Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.23 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 8800 987169 987013 2026-10-07T08:06:21Z ~2026-53816-27 81130 /* Relations entre orbite et stabilisateur */ explicité le sens d'une notation 987169 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 8 | précédent = [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | suivant = [[../Produit direct et somme restreinte/]] | page_liée = Exercices/Action de groupe }} == Définition d'une action == {{Définition | titre = Définition – action à gauche | contenu = Une '''action à gauche''' d'un groupe ''G'' (de loi de groupe notée multiplicativement) sur un ensemble ''X'' est une application <math>G\times X\rightarrow X</math> envoyant (g,s) sur un élément noté g.s, telle que : * Pour tous éléments ''g'' et ''h'' de ''G'', <math>g.(h.s)=(gh).s</math> ; * Pour tout élément ''s'' de ''X'', <math>1.s=s</math>. }} '''Remarques''' * Pour un élément ''g'' de G et un élément ''s'' de X, on écrit souvent ''gs'' au lieu de ''g''.''s''. On utilise aussi parfois la notation exponentielle <math>\ ^{g}s</math><ref>Voir par exemple N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 6, {{numéro}}1, définition 2, Paris, 1970, p. 64.</ref>. La relation <math>g.(h.s)=(gh).s</math> ci-dessus devient alors <math>\ ^{g}(^{h}\!s)=\,^{gh}\!s</math>. * On rappelle que pour un ensemble ''X'', l'ensemble des permutations de ''X'' (c'est-à-dire l'ensemble des bijections de ''X'' sur lui-même), muni de la composition, forme un groupe noté ''S''(''X'') ou <math>\ S_{X}</math> ou <math>\mathfrak{S}(X)</math> (groupe des permutations de ''X'') ; il a été introduit au chapitre [[Théorie des groupes/Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]]. Si ''G'' agit sur ''X'', l’application <math>m_g:X\rightarrow X:s\mapsto g.s</math> est une bijection dont l'inverse est <math>m_{g^{-1}}</math>. Les propriétés ci-dessus se traduisent : ** <math>\forall g,h\in G, \; m_{gh}=m_g\circ m_h</math> ; ** <math>\ m_e=Id_X</math>. Autrement dit, l’application <math>m : G\rightarrow S(X)</math> est un morphisme de groupes. Un tel morphisme est appelé opération de ''G'' sur ''X''<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}1, Paris, 1970, p. 49. N. Bourbaki, ib., p. 50, appelle ''loi d'opération'' ce qui est appelé ici ''action''. Il donne un sens plus général au mot ''action'' (ib., § 3, {{numéro}}1, p. 23). D. Perrin, ''Cours d'algèbre'', Paris, 2004, p. 13, ne parle que d'opération d'un groupe sur un ensemble, et non d'action.</ref>. Réciproquement, tout morphisme de groupes <math>G\rightarrow S(X)</math> définit une action du groupe ''G'' sur ''X'' par : <math>g.x=m_g(x)</math>. En raison de cette correspondance, on peut dire (un peu abusivement) : {{début cadre|rouge}} :'''Les actions de groupes de ''G'' sur ''X'' sont exactement les morphismes de groupes <math>G\rightarrow S(X)</math>.''' {{Fin cadre}} Nous dirons indifféremment : « soit ''G'' un groupe agissant sur un ensemble ''X'' », « soit ''G'' un groupe opérant sur un ensemble ''X'' » et « soit ''X'' un ''G''-ensemble ». Le noyau de l'opération <math>m : G\rightarrow S(X)</math> sera aussi appelé le noyau de l'action en question. Il nous arrivera même d'employer les mots ''action'' et ''opération'' l'un pour l'autre. * On pourrait être tenté de penser que les opérations d'un groupe G sur un ensemble sont quelque chose d'extérieur au groupe G et ne peuvent donc pas fournir de renseignements sur la structure interne de G, mais ce serait une erreur. (Voir par exemple, dans la suite du cours, le chapitre [[../Théorèmes de Sylow|Théorèmes de Sylow]].) Le lecteur est donc invité à considérer le présent chapitre comme fondamental et à l'étudier attentivement<ref>Daniel Perrin, Cours d'algèbre, 2008, pp. 13-14, attire l'attention sur l'importance des opérations de groupes pour l'étude de la structure interne des groupes.</ref>. == Exemples == (On notera par juxtaposition aussi bien l'action de ''G'' sur ''X'' que la composition dans ''G''.) * Action triviale de ''G'' sur ''X'' : pour tout élément ''g'' de ''G'', la permutation de ''X'' associée à ''g'' est la permutation identique ; autrement dit, ''g''.''x'' = ''x'' pour tout élément ''g'' de ''G'' et tout élément ''x'' de ''X'' ; l'homomorphisme de ''G'' dans <math>\ S_{X}</math> est l'homomorphisme trivial (valant partout l'élément neutre de <math>\ S_{X}</math>). * ''G'' agit sur lui-même (plus exactement : sur son ensemble sous-jacent) par translation à gauche : pour tout élément ''g'' de ''G'', la permutation associée à ''g'' est la translation à gauche <math>L_g:x \mapsto gx</math>, où ''gx'' désigne le produit de ''g'' et de ''x'' dans le groupe ''G'' ; autrement dit, l'action en question, si on la considère comme une application de <math>G \times G</math> dans <math>\ G</math>, est identique à la loi de composition du groupe ''G''. {{Démonstration déroulante|titre=Détails|contenu= L'associativité de la loi du groupe équivaut à : :<math>(\star)\qquad\forall g,h\in G\qquad L_{gh}=L_g\circ L_h</math>. On en déduit en particulier que ''L{{ind|g}}'' est une permutation (de bijection réciproque ''L''{{ind|''g''{{exp|-1}}}}), ce qui permet de définir une application ''L'' de ''G'' dans S(''G'') par : :<math>\forall g \in G \qquad t(g)=t_g</math>. D'après <math>(\star)</math>, ''L'' est un homomorphisme de groupes. }} * Si ''H'' est un sous-groupe de ''G'', ''G'' agit par translation à gauche sur l’ensemble ''G''/''H'' des classes à gauche de ''G'' suivant ''H'' : pour tout élément ''g'' de ''G'', la permutation de ''G''/''H'' associée à ''g'' est la permutation <math>X \mapsto gX</math>. (Si ''X'' est une classe à gauche ''xH'', ''gX'' en est une aussi, à savoir la classe (''gx'')H de ''gx''.) * Opération d'un groupe sur lui-même par conjugaison (ou par automorphismes intérieurs) : pour tout élément ''g'' du groupe ''G'', la permutation (de l’ensemble sous-jacent) de ''G'' associée à ''g'' est l'automorphisme intérieur <math>x \mapsto gxg^{-1}</math>, autrement dit <math>g.x = gxg^{-1}</math>. Il s'agit bien d'une opération du groupe ''G'' sur (l'ensemble sous-jacent de) ''G'', car nous avons vu que si Int(g) désigne l'automorphisme intérieur <math>x \mapsto gxg^{-1}</math> de ''G'', l’application <math>g \mapsto \mathrm{Int}(g)</math> définit un homomorphisme de ''G'' dans Aut(G) et donc aussi dans le groupe des permutations de (l'ensemble sous-jacent de) ''G''. * Si un groupe ''G'' opère sur un ensemble ''X'', si ''H'' est sous-groupe de ''G'', l'opération de ''G'' sur ''X'' induit de façon évidente une opération de ''H'' sur ''X'' : l’application <math>H \times X \rightarrow X</math> est la restriction de l’application <math>G \times X \rightarrow X</math> et l'homomorphisme <math>H \rightarrow S_{X}</math> est la restriction de l'homomorphisme <math>G \rightarrow S_{X}</math>. *Tout groupe ''G'' agissant sur un ensemble ''X'' agit aussi sur l'ensemble <math>\mathcal P(X)</math> des parties de ''X'', par <math>G\times\mathcal P(X)\to\mathcal P(X),\ (g,A)\mapsto g\cdot A:=\{g\cdot x\mid x\in A\}</math>. == Actions équivalentes == Si ''G'' agit sur deux ensembles ''X'' et ''Y'', une application <math>f:X\rightarrow Y</math> est appelée<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, Paris, 1970, p. 50.</ref> un homomorphisme de G-ensembles (ou un G-morphisme, ou une application compatible avec les opérations de G) si, pour tout ''x'' dans ''X'' et pour tout ''g'' dans ''G'', on a : <div style="text-align: center;"><math>f(g.x)=g.f(x)</math>.</div> Si un homomorphisme ''f'' de G-ensembles est bijectif, son application réciproque est elle aussi un homomorphisme de G-ensembles et on dit que ''f'' est un isomorphisme de G-ensembles. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. On dira<ref>M. Aschbacher, ''Finite Group Theory'', Cambridge University Press, 2000, p. 9.</ref> que ces opérations sont quasi équivalentes s'il existe un isomorphisme <math>\ \sigma </math> de G sur H et une bijection ''f'' de X sur Y tels que, pour tout élément ''g'' de G et tout élément ''x'' de X, on ait <div style="text-align: center;"><math>f(g.x) = \sigma(g).f(x)</math>.</div> On dit aussi dans ce cas que le G-ensemble X et le H-ensemble Y sont isomorphes<ref>J. J. Rotman, ''An introduction to the theory of groups'', 4{{e}} éd., tirage de 1999, p. 282.</ref>. Nous dirons que le couple (f, σ) est un isomorphisme du G-ensemble X sur le H-ensemble Y, ou encore un isomorphisme de la première opération sur la seconde. Nous dirons aussi que ''f'' et σ constituent un tel isomorphisme (ou que les deux actions sont équivalentes via ''f'' et σ). On dira qu'une action d'un groupe G sur un ensemble X et une action du même groupe G sur un ensemble Y sont équivalentes s'il existe un isomorphisme de G-ensembles de X sur Y. Deux actions équivalentes sont quasi équivalentes (avec la transformation identité comme automorphisme de G). Remarque. Deux opérations appelées ici quasi équivalentes sont appelées équivalentes par certains auteurs<ref>Voir par exemple J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 206.</ref>. Il arrivera qu'on dise dans le présent cours « équivalentes » au lieu de « quasi équivalentes ». == Groupes de permutations == Soient X un ensemble et G un groupe de permutations de X, c'est-à-dire un sous-groupe de <math>\ S_{X}</math>. G opère sur X par <math>G \times X \rightarrow X : (\sigma, x) \mapsto \sigma (x)</math>; cette opération est appelée '''l'opération naturelle de G sur X'''. Si G est un groupe de permutations d'un ensemble X et H un groupe de permutations d'un ensemble Y, nous dirons que G et H sont '''semblables''' si l'opération naturelle de G et l'opération naturelle de H sont quasi équivalentes. D'après la définition des opérations quasi équivalentes, cela signifie qu'il existe une bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' et un isomorphisme de groupes σ de ''G'' sur ''H'' tels que, pour tout élément ''g'' de ''G'' et tout élément ''x'' de ''X'', on ait <div style="text-align: center;"><math>f(g \cdot x) = \sigma (g) \cdot f(x),</math></div> où les points représentent respectivement l'opération naturelle de ''G'' (sur ''X'') et celle de ''H'' (sur ''Y'').<br /> Vu la définition des opérations naturelles, cela revient à dire qu'il existe une bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' et un isomorphisme de groupes σ de ''G'' sur ''H'' tels que, pour tout élément ''g'' de ''G'', on ait <div style="text-align: center;"><math>f \circ g \circ f^{-1} = \sigma (g).</math></div> On voit que σ est entièrement déterminé par ''f'', donc ''G'' et ''H'' sont semblables si et seulement s'il existe une bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' telle que ''H'' soit l'image de ''G'' par l'isomorphisme ''s'' ↦ ''f'' ∘ ''s'' ∘ ''f''^-1 de S_''X'' sur S_''Y''.<br /> Nous dirons qu'une telle bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' est '''une similitude''' de G vers H. Deux groupes de permutations d'un même ensemble ''X'' sont semblables si et seulement s'ils sont conjugués dans S_X. * Remarque. Si X et Y sont des ensembles équipotents, tout groupe de permutations de X est semblable à un groupe de permutations de Y. (Soit ''f'' une bijection de X sur Y, soit G un groupe de permutations de X. Désignons par H l'image de G par l'isomorphisme de groupes <math>S_{X} \rightarrow S_{Y} : \sigma \mapsto f \circ \sigma \circ f^{-1}</math>; H est un groupe de permutations de Y semblable à G.) == Vocabulaire == * Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. On dit qu'un élément ''g'' de G '''agit trivialement''' (sur X) si, pour tout élément ''x'' de X, g x = x. Cela revient à dire que ''g'' appartient au noyau de l'homomorphisme de G dans S_X correspondant à l'action de G sur X. * Une action d'un groupe G sur un ensemble X est dite '''fidèle''' si l'homomorphisme de G dans S_X correspondant à cette action est injectif. Cela revient à dire que le seul élément de G qui agit trivialement est l'élément neutre. * Remarque. Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. Supposons que cette opération soit fidèle, c'est-à-dire, comme vu plus haut, que l'homomorphisme <math>\ \varphi</math> de G dans <math>\ S_{X}</math> correspondant à cette opération soit injectif. Alors l'opération de G sur X est équivalente à l'opération naturelle du groupe de permutations <math>\ \varphi(G)</math>. Plus précisément, la bijection identité de X sur lui-même et l'isomorphisme de groupes <math>\ G \rightarrow \varphi(G)</math> constituent un isomorphisme de la première de ces deux opérations sur la seconde. * L<nowiki>'</nowiki>'''orbite''' d'un point ''x'' de ''X'' pour une opération d'un groupe ''G'' sur l’ensemble ''X'' est l’ensemble des éléments ''g''.''x'' où ''g'' parcourt le groupe ''G''. On parle de ''G''-orbite d'un élément de ''X'' si la mention du groupe ''G'' suffit à faire comprendre de quelle opération il s'agit. Deux orbites sont égales ou disjointes<ref>Si ''x'' et ''y'' sont des éléments de ''X'' tels que <math>Gx\cap Gy\ne\varnothing</math>, il existe un élément ''g'' de ''G'' tel que ''y = gx''. Alors ''Gy = G''(''gx'') = (''Gg'')''x = Gx''.