employeur. La distinction ne repose donc pas uniquement sur la dépendance économique. Une personne peut dépendre financièrement presque entièrement d'un client sans être juridiquement salariée. À l'inverse, un salarié peut disposer d'une très grande autonomie technique tout en restant placé sous l'autorité juridique d'un employeur. == Chapitre 2 : La présomption de non-salariat == L'article L. 8221-6 du Code du travail institue une '''présomption de non-salariat''' concernant notamment certaines personnes régulièrement immatriculées pour exercer leur activité professionnelle<ref>Code du travail, art. L. 8221-6.</ref>. Sont notamment concernés certains entrepreneurs individuels et dirigeants de personnes morales. Cette présomption n'est toutefois pas irréfragable. L'article L. 8221-6 prévoit expressément que l'existence d'un contrat de travail peut être établie lorsque ces personnes fournissent leurs prestations à un donneur d'ordre dans des conditions les plaçant dans un '''lien de subordination juridique permanente''' à son égard. Ainsi : : '''immatriculation comme indépendant ≠ impossibilité d'être reconnu salarié'''. == Chapitre 3 : Les travailleurs des plateformes numériques == Le développement des plateformes numériques a profondément renouvelé le contentieux relatif à la qualification du contrat de travail. === L'arrêt ''Take Eat Easy'' === Dans un arrêt du 28 novembre 2018 concernant un livreur à vélo travaillant pour la plateforme Take Eat Easy, la Cour de cassation a relevé notamment : * l'existence d'un système de géolocalisation permettant de suivre le coursier ; * l'existence d'un système de pénalités ; * la possibilité de désactiver son compte. Elle en a déduit l'existence d'un pouvoir de direction et de contrôle susceptible de caractériser un lien de subordination<ref>Cour de cassation, chambre sociale, 28 novembre 2018, n° 17-20.079, publié au Bulletin.</ref>. === L'arrêt ''Uber'' === La Cour de cassation a également reconnu l'existence d'un contrat de travail concernant un chauffeur utilisant la plateforme Uber dans un arrêt du 4 mars 2020<ref>Cour de cassation, chambre sociale, 4 mars 2020, n° 19-13.316, publié au Bulletin.</ref>. La Cour a notamment examiné : * l'intégration du chauffeur dans un service de transport entièrement organisé par la plateforme ; * l'absence de constitution libre d'une clientèle propre ; * la fixation des tarifs par la plateforme ; * le contrôle de l'activité ; * les mécanismes de sanction ou de déconnexion. {{Encadré | titre = Méthode | contenu = Pour déterminer si un travailleur de plateforme est salarié, il ne faut pas se demander seulement s'il est libre de se connecter ou non. Il faut analyser les conditions dans lesquelles il exerce effectivement son activité une fois connecté. }} = Troisième partie : Les présomptions légales de salariat = Dans certaines professions, le législateur facilite la reconnaissance du statut de salarié en instituant une '''présomption de contrat de travail'''. == Les journalistes professionnels == L'article L. 7112-1 du Code du travail prévoit que toute convention par laquelle une entreprise de presse s'assure, moyennant rémunération, le concours d'un journaliste professionnel est présumée être un contrat de travail<ref>Code du travail, art. L. 7112-1.</ref>. Cette présomption subsiste quels que soient : * le mode de rémunération ; * le montant de la rémunération ; * la qualification donnée à la convention par les parties. == Les artistes du spectacle == L'article L. 7121-3 du Code du travail instaure également une présomption de contrat de travail pour les artistes du spectacle dans les conditions qu'il prévoit<ref>Code du travail, art. L. 7121-3.</ref>. == Les mannequins == Tout contrat par lequel une personne s'assure, moyennant rémunération, le concours d'un mannequin est en principe présumé être un contrat de travail<ref>Code du travail, art. L. 7123-3 et L. 7123-4.</ref>. Cette présomption illustre le fait que le droit positif peut exceptionnellement reconnaître le salariat sans exiger du travailleur qu'il rapporte lui-même la preuve classique de tous les indices de subordination. = Quatrième partie : Les frontières de la qualité de salarié = == Chapitre 1 : Le salarié et le stagiaire == Le [[Stage en France|stagiaire]] n'est pas, par principe, un salarié. Le stage poursuit une finalité pédagogique et s'inscrit dans un cursus de formation. La gratification éventuellement versée au stagiaire ne constitue pas à elle seule un salaire. Toutefois, une entreprise ne peut utiliser un stage pour pourvoir durablement un emploi correspondant à son activité normale et permanente. Lorsque les conditions réelles révèlent non pas un stage mais une véritable prestation de travail exécutée dans un lien de subordination, la qualification juridique de la relation peut être contestée. Il faut également distinguer les notions de '''salarié''' et de '''travailleur'''. Pour l'application des règles relatives à la santé et à la sécurité, l'article L. 4111-5 du Code du travail adopte une définition plus large : sont notamment considérés comme travailleurs les salariés, les travailleurs temporaires, les stagiaires et toute personne placée à quelque titre que ce soit sous l'autorité de l'employeur<ref>Code du travail, art. L. 4111-5.</ref>. Un stagiaire peut donc être un « travailleur » au sens de certaines dispositions sans être pour autant un salarié. == Chapitre 2 : Le salarié et le bénévole == Le bénévolat se caractérise par l'absence de rémunération et, en principe, par une liberté incompatible avec le lien de subordination caractéristique du salariat. La qualification retenue par une association n'est cependant pas déterminante. Une personne présentée comme bénévole peut revendiquer l'existence d'un contrat de travail lorsque les conditions réelles de son activité démontrent : * une véritable prestation de travail ; * une rémunération ou des avantages constituant la contrepartie du travail ; * un lien de subordination. Le remboursement de frais réellement exposés ne constitue pas, à lui seul, une rémunération. == Chapitre 3 : Le salarié et l'apprenti == L'[[Apprentissage|apprenti]] est bien un salarié. L'article L. 6221-1 du Code du travail définit le contrat d'apprentissage comme un '''contrat de travail de type particulier'''<ref>Code du travail, art. L. 6221-1.</ref>. L'employeur s'engage : * à verser un salaire ; * à fournir du travail ; * à assurer une formation professionnelle. L'apprenti s'engage à travailler pour l'employeur et à suivre la formation correspondante. Son statut combine donc : * une dimension professionnelle ; * une dimension pédagogique. == Chapitre 4 : Le salarié et le mandataire social == Un [[Mandataire social|mandataire social]] n'est pas nécessairement un salarié. Le président d'une société, un directeur général ou un gérant exerce d'abord un '''mandat social'''. Un mandat social peut néanmoins, dans certaines conditions, être cumulé avec un contrat de travail. Il faut notamment pouvoir identifier : * des fonctions techniques distinctes du mandat ; * une rémunération correspondant à ces fonctions ; * surtout, un véritable lien de subordination dans l'exercice des fonctions salariées. Lorsque le mandataire dispose en réalité des pouvoirs les plus étendus et n'est soumis à aucune autorité susceptible de lui donner des ordres, d'en contrôler l'exécution et de le sanctionner, la qualification de salarié devient en principe impossible pour ces fonctions. La Cour de cassation admet également que le contrat de travail préexistant d'un salarié devenu mandataire social puisse être '''suspendu''' pendant l'exercice du mandat lorsque le lien de subordination disparaît<ref>Cour de cassation, chambre sociale, 8 octobre 2003, n° 01-43.556, publié au Bulletin.</ref>. == Chapitre 5 : L'« assimilé salarié » n'est pas nécessairement un salarié == Il faut distinguer le '''salarié au sens du droit du travail''' de la personne parfois appelée « assimilée salariée » en matière de protection sociale. Le Code de la sécurité sociale rattache au régime général certaines catégories de dirigeants, notamment certains présidents et dirigeants de sociétés par actions simplifiées<ref>Code de la sécurité sociale, art. L. 311-3.</ref>. Cette affiliation sociale n'entraîne pas automatiquement l'existence d'un contrat de travail. La qualité de salarié au sens du droit du travail suppose toujours, hors régime légal particulier, la réunion des critères du contrat de travail et notamment d'un lien de subordination. {{Encadré | titre = Attention | contenu = '''Régime général de sécurité sociale''' et '''statut de salarié en droit du travail''' sont deux questions juridiquement distinctes. }} == Chapitre 6 : Le salarié et l'agent public == Les fonctionnaires et la majorité des agents publics ne sont pas des salariés de droit privé. Leur situation relève principalement du [[Droit de la fonction publique en France|droit de la fonction publique]] et du droit administratif. Toutefois, certaines personnes peuvent être employées par une personne publique dans les conditions du droit privé. L'article L. 1411-2 du Code du travail prévoit que le conseil de prud'hommes règle les différends et litiges concernant les personnels des services publics lorsqu'ils sont employés dans les conditions du droit privé<ref>Code du travail, art. L. 1411-2.