Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.23 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 74477 987171 987170 2026-10-07T15:38:44Z Phl7605 31541 /* Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu */ 987171 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" />{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2 \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système }}par «<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système par }}la somme des énergies totales de tous les points matériels du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, au même instant <math>\,t</math>, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, }}par «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, par }}la somme des énergies masses de tous les points matériels du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, est égale à «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumiqque <math>\,\mu(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue volumique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration volumique sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|10}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, de masse surfaciqque <math>\,\sigma(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue surfacique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration surfacique sur l'expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéiqque <math>\,\lambda(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue curviligne"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration curviligne sur l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>,, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{lin}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>. === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\,\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Considérant le système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret }}en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="tout point de même vecteur vitesse"> Tous les points <math>\,M_i\,</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> est définie selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}<math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\,</math> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\, \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en reconnaissant dans «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», la réécriture selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 1^ère expression de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> étant explicitée à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 2^nde {{Transparent|expression de }}<math>\,\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.}}(t)}\,</math>{{Transparent| étant explicitée }}à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> de ce système, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}une 3^ème expression <ref> Très peu utilisée.</ref> de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> est explicitable à l'aide des grandeurs cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> d'où <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en réécrivant la 2^nde expression selon «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en remplaçant <math>\,\dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\,</math> par <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)</math>, «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Complément</u> : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique d’un système discret }}définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="expression relativiste d'un système discret"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#En_complément,_expression_relativiste_de_l'énergie_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels|en complément, expression relativiste de l'énergie cinétique d'un système discret de points matériels]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\,</math> facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de <math>\,M_i\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}le mouvement de translation du système <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{c^2}}} = \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}l'énergie cinétique de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret }}se réécrit selon «<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right] m_i\; c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right] \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \right] c^2\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon }}«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon }}«<math>\;m_{\text{syst. en transl.}} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» masse du système <math>\,\big(</math>en translation<math>\big)\;</math><ref> Terme entre parenthèses car la masse du système est indépendante du mouvement de ce dernier.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}le vecteur vitesse du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> étant aussi celui du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\,G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\,\mathcal{R}\;</math> à la date <math>\,t</math>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, le vecteur vitesse }}«<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;</math>» facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et, en choisissant «<math>\;m_G = m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>»n, <br>{{Al|4}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, le vecteur vit }}d'où «<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_G(t) - 1 \right]\, m_G\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> c.-à-d. l'énergie cinétique de ce système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est aussi <br>{{Al|10}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, le vecteur vit d'où «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_G(t) - 1 \right]\, m_G\;c^2}\;</math>» c.-à-d. }}l'énergie cinétique du « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;\left( m_G \right)\,</math> du système » dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret }}s'obtient en explicitant la grandeur cinématique <math>\,\gamma_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \gamma_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret s'obtient en explicitant }}en fonction de celle cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \vec{P}_G(t)\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret s'obtient en explicitant }}«<math>\;K_G(t) = \left[ \gamma_G(t) - 1 \right]\, m_G\,c^2 = \sqrt{\vec{P}_G^2\;c^2 + m_G^2\;c^4} - m_G\;c^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\,E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression }}le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» étant définie à la date <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> par «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, }}le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_{M,\,\text{mouv circ}}(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>» <ref name="vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non##Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, }}l’énergie cinétique du point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, en y remplaçant un seul vecteur vitesse par son expression intrinsèque ci-dessous <ref name="vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}<math>K_{M,\,\text{mouv circ}}(t) = \dfrac{1}{2}\,m\, \vec{V}_{M,\,\text{mouv circ}}(t) \!\cdot\! \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right] = \dfrac{1}{2}\, \vec{\Omega}(t) \!\cdot\!