</ref> ; les orbites partitionnent ''X''. Une orbite réduite à un seul élément est parfois appelée orbite ponctuelle<ref>J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 184.</ref>. * Remarque. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. Supposons que ces opérations soient équivalentes. Alors les orbites de la première opération peuvent être mises en correspondance biunivoque avec les orbites de la seconde opération de façon que deux orbites se correspondant aient le même cardinal. (Soit ''f'' une bijection de X sur Y formant avec un isomorphisme du groupe G sur le groupe H un isomorphisme de la première opération su la seconde. Le lecteur vérifiera que si à toute orbite A de la première opération, on fait correspondre f(A), on définit une bijection ''g'' de l’ensemble des orbites de la première opération sur l’ensemble des orbites de la seconde opération et que, pour toute orbite A de la première opération, g(A) a le même cardinal que A.) * Si ''g'' est un élément de ''G'' et ''x'' un élément de ''X'', si ''g''.''x''=''x'', on dit que ''g'' '''fixe''' ''x'' ou que ''x'' est un '''point fixe''' de ''g''. Les points fixes de ''g''⁻¹ sont exactement les points fixes de ''g''. (En effet, on passe de l'égalité ''g''(''x'') = ''x'' à l'égalité ''g''⁻¹(''x'') = ''x'' en multipliant les deux membres à gauche par ''g''{{exp|-1}} et de la seconde égalité à la première en multipliant les deux membres à gauche par ''g''.) * Remarque. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. Supposons que ces opérations soient équivalentes par une bijection ''f'' de X sur Y et un isomorphisme de groupes <math>\sigma </math> de G sur H. Alors un élément ''g'' de G fixe un élément ''x'' de X pour la première opération si et seulement <math>\sigma (g)</math> fixe f(x) pour la seconde opération. * On dit qu'un élément ''x'' de ''X'' est '''point fixe pour l'opération''' de ''G'' sur ''X'' si ''x'' est fixé par tout élément de ''G''<ref>N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, $ 6, {{numéro}}5, Paris, 1970, p. 73.</ref>, ce qui revient à dire que l'orbite de ''x'' est réduite à ''x''. * Le '''stabilisateur''' d'un élément ''x'' de ''X'' est l’ensemble des éléments ''g'' de ''G'' qui fixent ''x'', autrement dit tels que ''g''.''x''=''x''. C’est un sous-groupe de ''G''. Il en résulte qu'un élément ''x'' de ''X'' est point fixe d'un élément ''g'' de ''G'' si et seulement s'il est point fixe pour l'opération du sous-groupe <''g''> de ''G'' sur ''X''. (Nous retrouverons ce fait dans l'étude des groupes symétriques finis.) * Dans la terminologie de Bourbaki, le ''stabilisateur'' d'une partie Y de X est l'ensemble des éléments g de G tels que gY soit contenu dans Y, le ''stabilisateur strict'' de Y est l'ensemble des éléments g de G tels que gY soit égal à Y et le fixateur de Y est l'ensemble des éléments g de G tels que, pour tout élément y de Y, on ait gy = y. On vérifie facilement que le stabilisateur strict et le fixateur de Y sont des sous-groupes de G, et que le stabilisateur de Y est un sous-monoïde de G<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre, Chapitres 1 à 3'', réimpr. Springer, 2007, ch. I, § 5, n° 2, déf. 3, p. I.51, prop. 1 et corollaire, p. I.52.</ref>. * Une action est dite '''transitive''' lorsqu'elle possède une et une seule orbite. (Postuler l’existence d'une orbite revient à postuler que l’ensemble sur lequel le groupe opère n’est pas vide<ref>Souligné par N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, {{numéro}}5, Paris, 1970, p. 56.</ref>.) Si un groupe ''G'' opère transitivement sur un ensemble ''X'', on dit que ''X'' est un ''G''-ensemble homogène<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}5, Paris, 1970, p. 56.</ref> ou encore un ''G''-espace homogène<ref>P. Tauvel, ''Algèbre'', 2{{e}} éd., Paris, 2005, p. 65.</ref>. On dit qu'un groupe de permutations d'un ensemble X est transitif si son action naturelle est transitive. * Une action d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' est dite '''libre''' lorsque tout élément non neutre de ''G'' est sans points fixes. Cela revient à dire que pour tout élément ''x'' de ''X'', le stabilisateur de ''x'' est le sous-groupe trivial de ''G''. Cela revient encore à dire que pour tout élément ''x'' de ''X'', l’application <math>\ f_{x} : G \rightarrow X : g \mapsto gx</math> est injective. (L'application <math>\ f_{x}</math> est appelée l’application orbitale définie par ''x''.) Dans ce cas, le cardinal de toute orbite est égal à <math>\vert G \vert </math> et <math>\vert G \vert </math> divise <math>\vert X \vert </math>. Si ''X'' n'est pas vide, on a donc <math>\vert G \vert \leq \vert X \vert .</math> Toute action libre sur un ensemble non vide est fidèle. * Une action d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' est dite '''simplement transitive''' si elle est transitive et libre. On dit alors que ''X'' est un ''G''-ensemble homogène principal<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}6, Paris, 1970, p. 58.</ref>. Pour tout élément ''x'' de ''X'', l’application orbitale <math>\ f_{x} : G \rightarrow X : g \mapsto gx</math> est alors une bijection de ''G'' sur ''X''. Puisque, par définition d'une action transitive, ''X'' n'est pas vide, il en résulte que ''X'' est équipotent à ''G''. == Relations entre orbite et stabilisateur == * Si ''x'' est un élément donné d'un G-ensemble ''X'', il résulte d'un des exemples ci-dessus qu'on définit de façon évidente une action à gauche de G sur G/Stab(x) (ensemble des classes à gauche de G modulo Stab(x)). L'application <math>g\mapsto gx</math> induit un isomorphisme de G-ensembles <math>G/Stab(x)\rightarrow O(x)</math>, où <math>O(x)</math> désigne l'orbite de ''x''. En particulier, le cardinal de l'orbite d'un point est égal à l'indice dans G du stabilisateur de ce point : <math>\vert G/Stab(x) \vert = \vert O(x) \vert</math>. (Nous utiliserons ce fait dans l'équation aux classes.) Comme le noyau K de l'opération est évidemment contenu dans Stab(x), il en résulte que <math>\vert G/K \vert </math> est multiple du cardinal de chaque orbite. A fortiori, évidemment, <math>\vert G \vert </math> est multiple du cardinal de chaque orbite. * On montre facilement (voir exercices) que si deux points ''x'', ''y'' de ''X'' appartiennent à la même orbite, leurs stabilisateurs dans ''G'' sont conjugués dans ''G''. (Plus précisément, si ''g'' est un élément de ''G'' tel que y = gx, alors Stab(y) = g(Stab(x))g{{exp|-1}}.) Les orbites de ''x'' et de ''y'' sont dites '''de même type''' lorsque les stabilisateurs des éléments de l'une sont conjugués dans ''G'' aux stabilisateurs des éléments de l'autre. == Action à droite == (Le lecteur peut se contenter de survoler cette section.) Soient ''G'' un groupe et ''X'' un ensemble. Comme pour la définition d'une action à gauche, considérons une application <math>G\times X\rightarrow X</math> envoyant (g,x) sur un élément noté g.x ou gx, telle que : :pour tout élément ''x'' de ''X'', <math>1.x=x</math>, mais supposons maintenant que : :pour tous éléments ''g'' et ''h'' de ''G'' et tout élément ''x'' de ''X'', <math>g.(h.x)=(hg).x</math>. Une telle application est appelée action à droite de G sur X. On vérifie facilement que, pour tout <math>g \in G</math>, l’application <math>\sigma_{g} : x \mapsto gx</math> de ''X'' dans lui-même est une bijection et que l’application <math>g \mapsto \sigma_{g}</math> est un homomorphisme de ''G'' dans l'opposé du groupe des permutations de X. (Rappelons que cet opposé est l’ensemble des permutations de ''X'' muni de la loi de composition <math>f \star g = g \circ f</math>, de sorte que <math>f \star g (x) = g(f(x))</math>.)<br /> Réciproquement, pour tout homomorphisme <math>\lambda</math> de ''G'' dans l'opposé du groupe des permutations de ''X'', il existe une et une seule action à droite de ''G'' sur ''X'' telle que l'homomorphisme associé à cette action comme ci-dessus soit <math>\lambda</math>. Soient ''G'' un groupe et ''X'' un ensemble. On vérifie facilement les deux faits suivants : # une application <math>G\times X\rightarrow X : (g, x) \mapsto gx</math> est une action à droite relativement au groupe G si et seulement si elle est une action à gauche relativement au groupe opposé de ''G'' ; # une application <math>G\times X\rightarrow X : (g, x) \mapsto gx</math> est une action à droite relativement au groupe G si et seulement si l’application <math>G\times X\rightarrow X : (g, x) \mapsto g^{-1}x</math> est une action à gauche relativement au même groupe ''G''. Il est donc possible de passer mécaniquement d'un énoncé relatif aux actions à gauche à un énoncé relatif aux actions à droite. Cela explique que les auteurs qui considèrent des actions à gauche ne s'occupent généralement pas des actions à droite, et réciproquement. Quand on traite d'une action à droite d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'', on préfère placer l'élément (soit ''g'') de ''G'' à droite de l'élément (soit ''x'') de ''X'' et écrire ''xg'' plutôt que ''gx''. La règle ''g(hx) = (hg)x'' prend alors la forme plus élégante ''(xh)g = x(hg)''. Toujours dans le cas d'une action à droite, on écrit aussi <math>x^{g}</math> au lieu de ''gx''; ici encore, la règle se formule de façon plus élégante. Les auteurs qui considèrent des actions à droite appellent en général groupe des permutations d'un ensemble ''X'' le groupe opposé du groupe qui est appelé ici le groupe des permutations de ''X''<ref>Voir par exemple P.J. Cameron, ''Permutation groups'', Cambridge, 1999, p.2; H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The theory of finite groups'', New York, 2004, p. 55.</ref>. Dans la terminologie de ces auteurs, ce sont donc les actions à droite (et non à gauche) d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' qui correspondent aux homomorphismes de ''G'' dans le « groupe des permutations » de ''X''. Ces auteurs désignent l'image d'un élément ''x'' par une permutation <math>\alpha</math> en plaçant <math>\alpha</math> à droite de ''x'', c'est-à-dire que là où nous écrivons <math>\alpha(x)</math>, ils écrivent <math>x\alpha</math> ou <math>x^{\alpha}</math>. La définition de ce qu'eux appellent le groupe des permutations est alors (avec la seconde notation) : :<math>x^{\alpha * \beta} = (x^{\alpha})^{\beta}</math>, ce qui rend l'harmonie des notations complète. == Théorème de Cayley == {{Théorème | titre=Théorème de Cayley |contenu={{Wikipédia|Théorème de Cayley}} Soit G un groupe.</br> a) G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique de (l'ensemble sous-jacent de) G. Plus précisément, si pour tout élément g de G, on désigne par L_g la permutation (translation à gauche) <math>\ x \mapsto gx </math> de G, <math>\ g \mapsto L_{g}</math> définit un homomorphisme injectif de G dans <math>S_{G}</math>.</br> b) Tout groupe est isomorphe à un groupe de permutations. }} {{Démonstration | contenu= Pour tout élément g de G, désignons par L_g la permutation (translation à gauche) <math>\ x \mapsto gx </math> de G. On a vu que <math>\ g \mapsto L_{g}</math> définit un homomorphisme de G dans <math>S_{G}</math>. Cet homomorphisme est injectif. En effet, si ''g'' est un élément de G tel que L_g soit la permutation identique de G, alors L_g(1) = 1, c'est-à-dire g = 1, ce qui prouve que l'homomorphisme <math>\ g \mapsto L_{g}</math> est injectif (autrement dit, l'action correspondante de G sur son ensemble sous-jacent est fidèle). Donc G est isomorphe à son image par <math>\ g \mapsto L_{g}</math>, ce qui prouve la première assertion de l'énoncé. La seconde assertion résulte de la première. }} Remarque. Il résulte du théorème de Cayley que si G est un groupe fini d'ordre ''n'', G est isomorphe à un sous-groupe du groupe <math>S_{n}</math>, ce qu'on exprime encore en disant que G peut être plongé dans <math>S_{n}</math>. Il y a des cas où G peut-être plongé dans un groupe <math>S_{k}</math> où ''k'' est considérablement plus petit que l'ordre de G. Par exemple, si dans l'énoncé ci-dessus du théorème de Cayley, on prend pour G le groupe symétrique fini <math>S_n</math>, on trouve seulement que <math>S_n</math> peut être plongé dans <math>S_{n!}</math>, alors qu'il peut évidemment être plongé dans lui-même, c'est-à-dire dans <math>S_n</math>, qui est en général considérablement plus petit que <math>S_{n!