</ref>. Le caractère public de l'employeur ne suffit donc pas toujours à exclure la qualité de salarié de droit privé. = Cinquième partie : La preuve de la qualité de salarié = == Chapitre 1 : L'absence de contrat de travail apparent == Lorsqu'aucun contrat de travail apparent n'existe, celui qui revendique la qualité de salarié doit en principe établir l'existence de la relation de travail dont il se prévaut. Il peut produire différents éléments : * courriels ; * messages ; * plannings ; * instructions ; * relevés de connexion ; * relevés de géolocalisation ; * attestations ; * relevés de paiement ; * tableaux de service ; * documents internes ; * preuves de sanctions ; * outils de contrôle de l'activité. Le juge examine l'ensemble des circonstances de fait. == Chapitre 2 : Le contrat de travail apparent == La situation est différente lorsqu'il existe un '''contrat de travail apparent'''. Celui-ci peut notamment résulter de la production : * d'un contrat de travail ; * de bulletins de salaire ; * d'éléments manifestant extérieurement l'existence d'une relation salariée. En présence d'un contrat de travail apparent, il appartient à celui qui soutient que ce contrat est fictif d'en rapporter la preuve. La chambre sociale de la Cour de cassation a encore rappelé ce principe dans un arrêt du '''9 avril 2026'''<ref>Cour de cassation, chambre sociale, 9 avril 2026, n° 25-10.247.</ref>. Cette distinction est importante en pratique : {| class="wikitable" ! Situation ! Charge initiale de la preuve |- | Absence de contrat de travail apparent | Celui qui revendique la qualité de salarié doit établir la relation de travail |- | Contrat de travail apparent | Celui qui soutient que le contrat est fictif doit en rapporter la preuve |} = Sixième partie : Les droits fondamentaux du salarié = La subordination juridique ne signifie pas que le salarié abandonne ses droits fondamentaux à l'entrée de l'entreprise. L'article L. 1121-1 du Code du travail dispose qu'aucune restriction ne peut être apportée aux droits des personnes et aux libertés individuelles et collectives si elle n'est pas : * '''justifiée par la nature de la tâche à accomplir''' ; * '''proportionnée au but recherché'''<ref>Code du travail, art. L. 1121-1.</ref>. Ce principe constitue l'une des règles fondamentales du droit contemporain du travail. == La dignité et la vie personnelle == Le salarié conserve notamment le droit : * au respect de sa dignité ; * au respect de sa vie privée et personnelle ; * au secret de ses correspondances dans les conditions reconnues par la jurisprudence ; * à la protection de ses données personnelles. Les moyens de contrôle mis en place par l'employeur doivent respecter les conditions légales et le principe de proportionnalité. == La liberté d'expression == Le salarié bénéficie d'une liberté d'expression dans et hors de l'entreprise. Cette liberté connaît cependant certaines limites. L'abus peut notamment résulter, selon les circonstances, de propos injurieux, diffamatoires ou excessifs. Une simple critique de l'employeur ne constitue donc pas nécessairement une faute. == La liberté syndicale == Le salarié bénéficie du droit : * d'adhérer à un syndicat ; * de ne pas y adhérer ; * d'exercer une activité syndicale ; * de participer à l'exercice collectif des droits des travailleurs. L'activité syndicale ne peut justifier une discrimination. == Le droit de grève == Le [[Droit de grève en France|droit de grève]] est un droit de valeur constitutionnelle. Lorsqu'il est exercé conformément aux conditions légales, il suspend le contrat de travail mais ne le rompt pas. Son exercice ne peut en principe justifier une sanction ou un licenciement, sauf notamment faute lourde imputable au salarié. == Le principe de non-discrimination == L'article L. 1132-1 du Code du travail interdit notamment qu'un salarié fasse l'objet d'une mesure discriminatoire en raison de nombreux motifs protégés par la loi<ref>Code du travail, art. L. 1132-1.</ref>. Sont notamment concernés : * l'origine ; * le sexe ; * l'âge ; * la situation de famille ; * la grossesse ; * l'état de santé ; * le handicap ; * l'orientation sexuelle ; * l'identité de genre ; * les opinions politiques ; * les activités syndicales ; * les convictions religieuses ; * le lieu de résidence ; * l'apparence physique ; * l'exercice d'un mandat électif ; * la qualité de lanceur d'alerte dans les conditions prévues par la loi. = Septième partie : Les principaux droits liés au statut de salarié = Le statut de salarié permet l'application d'un ensemble de garanties légales et conventionnelles. Elles concernent notamment : * la rémunération minimale ; * la durée du travail ; * les repos ; * les congés payés ; * la santé et la sécurité ; * la formation professionnelle ; * la protection contre les discriminations ; * la protection contre le harcèlement ; * la représentation collective ; * la réglementation du licenciement ; * l'assurance chômage, sous réserve de ses conditions propres ; * la protection sociale. Ces droits varient toutefois selon : * la nature du contrat ; * la durée du travail ; * l'ancienneté ; * la convention collective ; * la taille de l'entreprise ; * la situation personnelle du salarié. == Le droit à rémunération == L'employeur doit verser au salarié la rémunération convenue en contrepartie du travail accompli. Cette rémunération doit respecter notamment : * le [[Salaire minimum interprofessionnel de croissance|SMIC]] ; * le minimum conventionnel lorsqu'il est plus favorable et applicable ; * le principe d'égalité de rémunération ; * les dispositions relatives à l'égalité professionnelle entre les femmes et les hommes. == Le droit au repos et aux congés == Le salarié bénéficie des garanties légales relatives : * aux durées maximales de travail ; * aux repos quotidien et hebdomadaire ; * aux congés payés ; * à différents congés familiaux ou personnels. Ces droits constituent une contrepartie essentielle de la mise à disposition de la force de travail du salarié. == Le droit à la santé et à la sécurité == L'employeur est tenu de prendre les mesures nécessaires pour assurer la sécurité et protéger la santé physique et mentale des travailleurs. Le salarié est lui-même soumis à certaines obligations. L'article L. 4122-1 prévoit qu'il incombe à chaque travailleur, en fonction de sa formation et de ses possibilités, de prendre soin : * de sa propre santé et sécurité ; * de celles des autres personnes concernées par ses actes ou omissions au travail<ref>Code du travail, art. L. 4122-1.</ref>. Cette obligation du salarié est toutefois '''sans incidence sur le principe de responsabilité de l'employeur'''. = Huitième partie : Les obligations du salarié = La qualité de salarié confère des droits mais impose également des obligations. == L'exécution personnelle du travail == Le salarié doit accomplir personnellement le travail pour lequel il a été engagé. Il ne peut normalement se faire remplacer librement par la personne de son choix. == Le respect des directives de l'employeur == Le lien de subordination implique que le salarié respecte les directives relevant légitimement du pouvoir de direction de l'employeur. Il n'est toutefois pas tenu d'exécuter un ordre : * manifestement illicite ; * portant une atteinte injustifiée à ses droits fondamentaux ; * susceptible, dans certaines circonstances, de présenter un danger grave et imminent ouvrant droit à l'exercice du droit de retrait. La subordination n'est donc jamais une obligation d'obéissance absolue. == L'obligation de bonne foi == L'article L. 1222-1 du Code du travail dispose que : : « Le contrat de travail est exécuté de bonne foi. »<ref>Code du travail, art. L. 1222-1.</ref> Cette obligation s'impose aussi bien au salarié qu'à l'employeur. == L'obligation de loyauté == Le salarié est tenu d'une obligation de loyauté envers son employeur pendant l'exécution du contrat. Il ne peut notamment pas : * exercer une activité concurrente déloyale ; * détourner la clientèle de son employeur ; * utiliser frauduleusement certaines informations appartenant à l'entreprise ; * commettre des actes portant volontairement atteinte aux intérêts de son employeur. L'obligation de loyauté doit cependant être conciliée avec les droits fondamentaux et les libertés du salarié. == L'obligation de discrétion ou de confidentialité == Certaines fonctions peuvent imposer au salarié de ne pas révéler des informations confidentielles auxquelles il a accès. Cette obligation ne peut toutefois servir à empêcher un salarié d'exercer les droits que la loi lui reconnaît, notamment en matière d'alerte ou de témoignage lorsque les conditions légales sont réunies. = Neuvième partie : Les différentes catégories de salariés = Tous les salariés ne sont pas placés dans une situation juridique identique. Ils peuvent notamment être distingués selon : == La nature du contrat == * salarié en [[Contrat de travail à durée indéterminée|CDI]] ; * salarié en [[Contrat de travail à durée déterminée|CDD]] ; * salarié temporaire ; * apprenti ; * salarié titulaire de certains contrats particuliers. == La durée du travail == On distingue notamment : * salarié à temps complet ; * salarié à temps partiel ; * salarié soumis à un forfait en heures ; * salarié soumis à un forfait en jours lorsque les conditions légales sont réunies. == La classification professionnelle == Les conventions collectives peuvent notamment distinguer : * ouvriers ; * employés ; * techniciens ; * agents de maîtrise ; * cadres. Ces classifications peuvent avoir des conséquences sur : * la rémunération minimale ; * la période d'essai ; * le préavis ; * certains avantages conventionnels. La qualité de cadre ne supprime cependant pas la qualité de salarié ni nécessairement l'existence d'un lien de subordination. = Dixième partie : Le salarié protégé = Certains salariés bénéficient d'une protection particulière en raison de fonctions représentatives ou syndicales. Le Code du travail regroupe ces protections notamment aux articles L. 2411-1 et suivants<ref>Code du travail, art. L. 2411-1 et suivants.