\! \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\, \vec{V}_{M,\,\text{mouv circ}}(t) \right]\;</math><ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;C\;</math> «<math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;</math></center> {{Al|5}}ou encore, avec <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> et <math>\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> dans lesquelles <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> est le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du point <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> le moment cinétique scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M</math>, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit selon l'expression suivante <math>\;\big(</math>laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» ; </center> {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} 1rh5xke0be3odqx7r4b7eojse6bf2ni 987172 987171 2026-10-07T16:05:19Z Phl7605 31541 /* Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu */ 987172 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" />{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2 \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système }}par «<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système par }}la somme des énergies totales de tous les points matériels du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, au même instant <math>\,t</math>, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, }}par «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, par }}la somme des énergies masses de tous les points matériels du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, est égale à «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumiqque <math>\,\mu(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue volumique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration volumique sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|10}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, de masse surfaciqque <math>\,\sigma(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue surfacique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration surfacique sur l'expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéiqque <math>\,\lambda(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue curviligne"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration curviligne sur l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>,, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{lin}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>. === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\,\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Considérant le système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret }}en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="tout point de même vecteur vitesse"> Tous les points <math>\,M_i\,</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> est définie selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}<math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\,</math> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\, \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en reconnaissant dans «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», la réécriture selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 1^ère expression de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> étant explicitée à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 2^nde {{Transparent|expression de }}<math>\,\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.}}(t)}\,</math>{{Transparent| étant explicitée }}à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> de ce système, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}une 3^ème expression <ref> Très peu utilisée.</ref> de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> est explicitable à l'aide des grandeurs cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> d'où <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en réécrivant la 2^nde expression selon «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en remplaçant <math>\,\dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\,</math> par <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)</math>, «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Complément</u> : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique d’un système discret }}définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="expression relativiste d'un système discret"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#En_complément,_expression_relativiste_de_l'énergie_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels|en complément, expression relativiste de l'énergie cinétique d'un système discret de points matériels]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\,</math> facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de <math>\,M_i\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}le mouvement de translation du système <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{c^2}}} = \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}l'énergie cinétique de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret }}se réécrit selon «<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right] m_i\; c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right] \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \right] c^2\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon }}«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon }}«<math>\;m_{\text{syst. en transl.}} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» masse du système <math>\,\big(</math>en translation<math>\big)\;</math><ref> Terme entre parenthèses car la masse du système est indépendante du mouvement de ce dernier.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}le vecteur vitesse du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> étant aussi celui du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\,G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\,\mathcal{R}\;</math> à la date <math>\,t</math>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, le vecteur vitesse }}«<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;</math>» facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et, en choisissant «<math>\;m_G = m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>»n, <br>{{Al|4}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, le vecteur vit }}d'où «<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_G(t) - 1 \right]\, m_G\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> c.-à-d. l'énergie cinétique de ce système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est aussi <br>{{Al|10}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, le vecteur vit d'où «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_G(t) - 1 \right]\, m_G\;c^2}\;</math>» c.-à-d. }}l'énergie cinétique du « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;\left( m_G \right)\,</math> du système » dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret }}s'obtient en explicitant la grandeur cinématique <math>\,\gamma_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \gamma_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret s'obtient en explicitant }}en fonction de celle cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \vec{P}_G(t)\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret s'obtient en explicitant }}«<math>\;K_G(t) = \left[ \gamma_G(t) - 1 \right]\, m_G\,c^2 = \sqrt{\vec{P}_G^2\;c^2 + m_G^2\;c^4} - m_G\;c^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\,E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression }}le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» étant définie à la date <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> par «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, }}le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_{M,\,\text{mouv circ}}(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>» <ref name="vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non##Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, }}l’énergie cinétique du point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, en y remplaçant un seul vecteur vitesse par son expression intrinsèque ci-dessous <ref name="vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}<math>K_{M,\,\text{mouv circ}}(t) = \dfrac{1}{2}\,m\, \vec{V}_{M,\,\text{mouv circ}}(t) \!\cdot\! \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right] = \dfrac{1}{2}\, \vec{\Omega}(t) \!\cdot\!\! \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\, \vec{V}_{M,\,\text{mouv circ}}(t) \right]\;</math><ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}dernière expression faisant apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\,M\,</math> par rapport à <math>\,C\;</math><ref name="applicable quel que soit le mouvement"> Définition applicable pour tout mouvement de <math>\,M</math>, que ce dernier soit circulaire ou non.