}</math>. On verra un autre exemple dans le ''théorème de plongement'', qui sera démontré dans le chapitre [[../Premiers résultats sur les groupes simples|Premiers résultats sur les groupes simples]]. {{Théorème |contenu= Soit G un groupe. Pour tout élément ''g'' de G, désignons (comme plus haut) par L_g la permutation (translation à gauche) <math>\ x \mapsto gx </math> de G. On a vu (théorème de Cayley) que les permutations L_g forment un sous-groupe de <math>S_{G}</math> isomorphe à G. Notons L_G ce sous-groupe de <math>S_{G}</math>. Alors tout élément de L_G autre que la permutation identique est une permutation sans point fixe. }} Démonstration. Cela revient à dire que l'action <math>(g, x) \mapsto g x</math> de G sur son ensemble sous-jacent est libre, ce qui est clair.</br> Remarque. Il arrive que, pour démontrer qu'un groupe G possède une certaine propriété transmissible par isomorphisme, il soit plus facile de démontrer que le groupe que nous avons noté L_G possède cette propriété, ce qui entraîne (puisque L_G est isomorphe à G) que G possède lui aussi cette propriété. Remarque. Dans le chapitre [[../Groupes symétriques finis|Groupes symétriques finis]], nous verrons, dans le cas où G est fini, une autre propriété notable de l'élément L_g pour un élément ''g'' de G - {1}. == Équation aux classes == Soit G un ensemble agissant sur un ensemble X. Soit <math>\Omega</math> l’ensemble des orbites. Puisque les orbites partitionnent X, nous avons <math>\vert X \vert = \sum_{\omega \in \Omega}{} \vert \omega \vert </math>,<br /> où <math>\omega </math> parcourt les orbites et où les barres verticales désignent le cardinal. Soit <math>(x_{\omega})_{\omega \in \Omega}</math> une famille d'éléments de X tels que, pour chaque orbite <math>\omega </math>, <math>x_{\omega}</math> appartienne à <math>\omega </math>. (Nous choisissons donc un et un seul élément dans chaque orbite.) L'égalité ci-dessus peut s'écrire<br /> <math>\vert X \vert = \sum_{\omega \in \Omega}{} \vert orb(x_{\omega}) \vert </math> où <math>orb(x)</math> désigne l'orbite de x.<br /> Nous avons vu que le cardinal de l'orbite d'un point x est égal à l'indice dans G du stabilisateur <math>G_{x}</math> de ce point, donc<br /> <math>\vert X \vert = \sum_{\omega \in \Omega}{} [G:G_{x_{\omega}}] </math>. Il revient au même de dire que si <math>(x_{i})_{i \in I}</math> est une famille d'éléments de X telle que, pour toute orbite ω, il existe un et un seul <math>i \in I</math> tel que <math>x_{i} \in \omega </math>, on a <math>\vert X \vert = \sum_{i \in I}{} [G:G_{x_{i}}] </math>. En séparant des autres les orbites ponctuelles (c'est-à-dire réduites à un élément) et en notant que le nombre des orbites ponctuelles est égal au nombre des points fixes de l'opération considérée, nous pouvons mettre l'égalité ci-dessus sous la forme suivante : soit X' l’ensemble des points fixes, soit <math>(x_{j})_{j \in J}</math> une famille d'éléments de X telle que, pour toute orbite non ponctuelle ω, il existe un et un seul <math>j \in J</math> pour lequel <math>x_{j} \in \omega </math>, alors <math>\vert X \vert = \vert X' \vert + \sum_{j \in J}{} [G:G_{x_{j}}] </math>. L'égalité que nous venons de donner sous deux formes est parfois<ref>Voir par exemple Jean Delcourt, ''Théorie des groupes'', 2{{e}} éd., Paris, 2007, p. 63.</ref> appelée « équation aux classes » ou « formule des classes », mais la plupart des auteurs réservent l’expression « équation aux classes » au cas où l'opération considérée est l'opération de G sur lui-même par conjugaison. Alors X' est le centre <math>Z(G)</math> de G et les <math>G_{x_{j}}</math> sont les centralisateurs <math>C_{G}(x_{j})</math> des <math>x_{j}</math>, donc si <math>(x_{j})_{j \in J}</math> est une famille d'éléments de G telle que, pour toute classe de conjugaison ω non réduite à un élément, il existe un et un seul <math>j \in J</math> pour lequel <math>x_{j} \in \omega </math>, alors <math>\vert G \vert = \vert Z(G) \vert + \sum_{j \in J}{} [G:C_{G}{x_{j}}] </math>. Cette équation est utilisée par exemple pour démontrer le théorème de Cauchy<ref>J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} édition, 2{{e}} tirage, 1999, théor. 4.2, p. 74.</ref> ou encore la [[../Théorèmes de Sylow#Les p-groupes|non-trivialité du centre de tout ''p''-groupe fini non trivial]]<ref>J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} édition, 2{{e}} tirage, 1999, théor. 4.4, pp. 74-75.</ref>. == Le centralisateur et le normalisateur vus comme stabilisateurs == Soient ''G'' un groupe et ''x'' un élément de ''G''. Le centralisateur de ''x'', c'est-à-dire le sous-groupe de ''G'' formé par les éléments de ''G'' qui commutent avec ''x'', est le stabilisateur de ''x'' pour l'action du groupe ''G'' sur lui-même par conjugaison. D'autre part, l'orbite de ''x'' pour cette action est l’ensemble des conjugués de ''x'' dans ''G''. Puisque le cardinal de l'orbite d'un élément est égal à l'indice du stabilisateur de cet élément dans le groupe opérant, nous pouvons énoncer : {{Théorème | titre=Proposition|contenu= Soient ''G'' un groupe et ''x'' un élément de ''G''. La classe de conjugaison de ''x'' dans G (ensemble des conjugués de ''x'' dans ''G'') a pour cardinal l'indice (dans ''G'') du centralisateur de ''x'' dans ''G''. En particulier, le cardinal de la classe de conjugaison de ''x'' dans G divise l'ordre de G. }} Considérons maintenant l'action par conjugaison d'un groupe ''G'' sur l'ensemble de ses parties {{supra|Exemples}} : <math>G\times\mathcal P(G)\to\mathcal P(G),\;(g,A)\mapsto gAg^{-1}</math>. Pour cette action, l'orbite d'un sous-groupe ''H'' de ''G'' est constituée des sous-groupes de ''G'' de la forme <math>x H x^{-1}</math>, où <math>x</math> parcourt ''G'', appelés les conjugués de ''H'' dans ''G'' (nous les appellerons parfois aussi les ''G''-conjugués de ''H''). Le stabilisateur de ''H'' pour cette action est son normalisateur dans ''G''. Donc, comme précédemment : {{Théorème | titre=Proposition|contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. L'ensemble des conjugués de ''H'' dans ''G'' a pour cardinal l'indice (dans ''G'') du normalisateur de ''H'' dans ''G''. En particulier, le cardinal de l'ensemble des conjugués de ''H'' dans ''G'' divise l'ordre de ''G''. }} == Argument de Frattini == {{Théorème | titre = Argument de Frattini (forme générale) | contenu = Soient G un groupe opérant (à gauche ou à droite) sur un ensemble X et H un sous-groupe de G tel que l'opération de H sur X induite par celle de G soit transitive. Alors, pour tout élément ''x'' de X, <math>\ G = G_{x} H</math> (où <math>\ G_{x}</math> désigne le stabilisateur de ''x'' dans G). }} {{Démonstration | contenu= Supposons que G opère à droite sur X par <math>G \times X \rightarrow X : (g, x) \mapsto x^{g}</math>. Soient ''g'' un élément de G et ''x'' un élément de X. Puisque l'action de H est transitive, il existe un élément ''h'' de H tel que <math>\ x^{g} = x^{h}.</math> Alors <math>\ x^{gh^{-1}} = x</math>, donc <math>\ gh^{-1} \in G_{x}</math>, donc <math>\ g \in G_{x}H.</math> Ceci étant vrai pour tout élément ''g'' de G, on a donc <math>\ G = G_{x} H</math>. Par exemple en appliquant ce qui précède au groupe opposé de G et en tenant compte que, pour deux sous-groupes A, B de G, la relation G = AB équivaut à G = BA ([[../Exercices/Groupes, premières notions#Problème 8|Exercices/Groupes, premières notions#Problème 8]]), on trouve que l'énoncé est encore vrai pour une opération à gauche de G sur X. }} La forme générale de l'argument de Frattini nous servira dans les chapitres [[../Théorème de Gaschütz|Théorème de Gaschütz]] et [[../Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives|Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives]]. Dans le chapitre [[../Sous-groupe de Frattini|Sous-groupe de Frattini]], nous verrons la forme particulière sous laquelle Frattini a publié l'«argument» qui porte son nom. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | suivant = [[../Produit direct et somme restreinte/]] }} 99602pv1jo7t7qbi25ejn6nwaye21oq 0 30369 987163 969429 2026-10-06T20:08:11Z Hypercrate 30565 /* Le Chant Grégorien */ Syntaxe 987163 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = musique | numéro = 4 | précédent = [[../La musique médiévale de 1150 à 1300/]] | suivant = [[../Organisation des différentes formes musicales au travers de l'année/]] | niveau = intermédiaire }} On associe généralement le Moyen Âge avec le début des invasions barbares, cependant, cela n’est pas aussi simple, et il en va de même avec la musique. == Contexte Géo-Politique == La notation musicale n'apparait à proprement parler qu'au {{S|9}}, et il y a donc avant une grande période du Moyen Âge sans textes musicaux, ni inscription permettant de connaitre les tempéraments, les méthodes, les instruments et les rites utilisés à cette époque. Ainsi, si l’on souhaite étudier la musique médiévale, il est nécessaire de partir de la réforme carolingienne et des empereurs liés, débutant par le règne de Charlemagne. Le territoire de Charlemagne, à sa mort, recouvre l'Allemagne, les premiers pays de l'est, le nord de l'Italie et une petite partie de l'Espagne ; sans compter les pays tributaires. L'ensemble de son influence recouvre une grande partie de l'Europe. Lorsque Charlemagne décida d’unifier l'administration, l'éducation dans l’ensemble du territoire, en imposant la langue latine et en unifiant également les offices religieux, il s'aperçut que la difficulté était grande. Car si l’on considère qu’il n'y a pas de transcriptions écrites, comment peut on donc vérifier que l’on chante bien de la même manière entre la Saxe et Rome ? == Une mise en place difficile == C'est à Aix-la-Chapelle, en Allemagne, ville siège de la cour impériale, qu'un système de notation manuscrite fut alors inventé , afin de permettre l'apprentissage de la musique aux quatre coins de l'empire. On créa un système, d'inspiration grecque, qui ne peut servir que d'aide mémoire aux chanteurs. La musique fut inspirée de celle pratiquée à Rome. Puis, Charlemagne dépêcha un grand nombre de chanteurs dans les différentes provinces de l'empire pour aller enseigner la musique officielle. Mais il se rendit également compte d'une difficulté supplémentaire: celle de devoir écraser les répertoires déjà existant pour les remplacer par le répertoire romain. On trouve parmi les répertoires déjà présents: * Le répertoire Ambrosien : celui de Milan. Grâce à l'autorité de l'évêque Ambroise, qui a composé ce répertoire, il fut difficile pour les Milanais de l'abandonner. Elle consiste aujourd’hui en la forme de musique européenne la plus ancienne encore conservée. * Le répertoire Vieux Romain : ce répertoire est aujourd’hui mort. * Le répertoire Bénéventain : en Italie, lié à la ville de Benevent. Répertoire entièrement éradiqué jusqu'au {{S|12}}. * Le répertoire Hispanique : de même, mais lié à l'Espagne et au Portugal. Il s'agit plutôt d'un groupe de répertoires. Certains livres ont été notés dès le XI{{e}} siécle mais nous n'arrivons plus à les lire avec certitude. * Et le répertoire Gallican : répertoire difficile à cerner, chanté sur le territoire médiéval de la France, et Charlemagne, dans l’idée d'imposer un répertoire, a utilisé les chantres français qui ne pouvaient pas oublier totalement leur registre. La tradition gallicane s'est fondue au final un peu partout en Europe avec la venue des chanteurs français. De plus, une tradition de transmission orale est bien plus difficile à remplacer que celle à transmission écrite : un peuple capable de se souvenir et de transmettre une chanson de mémoire a plus de chance de voir cette chanson perdurer qu'un peuple ayant recours à un outil susceptible d’être détruit ou perdu pour transmettre un répertoire trop large pour être retenu. == Le Chant Grégorien == Le nom "Grégorien" est erroné. On a attribué ce répertoire au pape Grégoire le Grand (590-604) à tort, et cela est resté dans la culture populaire. En réalité, il fut nécessaire pour les carolingiens de dire que cette musique a été composée par Grégoire sous la dictée de l'Esprit Saint, qui avait pris la forme d'une colombe. Cela permit à l’Église d’unifier son pouvoir, tout en laissant Charlemagne unifier son royaume. Dans le cadre des offices à l'église, on utilise les psaumes (la psalmodie). Inclus dans l'Ancien Testament, 150 psaumes, qui sont des textes chrétiens, poétiques, sont utilisés dans l'empire carolingien dans leur traduction latine. Il y a 3 manières de psalmodier : * La psalmodie directe : la psalmodie dure du début jusqu'à la fin par un chanteur ou un groupe de chanteurs sans aucun dialogue, ni coupure, entre les chanteurs. * La psalmodie antiphonale (avec une antienne) : l'antienne est une petite section, utilisée en refrain, chantée au tout début et à la fin ou intercalée entre chaque verset. Le refrain est chanté par tout le chœur. Les versets eux sont chantés par le groupe désigné (en général la moitié). Ce qui nous donne la forme suivante : [A (antienne) V¹(verset) A V² A V³... A] * Psalmodie responsoriale (avec des versets et des répons) : on choisit un morceau du texte considéré en tant que refrain, appelé répons. On le chante au début dans son intégralité (A+B), puis entre chaque verset (C), on chante la seconde partie du refrain (B). Ce qui donne AB C¹ B C² B... Ici