</ref>. Sont notamment susceptibles de bénéficier d'une protection : * les membres élus du [[Comité social et économique|CSE]] ; * les délégués syndicaux ; * les représentants syndicaux au CSE ; * certains représentants de proximité ; * certains candidats aux élections professionnelles ; * certains anciens représentants pendant une durée déterminée par la loi ; * d'autres titulaires de mandats expressément prévus par le Code du travail. Le licenciement d'un salarié protégé ne relève pas uniquement de la procédure ordinaire. Il nécessite en principe une '''autorisation de l'inspecteur du travail'''. Cette protection n'interdit pas tout licenciement : elle soumet la rupture à un contrôle administratif particulier destiné notamment à vérifier que la mesure envisagée n'est pas liée à l'exercice du mandat. = Onzième partie : Le contentieux de la qualité de salarié = == La compétence du conseil de prud'hommes == Le [[Conseil de prud'hommes (France)|conseil de prud'hommes]] règle les litiges individuels qui naissent à l'occasion d'un contrat de travail relevant du Code du travail<ref>Code du travail, art. L. 1411-1.</ref>. Une difficulté particulière se présente lorsque l'existence même du contrat de travail est contestée. Le juge prud'homal peut alors devoir déterminer s'il existe une relation salariée pour apprécier sa propre compétence. == La requalification == Un travailleur présenté comme indépendant peut saisir la juridiction afin de demander la '''requalification''' de sa relation en contrat de travail. Lorsque le contrat de travail est reconnu, les conséquences peuvent être importantes. Selon les demandes formulées et la situation, elles peuvent notamment concerner : * les salaires ; * les heures supplémentaires ; * les congés payés ; * les indemnités de rupture ; * l'indemnité pour travail dissimulé lorsque les conditions légales sont établies ; * les cotisations sociales ; * l'application d'une convention collective ; * la régularité de la rupture ; * l'ancienneté. La requalification ne constitue donc pas simplement un changement de vocabulaire : elle peut modifier profondément le régime juridique applicable à la relation. = Douzième partie : Méthodologie du cas pratique = Lorsqu'un cas pratique demande de déterminer si une personne est salariée, le raisonnement peut être organisé en plusieurs étapes. == Étape 1 : rechercher une règle spéciale == Il faut commencer par rechercher l'existence : * d'une présomption légale de salariat ; * d'une présomption de non-salariat ; * d'un statut professionnel particulier. Exemple : journaliste professionnel, artiste du spectacle, mannequin ou personne immatriculée comme entrepreneur. == Étape 2 : identifier une prestation de travail == Il faut déterminer : * quelle activité est exercée ; * pour le compte de qui ; * dans quelles conditions. == Étape 3 : rechercher une rémunération == Il faut identifier la contrepartie économique de la prestation. Le nom donné au paiement importe peu. == Étape 4 : rechercher le lien de subordination == Il faut appliquer la grille : {| class="wikitable" ! Pouvoir ! Questions à poser |- | '''Direction''' | Qui fixe les règles, les horaires, les missions ou les modalités d'exécution ? |- | '''Contrôle''' | Qui vérifie l'activité ? Existe-t-il un suivi, des comptes rendus, une géolocalisation ou des évaluations ? |- | '''Sanction''' | Existe-t-il des avertissements, pénalités, suspensions, exclusions ou désactivations en cas de manquement ? |} == Étape 5 : raisonner sur les faits réels == Il ne faut jamais conclure uniquement à partir : * du titre du contrat ; * du statut fiscal ; * de l'immatriculation ; * de la volonté exprimée par les parties. Il faut analyser les '''conditions effectives d'exercice'''. == Étape 6 : conclure juridiquement == La conclusion doit être nuancée. Exemple : : « Bien que M. X soit immatriculé comme entrepreneur individuel, la société fixe ses horaires et ses tarifs, contrôle en temps réel son activité et peut suspendre son compte en cas de non-respect de ses directives. Ces éléments sont susceptibles de caractériser les pouvoirs de direction, de contrôle et de sanction constitutifs d'un lien de subordination. La présomption de non-salariat pourrait donc être renversée et la relation requalifiée en contrat de travail. » = Cas pratique = Une société exploite une application de livraison. Paul est enregistré comme micro-entrepreneur. Il signe un contrat intitulé « contrat de partenariat indépendant ». Il peut décider chaque semaine s'il souhaite travailler. Lorsqu'il se connecte : * le prix des livraisons est fixé par la plateforme ; * l'application lui indique l'itinéraire ; * sa position est suivie par GPS ; * son temps de livraison est enregistré ; * le refus répété de certaines commandes fait diminuer son classement ; * plusieurs mauvaises évaluations peuvent provoquer une suspension de son compte ; * des manquements répétés peuvent entraîner sa désactivation définitive. '''Question :''' Paul est-il nécessairement un travailleur indépendant ? === Proposition de correction === Non. Son immatriculation crée éventuellement une présomption de non-salariat dans les conditions prévues par l'article L. 8221-6 du Code du travail, mais cette présomption peut être renversée. Il faut rechercher les conditions réelles dans lesquelles son activité est exercée. La possibilité de choisir librement de se connecter constitue un indice d'autonomie. Toutefois, une fois connecté : * la plateforme fixe le prix ; * elle organise l'activité ; * elle contrôle l'exécution au moyen de la géolocalisation ; * elle évalue le comportement du travailleur ; * elle dispose de mécanismes de sanction pouvant aller jusqu'à la désactivation. Ces éléments sont susceptibles de caractériser les trois pouvoirs identifiés par la jurisprudence : '''direction, contrôle et sanction'''. Le juge pourrait donc, selon l'ensemble des circonstances, reconnaître l'existence d'un contrat de travail. Cette analyse s'inscrit notamment dans la jurisprudence ''Take Eat Easy'' et ''Uber''. = Synthèse = {| class="wikitable" ! Notion ! Principe |- | '''Salarié''' | Personne fournissant une prestation rémunérée dans un lien de subordination |- | '''Critère essentiel''' | Lien de subordination juridique |- | '''Arrêt de référence''' | Cass. soc., 13 novembre 1996, ''Société Générale'', n° 94-13.187 |- | '''Subordination''' | Pouvoir de direction + contrôle + sanction |- | '''Qualification du contrat''' | Les conditions réelles de travail priment sur le nom donné au contrat |- | '''Indépendant immatriculé''' | Présomption de non-salariat pouvant être renversée |- | '''Stagiaire''' | N'est pas en principe salarié |- | '''Apprenti''' | Salarié titulaire d'un contrat de travail particulier |- | '''Mandataire social''' | N'est pas automatiquement salarié ; cumul possible sous conditions |- | '''Assimilé salarié''' | Notion de protection sociale ne suffisant pas à établir un contrat de travail |- | '''Contrat apparent''' | Celui qui prétend qu'il est fictif doit en rapporter la preuve |- | '''Juridiction principale''' | Conseil de prud'hommes |} = Questions de révision = # Quels sont les trois éléments traditionnellement constitutifs du contrat de travail ? # Comment la Cour de cassation définit-elle le lien de subordination ? # Pourquoi l'intégration dans un service organisé n'est-elle pas, à elle seule, suffisante ? # La volonté des parties peut-elle empêcher une requalification en contrat de travail ? # Quelle est la différence entre dépendance économique et subordination juridique ? # Quelle présomption l'article L. 8221-6 du Code du travail instaure-t-il ? # Un micro-entrepreneur peut-il être reconnu comme salarié ? # Quelle différence existe-t-il entre un salarié et un « assimilé salarié » ? # Un apprenti est-il juridiquement salarié ? # Un stagiaire est-il nécessairement salarié ? # Quelles conditions permettent à un mandataire social de cumuler son mandat avec un contrat de travail ? # À qui incombe la preuve lorsqu'un contrat de travail apparent existe ? # Quels enseignements peut-on tirer des arrêts ''Take Eat Easy'' et ''Uber'' ? # Quelle juridiction est en principe compétente pour les litiges individuels relatifs au contrat de travail ? # En quoi consiste la protection d'un salarié protégé ? = Jurisprudence fondamentale à connaître = * '''Cass. soc., 13 novembre 1996, n° 94-13.187, ''Société Générale''''' : définition moderne du lien de subordination. * '''Cass. soc., 19 décembre 2000, n° 98-40.572, ''Labbane''''' : les conditions réelles d'exercice de l'activité priment sur la qualification donnée par les parties. * '''Cass. soc., 28 novembre 2018, n° 17-20.079, ''Take Eat Easy''''' : contrôle par géolocalisation et pouvoir de sanction d'une plateforme. * '''Cass. soc., 4 mars 2020, n° 19-13.316, ''Uber''''' : reconnaissance d'un lien de subordination dans certaines conditions d'activité d'un chauffeur de plateforme. * '''Cass. soc., 9 avril 2026, n° 25-10.247''' : rappel qu'en présence d'un contrat de travail apparent, celui qui en invoque le caractère fictif doit en rapporter la preuve. = Principaux textes à connaître = * Code du travail, art. '''L. 1121-1''' : droits et libertés dans l'entreprise. * Code du travail, art. '''L. 1132-1''' : interdiction des discriminations. * Code du travail, art. '''L. 1221-1''' : contrat de travail et droit commun. * Code