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, dernière expression faisant apparaître }}<math>\,\vec{\sigma}_C(M_{\text{mouv circ}},\,t) = \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\, \vec{V}_{M,\,\text{mouv circ}}(t)\;</math><ref name="vecteur moment cinétique de M par rapport à A"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#«_Vecteur_moment_cinétique_de_M_par_rapport_au_point_origine_A_»,_cas_particulier_de_«_vecteur_moment_d'un_champ_vectoriel_défini_en_M_par_rapport_au_point_origine_A_»|vecteur moment cinétique de M par rapport au point origine A, cas particulier de vecteur moment d'un champ vectoriel défini en M par rapport au point origine A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="applicable quel que soit le mouvement" /> soit, au final, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}«<math>\;K_{M,\,\text{mouv circ}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M_{\text{mouv circ}},\,t)\;</math>» {{Al|5}}ou encore, avec <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> et <math>\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> dans lesquelles <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> est le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du point <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> le moment cinétique scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M</math>, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit selon l'expression suivante <math>\;\big(</math>laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» ; </center> {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} cen2dwdfgvtywjtfgmgcqq8et0ua924 987174 987172 2026-10-08T03:50:26Z Phl7605 31541 /* Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu */ 987174 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" />{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2 \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système }}par «<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système par }}la somme des énergies totales de tous les points matériels du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, au même instant <math>\,t</math>, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, }}par «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, par }}la somme des énergies masses de tous les points matériels du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, est égale à «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumiqque <math>\,\mu(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue volumique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration volumique sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|10}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, de masse surfaciqque <math>\,\sigma(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue surfacique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration surfacique sur l'expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéiqque <math>\,\lambda(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue curviligne"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration curviligne sur l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>,, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{lin}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>. === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\,\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Considérant le système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret }}en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="tout point de même vecteur vitesse"> Tous les points <math>\,M_i\,</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> est définie selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}<math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\,</math> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\, \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en reconnaissant dans «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», la réécriture selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 1^ère expression de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> étant explicitée à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 2^nde {{Transparent|expression de }}<math>\,\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.}}(t)}\,</math>{{Transparent| étant explicitée }}à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> de ce système, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}une 3^ème expression <ref> Très peu utilisée.</ref> de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> est explicitable à l'aide des grandeurs cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> d'où <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en réécrivant la 2^nde expression selon «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en remplaçant <math>\,\dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\,</math> par <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)</math>, «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Complément</u> : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique d’un système discret }}définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="expression relativiste d'un système discret"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#En_complément,_expression_relativiste_de_l'énergie_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels|en complément, expression relativiste de l'énergie cinétique d'un système discret de points matériels]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\,</math> facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de <math>\,M_i\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}le mouvement de translation du système <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{c^2}}} = \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}l'énergie cinétique de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret }}se réécrit selon «<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right] m_i\; c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right] \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \right] c^2\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon }}«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon }}«<math>\;m_{\text{syst. en transl.}} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» masse du système <math>\,\big(</math>en translation<math>\big)\;</math><ref> Terme entre parenthèses car la masse du système est indépendante du mouvement de ce dernier.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}le vecteur vitesse du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> étant aussi celui du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\,G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\,\mathcal{R}\;</math> à la date <math>\,t</math>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, le vecteur vitesse }}«<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;</math>» facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et, en choisissant «<math>\;m_G = m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>»n, <br>{{Al|4}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, le vecteur vit }}d'où «<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_G(t) - 1 \right]\, m_G\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> c.-à-d. l'énergie cinétique de ce système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est aussi <br>{{Al|10}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, le vecteur vit d'où «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_G(t) - 1 \right]\, m_G\;c^2}\;</math>» c.-à-d. }}l'énergie cinétique du « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;\left( m_G \right)\,</math> du système » dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret }}s'obtient en explicitant la grandeur cinématique <math>\,\gamma_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \gamma_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret s'obtient en explicitant }}en fonction de celle cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \vec{P}_G(t)\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret s'obtient en explicitant }}«<math>\;K_G(t) = \left[ \gamma_G(t) - 1 \right]\, m_G\,c^2 = \sqrt{\vec{P}_G^2\;c^2 + m_G^2\;c^4} - m_G\;c^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\,E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression }}le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» étant définie à la date <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> par «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, }}le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_{M,\,\text{mouv circ}}(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>» <ref name="vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non##Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, }}l’énergie cinétique du point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, en y remplaçant un seul vecteur vitesse par son expression intrinsèque rappelée ci-dessus <ref name="vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}<math>K_{M,\,\text{mouv circ}}(t) = \dfrac{1}{2}\,m\, \vec{V}_{M,\,\text{mouv circ}}(t) \!\cdot\! \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right] = \dfrac{1}{2}\, \vec{\Omega}(t) \!\cdot\!