les versets sont chantés par un soliste, les refrains sont repris le chœur. Aujourd'hui, le répertoire du plain-chant est consigné dans deux ouvrages édités par l'abbaye de Solesmes, appelé Graduel. Il est consigné en neumes (écriture d'origine, portée) et en notation diastématique, plus récente. {{Bas de page | idfaculté = musique | numéro = 4 | précédent = [[../La musique médiévale de 1150 à 1300/]] | suivant = [[../Organisation des différentes formes musicales au travers de l'année/]] | niveau = 0 }} 728b6t5yhag2ucfzkv6io8alqhfnh0c 0 74477 987158 987157 2026-10-06T14:09:23Z Phl7605 31541 /* Cas d'un système en translation */ 987158 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" />{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2 \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système }}par «<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système par }}la somme des énergies totales de tous les points matériels du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, au même instant <math>\,t</math>, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, }}par «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, par }}la somme des énergies masses de tous les points matériels du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, est égale à «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumiqque <math>\,\mu(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue volumique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration volumique sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|10}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, de masse surfaciqque <math>\,\sigma(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue surfacique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration surfacique sur l'expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéiqque <math>\,\lambda(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue curviligne"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration curviligne sur l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>,, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{lin}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>. === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\,\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Considérant le système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret }}en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="tout point de même vecteur vitesse"> Tous les points <math>\,M_i\,</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> est définie selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}<math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\,</math> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\, \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en reconnaissant dans «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», la réécriture selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ; {{Al|5}}une 3^ème expression <math>\;\big(</math>très peu utilisée<math>\big)\;</math> peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et de la résultante cinétique newtonienne <ref name="peu intéressant"> C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.</ref>, on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» peut se réécrire selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />.</center> {{Al|5}}<u>Complément</u> : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation <math>\;\big(</math>et de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /><math>\big)</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;</math> et <br>le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>».</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» et le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de <math>\;K_M(t)\;</math> précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«<math>\;K_M(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math>» ou, par permutation circulaire du produit mixte <ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;C\;</math> «<math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;</math></center> {{Al|5}}ou encore, avec <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> et <math>\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> dans lesquelles <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> est le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du point <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> le moment cinétique scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M</math>, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit selon l'expression suivante <math>\;\big(</math>laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» ; </center> {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} saldd1020wnjusjnc5xg0rhksguvecn 987159 987158 2026-10-06T18:51:12Z Phl7605 31541 /* Cas d'un système en translation */ 987159 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" />{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2 \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système }}par «<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système par }}la somme des énergies totales de tous les points matériels du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, au même instant <math>\,t</math>, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, }}par «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, par }}la somme des énergies masses de tous les points matériels du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, est égale à «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumiqque <math>\,\mu(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue volumique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration volumique sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|10}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, de masse surfaciqque <math>\,\sigma(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue surfacique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration surfacique sur l'expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéiqque <math>\,\lambda(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue curviligne"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration curviligne sur l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>,, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{lin}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>. === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\,\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Considérant le système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret }}en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="tout point de même vecteur vitesse"> Tous les points <math>\,M_i\,</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> est définie selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}<math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\,</math> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\, \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en reconnaissant dans «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», la réécriture selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 1^ère expression de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> étant explicitée à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 2^nde {{Transparent|expression de }}<math>\,\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.}}(t)}\,</math>{{Transparent| étant explicitée }}à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> de ce système, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}une 3^ème expression <ref> Très peu utilisée.</ref> de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> peut être explicitée à l'aide des grandeurs cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> soit <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en réécrivant la 2^nde expression selon «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en remplaçant <math>\,\dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\,</math> par <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)</math>, «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Complément</u> : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation <math>\;\big(</math>et de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /><math>\big)</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;</math> et <br>le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>».</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» et le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de <math>\;K_M(t)\;</math> précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«<math>\;K_M(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math>» ou, par permutation circulaire du produit mixte <ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;C\;</math> «<math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;</math></center> {{Al|5}}ou encore, avec <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> et <math>\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> dans lesquelles <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> est le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du point <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> le moment cinétique scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M</math>, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit selon l'expression suivante <math>\;\big(</math>laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» ; </center> {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} p3ns4cqpvzklo8joqqup1dri5ode0hi 987160 987159 2026-10-06T18:52:11Z Phl7605 31541 /* Cas d'un système en translation */ 987160 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" />{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2 \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système }}par «<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système par }}la somme des énergies totales de tous les points matériels du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, au même instant <math>\,t</math>, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, }}par «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, par }}la somme des énergies masses de tous les points matériels du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, est égale à «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumiqque <math>\,\mu(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue volumique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration volumique sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|10}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, de masse surfaciqque <math>\,\sigma(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue surfacique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration surfacique sur l'expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéiqque <math>\,\lambda(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue curviligne"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration curviligne sur l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>,, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{lin}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>. === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\,\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Considérant le système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret }}en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="tout point de même vecteur vitesse"> Tous les points <math>\,M_i\,</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> est définie selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}<math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\,</math> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\, \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en reconnaissant dans «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», la réécriture selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 1^ère expression de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> étant explicitée à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 2^nde {{Transparent|expression de }}<math>\,\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.}}(t)}\,</math>{{Transparent| étant explicitée }}à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> de ce système, <br>{{Al|1}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}une 3^ème expression <ref> Très peu utilisée.</ref> de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> peut être explicitée à l'aide des grandeurs cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> soit <br>{{Al|6}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en réécrivant la 2^nde expression selon «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en remplaçant <math>\,\dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\,</math> par <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)</math>, «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Complément</u> : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation <math>\;\big(</math>et de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /><math>\big)</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;</math> et <br>le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>».