du travail, art. '''L. 1222-1''' : exécution de bonne foi. * Code du travail, art. '''L. 1411-1 et L. 1411-2''' : compétence du conseil de prud'hommes. * Code du travail, art. '''L. 2411-1 et suivants''' : salariés protégés. * Code du travail, art. '''L. 4111-5''' : notion de travailleur en matière de santé et sécurité. * Code du travail, art. '''L. 4122-1''' : obligations du travailleur en matière de sécurité. * Code du travail, art. '''L. 6221-1''' : contrat d'apprentissage. * Code du travail, art. '''L. 7112-1''' : présomption de salariat des journalistes professionnels. * Code du travail, art. '''L. 7121-3''' : artistes du spectacle. * Code du travail, art. '''L. 7123-3 et suivants''' : mannequins. * Code du travail, art. '''L. 8221-6''' : présomption de non-salariat et possibilité d'établir un lien de subordination. * Code de la sécurité sociale, art. '''L. 311-3''' : personnes rattachées au régime général. = Notes et références = <references /> = Voir aussi = * [[Droit du travail en France]] * [[Contrat de travail en France]] * [[Employeur]] * [[Lien de subordination]] * [[Travailleur indépendant]] * [[Contrat de travail à durée indéterminée]] * [[Contrat de travail à durée déterminée]] * [[Conseil de prud'hommes (France)]] * [[Comité social et économique]] * [[Droit de grève en France]] * [[Discrimination à l'embauche]] <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 7n1f7nnvtwnl7jdmu0at4h7z3k8zpzz 0 87387 987151 2026-10-05T22:35:05Z Alkapone67 81117 Page créée avec « <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> L''''employeur''' est la personne physique ou morale pour le compte de laquelle un [[salarié]] accomplit une prestation de travail dans le cadre d'un [[contrat de travail en France|contrat de travail]]. Il constitue, avec le salarié, l'une des deux parties à la relation individuelle de travail. Il verse la rémunération convenue et dispose, en raison du [[Lien de subordination|lien de subordination juridique]... » 987151 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> L''''employeur''' est la personne physique ou morale pour le compte de laquelle un [[salarié]] accomplit une prestation de travail dans le cadre d'un [[contrat de travail en France|contrat de travail]]. Il constitue, avec le salarié, l'une des deux parties à la relation individuelle de travail. Il verse la rémunération convenue et dispose, en raison du [[Lien de subordination|lien de subordination juridique]], de pouvoirs de direction, de contrôle et de sanction. Ces pouvoirs sont toutefois encadrés par la loi, les conventions et accords collectifs, le contrat de travail, les droits fondamentaux des salariés et le contrôle du juge. La notion d'employeur ne doit pas être confondue avec celles de '''chef d'entreprise''', de '''dirigeant''', d''''entreprise''', d''''établissement''' ou de '''groupe de sociétés'''. Lorsque l'employeur est une personne morale, telle qu'une société ou une association, c'est en principe cette personne morale qui est partie au contrat de travail, même si ses pouvoirs sont concrètement exercés par ses représentants. == Objectifs pédagogiques == À l'issue de ce cours, l'étudiant doit être capable de : * définir juridiquement la notion d'employeur ; * identifier l'employeur véritable dans une relation de travail ; * distinguer employeur, entreprise, établissement, dirigeant et groupe de sociétés ; * comprendre la notion de coemploi ; * identifier les pouvoirs de direction, de contrôle, réglementaire et disciplinaire de l'employeur ; * connaître les limites juridiques de ces pouvoirs ; * identifier les principales obligations résultant du contrat de travail ; * connaître les obligations de l'employeur en matière de santé, de sécurité, de discrimination, de harcèlement et de formation ; * comprendre les obligations collectives liées à la représentation du personnel ; * distinguer les responsabilités civiles, pénales et administratives susceptibles d'incomber à l'employeur ; * analyser les conséquences d'un changement d'employeur ; * résoudre un cas pratique relatif à l'identification de l'employeur ou à l'exercice de ses pouvoirs. = Première partie : La notion d'employeur = == Chapitre 1 : Définition == Le [[Code du travail (France)|Code du travail]] utilise très fréquemment le terme « employeur » mais n'en fournit pas une définition générale unique. L'employeur peut être défini comme la '''personne qui conclut un contrat de travail avec un salarié et sous l'autorité de laquelle celui-ci accomplit une prestation de travail en contrepartie d'une rémunération'''. L'identification de l'employeur est ainsi étroitement liée à celle du contrat de travail. Dans son arrêt ''Société Générale'' du 13 novembre 1996, la [[Cour de cassation (France)|Cour de cassation]] définit le lien de subordination comme l'exécution d'un travail sous l'autorité d'un employeur qui dispose du pouvoir : * de donner des ordres et des directives ; * d'en contrôler l'exécution ; * de sanctionner les manquements de son subordonné<ref>Cour de cassation, chambre sociale, 13 novembre 1996, n° 94-13.187, publié au Bulletin.</ref>. Cette définition permet d'identifier non seulement le salarié, mais également les principales prérogatives caractéristiques de l'employeur. == Chapitre 2 : Les différentes catégories d'employeurs == === L'employeur personne physique === Une personne physique peut directement employer un ou plusieurs salariés. Il peut notamment s'agir : * d'un entrepreneur individuel ; * d'un professionnel libéral employant du personnel ; * d'un commerçant ; * d'un artisan ; * d'un agriculteur ; * d'un particulier employeur. Dans ce cas, la personne physique est elle-même partie au contrat de travail. === L'employeur personne morale === L'employeur peut également être une [[Personne morale|personne morale]]. Il peut notamment s'agir : * d'une société commerciale ; * d'une société civile ; * d'une association ; * d'une fondation ; * d'une mutuelle ; * d'un syndicat ; * de certains organismes ou établissements publics employant du personnel de droit privé. La personne morale est alors juridiquement l'employeur. Le président, le gérant, le directeur général ou le responsable des ressources humaines n'est pas pour cette seule raison l'employeur personnel du salarié : il agit en principe au nom de la personne morale. === Les personnes publiques employant des salariés de droit privé === L'article L. 1111-1 du Code du travail prévoit que les dispositions concernées sont applicables aux employeurs de droit privé et à leurs salariés. Elles sont également applicables au personnel des personnes publiques lorsqu'il est employé dans les conditions du droit privé, sous réserve des dispositions particulières résultant de son statut<ref>Code du travail, art. L. 1111-1.</ref>. Une personne publique peut donc, dans certaines situations, être employeur de salariés relevant du droit privé. Il ne faut donc pas déduire du seul caractère public de l'employeur que la relation échappe nécessairement au droit du travail. === Le particulier employeur === Le particulier employeur constitue une catégorie particulière. L'article L. 7221-1 du Code du travail vise la personne qui emploie un ou plusieurs salariés à son domicile privé ou à proximité de celui-ci, sans poursuivre de but lucratif et afin de satisfaire des besoins relevant de sa vie personnelle ou familiale<ref>Code du travail, art. L. 7221-1.</ref>. Le régime applicable tient notamment compte de la spécificité d'une relation de travail qui s'exerce au domicile privé de l'employeur. == Chapitre 3 : Employeur, entreprise et établissement == Ces notions doivent être distinguées. === L'entreprise === L''''entreprise''' est principalement une notion économique et sociale. Elle correspond à une organisation de moyens humains, matériels et financiers consacrée à une activité. Elle ne possède pas nécessairement, en tant que telle, une personnalité juridique distincte. Une société peut constituer une entreprise, mais les deux notions ne sont pas synonymes. === L'établissement === L''''établissement''' constitue généralement une unité géographique ou organisationnelle appartenant à une entreprise. Une même société peut ainsi exploiter plusieurs établissements. Le salarié qui travaille dans un établissement déterminé reste normalement lié par son contrat à la personne juridique qui l'emploie. === Le chef d'entreprise === Le '''chef d'entreprise''' exerce les prérogatives attachées à la direction de l'entreprise. Lorsque l'entreprise est exploitée par une personne morale, le chef d'entreprise peut être son représentant sans être personnellement partie aux contrats de travail. {{Citation bloc|L'employeur est une notion juridique ; l'entreprise est principalement une organisation économique et sociale.