\! \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\, \vec{V}_{M,\,\text{mouv circ}}(t) \right]\;</math><ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}dernière expression faisant apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\,M\,</math> par rapport à <math>\,C\;</math><ref name="applicable quel que soit le mouvement"> Définition applicable pour tout mouvement de <math>\,M</math>, que ce dernier soit circulaire ou non.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, dernière expression faisant apparaître }}<math>\,\vec{\sigma}_C(M_{\text{mouv circ}},\,t) = \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\, \vec{V}_{M,\,\text{mouv circ}}(t)\;</math><ref name="vecteur moment cinétique de M par rapport à A"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#«_Vecteur_moment_cinétique_de_M_par_rapport_au_point_origine_A_»,_cas_particulier_de_«_vecteur_moment_d'un_champ_vectoriel_défini_en_M_par_rapport_au_point_origine_A_»|vecteur moment cinétique de M par rapport au point origine A, cas particulier de vecteur moment d'un champ vectoriel défini en M par rapport au point origine A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="applicable quel que soit le mouvement" /> soit, au final, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}«<math>\;K_{M,\,\text{mouv circ}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M_{\text{mouv circ}},\,t)\;</math>» ou encore, avec <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l} \vec{\Omega}(t) \!\!&=&\!\! \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta} \\ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \!\!&=&\!\! \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta} \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="définition du moment cinétique scalaire d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#%Équiprojectivité_du_«_vecteur_champ_moment_cinétique_de_M_»_dans_le_référentiel_d'étude_et_conséquence,_notion_de_«_moment_cinétique_de_M_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|équiprojectivité du vecteur champ moment cinétique de M dans le référentiel d'étude et conséquence, notion de moment cinétique de M dans le référentiel d'étude oar rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}<math>\,\big[</math>«<math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math>» étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta</math>, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la vitesse angulaire de rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> et «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» le moment cinétique scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> de <math>\,M\;</math><ref name="définition du moment cinétique scalaire d'un point" /><math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}«<math>\;K_{M,\,\text{mouv circ}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M_{\text{mouv circ}},\,t)\;</math>» ; {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} lwu3mqe5yuxuj8pkuaa8vrd80fjrzsz 987175 987174 2026-10-08T04:00:14Z Phl7605 31541 /* Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu */ 987175 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" />{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2 \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système }}par «<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système par }}la somme des énergies totales de tous les points matériels du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, au même instant <math>\,t</math>, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, }}par «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, par }}la somme des énergies masses de tous les points matériels du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, est égale à «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumiqque <math>\,\mu(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue volumique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration volumique sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|10}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, de masse surfaciqque <math>\,\sigma(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue surfacique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration surfacique sur l'expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéiqque <math>\,\lambda(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue curviligne"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration curviligne sur l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>,, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{lin}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>. === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\,\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Considérant le système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret }}en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="tout point de même vecteur vitesse"> Tous les points <math>\,M_i\,</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> est définie selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}<math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\,</math> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\, \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en reconnaissant dans «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», la réécriture selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 1^ère expression de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> étant explicitée à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 2^nde {{Transparent|expression de }}<math>\,\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.}}(t)}\,</math>{{Transparent| étant explicitée }}à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> de ce système, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}une 3^ème expression <ref> Très peu utilisée.</ref> de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> est explicitable à l'aide des grandeurs cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> d'où <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en réécrivant la 2^nde expression selon «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en remplaçant <math>\,\dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\,</math> par <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)</math>, «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Complément</u> : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique d’un système discret }}définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="expression relativiste d'un système discret"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#En_complément,_expression_relativiste_de_l'énergie_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels|en complément, expression relativiste de l'énergie cinétique d'un système discret de points matériels]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\,</math> facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de <math>\,M_i\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}le mouvement de translation du système <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{c^2}}} = \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}l'énergie cinétique de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret }}se réécrit selon «<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right] m_i\; c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right] \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \right] c^2\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon }}«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon }}«<math>\;m_{\text{syst. en transl.}} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» masse du système <math>\,\big(</math>en translation<math>\big)\;</math><ref> Terme entre parenthèses car la masse du système est indépendante du mouvement de ce dernier.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}le vecteur vitesse du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> étant aussi celui du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\,G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\,\mathcal{R}\;</math> à la date <math>\,t</math>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, le vecteur vitesse }}«<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;</math>» facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et, en choisissant «<math>\;m_G = m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>»n, <br>{{Al|4}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, le vecteur vit }}d'où «<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_G(t) - 1 \right]\, m_G\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> c.