</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» et le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de <math>\;K_M(t)\;</math> précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«<math>\;K_M(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math>» ou, par permutation circulaire du produit mixte <ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;C\;</math> «<math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;</math></center> {{Al|5}}ou encore, avec <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> et <math>\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> dans lesquelles <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> est le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du point <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> le moment cinétique scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M</math>, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit selon l'expression suivante <math>\;\big(</math>laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» ; </center> {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} l5akst0ll4noz8pqfzp3gsvgfhtwd9h 987161 987160 2026-10-06T18:53:42Z Phl7605 31541 /* Cas d'un système en translation */ 987161 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" />{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2 \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système }}par «<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système par }}la somme des énergies totales de tous les points matériels du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, au même instant <math>\,t</math>, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, }}par «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, par }}la somme des énergies masses de tous les points matériels du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, est égale à «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumiqque <math>\,\mu(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue volumique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration volumique sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|10}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, de masse surfaciqque <math>\,\sigma(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue surfacique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration surfacique sur l'expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéiqque <math>\,\lambda(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue curviligne"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration curviligne sur l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>,, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{lin}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>. === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\,\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Considérant le système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret }}en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="tout point de même vecteur vitesse"> Tous les points <math>\,M_i\,</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> est définie selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}<math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\,</math> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\, \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en reconnaissant dans «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», la réécriture selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 1^ère expression de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> étant explicitée à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 2^nde {{Transparent|expression de }}<math>\,\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.}}(t)}\,</math>{{Transparent| étant explicitée }}à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> de ce système, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}une 3^ème expression <ref> Très peu utilisée.</ref> de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> peut être explicitée à l'aide des grandeurs cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> d'où <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en réécrivant la 2^nde expression selon «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en remplaçant <math>\,\dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\,</math> par <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)</math>, «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Complément</u> : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation <math>\;\big(</math>et de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /><math>\big)</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;</math> et <br>le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>».</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» et le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de <math>\;K_M(t)\;</math> précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«<math>\;K_M(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math>» ou, par permutation circulaire du produit mixte <ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;C\;</math> «<math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;</math></center> {{Al|5}}ou encore, avec <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> et <math>\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> dans lesquelles <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> est le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du point <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> le moment cinétique scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M</math>, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit selon l'expression suivante <math>\;\big(</math>laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» ; </center> {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} ewh8khsamz9gawe4xficbz9gxo8bark 987162 987161 2026-10-06T18:54:38Z Phl7605 31541 /* Cas d'un système en translation */ 987162 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" />{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2 \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système }}par «<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système par }}la somme des énergies totales de tous les points matériels du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, au même instant <math>\,t</math>, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, }}par «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, par }}la somme des énergies masses de tous les points matériels du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, est égale à «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumiqque <math>\,\mu(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue volumique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration volumique sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|10}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, de masse surfaciqque <math>\,\sigma(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue surfacique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration surfacique sur l'expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéiqque <math>\,\lambda(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue curviligne"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration curviligne sur l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>,, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{lin}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>. === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\,\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Considérant le système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret }}en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="tout point de même vecteur vitesse"> Tous les points <math>\,M_i\,</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> est définie selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}<math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\,</math> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\, \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en reconnaissant dans «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», la réécriture selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 1^ère expression de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> étant explicitée à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 2^nde {{Transparent|expression de }}<math>\,\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.}}(t)}\,</math>{{Transparent| étant explicitée }}à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> de ce système, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}une 3^ème expression <ref> Très peu utilisée.</ref> de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> est explicitable à l'aide des grandeurs cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> d'où <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en réécrivant la 2^nde expression selon «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en remplaçant <math>\,\dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\,</math> par <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)</math>, «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Complément</u> : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation <math>\;\big(</math>et de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /><math>\big)</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;</math> et <br>le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>».</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» et le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de <math>\;K_M(t)\;</math> précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«<math>\;K_M(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math>» ou, par permutation circulaire du produit mixte <ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;C\;</math> «<math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;</math></center> {{Al|5}}ou encore, avec <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> et <math>\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> dans lesquelles <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> est le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du point <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> le moment cinétique scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M</math>, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit selon l'expression suivante <math>\;\big(</math>laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» ; </center> {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} kmbt9qoehr24z2qozg9bhan044bgxda 987164 987162 2026-10-07T01:32:08Z Phl7605 31541 /* Cas d'un système en translation */ 987164 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" />{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2 \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système }}par «<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système par }}la somme des énergies totales de tous les points matériels du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, au même instant <math>\,t</math>, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, }}par «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, par }}la somme des énergies masses de tous les points matériels du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, est égale à «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumiqque <math>\,\mu(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue volumique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration volumique sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|10}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, de masse surfaciqque <math>\,\sigma(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue surfacique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration surfacique sur l'expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéiqque <math>\,\lambda(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue curviligne"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration curviligne sur l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>,, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{lin}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>. === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\,\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Considérant le système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret }}en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="tout point de même vecteur vitesse"> Tous les points <math>\,M_i\,</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> est définie selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}<math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\,</math> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\, \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en reconnaissant dans «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», la réécriture selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 1^ère expression de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> étant explicitée à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 2^nde {{Transparent|expression de }}<math>\,\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.