}} = Deuxième partie : L'identification de l'employeur véritable = == Chapitre 1 : Le principe == Dans la plupart des relations de travail, l'identification de l'employeur ne pose aucune difficulté : il s'agit de la personne mentionnée dans le contrat de travail et sur les bulletins de paie. Toutefois, des difficultés peuvent apparaître lorsque plusieurs personnes ou sociétés participent à l'organisation du travail. Le juge peut alors notamment rechercher : * qui a recruté le salarié ; * qui verse la rémunération ; * qui donne les ordres et les directives ; * qui organise le travail ; * qui contrôle l'activité ; * qui décide des congés ; * qui évalue le salarié ; * qui exerce le pouvoir disciplinaire ; * qui peut décider de rompre la relation. Le critère du pouvoir patronal joue alors un rôle déterminant. == Chapitre 2 : Le groupe de sociétés == L'appartenance de plusieurs sociétés à un même [[Groupe de sociétés|groupe]] ne leur fait pas perdre leur personnalité juridique propre. En principe, le salarié d'une filiale n'est donc pas automatiquement salarié de la société mère. Le fait qu'une société mère : * contrôle le capital de la filiale ; * détermine la stratégie générale du groupe ; * fournisse des services administratifs ; * centralise certaines fonctions ; * exerce une influence économique importante ne suffit pas, à lui seul, à lui conférer la qualité d'employeur des salariés de sa filiale. == Chapitre 3 : Le coemploi == Le '''coemploi''' permet exceptionnellement de reconnaître qu'une personne ou une société autre que l'employeur contractuel doit également être considérée comme employeur. Il peut tout d'abord résulter de l'existence d'un véritable '''lien de subordination''' entre le salarié et une seconde société. En matière de groupes de sociétés, la Cour de cassation a également développé un critère particulier. Dans un arrêt du 25 novembre 2020, elle juge que, hors l'existence d'un lien de subordination, une société appartenant à un groupe ne peut être qualifiée de coemployeur que lorsqu'existe, au-delà de la coordination normale des sociétés du groupe et de la domination économique résultant de cette appartenance, une : : '''immixtion permanente dans la gestion économique et sociale de la société employeur conduisant à la perte totale d'autonomie d'action de celle-ci'''<ref>Cour de cassation, chambre sociale, 25 novembre 2020, n° 18-13.769, publié au Bulletin.</ref>. Le coemploi au sein d'un groupe présente donc un caractère '''exceptionnel'''. La Cour de cassation a encore appliqué ce critère dans sa jurisprudence récente<ref>Voir notamment Cour de cassation, chambre sociale, 28 janvier 2026, n° 23-23.949.</ref>. Il faut donc distinguer : {| class="wikitable" ! Situation ! Conséquence |- | Coordination normale entre sociétés d'un groupe | Pas de coemploi |- | Domination économique d'une société mère | Insuffisante à elle seule |- | Services communs de ressources humaines ou de gestion | Insuffisants à eux seuls |- | Lien direct de subordination avec une autre société | Peut caractériser un coemploi |- | Immixtion permanente conduisant à la perte totale d'autonomie de l'employeur | Peut caractériser le coemploi |} == Chapitre 4 : L'unité économique et sociale == L'[[Unité économique et sociale|unité économique et sociale]] (UES) permet de regrouper plusieurs entités juridiquement distinctes pour l'application de certaines règles de représentation collective. La reconnaissance d'une UES ne signifie toutefois pas que celle-ci devient automatiquement l'employeur de tous les salariés concernés. La Cour de cassation a notamment jugé qu'une UES ne se substitue pas, par elle-même, aux sociétés qui la composent et qu'elle ne peut se voir attribuer artificiellement la qualité d'employeur unique en l'absence des conditions permettant cette qualification<ref>Cour de cassation, chambre sociale, 16 décembre 2008, n° 07-43.875.</ref>. Ainsi : : '''UES ≠ employeur unique ≠ coemploi'''. Ces notions répondent à des objectifs juridiques distincts. == Chapitre 5 : Le travail temporaire == Le [[Travail temporaire en droit français|travail temporaire]] constitue une relation triangulaire. Elle met en présence : * le salarié temporaire ; * l'entreprise de travail temporaire ; * l'entreprise utilisatrice. L'entreprise de travail temporaire est l'employeur du salarié intérimaire. L'entreprise utilisatrice exerce néanmoins pendant la mission une partie importante de l'autorité fonctionnelle sur le travailleur et assume certaines obligations, notamment en matière de conditions d'exécution du travail et de santé et sécurité. Il ne faut donc pas confondre : * l''''employeur contractuel''' ; * l''''entreprise dans laquelle le travail est matériellement exécuté'''. == Chapitre 6 : Sous-traitance et mise à disposition == Le salarié d'un sous-traitant reste en principe salarié de ce sous-traitant. Le donneur d'ordre ne devient pas automatiquement son employeur du seul fait : * qu'il contrôle le résultat de la prestation ; * que le salarié intervient dans ses locaux ; * qu'il fixe les caractéristiques du marché. La situation doit cependant être examinée différemment lorsque le donneur d'ordre exerce personnellement sur le travailleur les pouvoirs caractéristiques du lien de subordination. = Troisième partie : Les pouvoirs de l'employeur = Le contrat de travail place le salarié dans un lien de subordination. Celui-ci justifie l'existence de plusieurs pouvoirs au bénéfice de l'employeur. Ces pouvoirs ne sont jamais absolus. == Chapitre 1 : Le pouvoir de direction == Le '''pouvoir de direction''' permet à l'employeur d'organiser le fonctionnement de l'entreprise et l'activité des salariés. Dans les limites du contrat de travail et de la loi, il peut notamment : * déterminer l'organisation du travail ; * répartir les tâches ; * donner des instructions ; * déterminer certaines méthodes de travail ; * fixer des objectifs ; * organiser les horaires dans les limites applicables ; * contrôler la bonne exécution du travail ; * procéder à l'évaluation professionnelle du salarié. Le salarié doit en principe respecter les instructions licites de l'employeur. Le pouvoir de direction trouve toutefois ses limites dans : * le contrat de travail ; * la loi ; * les règlements ; * les conventions et accords collectifs ; * les droits et libertés fondamentaux ; * le principe de non-discrimination ; * l'exigence de bonne foi. == Chapitre 2 : Pouvoir de direction et modification du contrat == Le pouvoir de direction ne permet pas à l'employeur de modifier librement le contrat de travail. Il faut distinguer : === Le changement des conditions de travail === Une mesure relevant simplement des conditions de travail peut, en principe, être décidée par l'employeur dans l'exercice de son pouvoir de direction. === La modification du contrat de travail === Lorsqu'une mesure modifie un élément contractuel nécessitant l'accord du salarié, l'employeur ne peut en principe l'imposer unilatéralement. Cela peut notamment concerner, selon les circonstances : * la rémunération contractuelle ; * la qualification professionnelle ; * la durée contractuelle du travail ; * certains changements de lieu de travail ; * un élément que les parties ont expressément contractualisé. La frontière entre modification du contrat et simple changement des conditions de travail constitue une question majeure du contentieux prud'homal. == Chapitre 3 : Le pouvoir de contrôle == L'employeur peut contrôler l'activité professionnelle de ses salariés. Ce pouvoir peut notamment prendre la forme : * d'un contrôle hiérarchique ; * de comptes rendus ; * d'objectifs et d'indicateurs ; * de dispositifs informatiques ; * de systèmes de pointage ; * de vidéosurveillance ; * de géolocalisation, lorsque les conditions légales sont réunies. Le contrôle est néanmoins encadré. L'article L. 1222-4 du Code du travail prévoit qu'aucune information concernant personnellement un salarié ne peut être collectée par un dispositif qui n'a pas été préalablement porté à sa connaissance<ref>Code du travail, art. L. 1222-4.</ref>. Les méthodes d'évaluation professionnelle doivent également être portées à la connaissance du salarié et être pertinentes au regard de leur finalité<ref>Code du travail, art. L. 1222-2 et L. 1222-3.</ref>. L'employeur doit également respecter les règles relatives à la protection des données personnelles. == Chapitre 4 : Le pouvoir réglementaire == L'employeur dispose d'un pouvoir normatif interne limité. Celui-ci se manifeste principalement par le '''règlement intérieur'''. L'article L. 1321-1 du Code du travail prévoit notamment que le règlement intérieur fixe : * les mesures d'application de la réglementation en matière de santé et de sécurité ; * certaines conditions relatives au rétablissement de conditions de travail protectrices ; * les règles générales et permanentes relatives à la discipline ; * la nature et l'échelle des sanctions pouvant être prononcées<ref>Code du travail, art. L. 1321-1.</ref>. === Seuil d'établissement du règlement intérieur === Le règlement intérieur est obligatoire dans les entreprises ou établissements employant au moins '''cinquante salariés'''. Cette obligation s'applique au terme d'un délai de douze mois à compter de l'atteinte du seuil<ref>Code du travail, art. L. 1311-2.</ref>. === Procédure === Depuis le 28 mai 2026, le règlement intérieur ne peut être introduit qu'après avoir été soumis à l'avis du [[Comité social et économique|CSE]]. Il indique sa date d'entrée en vigueur, laquelle doit être postérieure d'au moins un mois à l'accomplissement des formalités de publicité. Le règlement intérieur accompagné de l'avis du CSE est communiqué à l'inspecteur du travail<ref>Code du travail, art. L. 1321-4.</ref>. == Chapitre 5 : Le pouvoir disciplinaire == Le pouvoir disciplinaire constitue l'une des manifestations les plus caractéristiques de la qualité d'employeur. L'article L. 1331-1 définit la sanction comme toute mesure, autre que les observations verbales, prise par l'employeur à la suite d'un comportement du salarié qu'il considère comme fautif et susceptible d'affecter sa présence dans l'entreprise, sa fonction, sa carrière ou sa rémunération<ref>Code du travail, art. L. 1331-1.</ref>. Les sanctions peuvent notamment comprendre, selon les textes applicables : * avertissement ; * blâme ; * mise à pied disciplinaire ; * mutation disciplinaire ; * rétrogradation ; * licenciement disciplinaire. Les sanctions pécuniaires sont interdites<ref>Code du travail, art. L. 1331-2.