-à-d. l'énergie cinétique de ce système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est aussi <br>{{Al|10}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, le vecteur vit d'où «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_G(t) - 1 \right]\, m_G\;c^2}\;</math>» c.-à-d. }}l'énergie cinétique du « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;\left( m_G \right)\,</math> du système » dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret }}s'obtient en explicitant la grandeur cinématique <math>\,\gamma_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \gamma_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret s'obtient en explicitant }}en fonction de celle cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \vec{P}_G(t)\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret s'obtient en explicitant }}«<math>\;K_G(t) = \left[ \gamma_G(t) - 1 \right]\, m_G\,c^2 = \sqrt{\vec{P}_G^2\;c^2 + m_G^2\;c^4} - m_G\;c^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\,E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression }}le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» étant définie à la date <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> par «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, }}le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_{M,\,\text{mouv circ}}(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>» <ref name="vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non##Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, }}l’énergie cinétique du point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, en y remplaçant un seul vecteur vitesse par son expression intrinsèque rappelée ci-dessus <ref name="vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}<math>K_{M,\,\text{mouv circ}}(t) = \dfrac{1}{2}\,m\, \vec{V}_{M,\,\text{mouv circ}}(t) \!\cdot\! \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right] = \dfrac{1}{2}\, \vec{\Omega}(t) \!\cdot\!\! \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\, \vec{V}_{M,\,\text{mouv circ}}(t) \right]\;</math><ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}dernière expression faisant apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\,M\,</math> par rapport à <math>\,C\;</math><ref name="applicable quel que soit le mouvement"> Définition applicable pour tout mouvement de <math>\,M</math>, que ce dernier soit circulaire ou non.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, dernière expression faisant apparaître }}<math>\,\vec{\sigma}_C(M_{\text{mouv circ}},\,t) = \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\, \vec{V}_{M,\,\text{mouv circ}}(t)\;</math><ref name="vecteur moment cinétique de M par rapport à A"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#«_Vecteur_moment_cinétique_de_M_par_rapport_au_point_origine_A_»,_cas_particulier_de_«_vecteur_moment_d'un_champ_vectoriel_défini_en_M_par_rapport_au_point_origine_A_»|vecteur moment cinétique de M par rapport au point origine A, cas particulier de vecteur moment d'un champ vectoriel défini en M par rapport au point origine A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="applicable quel que soit le mouvement" /> soit, au final, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}«<math>\;K_{M,\,\text{mouv circ}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M_{\text{mouv circ}},\,t)\;</math>» ou encore, avec <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l} \vec{\Omega}(t) \!\!&=&\!\! \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta} \\ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \!\!&=&\!\! \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta} \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="définition du moment cinétique scalaire d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#%Équiprojectivité_du_«_vecteur_champ_moment_cinétique_de_M_»_dans_le_référentiel_d'étude_et_conséquence,_notion_de_«_moment_cinétique_de_M_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|équiprojectivité du vecteur champ moment cinétique de M dans le référentiel d'étude et conséquence, notion de moment cinétique de M dans le référentiel d'étude oar rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}<math>\,\big[</math>«<math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math>» étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta</math>, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la vitesse angulaire de rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> et «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» le moment cinétique scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> de <math>\,M\;</math><ref name="définition du moment cinétique scalaire d'un point" /><math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}«<math>\;K_{M,\,\text{mouv circ}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M_{\text{mouv circ}},\,t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}<math>\,\big[</math>ces deux expressions, exposées ci-dessus, de l'énergie cinétique newtonienne de <math>\,M\,</math> en mouvement <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}circulaire sont explicitées en fonction des grandeurs cinématique et cinétique du point <math>\,M\big]</math> ; {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} 2ojq1ucuyro2ql270ndz2m3xvz637g2 987177 987175 2026-10-08T07:02:27Z Phl7605 31541 /* Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu */ 987177 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" />{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2 \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système }}par «<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système par }}la somme des énergies totales de tous les points matériels du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, au même instant <math>\,t</math>, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, }}par «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, par }}la somme des énergies masses de tous les points matériels du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, est égale à «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumiqque <math>\,\mu(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue volumique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration volumique sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|10}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, de masse surfaciqque <math>\,\sigma(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue surfacique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration surfacique sur l'expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéiqque <math>\,\lambda(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue curviligne"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration curviligne sur l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>,, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{lin}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>. === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\,\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Considérant le système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret }}en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="tout point de même vecteur vitesse"> Tous les points <math>\,M_i\,</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> est définie selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}<math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\,</math> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\, \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en reconnaissant dans «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», la réécriture selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 1^ère expression de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> étant explicitée à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 2^nde {{Transparent|expression de }}<math>\,\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.}}(t)}\,</math>{{Transparent| étant explicitée }}à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> de ce système, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}une 3^ème expression <ref> Très peu utilisée.