}}(t)}\,</math>{{Transparent| étant explicitée }}à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> de ce système, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}une 3^ème expression <ref> Très peu utilisée.</ref> de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> est explicitable à l'aide des grandeurs cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> d'où <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en réécrivant la 2^nde expression selon «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en remplaçant <math>\,\dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\,</math> par <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)</math>, «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Complément</u> : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique d’un système discret }}définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="expression relativiste d'un système discret"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#En_complément,_expression_relativiste_de_l'énergie_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels|en complément, expression relativiste de l'énergie cinétique d'un système discret de points matériels]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\,</math> facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de <math>\,M_i\;</math>», On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation <math>\;\big(</math>et de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /><math>\big)</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;</math> et <br>le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>».</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» et le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de <math>\;K_M(t)\;</math> précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«<math>\;K_M(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math>» ou, par permutation circulaire du produit mixte <ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;C\;</math> «<math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;</math></center> {{Al|5}}ou encore, avec <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> et <math>\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> dans lesquelles <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> est le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du point <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> le moment cinétique scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M</math>, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit selon l'expression suivante <math>\;\big(</math>laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» ; </center> {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} t4aqkw1airtvsz011inlx9dup70hiss 987165 987164 2026-10-07T01:56:12Z Phl7605 31541 /* Cas d'un système en translation */ 987165 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" />{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2 \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système }}par «<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système par }}la somme des énergies totales de tous les points matériels du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, au même instant <math>\,t</math>, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, }}par «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, par }}la somme des énergies masses de tous les points matériels du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, est égale à «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumiqque <math>\,\mu(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue volumique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration volumique sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|10}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, de masse surfaciqque <math>\,\sigma(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue surfacique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration surfacique sur l'expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéiqque <math>\,\lambda(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue curviligne"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration curviligne sur l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>,, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{lin}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>. === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\,\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Considérant le système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret }}en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="tout point de même vecteur vitesse"> Tous les points <math>\,M_i\,</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> est définie selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}<math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\,</math> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\, \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en reconnaissant dans «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», la réécriture selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 1^ère expression de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> étant explicitée à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 2^nde {{Transparent|expression de }}<math>\,\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.}}(t)}\,</math>{{Transparent| étant explicitée }}à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> de ce système, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}une 3^ème expression <ref> Très peu utilisée.</ref> de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> est explicitable à l'aide des grandeurs cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> d'où <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en réécrivant la 2^nde expression selon «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en remplaçant <math>\,\dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\,</math> par <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)</math>, «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Complément</u> : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique d’un système discret }}définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="expression relativiste d'un système discret"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#En_complément,_expression_relativiste_de_l'énergie_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels|en complément, expression relativiste de l'énergie cinétique d'un système discret de points matériels]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\,</math> facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de <math>\,M_i\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}le mouvement de translation du système <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{c^2}}} = \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}l'énergie cinétique de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique d’un système discret }}se réécrit selon «<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation <math>\;\big(</math>et de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /><math>\big)</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;</math> et <br>le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>».</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» et le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de <math>\;K_M(t)\;</math> précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«<math>\;K_M(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math>» ou, par permutation circulaire du produit mixte <ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;C\;</math> «<math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;</math></center> {{Al|5}}ou encore, avec <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> et <math>\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> dans lesquelles <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> est le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du point <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> le moment cinétique scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M</math>, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit selon l'expression suivante <math>\;\big(</math>laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» ; </center> {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} esk80eao8mtz1cercl7ovsi8iywtgpc 987166 987165 2026-10-07T02:26:17Z Phl7605 31541 /* Cas d'un système en translation */ 987166 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" />{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2 \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système }}par «<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système par }}la somme des énergies totales de tous les points matériels du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, au même instant <math>\,t</math>, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, }}par «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, par }}la somme des énergies masses de tous les points matériels du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, est égale à «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumiqque <math>\,\mu(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue volumique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration volumique sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|10}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, de masse surfaciqque <math>\,\sigma(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue surfacique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration surfacique sur l'expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéiqque <math>\,\lambda(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue curviligne"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration curviligne sur l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>,, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{lin}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>. === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\,\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Considérant le système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret }}en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="tout point de même vecteur vitesse"> Tous les points <math>\,M_i\,</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> est définie selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}<math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\,</math> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\, \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en reconnaissant dans «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», la réécriture selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 1^ère expression de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> étant explicitée à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 2^nde {{Transparent|expression de }}<math>\,\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.}}(t)}\,</math>{{Transparent| étant explicitée }}à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> de ce système, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}une 3^ème expression <ref> Très peu utilisée.