</ref>. Le pouvoir disciplinaire est soumis : * à des délais ; * à une procédure ; * au principe de proportionnalité ; * aux règles du règlement intérieur lorsqu'il est applicable ; * au contrôle du conseil de prud'hommes. = Quatrième partie : Les limites aux pouvoirs de l'employeur = == Chapitre 1 : Les droits et libertés fondamentaux == Le salarié demeure titulaire de ses droits fondamentaux dans l'entreprise. L'article L. 1121-1 du Code du travail dispose : : « Nul ne peut apporter aux droits des personnes et aux libertés individuelles et collectives de restrictions qui ne seraient pas justifiées par la nature de la tâche à accomplir ni proportionnées au but recherché. »<ref>Code du travail, art. L. 1121-1.</ref> Deux conditions doivent donc être réunies : # la restriction doit être '''justifiée''' ; # elle doit être '''proportionnée'''. Ce mécanisme constitue un contrôle essentiel des décisions patronales. == Chapitre 2 : Le principe de non-discrimination == L'employeur ne peut fonder ses décisions sur les critères discriminatoires prohibés par la loi. L'article L. 1132-1 interdit notamment les discriminations concernant : * le recrutement ; * la rémunération ; * la formation ; * l'affectation ; * la qualification ; * la classification ; * la promotion ; * les horaires ; * l'évaluation ; * la mutation ; * le renouvellement du contrat ; * la sanction ; * le licenciement<ref>Code du travail, art. L. 1132-1.</ref>. Le pouvoir de gestion du personnel ne constitue donc jamais un pouvoir discrétionnaire. == Chapitre 3 : Le respect de la vie personnelle == Le salarié conserve le droit au respect de sa vie privée et personnelle. L'employeur doit notamment respecter les règles relatives : * au secret des correspondances ; * aux données personnelles ; * aux dispositifs de surveillance ; * aux informations personnelles demandées au salarié ; * aux libertés individuelles. Le contrôle de l'activité professionnelle doit être concilié avec ces droits. = Cinquième partie : Les obligations de l'employeur lors de l'embauche = == Chapitre 1 : Les limites au recrutement == L'employeur est en principe libre de choisir la personne qu'il souhaite recruter, mais cette liberté est fortement encadrée. Les informations demandées au candidat ne peuvent avoir pour finalité que d'apprécier sa capacité à occuper l'emploi proposé ou ses aptitudes professionnelles. Elles doivent présenter un lien direct et nécessaire avec l'emploi ou l'évaluation des aptitudes professionnelles<ref>Code du travail, art. L. 1221-6.</ref>. Les méthodes de recrutement doivent également respecter les règles prévues par le Code du travail. La discrimination à l'embauche est interdite. == Chapitre 2 : La déclaration préalable à l'embauche == L'article L. 1221-10 prévoit que l'embauche d'un salarié ne peut intervenir qu'après l'accomplissement par l'employeur d'une '''déclaration préalable à l'embauche''' auprès des organismes compétents<ref>Code du travail, art. L. 1221-10.</ref>. Cette déclaration constitue notamment un instrument de lutte contre le [[Travail dissimulé en France|travail dissimulé]]. == Chapitre 3 : L'information du salarié == L'employeur doit remettre au salarié un ou plusieurs documents écrits contenant les informations principales relatives à la relation de travail<ref>Code du travail, art. L. 1221-5-1.</ref>. Ces informations concernent notamment : * l'identité des parties ; * le lieu de travail ; * l'emploi occupé ; * la date d'embauche ; * la rémunération ; * la durée du travail ; * les congés ; * la période d'essai éventuelle ; * la convention collective applicable ; * certaines règles relatives à la rupture. Certaines informations doivent être communiquées au plus tard dans les sept jours calendaires suivant l'embauche, les autres au plus tard dans un délai d'un mois<ref>Code du travail, art. R. 1221-34 et R. 1221-35.</ref>. = Sixième partie : Les obligations résultant de l'exécution du contrat = == Chapitre 1 : L'obligation de bonne foi == L'article L. 1222-1 du Code du travail dispose : : « Le contrat de travail est exécuté de bonne foi. »<ref>Code du travail, art. L. 1222-1.</ref> Cette règle s'impose à l'employeur comme au salarié. L'employeur ne peut donc user de ses pouvoirs de manière déloyale ou détournée. == Chapitre 2 : Fournir le travail convenu == L'employeur doit permettre au salarié d'exécuter le travail prévu au contrat. Il doit lui fournir les moyens nécessaires à l'accomplissement de ses fonctions, sous réserve des particularités propres à certains emplois ou modes d'organisation. La privation injustifiée de travail peut engager sa responsabilité. == Chapitre 3 : Verser la rémunération == L'une des obligations essentielles de l'employeur consiste à verser la rémunération due au salarié. Il doit respecter : * le salaire contractuel ; * le [[Salaire minimum interprofessionnel de croissance|SMIC]] ; * les minima conventionnels applicables ; * les règles relatives aux majorations ; * le principe d'égalité de traitement ; * les règles relatives à l'égalité de rémunération entre les femmes et les hommes. L'article L. 3221-2 prévoit que tout employeur assure, pour un même travail ou un travail de valeur égale, l'égalité de rémunération entre les femmes et les hommes<ref>Code du travail, art. L. 3221-2.</ref>. == Chapitre 4 : Respecter la durée du travail et les repos == L'employeur doit organiser le travail dans le respect : * des durées maximales de travail ; * du repos quotidien ; * du repos hebdomadaire ; * des congés payés ; * des règles particulières relatives au travail de nuit ; * des règles particulières concernant certains salariés protégés ou vulnérables. Le fait que le salarié accepte de travailler au-delà des limites légales ne libère pas nécessairement l'employeur de ses obligations. = Septième partie : L'obligation de santé et de sécurité = == Chapitre 1 : Le principe == L'article L. 4121-1 du Code du travail impose à l'employeur de prendre les mesures nécessaires pour assurer la sécurité et protéger la '''santé physique et mentale''' des travailleurs<ref>Code du travail, art. L. 4121-1.</ref>. Ces mesures comprennent : * des actions de prévention des risques professionnels ; * des actions d'information et de formation ; * la mise en place d'une organisation et de moyens adaptés. L'employeur doit adapter ces mesures pour tenir compte de l'évolution des circonstances et tendre à l'amélioration des situations existantes. == Chapitre 2 : Les principes généraux de prévention == L'employeur doit notamment : * éviter les risques ; * évaluer ceux qui ne peuvent être évités ; * combattre les risques à la source ; * adapter le travail à l'homme ; * tenir compte de l'évolution de la technique ; * remplacer ce qui est dangereux par ce qui l'est moins ; * planifier la prévention ; * donner la priorité aux mesures de protection collective ; * donner des instructions appropriées aux travailleurs<ref>Code du travail, art. L. 4121-2.</ref>. == Chapitre 3 : L'évaluation des risques == L'employeur doit évaluer les risques pour la santé et la sécurité des travailleurs<ref>Code du travail, art. L. 4121-3.</ref>. Les résultats de cette évaluation sont transcrits dans le '''document unique d'évaluation des risques professionnels''' (DUERP)<ref>Code du travail, art. L. 4121-3-1 et R. 4121-1.</ref>. Le DUERP répertorie les risques auxquels sont exposés les travailleurs et participe à leur prévention. == Chapitre 4 : Obligation de prévention et jurisprudence == La jurisprudence a longtemps qualifié l'obligation de sécurité d'« obligation de sécurité de résultat ». À partir notamment de l'arrêt dit ''Air France'' du 25 novembre 2015, la Cour de cassation a mis davantage l'accent sur les mesures de prévention effectivement prises par l'employeur<ref>Cour de cassation, chambre sociale, 25 novembre 2015, n° 14-24.444, publié au Bulletin.</ref>. L'analyse contemporaine ne consiste donc pas simplement à constater qu'un dommage est survenu. Il convient de rechercher si l'employeur a effectivement mis en œuvre les mesures de prévention prescrites par les articles L. 4121-1 et suivants. = Huitième partie : Harcèlement, discrimination et prévention = == Chapitre 1 : Le harcèlement moral == L'employeur doit prendre toutes dispositions nécessaires en vue de prévenir les agissements de [[Harcèlement moral en milieu professionnel|harcèlement moral]]<ref>Code du travail, art. L. 1152-4.</ref>. Cette obligation est distincte de l'interdiction faite à toute personne de commettre elle-même des faits de harcèlement. L'employeur peut donc voir sa responsabilité recherchée notamment lorsque les mesures de prévention nécessaires n'ont pas été prises. == Chapitre 2 : Le harcèlement sexuel == L'employeur doit prendre toutes dispositions nécessaires afin : * de prévenir les faits de harcèlement sexuel ; * d'y mettre un terme ; * de les sanctionner<ref>Code du travail, art. L. 1153-5.</ref>. Dans les entreprises employant au moins 250 salariés, un référent chargé d'orienter, d'informer et d'accompagner les salariés en matière de lutte contre le harcèlement sexuel et les agissements sexistes doit être désigné<ref>Code du travail, art. L. 1153-5-1.</ref>. = Neuvième partie : L'obligation d'adaptation et de formation = L'employeur doit assurer l'adaptation des salariés à leur poste de travail. Il doit également veiller au maintien de leur capacité à occuper un emploi au regard notamment de l'évolution : * des emplois ; * des technologies ; * des organisations<ref>Code du travail, art. L. 6321-1.