</ref> de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> est explicitable à l'aide des grandeurs cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> d'où <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en réécrivant la 2^nde expression selon «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en remplaçant <math>\,\dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\,</math> par <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)</math>, «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Complément</u> : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique d’un système discret }}définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="expression relativiste d'un système discret"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#En_complément,_expression_relativiste_de_l'énergie_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels|en complément, expression relativiste de l'énergie cinétique d'un système discret de points matériels]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\,</math> facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de <math>\,M_i\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}le mouvement de translation du système <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{c^2}}} = \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}l'énergie cinétique de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret }}se réécrit selon «<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right] m_i\; c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right] \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \right] c^2\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon }}«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon }}«<math>\;m_{\text{syst. en transl.}} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» masse du système <math>\,\big(</math>en translation<math>\big)\;</math><ref> Terme entre parenthèses car la masse du système est indépendante du mouvement de ce dernier.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}le vecteur vitesse du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> étant aussi celui du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\,G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\,\mathcal{R}\;</math> à la date <math>\,t</math>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, le vecteur vitesse }}«<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;</math>» facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et, en choisissant «<math>\;m_G = m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>»n, <br>{{Al|4}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, le vecteur vit }}d'où «<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_G(t) - 1 \right]\, m_G\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> c.-à-d. l'énergie cinétique de ce système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est aussi <br>{{Al|10}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, le vecteur vit d'où «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_G(t) - 1 \right]\, m_G\;c^2}\;</math>» c.-à-d. }}l'énergie cinétique du « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;\left( m_G \right)\,</math> du système » dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret }}s'obtient en explicitant la grandeur cinématique <math>\,\gamma_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \gamma_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret s'obtient en explicitant }}en fonction de celle cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \vec{P}_G(t)\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret s'obtient en explicitant }}«<math>\;K_G(t) = \left[ \gamma_G(t) - 1 \right]\, m_G\,c^2 = \sqrt{\vec{P}_G^2\;c^2 + m_G^2\;c^4} - m_G\;c^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\,E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression }}le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» étant définie à la date <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> par «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, }}le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_{M,\,\text{mouv circ}}(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>» <ref name="vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non##Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, }}l’énergie cinétique du point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, en y remplaçant un seul vecteur vitesse par son expression intrinsèque rappelée ci-dessus <ref name="vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}<math>K_{M,\,\text{mouv circ}}(t) = \dfrac{1}{2}\,m\, \vec{V}_{M,\,\text{mouv circ}}(t) \!\cdot\! \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right] = \dfrac{1}{2}\, \vec{\Omega}(t) \!\cdot\!\! \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\, \vec{V}_{M,\,\text{mouv circ}}(t) \right]\;</math><ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}dernière expression faisant apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\,M\,</math> par rapport à <math>\,C\;</math><ref name="applicable quel que soit le mouvement"> Définition applicable pour tout mouvement de <math>\,M</math>, que ce dernier soit circulaire ou non.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, dernière expression faisant apparaître }}<math>\,\vec{\sigma}_C(M_{\text{mouv circ}},\,t) = \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\, \vec{V}_{M,\,\text{mouv circ}}(t)\;</math><ref name="vecteur moment cinétique de M par rapport à A"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#«_Vecteur_moment_cinétique_de_M_par_rapport_au_point_origine_A_»,_cas_particulier_de_«_vecteur_moment_d'un_champ_vectoriel_défini_en_M_par_rapport_au_point_origine_A_»|vecteur moment cinétique de M par rapport au point origine A, cas particulier de vecteur moment d'un champ vectoriel défini en M par rapport au point origine A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="applicable quel que soit le mouvement" /> soit, au final, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}«<math>\;K_{M,\,\text{mouv circ}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M_{\text{mouv circ}},\,t)\;</math>» ou encore, avec <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l} \vec{\Omega}(t) \!\!&=&\!\! \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta} \\ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \!\!&=&\!\! \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta} \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="définition du moment cinétique scalaire d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#%Équiprojectivité_du_«_vecteur_champ_moment_cinétique_de_M_»_dans_le_référentiel_d'étude_et_conséquence,_notion_de_«_moment_cinétique_de_M_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|équiprojectivité du vecteur champ moment cinétique de M dans le référentiel d'étude et conséquence, notion de moment cinétique de M dans le référentiel d'étude oar rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}<math>\,\big[</math>«<math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math>» étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta</math>, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la vitesse angulaire de rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> et «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» le moment cinétique scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> de <math>\,M\;</math><ref name="définition du moment cinétique scalaire d'un point" /><math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}«<math>\;K_{M,\,\text{mouv circ}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M_{\text{mouv circ}},\,t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}<math>\,\big[</math>ces deux expressions, exposées ci-dessus, de l'énergie cinétique newtonienne de <math>\,M\,</math> en mouvement <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}circulaire sont explicitées en fonction des grandeurs cinématique et cinétique du point <math>\,M\big]</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, }}sachant qu'une grandeur cinétique d'un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> en mouvement circulaire peut être explicitée en fonction des grandeurs cinématique et d'inertie de ce point et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, sachant }}que la grandeur d'inertie de ce point <math>\,M\;(m)\,</math> en mouvement circulaire de rayon <math>\,R\,</math> autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> est son moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» <ref name="moment d'inertie de M en mouvement circulaire autour d'un axe"> Voir le paragraphe » [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Notion_de_moment_d'inertie_de_M_relativement_à_un_axe_Δ|notion de moment d'inertie de M relativement à un axe Δ]] « du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> {{Al|5}}définissant le moment d’inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> par «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» dans laquelle <math>\;R\;</math> est le rayon de la trajectoire circulaire de <math>\;M</math>, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> et sa vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, le lien suivant «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde<math>\big)</math> <center>«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</center> === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} kh996xn3ysxsmhh7qkydimvye1l2gmr 987178 987177 2026-10-08T07:36:09Z Phl7605 31541 /* Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu */ 987178 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" />{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2 \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système }}par «<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système par }}la somme des énergies totales de tous les points matériels du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, au même instant <math>\,t</math>, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, }}par «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, par }}la somme des énergies masses de tous les points matériels du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, est égale à «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumiqque <math>\,\mu(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue volumique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration volumique sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|10}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, de masse surfaciqque <math>\,\sigma(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue surfacique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration surfacique sur l'expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéiqque <math>\,\lambda(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue curviligne"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration curviligne sur l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>,, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{lin}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>. === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\,\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Considérant le système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret }}en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="tout point de même vecteur vitesse"> Tous les points <math>\,M_i\,</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> est définie selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}<math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\,</math> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\, \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en reconnaissant dans «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», la réécriture selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 1^ère expression de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> étant explicitée à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 2^nde {{Transparent|expression de }}<math>\,\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.}}(t)}\,</math>{{Transparent| étant explicitée }}à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> de ce système, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}une 3^ème expression <ref> Très peu utilisée.</ref> de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> est explicitable à l'aide des grandeurs cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> d'où <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en réécrivant la 2^nde expression selon «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en remplaçant <math>\,\dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\,</math> par <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)</math>, «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Complément</u> : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique d’un système discret }}définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="expression relativiste d'un système discret"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#En_complément,_expression_relativiste_de_l'énergie_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels|en complément, expression relativiste de l'énergie cinétique d'un système discret de points matériels]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\,</math> facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de <math>\,M_i\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}le mouvement de translation du système <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{c^2}}} = \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}l'énergie cinétique de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret }}se réécrit selon «<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right] m_i\; c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right] \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \right] c^2\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon }}«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon }}«<math>\;m_{\text{syst. en transl.}} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» masse du système <math>\,\big(</math>en translation<math>\big)\;</math><ref> Terme entre parenthèses car la masse du système est indépendante du mouvement de ce dernier.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}le vecteur vitesse du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> étant aussi celui du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\,G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\,\mathcal{R}\;</math> à la date <math>\,t</math>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, le vecteur vitesse }}«<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;</math>» facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et, en choisissant «<math>\;m_G = m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>»n, <br>{{Al|4}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, le vecteur vit }}d'où «<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_G(t) - 1 \right]\, m_G\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> c.-à-d. l'énergie cinétique de ce système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est aussi <br>{{Al|10}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, le vecteur vit d'où «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_G(t) - 1 \right]\, m_G\;c^2}\;</math>» c.-à-d. }}l'énergie cinétique du « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;\left( m_G \right)\,</math> du système » dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret }}s'obtient en explicitant la grandeur cinématique <math>\,\gamma_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \gamma_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret s'obtient en explicitant }}en fonction de celle cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \vec{P}_G(t)\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret s'obtient en explicitant }}«<math>\;K_G(t) = \left[ \gamma_G(t) - 1 \right]\, m_G\,c^2 = \sqrt{\vec{P}_G^2\;c^2 + m_G^2\;c^4} - m_G\;c^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\,E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression }}le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» étant définie à la date <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> par «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, }}le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_{M,\,\text{mouv circ}}(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>» <ref name="vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non##Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, }}l’énergie cinétique du point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, en y remplaçant un seul vecteur vitesse par son expression intrinsèque rappelée ci-dessus <ref name="vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}<math>K_{M,\,\text{mouv circ}}(t) = \dfrac{1}{2}\,m\, \vec{V}_{M,\,\text{mouv circ}}(t) \!\cdot\! \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right] = \dfrac{1}{2}\, \vec{\Omega}(t) \!\cdot\!\! \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\, \vec{V}_{M,\,\text{mouv circ}}(t) \right]\;</math><ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}dernière expression faisant apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\,M\,</math> par rapport à <math>\,C\;</math><ref name="applicable quel que soit le mouvement"> Définition applicable pour tout mouvement de <math>\,M</math>, que ce dernier soit circulaire ou non.