</ref> de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> est explicitable à l'aide des grandeurs cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> d'où <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en réécrivant la 2^nde expression selon «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en remplaçant <math>\,\dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\,</math> par <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)</math>, «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Complément</u> : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique d’un système discret }}définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="expression relativiste d'un système discret"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#En_complément,_expression_relativiste_de_l'énergie_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels|en complément, expression relativiste de l'énergie cinétique d'un système discret de points matériels]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\,</math> facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de <math>\,M_i\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}le mouvement de translation du système <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{c^2}}} = \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}l'énergie cinétique de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret }}se réécrit selon «<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right] m_i\; c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right] \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \right] c^2\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon }}«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon }}«<math>\;m_{\text{syst. en transl.}} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» masse du système <math>\,\big(</math>en translation<math>\big)\;</math><ref> Terme entre parenthèses car la masse du système est indépendante du mouvement de ce dernier.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}le vecteur vitesse du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> étant aussi celui du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\,G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\,\mathcal{R}\;</math> à la date <math>\,t</math>, soit On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation <math>\;\big(</math>et de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /><math>\big)</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;</math> et <br>le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>».</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» et le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de <math>\;K_M(t)\;</math> précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«<math>\;K_M(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math>» ou, par permutation circulaire du produit mixte <ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;C\;</math> «<math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;</math></center> {{Al|5}}ou encore, avec <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> et <math>\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> dans lesquelles <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> est le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du point <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> le moment cinétique scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M</math>, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit selon l'expression suivante <math>\;\big(</math>laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» ; </center> {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} 2cy510m52f7f840r51nar23mp866nqp 987167 987166 2026-10-07T03:00:30Z Phl7605 31541 /* Cas d'un système en translation */ 987167 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" />{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2 \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système }}par «<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système par }}la somme des énergies totales de tous les points matériels du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, au même instant <math>\,t</math>, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, }}par «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, par }}la somme des énergies masses de tous les points matériels du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, est égale à «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumiqque <math>\,\mu(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue volumique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration volumique sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|10}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, de masse surfaciqque <math>\,\sigma(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue surfacique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration surfacique sur l'expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéiqque <math>\,\lambda(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue curviligne"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration curviligne sur l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>,, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{lin}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>. === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\,\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Considérant le système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret }}en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="tout point de même vecteur vitesse"> Tous les points <math>\,M_i\,</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> est définie selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}<math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\,</math> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\, \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en reconnaissant dans «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», la réécriture selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 1^ère expression de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> étant explicitée à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 2^nde {{Transparent|expression de }}<math>\,\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.}}(t)}\,</math>{{Transparent| étant explicitée }}à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> de ce système, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}une 3^ème expression <ref> Très peu utilisée.</ref> de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> est explicitable à l'aide des grandeurs cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> d'où <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en réécrivant la 2^nde expression selon «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en remplaçant <math>\,\dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\,</math> par <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)</math>, «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Complément</u> : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique d’un système discret }}définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="expression relativiste d'un système discret"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#En_complément,_expression_relativiste_de_l'énergie_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels|en complément, expression relativiste de l'énergie cinétique d'un système discret de points matériels]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\,</math> facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de <math>\,M_i\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}le mouvement de translation du système <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{c^2}}} = \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}l'énergie cinétique de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret }}se réécrit selon «<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right] m_i\; c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right] \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \right] c^2\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon }}«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon }}«<math>\;m_{\text{syst. en transl.}} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» masse du système <math>\,\big(</math>en translation<math>\big)\;</math><ref> Terme entre parenthèses car la masse du système est indépendante du mouvement de ce dernier.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}le vecteur vitesse du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> étant aussi celui du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\,G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\,\mathcal{R}\;</math> à la date <math>\,t</math>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, le vecteur vitesse }}«<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;</math>» facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et, en choisissant «<math>\;m_G = m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>»n, <br>{{Al|4}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, le vecteur vit }}d'où «<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_G(t) - 1 \right]\, m_G\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> c.-à-d. l'énergie cinétique de ce système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est aussi <br>{{Al|10}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, le vecteur vit d'où «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_G(t) - 1 \right]\, m_G\;c^2}\;</math>» c.-à-d. }}l'énergie cinétique du « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;\left( m_G \right)\,</math> du système » dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> ; On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation <math>\;\big(</math>et de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /><math>\big)</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;</math> et <br>le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>».</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» et le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de <math>\;K_M(t)\;</math> précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«<math>\;K_M(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math>» ou, par permutation circulaire du produit mixte <ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;C\;</math> «<math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;</math></center> {{Al|5}}ou encore, avec <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> et <math>\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> dans lesquelles <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> est le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du point <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> le moment cinétique scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M</math>, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit selon l'expression suivante <math>\;\big(</math>laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» ; </center> {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} tse8c5asic0fyzpb9ztbdah9s90yt35 987168 987167 2026-10-07T03:01:25Z Phl7605 31541 /* Cas d'un système en translation */ 987168 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" />{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2 \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système }}par «<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système par }}la somme des énergies totales de tous les points matériels du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, au même instant <math>\,t</math>, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, }}par «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, par }}la somme des énergies masses de tous les points matériels du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, est égale à «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumiqque <math>\,\mu(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue volumique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration volumique sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|10}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, de masse surfaciqque <math>\,\sigma(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue surfacique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration surfacique sur l'expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéiqque <math>\,\lambda(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue curviligne"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration curviligne sur l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>,, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{lin}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>. === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\,\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Considérant le système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret }}en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="tout point de même vecteur vitesse"> Tous les points <math>\,M_i\,</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> est définie selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}<math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\,</math> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\, \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en reconnaissant dans «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», la réécriture selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 1^ère expression de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> étant explicitée à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 2^nde {{Transparent|expression de }}<math>\,\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.