</ref>. Depuis la modification entrée en vigueur le 26 octobre 2025, l'article L. 6321-1 mentionne également la possibilité de proposer différentes formations contribuant notamment au développement des compétences, y compris numériques. Il ne faut donc pas limiter l'obligation de l'employeur à la simple formation initiale nécessaire au poste occupé. = Dixième partie : L'employeur et les relations collectives = L'employeur n'est pas seulement partie aux relations individuelles de travail. Il constitue également un acteur central des [[Relations collectives de travail en France|relations collectives de travail]]. == Chapitre 1 : Le comité social et économique == Un [[Comité social et économique|comité social et économique]] doit être mis en place dans les entreprises employant au moins '''onze salariés''' lorsque ce seuil a été atteint pendant douze mois consécutifs<ref>Code du travail, art. L. 2311-2.</ref>. Les attributions du CSE varient selon l'effectif de l'entreprise. Dans les entreprises d'au moins cinquante salariés, ses prérogatives sont notamment plus importantes en matière : * économique ; * sociale ; * d'emploi ; * de conditions de travail ; * de santé et sécurité. == Chapitre 2 : Les consultations du CSE == Dans les entreprises concernées, l'employeur doit informer et consulter le CSE sur différentes questions prévues par le Code du travail. Les consultations récurrentes concernent notamment : # les orientations stratégiques de l'entreprise ; # sa situation économique et financière ; # sa politique sociale, les conditions de travail et l'emploi<ref>Code du travail, art. L. 2312-17.</ref>. Le Code impose également différentes consultations ponctuelles selon les décisions envisagées. Le pouvoir de décision de l'employeur est donc parfois précédé d'une obligation d'information ou de consultation des représentants du personnel. == Chapitre 3 : Les organisations syndicales == L'employeur doit respecter : * la liberté syndicale ; * le droit syndical ; * les prérogatives des délégués syndicaux ; * les règles relatives à la négociation collective ; * la protection attachée à certains mandats. Il ne peut prendre de décision discriminatoire en raison de l'activité syndicale d'un salarié. = Onzième partie : La représentation et la délégation des pouvoirs de l'employeur = == Chapitre 1 : La représentation de la personne morale == Lorsqu'une société est employeur, elle ne peut matériellement agir que par l'intermédiaire de personnes physiques. Les décisions peuvent notamment être prises par : * le représentant légal ; * un directeur ; * un responsable des ressources humaines ; * un supérieur hiérarchique ; * une personne disposant d'un mandat ou d'une délégation. Ces personnes agissent pour le compte de l'employeur. == Chapitre 2 : La délégation de pouvoirs == Dans les entreprises d'une certaine importance, le chef d'entreprise peut déléguer une partie de ses pouvoirs à un salarié ou responsable. La jurisprudence exige, pour qu'une délégation puisse notamment produire certains effets en matière de responsabilité pénale, que le délégataire dispose : * de la '''compétence''' ; * de l''''autorité''' ; * des '''moyens nécessaires''' à l'accomplissement de sa mission<ref>Cour de cassation, chambre criminelle, 11 mars 1993, n° 91-83.655, publié au Bulletin.</ref>. La délégation de pouvoirs ne se réduit donc pas à un document formel. Il faut que le délégataire possède réellement les moyens d'exercer les pouvoirs qui lui sont confiés. La preuve de la délégation n'est, en principe, soumise à aucune forme particulière, même si l'écrit facilite considérablement sa démonstration. = Douzième partie : Les responsabilités de l'employeur = L'employeur peut engager plusieurs catégories de responsabilité. == Chapitre 1 : La responsabilité contractuelle == L'employeur qui n'exécute pas correctement les obligations résultant du contrat de travail peut engager sa responsabilité. Cela peut notamment concerner : * le non-paiement du salaire ; * le non-respect du contrat ; * une modification unilatérale illicite ; * le non-respect d'une obligation conventionnelle ; * certaines violations de l'obligation de loyauté. Le conseil de prud'hommes peut notamment ordonner le paiement de sommes dues ou réparer certains préjudices lorsque les conditions de la responsabilité sont réunies. == Chapitre 2 : La responsabilité civile du commettant == L'article 1242 du Code civil prévoit notamment la responsabilité des maîtres et commettants du dommage causé par leurs préposés dans les fonctions auxquelles ils les ont employés<ref>Code civil, art. 1242.</ref>. L'employeur peut ainsi, dans certaines conditions, être civilement responsable des dommages causés par un salarié dans l'exercice de ses fonctions. == Chapitre 3 : La responsabilité pénale == Des infractions au droit du travail peuvent engager la responsabilité pénale de personnes physiques. Lorsque l'employeur est une personne morale, l'article 121-2 du Code pénal prévoit également que les personnes morales, à l'exception de l'État, sont pénalement responsables des infractions commises pour leur compte par leurs organes ou représentants<ref>Code pénal, art. 121-2.</ref>. La responsabilité pénale de la personne morale n'exclut pas nécessairement celle de la personne physique ayant personnellement participé à l'infraction. Une délégation de pouvoirs valable peut avoir des conséquences sur l'identification de la personne responsable. == Chapitre 4 : Les sanctions administratives == Certaines violations du droit du travail peuvent également donner lieu à des sanctions administratives. L'employeur peut notamment faire l'objet : * d'observations ; * de mises en demeure ; * d'amendes administratives ; * de décisions de l'inspection du travail ; * d'autres mesures prévues par des textes particuliers. Le régime applicable dépend de l'obligation méconnue. = Treizième partie : Le contrôle de l'employeur = Les pouvoirs de l'employeur sont soumis à différents contrôles. == Le conseil de prud'hommes == Le [[Conseil de prud'hommes (France)|conseil de prud'hommes]] connaît des litiges individuels nés à l'occasion d'un contrat de travail de droit privé<ref>Code du travail, art. L. 1411-1.</ref>. Il peut notamment contrôler : * certaines sanctions disciplinaires ; * le paiement des salaires ; * l'exécution du contrat ; * la modification du contrat ; * la rupture ; * les discriminations ; * les situations de harcèlement ; * l'identité de l'employeur lorsque celle-ci est contestée. == L'inspection du travail == L'[[Inspection du travail en France|inspection du travail]] veille à l'application d'une part importante de la législation du travail. Elle dispose de pouvoirs définis par le Code du travail, notamment en matière : * de contrôle ; * d'accès aux lieux de travail ; * de constatation d'infractions ; * de santé et sécurité ; * de règlement intérieur ; * de licenciement des salariés protégés. == Les juridictions pénales == Lorsqu'une violation constitue une infraction pénale, la responsabilité de l'employeur, de la personne morale ou de certaines personnes physiques peut relever des juridictions pénales. == Les juridictions administratives == Certaines décisions prises par l'administration du travail peuvent être contestées devant le juge administratif. Il en est notamment ainsi dans certains contentieux relatifs aux salariés protégés. = Quatorzième partie : Le changement d'employeur = == Chapitre 1 : Le principe de stabilité du contrat == Le contrat de travail lie normalement le salarié à un employeur déterminé. Un employeur ne peut donc, en principe, être remplacé par un autre en dehors des mécanismes prévus par la loi ou acceptés par le salarié. == Chapitre 2 : Le transfert légal du contrat == L'article L. 1224-1 du Code du travail prévoit que lorsqu'une modification intervient dans la situation juridique de l'employeur, notamment par : * succession ; * vente ; * fusion ; * transformation du fonds ; * mise en société, les contrats de travail en cours subsistent entre le nouvel employeur et le personnel concerné lorsque les conditions d'application du texte sont réunies<ref>Code du travail, art. L. 1224-1.</ref>. La jurisprudence nationale et européenne joue un rôle important dans la détermination des conditions d'application de cette règle, notamment autour de la notion de transfert d'une entité économique conservant son identité. == Chapitre 3 : Les obligations du nouvel employeur == L'article L. 1224-2 prévoit que le nouvel employeur est en principe tenu, à l'égard des salariés transférés, des obligations qui incombaient à l'ancien employeur à la date du transfert, sous réserve des exceptions prévues par la loi<ref>Code du travail, art. L. 1224-2.