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, dernière expression faisant apparaître }}<math>\,\vec{\sigma}_C(M_{\text{mouv circ}},\,t) = \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\, \vec{V}_{M,\,\text{mouv circ}}(t)\;</math><ref name="vecteur moment cinétique de M par rapport à A"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#«_Vecteur_moment_cinétique_de_M_par_rapport_au_point_origine_A_»,_cas_particulier_de_«_vecteur_moment_d'un_champ_vectoriel_défini_en_M_par_rapport_au_point_origine_A_»|vecteur moment cinétique de M par rapport au point origine A, cas particulier de vecteur moment d'un champ vectoriel défini en M par rapport au point origine A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="applicable quel que soit le mouvement" /> soit, au final, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}«<math>\;K_{M,\,\text{mouv circ}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M_{\text{mouv circ}},\,t)\;</math>» ou encore, avec <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l} \vec{\Omega}(t) \!\!&=&\!\! \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta} \\ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \!\!&=&\!\! \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta} \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="définition du moment cinétique scalaire d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#%Équiprojectivité_du_«_vecteur_champ_moment_cinétique_de_M_»_dans_le_référentiel_d'étude_et_conséquence,_notion_de_«_moment_cinétique_de_M_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|équiprojectivité du vecteur champ moment cinétique de M dans le référentiel d'étude et conséquence, notion de moment cinétique de M dans le référentiel d'étude oar rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}<math>\,\big[</math>«<math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math>» étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta</math>, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la vitesse angulaire de rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> et «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» le moment cinétique scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> de <math>\,M\;</math><ref name="définition du moment cinétique scalaire d'un point" /><math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}«<math>\;K_{M,\,\text{mouv circ}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M_{\text{mouv circ}},\,t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}<math>\,\big[</math>ces deux expressions, exposées ci-dessus, de l'énergie cinétique newtonienne de <math>\,M\,</math> en mouvement <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}circulaire sont explicitées en fonction des grandeurs cinématique et cinétique du point <math>\,M\big]</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, }}sachant qu'une grandeur cinétique d'un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> en mouvement circulaire peut être explicitée en fonction des grandeurs cinématique et d'inertie de ce point et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, sachant }}que la grandeur d'inertie de ce point <math>\,M\;(m)\,</math> en mouvement circulaire de rayon <math>\,R\,</math> autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> est son moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» <ref name="moment d'inertie de M en mouvement circulaire autour d'un axe"> Voir le paragraphe » [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Notion_de_moment_d'inertie_de_M_relativement_à_un_axe_Δ|notion de moment d'inertie de M relativement à un axe Δ]] « du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, sachant que }}le moment cinétique scalaire de <math>\,M\;(m)\,</math> en mouvement circulaire autour de <math>\,\Delta\,</math> s'explicitant par «<math>\;\sigma_{\Delta}(M_{\text{mouv circ}},\,t) = J_{\Delta}(M_{\text{mouv circ}})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Évaluation_du_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_l’axe_Δ_du_cercle|évaluation du moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ du cercle]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, }}l'énergie cinétiqque du point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire se réécrit «<math>\;K_{M_{\text{mouv circ}}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_{\text{mouv circ}})\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Obtenue à partir de «<math>\;K_{M,\,\text{mouv circ}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M_{\text{mouv circ}},\,t)\;</math>» en éliminant la grandeur cinétique <math>\,\sigma_{\Delta}(M_{\text{mouv circ}},\,t)\,</math> au profit des grandeurs cinématique <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> et d'inertie <math>\,J_{\Delta}(M_{\text{mouv circ}})</math>.</ref> <math>\,\big(</math>expression la plus utilisée<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétiqque du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit }}«<math>\;K_{M_{\text{mouv circ}}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M_{\text{mouv circ}},\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M_{\text{mouv circ}})}\;</math>» <ref> Obtenue à partir de «<math>\;K_{M,\,\text{mouv circ}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M_{\text{mouv circ}},\,t)\;</math>» en éliminant la grandeur cinématique <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> au profit des grandeurs cinétique <math>\,\sigma_{\Delta}(M_{\text{mouv circ}},\,t)\,</math> et d'inertie <math>\,J_{\Delta}(M_{\text{mouv circ}})</math>.</ref> <math>\,\big(</math>expression moins utilisée que celle explicitée ci-dessus<math>\big)</math>. === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<math>\bigg]</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <center>«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>pour un « mouvement quelconque » «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» et <br>pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math>» «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>écrite préférentiellement <br>avec le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>»<math>\bigg]</math>.</center> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> étant définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;</math>» avec «<math>\;r_i\;</math> distance orthogonale entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;\Delta\;</math>», <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie <ref name="peu intéressant" /> par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» à savoir «<math>\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\;\Delta\;</math> selon <center>«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\;\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] }} sqme0vsi5uf94u5777qzeqnf7fl4vm7 105 75106 987176 987114 2026-10-08T04:01:48Z JackBot 8020 Robot : Correction des redirections erronées depuis Discussion Recherche:Le mouvement Wikimedia/Vietnam vers la page déplacée cible [[Discussion Recherche:Wikimedia/Vietnam]] 987176 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Discussion Recherche:Wikimedia/Vietnam]] hwnqekkqgzdhrki5o6quoy521zpankk 104 87388 987173 2026-10-07T16:46:16Z ~2026-53933-01 81135 Page créée avec « <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Recherche | idfaculté = <!-- exemple : biologie --> <!-- liste des facultés : [[WV:FAC]] --> | département = <!-- exemple : Biochimie --> <!-- liste des départements : [[WV:DEP]] --> | niveau = <!-- voir [[Aide:Niveau]] --> | PlusLoin = <!-- oui si ce travail de recherche peut être complété par d'autres --> | 1 = <!-- {{C|Titre du chapitre 1|avancement (0 à 4)... » 987173 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Recherche | idfaculté = <!-- exemple : biologie --> <!-- liste des facultés : [[WV:FAC]] --> | département = <!-- exemple : Biochimie --> <!-- liste des départements : [[WV:DEP]] --> | niveau = <!-- voir [[Aide:Niveau]] --> | PlusLoin = <!-- oui si ce travail de recherche peut être complété par d'autres --> | 1 = <!-- {{C|Titre du chapitre 1|avancement (0 à 4)}} --> | 2 = <!-- {{C|Titre du chapitre 2|avancement (0 à 4)}} --> | 3 = <!-- etc. --> | annexe1 = <!-- {{Ann|Titre de l'annexe 1|avancement (0 à 4)}} --> | autres projets = <!-- afficher des liens vers les projets frères : oui ou rien --> | w = <!-- titre de l'article correspondant sur Wikipédia (facultatif) --> | b = <!-- titre du manuel correspondant sur Wikibooks (facultatif) --> | wikt = <!-- titre du mot correspondant sur Wiktionnaire (facultatif) --> | commons = <!-- titre de la catégorie correspondante sur Commons (facultatif) --> | s = <!-- titre du livre correspondant sur Wikisource (facultatif) --> | q = <!-- titre de la page de citations correspondante sur Wikiquote (facultatif) --> | wikispecies = <!-- titre de la page correspondante sur Wikispecies (facultatif) --> }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 7f7i6f3yjtvaovmqpbh68v7nj0euzh8