}}(t)}\,</math>{{Transparent| étant explicitée }}à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> de ce système, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}une 3^ème expression <ref> Très peu utilisée.</ref> de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> est explicitable à l'aide des grandeurs cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> d'où <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en réécrivant la 2^nde expression selon «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en remplaçant <math>\,\dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\,</math> par <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)</math>, «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Complément</u> : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique d’un système discret }}définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="expression relativiste d'un système discret"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#En_complément,_expression_relativiste_de_l'énergie_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels|en complément, expression relativiste de l'énergie cinétique d'un système discret de points matériels]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\,</math> facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de <math>\,M_i\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}le mouvement de translation du système <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{c^2}}} = \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}l'énergie cinétique de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret }}se réécrit selon «<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right] m_i\; c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right] \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \right] c^2\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon }}«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon }}«<math>\;m_{\text{syst. en transl.}} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» masse du système <math>\,\big(</math>en translation<math>\big)\;</math><ref> Terme entre parenthèses car la masse du système est indépendante du mouvement de ce dernier.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}le vecteur vitesse du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> étant aussi celui du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\,G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\,\mathcal{R}\;</math> à la date <math>\,t</math>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, le vecteur vitesse }}«<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;</math>» facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et, en choisissant «<math>\;m_G = m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>»n, <br>{{Al|4}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, le vecteur vit }}d'où «<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_G(t) - 1 \right]\, m_G\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> c.-à-d. l'énergie cinétique de ce système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est aussi <br>{{Al|10}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, le vecteur vit d'où «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_G(t) - 1 \right]\, m_G\;c^2}\;</math>» c.-à-d. }}l'énergie cinétique du « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;\left( m_G \right)\,</math> du système » dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;</math> et <br>le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>».</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» et le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de <math>\;K_M(t)\;</math> précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«<math>\;K_M(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math>» ou, par permutation circulaire du produit mixte <ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;C\;</math> «<math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;</math></center> {{Al|5}}ou encore, avec <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> et <math>\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> dans lesquelles <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> est le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du point <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> le moment cinétique scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M</math>, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit selon l'expression suivante <math>\;\big(</math>laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» ; </center> {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} 0ytnd5gipe14lkzp5f65mmlekq6d29h 987170 987168 2026-10-07T09:12:27Z Phl7605 31541 /* Cas d'un système en translation */ 987170 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" />{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2 \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système }}par «<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système par }}la somme des énergies totales de tous les points matériels du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, au même instant <math>\,t</math>, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, }}par «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, par }}la somme des énergies masses de tous les points matériels du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, est égale à «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumiqque <math>\,\mu(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue volumique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration volumique sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|10}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, de masse surfaciqque <math>\,\sigma(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue surfacique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration surfacique sur l'expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéiqque <math>\,\lambda(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue curviligne"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration curviligne sur l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>,, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{lin}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>. === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\,\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Considérant le système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret }}en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="tout point de même vecteur vitesse"> Tous les points <math>\,M_i\,</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> est définie selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}<math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\,</math> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\, \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en reconnaissant dans «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», la réécriture selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 1^ère expression de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> étant explicitée à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 2^nde {{Transparent|expression de }}<math>\,\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.}}(t)}\,</math>{{Transparent| étant explicitée }}à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> de ce système, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}une 3^ème expression <ref> Très peu utilisée.</ref> de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> est explicitable à l'aide des grandeurs cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> d'où <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en réécrivant la 2^nde expression selon «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en remplaçant <math>\,\dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\,</math> par <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)</math>, «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Complément</u> : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique d’un système discret }}définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="expression relativiste d'un système discret"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#En_complément,_expression_relativiste_de_l'énergie_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels|en complément, expression relativiste de l'énergie cinétique d'un système discret de points matériels]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\,</math> facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de <math>\,M_i\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}le mouvement de translation du système <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{c^2}}} = \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}l'énergie cinétique de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret }}se réécrit selon «<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right] m_i\; c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right] \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \right] c^2\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon }}«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon }}«<math>\;m_{\text{syst. en transl.}} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» masse du système <math>\,\big(</math>en translation<math>\big)\;</math><ref> Terme entre parenthèses car la masse du système est indépendante du mouvement de ce dernier.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}le vecteur vitesse du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> étant aussi celui du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\,G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\,\mathcal{R}\;</math> à la date <math>\,t</math>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, le vecteur vitesse }}«<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;</math>» facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et, en choisissant «<math>\;m_G = m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>»n, <br>{{Al|4}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, le vecteur vit }}d'où «<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_G(t) - 1 \right]\, m_G\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> c.-à-d. l'énergie cinétique de ce système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est aussi <br>{{Al|10}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, le vecteur vit d'où «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_G(t) - 1 \right]\, m_G\;c^2}\;</math>» c.-à-d. }}l'énergie cinétique du « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;\left( m_G \right)\,</math> du système » dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret }}s'obtient en explicitant la grandeur cinématique <math>\,\gamma_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \gamma_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret s'obtient en explicitant }}en fonction de celle cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \vec{P}_G(t)\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret s'obtient en explicitant }}«<math>\;K_G(t) = \left[ \gamma_G(t) - 1 \right]\, m_G\,c^2 = \sqrt{\vec{P}_G^2\;c^2 + m_G^2\;c^4} - m_G\;c^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\,E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression }}le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» et le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de <math>\;K_M(t)\;</math> précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«<math>\;K_M(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math>» ou, par permutation circulaire du produit mixte <ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;C\;</math> «<math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;</math></center> {{Al|5}}ou encore, avec <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> et <math>\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> dans lesquelles <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> est le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du point <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> le moment cinétique scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M</math>, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit selon l'expression suivante <math>\;\big(</math>laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» ; </center> {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = 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