</ref>. Le transfert légal permet ainsi la poursuite du contrat malgré le changement de personne juridique de l'employeur. = Quinzième partie : Méthodologie du cas pratique = Lorsqu'un cas pratique porte sur l'employeur, il convient de suivre plusieurs étapes. == Étape 1 : Identifier la personne figurant au contrat == Il faut rechercher : * le nom figurant sur le contrat ; * le nom figurant sur les bulletins de paie ; * la personne ayant procédé à l'embauche ; * l'organisme effectuant les déclarations sociales. Il s'agit de l'employeur '''apparent ou contractuel'''. == Étape 2 : Identifier la personne exerçant réellement les pouvoirs patronaux == Il faut rechercher concrètement : {| class="wikitable" ! Pouvoir ! Questions |- | '''Direction''' | Qui donne les ordres ? Qui organise le travail ? |- | '''Contrôle''' | Qui évalue le salarié ? Qui contrôle ses horaires et son activité ? |- | '''Sanction''' | Qui avertit, sanctionne ou décide de la rupture ? |- | '''Gestion''' | Qui accorde les congés ? Qui décide de la rémunération et de la carrière ? |} == Étape 3 : Identifier la structure juridique == Il faut vérifier s'il s'agit : * d'une personne physique ; * d'une société ; * d'une association ; * d'une personne publique ; * d'un groupe de sociétés ; * d'une entreprise de travail temporaire ; * d'un particulier employeur. == Étape 4 : Rechercher une situation particulière == Il faut notamment rechercher : * un transfert d'entreprise ; * une mise à disposition ; * du travail temporaire ; * une UES ; * un éventuel coemploi ; * une délégation de pouvoirs. == Étape 5 : Examiner les pouvoirs exercés et leurs limites == Une fois l'employeur identifié, il faut déterminer si la décision contestée relève : * de son pouvoir de direction ; * de son pouvoir réglementaire ; * de son pouvoir disciplinaire ; puis contrôler : * le contrat ; * la loi ; * la convention collective ; * les droits fondamentaux ; * la proportionnalité ; * la procédure applicable. = Cas pratique = La société A emploie officiellement 120 salariés. Elle appartient à 100 % à la société B. La société B décide de la stratégie financière du groupe et négocie les achats communs. Les contrats de travail sont conclus par la société A et les salaires sont payés par elle. Toutefois : * le directeur de la société A doit obtenir l'accord de B avant toute embauche ; * les augmentations individuelles sont décidées par le DRH de B ; * les demandes de congés des cadres sont validées par B ; * les sanctions disciplinaires sont décidées par le service RH de B ; * le directeur de A ne peut prendre aucune décision sociale sans l'autorisation de B ; * la stratégie commerciale, les budgets, les investissements et les décisions quotidiennes sont imposés par B. Des salariés licenciés par A demandent la condamnation de B en qualité de coemployeur. '''Question : la seule appartenance au groupe permet-elle de considérer B comme coemployeur ?''' == Proposition de correction == Non. Le fait que B soit société mère de A et exerce une domination économique sur celle-ci ne suffit pas à caractériser le coemploi. Il faut appliquer le critère dégagé par la Cour de cassation. Hors lien direct de subordination entre B et les salariés, il faut rechercher une '''immixtion permanente de B dans la gestion économique et sociale de A conduisant à la perte totale d'autonomie d'action de A'''. En l'espèce : * B ne se borne pas à définir la stratégie générale ; * elle intervient dans les recrutements ; * elle décide des rémunérations ; * elle contrôle les congés ; * elle exerce en pratique le pouvoir disciplinaire ; * elle maîtrise la gestion économique ; * la direction de A semble dépourvue de réelle autonomie. Ces éléments sont susceptibles de caractériser une immixtion à la fois économique et sociale suffisamment importante pour que la question du coemploi puisse être sérieusement discutée. La conclusion définitive dépendrait toutefois de l'ensemble des faits établis devant le juge. = Synthèse = {| class="wikitable" ! Notion ! Principe |- | '''Employeur''' | Personne physique ou morale partie à la relation de travail et titulaire des pouvoirs patronaux |- | '''Personne morale''' | L'employeur est en principe la société ou l'association, non personnellement son dirigeant |- | '''Lien de subordination''' | Ordres et directives + contrôle + sanction |- | '''Pouvoir de direction''' | Organisation et gestion du travail dans les limites de la loi et du contrat |- | '''Pouvoir de contrôle''' | Contrôle de l'activité dans le respect notamment des libertés et de la vie personnelle |- | '''Pouvoir réglementaire''' | Notamment règlement intérieur |- | '''Pouvoir disciplinaire''' | Sanction des comportements considérés comme fautifs dans le respect des règles légales |- | '''Coemploi''' | Exceptionnel ; lien de subordination ou, dans un groupe, immixtion permanente entraînant la perte totale d'autonomie de l'employeur |- | '''UES''' | Ne constitue pas automatiquement un employeur unique |- | '''Santé et sécurité''' | Obligation de prévention, d'évaluation des risques et de protection de la santé physique et mentale |- | '''Formation''' | Adaptation au poste et maintien de la capacité à occuper un emploi |- | '''CSE''' | Mise en place à partir de 11 salariés lorsque le seuil est atteint pendant 12 mois consécutifs |- | '''Règlement intérieur''' | Obligatoire à partir de 50 salariés après les conditions de franchissement du seuil |- | '''Délégation de pouvoirs''' | Compétence + autorité + moyens |- | '''Transfert''' | Poursuite des contrats dans les conditions de l'article L. 1224-1 |} = Questions de révision = # Comment peut-on définir juridiquement l'employeur ? # Pourquoi employeur et chef d'entreprise ne sont-ils pas toujours la même personne ? # Une société mère est-elle automatiquement l'employeur des salariés de sa filiale ? # Quel est le critère actuel du coemploi au sein d'un groupe de sociétés ? # Qu'est-ce qu'une UES et pourquoi ne doit-elle pas être confondue avec un employeur unique ? # Quels sont les trois pouvoirs révélateurs du lien de subordination ? # Quelle différence existe-t-il entre le pouvoir de direction et le pouvoir disciplinaire ? # L'employeur peut-il modifier unilatéralement tous les éléments du contrat de travail ? # Comment le pouvoir de contrôle est-il limité ? # À partir de quel effectif le règlement intérieur est-il obligatoire ? # À partir de quel effectif le CSE doit-il être mis en place ? # Quelles sont les principales obligations de l'employeur en matière de santé et sécurité ? # Qu'est-ce que le DUERP ? # Quelles obligations l'employeur supporte-t-il en matière de prévention du harcèlement ? # En quoi consiste l'obligation d'adaptation du salarié ? # Quelles sont les conditions classiques de validité d'une délégation de pouvoirs ? # Une personne morale peut-elle être pénalement responsable ? # Quel est l'effet de l'article L. 1224-1 sur les contrats de travail ? # Quelle juridiction connaît principalement des litiges individuels entre employeur et salarié ? = Jurisprudence fondamentale à connaître = * '''Cass. soc., 13 novembre 1996, n° 94-13.187, ''Société Générale''''' : définition du lien de subordination par les pouvoirs de direction, contrôle et sanction. * '''Cass. soc., 16 décembre 2008, n° 07-43.875''' : l'UES ne devient pas, par elle-même, employeur unique des salariés des sociétés qui la composent. * '''Cass. soc., 25 novembre 2015, n° 14-24.444, ''Air France''''' : évolution de la jurisprudence relative à l'obligation de sécurité et à la prévention. * '''Cass. soc., 25 novembre 2020, n° 18-13.769''' : nouvelle définition restrictive du coemploi dans les groupes de sociétés. * '''Cass. soc., 28 janvier 2026, n° 23-23.949''' : application contemporaine des critères du coemploi. * '''Cass. crim., 11 mars 1993, n° 91-83.655''' : conditions classiques de la délégation de pouvoirs, reposant sur la compétence, l'autorité et les moyens. = Principaux textes à connaître = * Code du travail, art. '''L. 1111-1''' : champ d'application aux employeurs privés et à certains personnels des personnes publiques. * Code du travail, art. '''L. 1121-1''' : droits et libertés dans l'entreprise. * Code du travail, art. '''L. 1132-1''' : principe de non-discrimination. * Code du travail, art. '''L. 1152-4''' : prévention du harcèlement moral. * Code du travail, art. '''L. 1153-5''' : prévention et traitement du harcèlement sexuel. * Code du travail, art. '''L. 1221-5-1''' : information du salarié sur la relation de travail. * Code du travail, art. '''L. 1221-6''' : informations demandées lors du recrutement. * Code du travail, art. '''L. 1221-10''' : déclaration préalable à l'embauche. * Code du travail, art. '''L. 1222-1''' : exécution de bonne foi. * Code du travail, art. '''L. 1222-4''' : dispositifs de contrôle des salariés. * Code du travail, art. '''L. 1224-1 et L. 1224-2''' : transfert du contrat de travail. * Code du travail, art. '''L. 1311-2''' : règlement intérieur. * Code du travail, art. '''L. 1321-1 et suivants''' : contenu et adoption du règlement intérieur. * Code du travail, art. '''L. 1331-1 et suivants''' : pouvoir disciplinaire. * Code du travail, art. '''L. 2311-2''' : mise en place du CSE. * Code du travail, art. '''L. 2312-17''' : consultations récurrentes du CSE. * Code du travail, art. '''L. 3221-2''' : égalité de rémunération entre les femmes et les hommes. * Code du travail, art. '''L. 4121-1 à L. 4121-3-1''' : santé, sécurité et prévention des risques. * Code du travail, art. '''R. 4121-1''' : document unique d'évaluation des risques. * Code du travail, art. '''L. 6321-1''' : adaptation et maintien de la capacité à occuper un emploi. * Code du travail, art. '''L. 7221-1''' : particulier employeur. * Code civil, art. '''1242''' : responsabilité du commettant du fait de ses préposés. * Code pénal, art. '''121-2''' : responsabilité pénale des personnes morales. = Notes et références = <references /> = Voir aussi = * [[Droit du travail en France]] * [[Salarié]] * [[Contrat de travail en France]] * [[Lien de subordination]] * [[Entreprise]] * [[Groupe de sociétés]] * [[Unité économique et sociale]] * [[Comité social et économique]] * [[Conseil de prud'hommes (France)]] * [[Inspection du travail en France]] * [[Règlement intérieur en droit du travail français]] * [[Santé et sécurité au travail]] * [[Harcèlement moral en milieu professionnel]] <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> acnekvti6p5tp2ya1ddz2tcevv7g25q